4.2.2 对数运算法则
课标要求
素养要求
1.理解积、商、幂的对数，能进行简单的对数运算.
2.知道对数的换底公式，能将一般对数转化为自然对数和常用对数，并能进行简单的化简、计算.
通过本节课的学习，掌握对数的运算法则及换底公式，会用对数的运算法则进行化简求值，进一步提升数学抽象与数学运算素养.
教材知识探究
大家都知道，对数运算可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算法则中，得出相应对数的运算法则吗？同学们能否大胆猜想一下对数的运算法则呢？
问题 观察下列各式，你能从中猜想出什么结论吗？
log2(2×4)＝log22＋log24＝3；
log3(3×9)＝log33＋log39＝3；
log2(4×8)＝log24＋log28＝5.
提示 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：loga(M·N)＝logaM＋logaN成立.
1.对数运算法则 熟记对数运算法则，切忌记混法则
loga(MN)＝logaM＋logaN，
logaMa＝αlogaM，
loga＝logaM－logaN
(以上各式中a>0且a≠1，M>0，N>0)
拓展：logamMn＝logaM(a>0且a≠1，M>0，n∈R，m≠0)
2.换底公式 经常转化为常用对数和自然对数
对数换底公式：logab＝(a>0且a≠1，b>0，c>0且c≠1).
特别地：logab·logba＝1(a>0且a≠1，b>0，且b≠1).
教材拓展补遗
[微判断]
1.log2x2＝2log2x.(×)
2.loga[(－2)×(－3)]＝loga(－2)＋loga(－3).(×)
提示 (1)(2)中必须保证对数的真数大于0才能有意义，否则错误.
3.logaM·logaN＝loga(M＋N).(×)
提示 公式应为logaM＋logaN＝loga(M·N)(a>0且a≠1，M>0，N>0).
4.log52＝.(√)
[微训练]
1.log5＋log53等于________.
解析 原式＝log5＝log51＝0.
答案 0
2.log336－log34等于________.
解析 原式＝log3＝log39＝2.
答案 2
3.log35·log56·log69＝________.
解析 原式＝··＝＝＝2.
答案 2
[微思考]
1.对数运算法则的适用条件是什么？
提示 对数的运算法则的适用条件是“同底，且真数为正”，即a>0，a≠1，M>0，N>0.若去掉此条件，法则不一定成立，如log3≠log3(－8)－log3(－3).
2.换底公式中底数c是特定数还是任意数？
提示 是大于0且不等于1的任意数.
题型一 利用对数运算法则化简、求值
【例1】 (1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2；
(2)；
(3)log535－2log5＋log57－log51.8.
解 (1)原式＝(lg 5＋lg 2)(lg 5－lg 2)＋2lg 2
＝lg 10(lg 5－lg 2)＋2lg 2＝lg 5－lg 2＋2lg 2
＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1.
(2)原式＝
＝＝.
(3)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5
＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55
＝2log55＝2.
规律方法 利用对数运算法则化简与求值的原则和方法
(1)基本原则：
①正用或逆用运算法则，对真数进行处理，②选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行.
(2)两种常用的方法：
①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差).
【训练1】 计算下列各式的值：
(1)lg－lg ＋lg；
(2)lg 25＋lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2.
解 (1)法一 原式＝(5lg 2－2lg 7)－×lg 2＋(2lg 7＋lg 5)
＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5
＝lg 2＋lg 5＝(lg 2＋lg 5)＝lg 10
＝.
法二 原式＝lg－lg 4＋lg 7＝lg
＝lg(×)＝lg＝.
(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5×(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2
＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.
题型二 利用换底公式化简、求值
【例2】 (1)计算(log43＋log83)(log32＋log92)；
(2)已知log189＝a，18b＝5，用a，b表示log3645的值.
解 (1)原式＝＝
＝×＝.
(2)法一 ∵18b＝5，∴log185＝b.又log189＝a
于是log3645＝＝＝
＝＝.
法二 ∵18b＝5，∴log185＝b.又log189＝a，
于是log3645＝＝＝＝.
