4.2.3 对数函数的性质与图像
第一课时 对数函数的概念、性质与图像
课标要求
素养要求
1.理解对数函数的概念.
2.初步掌握对数函数的性质和图像.
理解对数函数的概念及对数函数的性质和图像，发展学生的数学抽象素养、直观想象素养及数学运算素养.
教材知识探究
中科院古脊椎动物与古人类研究所的专家向外界确认，河南汝阳村李锤发现的“龙骨”实际上是一头距今已有8 000万至1亿年历史的黄河巨龙的肋骨.经过发掘、整理、还原模型，专家推断这条黄河巨龙活着的时候，体重应该在60吨左右，是迄今为止亚洲最高大、最肥胖的“亚洲龙王”.
同学们，你们知道专家是怎样依据化石估算出黄河巨龙的生活年代的吗？那就让我们学习一种新的函数模型——对数函数来解决这个问题吧！
问题1 考古学家一般通过提取附着在出土文物、古遗址上死亡物体的残留物，利用t＝logP(P为碳14含量)估算出土文物或古遗址的年代t，那么t是P的函数吗？为什么？
提示 t是P的函数，因为对于P每取一个确定的值按照对应关系f：t＝logP，都有唯一的t值与之相对应，故t是P的函数.
问题2 函数t＝logP的解析式与函数y＝log2x的解析式有什么共同特征？
提示 两个函数都是对数的真数作为函数的自变量.
1.对数函数的概念
其结构特征：①底a>0且a≠1，②真数是自变量x，③对数符号前面的系数为1
一般地，函数y＝logax称为对数函数，其中a是常数，a>0且a≠1.
2.对数函数的图像和性质
a>1
0
图像
性
质
定义域
(0，＋∞)，图像在y轴的右边
值域
R
过定点
过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0
函数值的变化
当0当x>1时，y>0
当00，当x>1时，y<0
单调性
增
减
对称性
y＝logax与y＝logx的图像关于x轴对称
教材拓展补遗
[微判断]
1.函数y＝logx是对数函数.(×)
提示 对数函数中自变量x在真数的位置上，且x>0，所以错误.
2.函数y＝2log3x是对数函数.(×)
提示 在解析式y＝logax(a>0且a≠1)中，logax的系数必须是1，所以错误.
3.函数y＝log3(x＋1)的定义域是(0，＋∞).(×)
提示 由对数式y＝log3(x＋1)的真数x＋1>0可得x>－1，所以函数的定义域为(－1，＋∞)，所以错误.
[微训练]
1.若对数函数的图像过点P(9，2)，则此对数函数的解析式为________.
解析 设对数函数为y＝logax(a>0且a≠1)，∴2＝loga9，∴a＝3，
∴解析式为y＝log3x.
答案 y＝log3x
2.函数f(x)＝loga(2x－1)＋2的图像恒过定点________.
解析 令2x－1＝1，得x＝1，又f(1)＝2，故f(x)的图像恒过定点(1，2).
答案 (1，2)
[微思考]
1.对数函数的解析式中的底数能否等于0或小于0?
提示 因为y＝logax?x＝ay，而在指数函数中底数a需要满足a>0且a≠1，故在对数函数解析式中a的取值范围不能等于0且不能小于0.
2.对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图像与y轴能相交吗？
提示 因为y＝logax的定义域为(0，＋∞)，所以其图像能与y轴无限接近，但不能相交.
题型一 对数函数的概念及应用
【例1】 (1)下列函数表达式中，是对数函数的有( )
①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；④y＝ln x；⑤y＝logx(x＋2)；⑥y＝2log4x；⑦y＝log2(x＋1).
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
(2)若对数函数f(x)的图像过点(4，－2)，则f(8)＝________.
解析 (1)由于①中自变量出现在底数上，∴①不是对数函数；由于②中底数a∈R不能保证a>0，且a≠1，∴②不是对数函数；由于⑤⑦的真数分别为(x＋2)，(x＋1)，∴⑤⑦也不是对数函数；由于⑥中log4x的系数为2，∴⑥也不是对数函数.只有③④符合对数函数的定义.
(2)由题意设f(x)＝logax(a>0且a≠1)，则f(4)＝loga4＝－2，所以a－2＝4，故a＝，f(x)＝logx，所以f(8)＝log8＝－3.
答案 (1)B (2)－3
规律方法 判断一个函数是对数函数的方法
【训练1】 若函数f(x)＝log(a＋1)x＋(a2－2a－8)是对数函数，则a＝________.
解析 由题意可知
解得a＝4.
答案 4
题型二 与对数函数有关函数的定义域
【例2】 (1)函数f(x)＝＋ln(x＋1)的定义域为________；
(2)函数f(x)＝的定义域为________.
解析 (1)若使函数式有意义需满足条件：?解得－1(2)由题意有解得x>－且x≠0，则函数的定义域为∪(0，＋∞).
答案 (1)(－1，2) (2)∪(0，＋∞)
规律方法 求与对数函数有关的函数的定义域时应遵循的原则
(1)分母不能为0.
(2)根指数为偶数时，被开方数非负.
(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.
【训练2】 求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝lg(x－2)＋；
(2)f(x)＝log(x＋1)(16－4x).
解 (1)要使函数有意义，需满足
解得x>2且x≠3.
∴函数的定义域为(2，3)∪(3，＋∞).
(2)要使函数有意义，需满足
解得－1∴函数的定义域为(－1，0)∪(0，4).
