4.2 对数与对数函数
4.2.1 对数运算
课标要求
素养要求
1.理解对数的概念.
2.知道自然对数和常用对数.
3.通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用.
1.会用对数的定义进行对数式与指数式的互化.
2.理解和掌握对数的性质，会求简单的对数值，发展数学抽象及数学运算素养.
教材知识探究
某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，….
问题 依次类推，那么1个这样的细胞分裂x次得到细胞个数N是多少？分裂多少次得到细胞个数为8个，256个呢？如果已知细胞分裂后的个数N，如何求分裂次数呢？
提示 2x个，3次，8次；由2x＝N可知当N已知时，x的值即为分裂次数.
1.对数的概念
(1)对数的概念
在表达式ab＝N(a>0且a≠1，N∈(0，＋∞))中，当a与N确定之后，只有唯一的b能满足这个式子，此时，幂指数b称为以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中a称为对数的底数，N称为对数的真数.
(2)常用对数与自然对数
以10为底的对数称为常用对数，即log10N是常用对数，为了简便起见，把log10N简写为lg__N.
在科学技术中，常常还使用以无理数e＝2.718__28…为底的对数，以e为底的对数称为自然对数，自然对数logeN通常简写为ln__N.
2.对数与指数的关系 指数式与对数式互化的依据
当a>0且a≠1时，b＝logaN的充要条件是ab＝N.
3.对数的有关结论 对数的有关结论是解题的重要依据
(1)零和负数没有对数；
(2)1的对数为零，即loga1＝0(a>0且a≠1)；
(3)底数的对数为1，即logaa＝1(a>0且a≠1)；
(4)alogaN＝N(a>0且a≠1，N>0)；
(5)logaab＝b(a>0且a≠1).
教材拓展补遗
[微判断]
1.根据对数的定义，因为(－2)4＝16，所以log(－2)16＝4.(×)
提示 因为对数的底数a应满足a>0且a≠1，所以错误.
2.对数式log32与log23的意义一样.(×)
提示 log32表示以3为底2的对数，log23表示以2为底3的对数，所以错误.
3.对数的运算实质是求幂指数.(√)
[微训练]
1.若log3(2x－1)＝0，则x＝________.
解析 若log3(2x－1)＝0，则2x－1＝1，即x＝1.
答案 1
2.若logx8＝3，则x＝________.
解析 由指对互化知x3＝8，所以x＝2.
答案 2
[微思考]
1.任何一个指数式都可以化为对数式吗？
提示 不是，如(－3)2＝9，不能写成log(－3)9＝2.
2.在对数的定义中为什么不能取a≤0及a＝1呢？
提示 ①a<0，N取某些值时，logaN不存在，如根据指数的运算性质可知，不存在实数x使＝2成立，所以log2不存在，所以a不能小于0；
②a＝0，N≠0时，不存在实数x使ax＝N，无法定义logaN；
③a＝1，N≠1时，logaN不存在.
题型一 对数的定义及其应用
【例1】 (1)在对数式y＝log(x－2)(4－x)中，实数x的取值范围是________.
(2)将下列指数式、对数式互化.
①54＝625；②log216＝4；③10－2＝0.01；④log125＝6.
(1)解析 由题意可知解得2
答案 (2，3)∪(3，4)
(2)解 ①由54＝625，得log5625＝4.
②由log216＝4，得24＝16.
③由10－2＝0.01，得lg 0.01＝－2.
④由log125＝6，得()6＝125.
规律方法 指数式与对数式互化的思路
(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式.
(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式.
【训练1】 将下列指数式、对数式互化：
(1)43＝64；(2)ln a＝b；(3)＝n；(4)lg 1 000＝3.
解 (1)因为43＝64，所以log464＝3；
(2)因为ln a＝b，所以eb＝a；
(3)因为＝n，所以logn＝m；
(4)因为lg 1 000＝3，所以103＝1 000.
题型二 对数相关结论的应用
【例2】 求下列各式中的x的值.
(1)log2(log3x)＝0；
(2)log5(log2x)＝1；
(3)log(＋1)＝x.
解 (1)因为log2(log3x)＝0，所以log3x＝1，所以x＝3.
(2)因为log5(log2x)＝1，所以log2x＝5，所以x＝25＝32.