规律方法 换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，然后再运用对数运算法则对同底数的对数运算.可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算法则进行对数式的化简.
【训练2】 (1)已知log1227＝a，求log616的值；
(2)计算(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258)的值.
解 (1)由log1227＝a，得＝＝a，
∴lg 2＝lg 3.
∴log616＝＝＝＝.
(2)法一 原式＝·
＝＝log25·(3log52)＝13log25·＝13.
法二 原式＝
＝
＝＝13.
法三 原式＝(log253＋log2252＋log2351)·(log52＋log5222＋log5323)
＝(log52＋log52＋log52)＝log25·(3log52)＝×3＝13.
题型三 利用对数式与指数式的互化解题
【例3】 (1)设3a＝4b＝36，求＋的值；
(2)已知2x＝3y＝5z，且＋＋＝1，求x，y，z.
解 (1)法一 由3a＝4b＝36，
得a＝log336，b＝log436，
由换底公式得＝log363，＝log364，
∴＋＝2log363＋log364＝log3636＝1.
法二 由3a＝4b＝36，
两边取以6为底数的对数，得
alog63＝blog64＝log636＝2，
∴＝log63，＝log64＝log62，
∴＋＝log63＋log62＝log66＝1.
(2)令2x＝3y＝5z＝k(k>0)，
∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k，
∴＝logk2，＝logk3，＝logk5，
由＋＋＝1，
得logk2＋logk3＋logk5＝logk30＝1，
∴k＝30，
∴x＝log230＝1＋log215，y＝log330＝1＋log310，z＝log530＝1＋log56.
规律方法 利用对数式与指数式互化求值的方法
(1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化.
(2)对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解.
【训练3】 已知3a＝5b＝M，且＋＝2，则M＝________.
解析 由3a＝5b＝M，得a＝log3M，b＝log5M，
故＋＝logM3＋logM5＝logM15＝2，
∴M＝.
答案
一、素养落地
1.通过对数运算法则的推导过程，培养数学抽象素养；通过运用对数运算法则进行化简求值，提升数学运算素养.
2.在运用换底公式时，要根据需要恰当选择底数，简化运算.
3.运用对数运算法则应注意：
(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算法则.
(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用.
(3)在运算过程中避免出现以下错误：
①logaNn＝(logaN)n，②loga(MN)＝logaM·logaN，
③logaM±logaN＝loga(M±N).
二、素养训练
1.已知a＝log32，那么log38－2log36用a表示是( )
A.a－2 B.5a－2
C.3a－(1＋a)2 D.3a－a2
解析 原式＝log323－2log32－2log33＝log32－2＝a－2.
答案 A
2.已知2m＝5n＝10，则＋＝________.
解析 因为m＝log210，n＝log510，
所以＋＝log102＋log105＝lg 10＝1.
答案 1
3.若logab·log3a＝4，则b的值为________.
解析 logab·log3a＝·＝＝4，
所以lg b＝4lg 3＝lg 34，所以b＝34＝81.
答案 81
4.求下列各式的值：
(1)lg 14－2lg ＋lg 7－lg 18；
(2).
解 (1)法一 原式＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.
法二 原式＝lg 14－lg＋lg 7－lg 18
＝lg＝lg 1＝0.
(2)原式＝＝＝＝.
基础达标
一、选择题
1.若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，则ab的值等于( )
A.2 B.
C.100 D.
解析 ∵lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，∴由根与系数的关系得lg a＋lg b＝lg(ab)＝－＝2，
∴ab＝100.故选C.
答案 C
2.化简log612－2log6的结果为( )
A.6 B.12
C.log6 D.
解析 原式＝log6－log62＝log6＝log6.
答案 C
3.已知2a＝3b＝k(k≠1)，且2a＋b＝ab，则实数k的值为( )
A.6 B.9
C.12 D.18
解析 ∵2a＝3b＝k(k≠1)，∴a＝log2k，b＝log3k，
∴＝logk2，＝logk3.
∵2a＋b＝ab，∴＋＝2logk3＋logk2＝logk9＋logk2＝logk18＝1，∴k＝18.
答案 D
4.已知x，y为正实数，则( )
A.2lg x＋lg y＝2lg x＋2lg y B.2lg(x＋y)＝2lg x·2lg y
C.2lg x·lg y＝2lg x＋2lg y D.2lg(xy)＝2lg x·2lg y
解析 2lg x·2lg y＝2lg x＋lg y＝2lg(xy).故选D.
答案 D
5.已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y的值为( )
A.3 B.8
C.4 D.log48
解析 由2x＝3得x＝log23，∴x＋2y＝log23＋2log4＝log23＋＝log23＋(3log22－log23)＝3.
答案 A
二、填空题
6.计算100lg 9－lg 2－log98·log4＝________.
解析 原式＝10lg 9÷10lg 4－·＝－·＝－＝2.
答案 2
7.已知3a＝2，3b＝，则32a－b＝________.
解析 ∵3a＝2，3b＝，两边取对数得a＝log32，b＝log3＝－log35，∴2a－b＝2log32＋log35＝log320，∴32a－b＝20.
答案 20
8.已知函数f(x)＝alog2x＋blog3x＋2，且f＝4，则f(2 019)＝________.
解析 由f＝alog2＋blog3＋2＝4，得－alog22 019－blog32 019＝2.∴alog22 019＋blog32 019＝－2.
∴f(2 019)＝alog22 019＋blog32 019＋2＝－2＋2＝0.
答案 0
三、解答题
9.求值：(1)lg＋lg；
(2)log89·log2732－(－1)lg 1＋log535－log57.
解 (1)原式＝lg＝lg 10＝1.
(2)原式＝×－1＋log5＝×－1＋1＝.
10.计算下列各式的值：
(1)log3＋lg 25＋lg 4＋7log72；
(2)2log32－log3＋log38－52log53.
解 (1)原式＝log3＋lg(25×4)＋2＝log33－＋lg 102＋2＝－＋2＋2＝.
(2)原式＝2log32－(log325－log39)＋3log32－5log532
＝2log32－5log32＋2log33＋3log32－9＝2－9＝－7.
能力提升
11.若f(x)＝ax－，且f(lg a)＝，则a＝________.
解析 f(lg a)＝alg a－＝＝，
∴alg a＝(10a)，两边取常用对数，得(lg a)2＝(1＋lg a)，
∴2(lg a)2－lg a－1＝0，解得lg a＝1或lg a＝－.
∴a＝10或a＝.
答案 10或
12.2018年我国国民生产总值为a亿元，如果平均每年增长8%，那么过多少年后国民生产总值是2018年的2倍(lg 2≈0.301 0，lg 1.08≈0.033 4，精确到1年).
解 设经过x年国民生产总值为2018年的2倍.
经过1年，国民生产总值为a(1＋8%)，
经过2年，国民生产总值为a(1＋8%)2，
…
经过x年，国民生产总值为a(1＋8%)x＝2a，
∴1.08x＝2，两边取常用对数，得x·lg 1.08＝lg 2.
∴x＝≈≈9.
故约经过9年，国民生产总值是2018年的2倍.
创新猜想
13.(开放题)已知a，b是关于x的方程x2＋px＋q＝0的两根，若a，b满足lg(a＋b)＝lg a＋lg b，则一组符合题意的p，q的值分别为________.
解析 由已知得且Δ≥0，即p2－4q≥0.又因为lg(a＋b)＝lg a＋lg b，即a＋b＝ab，且a>0，b>0.所以－p＝q>0，即满足p＋q＝0，且q>0，p2－4q≥0即可.如p＝－5，q＝5就是符合题意的一组p，q的值.
答案 －5，5 (答案不唯一)
14.已知logax＋3logxa－logxy＝3(a>1).
(1)若设x＝at，试用a，t表示y；
(2)若当0解 (1)由换底公式，
得logax＋－＝3(a>1)，
所以logay＝(logax)2－3logax＋3.
当x＝at时，logax＝logaat＝t，
所以logay＝t2－3t＋3.
所以y＝at2－3t＋3(t≠0).