(3)＝＝＋1，所以log(＋1)＝log(＋1)(＋1)＝1.∴x＝1.
规律方法 求解此类问题时，应根据对数的两个结论loga1＝0和logaa＝1(a>0且a≠1)进行变形求解，若已知对数值求真数，则可将其化为指数式运算.
【训练2】 求下列各式中的x的值.
(1)log8[log7(log2x)]＝0；
(2)log2[log3(log2x)]＝1.
解 (1)由log8[log7(log2x)]＝0，得log7(log2x)＝1，
∴log2x＝7，∴x＝27.
(2)由log2[log3(log2x)]＝1，得log3(log2x)＝2，
∴log2x＝9，∴x＝29.
题型三 利用指数式与对数式的互化求值
【例3】 (1)求下列各式的值.
①log981＝________；②log0.41＝________；③ln e2＝________.
(2)求下列各式中x的值.
①log64x＝－；②logx8＝6；③lg 100＝x；④－ln e2＝x.
(1)解析 ①设log981＝x，所以9x＝81＝92，故x＝2，即log981＝2；②设log0.41＝x，所以0.4x＝1＝0.40，故x＝0，即log0.41＝0；③设ln e2＝x，所以ex＝e2，故x＝2，即ln e2＝2.
答案 ①2 ②0 ③2
(2)解 ①由log64x＝－，得x＝64－＝43×(－)＝4－2＝；
②由logx8＝6，得x6＝8，又x>0，即x＝8＝23×＝；
③由lg 100＝x，得10x＝100＝102，即x＝2；
④由－ln e2＝x，得ln e2＝－x，所以e－x＝e2，－x＝2，x＝－2.
规律方法 对数式中求值的基本思想和方法
(1)基本思想
在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解.
(2)基本方法
①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题.
②利用幂的运算性质和指数的性质计算.
【训练3】 利用指数式、对数式的互化求下列各式中的x值.
(1)log2x＝－；(2)logx25＝2；
(3)log5x2＝2；(4)2log3x＝4.
解 (1)由log2x＝－，得2－＝x，∴x＝.
(2)由logx25＝2，得x2＝25.
∵x>0且x≠1，∴x＝5.
(3)由log5x2＝2，得x2＝52，
∴x＝±5.∵52＝25>0，(－5)2＝25>0，
∴x＝5或x＝－5.
(4)由2log3x＝4＝22，得log3x＝2，
所以x＝32，即x＝9.
一、素养落地
1.通过学习对数、常用对数、自然对数的概念，提升数学抽象素养.通过运用对数的结论求简单的对数值，提升数学运算素养.
2.对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N?logaN＝b(a>0且a≠1，N>0)，据此可得两个常用恒等式：(1)logaab＝b；(2)alogaN＝N.
3.在关系式ax＝N(a>0且a≠1，N>0)中，已知a和x求N的运算称为求幂运算，而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算.
二、素养训练
1.使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为( )
A.∪(1，＋∞) B.
C.(0，1)∪(1，＋∞) D.
解析 由题意知解得0答案 B
2.方程lg(2x－3)＝1的解为________.
解析 由lg(2x－3)＝1知2x－3＝10，解得x＝.
答案
3.计算：2log23＋2log31－3log77＋3ln 1＝________.
解析 原式＝3＋2×0－3×1＋3×0＝0.
答案 0
4.把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.
(1)2－3＝；(2)＝b；(3)lg ＝－3；(4)ln 10＝x.
解 (1)由2－3＝，得log2＝－3；
(2)由＝b，得logb＝a；
(3)由lg ＝－3，得10－3＝；
(4)由ln 10＝x，得ex＝10.
基础达标
一、选择题
1.有下列说法：(1)只有正数有对数；(2)任何一个指数式都可以化成对数式；
(3)以5为底25的对数等于±2；(4)3log3(－5)＝－5成立.其中正确的个数为( )
A.0 B.1
C.2 D.3
解析 (1)正确；(2)，(3)，(4)不正确.
答案 B
2.logab＝1成立的条件是( )
A.a＝b B.a＝b且b>0
C.a>0，a≠1 D.a>0，a＝b≠1
解析 由logab＝1得a>0，且a＝b≠1.
答案 D
3.设a＝log310，b＝log37，则3a－b的值为( )
A. B.
C. D.
解析 3a－b＝3a÷3b＝3log310÷3log37＝10÷7＝.
答案 A
4.已知log3(log5a)＝log4(log5b)＝0，则的值为( )
A.1 B.－1
C.5 D.
解析 由log3(log5a)＝0得log5a＝1，即a＝5，同理b＝5，故＝1.
答案 A
5.对于a>0且a≠1，下列说法正确的是( )
①若M＝N，则logaM＝logaN；②若logaM＝logaN，则M＝N；③若logaM2＝logaN2，则M＝N；④若M＝N，则logaM2＝logaN2.
A.①② B.②③④
C.② D.②③
解析 ①中若M，N小于或等于0时，logaM＝logaN不成立；②正确；③中M与N也可能互为相反数；④中当M＝N＝0时不正确.
答案 C
二、填空题
6.若log3(a＋1)＝1，则loga2＋log2(a－1)＝________.
解析 由log3(a＋1)＝1得a＋1＝3，即a＝2，所以loga2＋log2(a－1)＝log22＋log21＝1＋0＝1.
答案 1
7.方程3log2x＝的解是________.
解析 ∵3log2x＝3－3，∴log2x＝－3，∴x＝2－3＝.
答案
8.若正数a，b满足2＋log2a＝3＋log3b＝log6(a＋b)，则＋＝________.
解析 设2＋log2a＝3＋log3b＝log6(a＋b)＝k，
则a＝2k－2，b＝3k－3，a＋b＝6k，
即4a＝2k，27b＝3k，
所以108ab＝6k，∴108ab＝a＋b，∴108＝＋.
答案 108
三、解答题
9.将下列指数式、对数式互化.
(1)35＝243；(2)2－5＝；
(3)log81＝－4；(4)log2128＝7.
解 (1)log3243＝5；(2)log2＝－5；(3)＝81；
(4)27＝128.
10.求下列各式中的x的值.
(1)logx27＝；
(2)log2x＝－；
(3)logx(3＋2)＝－2；
(4)log5(log2x)＝0；
(5)x＝log27.
解 (1)由logx27＝，得x＝27，
∴x＝27＝32＝9.
(2)由log2x＝－，得2－＝x，
∴x＝＝.
(3)由logx(3＋2)＝－2，得3＋2＝x－2，
即x＝(3＋2)－＝－1.
(4)由log5(log2x)＝0，
得log2x＝1.∴x＝2.
(5)由x＝log27，得27x＝，
即33x＝3－2，则3x＝－2，
所以x＝－.
能力提升
11.已知log2m＝2.016，log2n＝1.016，则等于( )
A.2 B.
C.10 D.
解析 因为log2m＝2.016，log2n＝1.016，所以m＝22.016，n＝21.016，所以＝＝.
答案 B
12.(1)若f(10x)＝x，求f(3)的值；
(2)计算23＋log23＋35－log39.
解 (1)令t＝10x(t>0)，则x＝lg t，
∴f(t)＝lg t，即f(x)＝lg x，∴f(3)＝lg 3.
(2)23＋log23＋35－log39＝23·2log23＋
＝23×3＋＝24＋27＝51.
创新猜想
13.(多选题)下列结论正确的是( )
A.lg(lg10)＝0
B.若10＝lg x，则x＝10
C.若e＝ln x，则x＝e2
D.使log(x－1)(x＋2)有意义的x的取值范围是(1，2)∪(2，＋∞)
解析 lg(lg 10)＝lg 1＝0，故A正确；若10＝lg x，则x＝1010，故B错误；若e＝ln x，则x＝ee，故C错误；使log(x－1)(x＋2)有意义，需
∴∴D正确.
答案 AD
14.若log2(log(log2x))＝log3(log(log3y))＝log5(log(log5z))＝0，试确定x，y，z的大小关系.
解 由log2(log(log2x))＝0，
得log(log2x)＝1，log2x＝，x＝2＝(215).
由log3(log(log3y))＝0，
得log(log3y)＝1，log3y＝，y＝3＝(310).
由log5(log(log5z))＝0，
得log(log5z)＝1，log5z＝，z＝5＝(56)，
∵310>215>56，且函数y＝x在(0，＋∞)上单调递增，∴y>x>z.