(2)由(1)知y＝a(t－)2＋，因为01，
所以当t＝时，ymin＝a＝8.
所以a＝16，此时x＝a＝64.
课件31张PPT。4.2.2 对数运算法则教材知识探究大家都知道，对数运算可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算法则中，得出相应对数的运算法则吗？同学们能否大胆猜想一下对数的运算法则呢？问题 观察下列各式，你能从中猜想出什么结论吗？
log2(2×4)＝log22＋log24＝3；
log3(3×9)＝log33＋log39＝3；
log2(4×8)＝log24＋log28＝5.
提示 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：loga(M·N)＝logaM＋logaN成立.1.对数运算法则logaM＋logaNαlogaMlogaM－logaN2.换底公式1教材拓展补遗
[微判断]
1.log2x2＝2log2x.( )
2.loga[(－2)×(－3)]＝loga(－2)＋loga(－3).( )
提示 (1)(2)中必须保证对数的真数大于0才能有意义，否则错误.
3.logaM·logaN＝loga(M＋N).( )
提示 公式应为logaM＋logaN＝loga(M·N)(a>0且a≠1，M>0，N>0).×××√答案 02.log336－log34等于________.答案 23.log35·log56·log69＝________.答案 2[微思考]
1.对数运算法则的适用条件是什么？2.换底公式中底数c是特定数还是任意数？
提示 是大于0且不等于1的任意数.题型一 利用对数运算法则化简、求值解 (1)原式＝(lg 5＋lg 2)(lg 5－lg 2)＋2lg 2
＝lg 10(lg 5－lg 2)＋2lg 2＝lg 5－lg 2＋2lg 2
＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1.＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55
＝2log55＝2.规律方法 利用对数运算法则化简与求值的原则和方法
(1)基本原则：
①正用或逆用运算法则，对真数进行处理，②选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行.
(2)两种常用的方法：
①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差).(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5×(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2
＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.题型二 利用换底公式化简、求值
【例2】 (1)计算(log43＋log83)(log32＋log92)；
(2)已知log189＝a，18b＝5，用a，b表示log3645的值.(2)法一 ∵18b＝5，∴log185＝b.又log189＝a法二 ∵18b＝5，∴log185＝b.又log189＝a，规律方法 换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，然后再运用对数运算法则对同底数的对数运算.可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算法则进行对数式的化简.【训练2】 (1)已知log1227＝a，求log616的值；
(2)计算(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258)的值.法三 原式＝(log253＋log2252＋log2351)·(log52＋log5222＋log5323)题型三 利用对数式与指数式的解 (1)法一 由3a＝4b＝36，得a＝log336，b＝log436，互化解题法二 由3a＝4b＝36，
两边取以6为底数的对数，得
alog63＝blog64＝log636＝2，(2)令2x＝3y＝5z＝k(k>0)，
∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k，得logk2＋logk3＋logk5＝logk30＝1，∴k＝30，∴x＝log230＝1＋log215，y＝log330＝1＋log310，z＝log530＝1＋log56.规律方法 利用对数式与指数式互化求值的方法
(1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化.
(2)对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解.一、素养落地
1.通过对数运算法则的推导过程，培养数学抽象素养；通过运用对数运算法则进行化简求值，提升数学运算素养.
2.在运用换底公式时，要根据需要恰当选择底数，简化运算.
3.运用对数运算法则应注意：
(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算法则.
(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用.
(3)在运算过程中避免出现以下错误：
①logaNn＝(logaN)n，②loga(MN)＝logaM·logaN，③logaM±logaN＝loga(M±N).二、素养训练
1.已知a＝log32，那么log38－2log36用a表示是( )
A.a－2 B.5a－2
C.3a－(1＋a)2 D.3a－a2
解析 原式＝log323－2log32－2log33＝log32－2＝a－2.
答案 A解析 因为m＝log210，n＝log510，答案 13.若logab·log3a＝4，则b的值为________.所以lg b＝4lg 3＝lg 34，所以b＝34＝81.
答案 81解 (1)法一 原式＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.