题型三 对数函数的图像问题
【例3】 已知y＝lg x的图像如图所示，由图像作出y＝lg |x|和y＝|lg x|的图像，并解答以下问题：
(1)函数y＝lg |x|( )
A.是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增
B.是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减
C.是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增
D.是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减
(2)函数f(x)＝|lg x|，若0f(b).
证明：ab<1.
(1)解析 作出y＝lg |x|图像如图(1)所示.
从图可以看出，选项B正确.
答案 B
(2)证明 作出y＝|lg x|的图像如图(2)所示，由图可以看出，若0f(b)，此时有ab<1成立；
若0因为f(a)>f(b)，所以－lg a>lg b，即lg a＋lg b<0，
lg(ab)<0，所以ab<1；
若1f(b)相矛盾.
综上可知，若0f(b)时，ab<1.
规律方法 (1)作y＝f(|x|)的图像时，保留y＝f(x)(x≥0)的图像不变，x<0时y＝f(|x|)的图像与y＝f(x)(x>0)的图像关于y轴对称.
(2)作y＝|f(x)|的图像时，保留y＝f(x)在x轴及上方图像不变，把x轴下方的图像以x轴为对称轴翻折上去即可.
(3)有关对数函数平移也符合“左加右减，上加下减”的规律.
(4)y＝f(－x)与y＝f(x)的图像关于y轴对称，y＝－f(x)与y＝f(x)的图像关于x轴对称，y＝－f(－x)与y＝f(x)的图像关于原点对称.
【训练3】 (1)函数y＝loga(x＋2)＋1(a>0且a≠1)的图像过定点( )
A.(1，2) B.(2，1)
C.(－2，1) D.(－1，1)
(2)已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图像如图所示，则函数g(x)＝b＋logax的图像大致是( )
解析 (1)令x＋2＝1，即x＝－1，得y＝loga1＋1＝1，故函数y＝loga(x＋2)＋1的图像过定点(－1，1).
(2)由函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图像可知0答案 (1)D (2)D
一、素养落地
1.通过学习对数函数的概念，培养数学抽象素养；通过运用函数的图像与简单的性质解决问题，提升直观想象素养及数学运算素养.
2.判断一个函数是不是对数函数，关键是分析所给函数是否具有y＝logax(a>0且a≠1)这种形式.
3.在对数函数y＝logax(a>0且a≠1)中，底数a对其图像直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图像和性质.
4.涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析.
二、素养训练
1.下列函数是对数函数的是( )
A.y＝loga(2x) B.y＝log22x
C.y＝log2x＋1 D.y＝lg x
解析 选项A，B，C中的函数都不具有“y＝logax(a>0且a≠1)”的形式，只有D选项符合.
答案 D
2.设函数y＝的定义域为A，函数y＝ln(1－x)的定义域为B，则A∩B＝( )
A.(1，2) B.(1，2]
C.(－2，1) D.[－2，1)
解析 由4－x2≥0得－2≤x≤2，∴A＝[－2，2].由1－x>0得x<1，∴B＝(－∞，1).∴A∩B＝[－2，1)，故选D.
答案 D
3.若函数f(x)＝2loga(2－x)＋3(a>0，且a≠1)的图像过定点P，则点P的坐标是________.
解析 令2－x＝1，即x＝1，得y＝2loga1＋3＝3，故点P的坐标为(1，3).
答案 (1，3)
4.已知f(x)＝log3x.
(1)作出这个函数的图像；
(2)当0f(2)的a值.
解 (1)作出函数y＝log3x的图像如图所示.
(2)令f(x)＝f(2)，即log3x＝log32，解得x＝2.由如图所示的图像知：当0f(2)的a值.
基础达标
一、选择题
1.函数y＝1＋loga(x－1)(a>0且a≠1)的图像恒过定点( )
A.(1，1) B.(1，0)
C.(2，1) D.(2，0)
解析 令x－1＝1，得x＝2，此时y＝1，故函数y＝1＋loga(x－1)的图像一定经过点(2，1).
答案 C
2.函数y＝的定义域为( )
A.(－∞，2) B.(2，＋∞)
C.(2，3)∪(3，＋∞) D.(2，4)∪(4，＋∞)
解析 要使函数有意义，则
即解得23，
所以函数的定义域为(2，3)∪(3，＋∞)，故选C.
答案 C
3.若对数函数y＝log(a＋1)x(x>0)是增函数，则实数a的取值范围是( )
A.(－1，0) B.(0，＋∞)
C.(－∞，－1) D.(0，1)
解析 由对数函数的单调性知，a＋1>1，则a>0.
答案 B
4.对数函
数y＝logax与y＝logbx的图像如图，则( )
A.a<0，b<0
B.a<0，b>0
C.01
D.0答案 C
5.函数y＝ax与y＝－logax(a>0，且a≠1)在同一坐标系中的图像形状可能是( )
解析 函数y＝－logax恒过定点(1，0)，排除B项；当a>1时，y＝ax是增函数，y＝－logax是减函数，当0答案 A
二、填空题
6.给出下列函数：①y＝()2；②y＝；③y＝2log2x；④y＝log22x.
则上述函数中，与函数y＝x相等的是________(填序号).
解析 对于①，y＝()2?y＝x(x≥0)，不相等；
对于②，y＝?y＝|x|，不相等；
对于③，y＝2log2x?y＝x(x>0)，不相等；
对于④，y＝log22x?y＝x，相等.
答案 ④
7.已知f(x)为对数函数，f＝－2，则f＝________.
解析 设f(x)＝logax(a>0且a≠1)，
则loga＝－2，
∴＝，即a＝，∴f(x)＝logx，
∴f()＝log＝log2()2＝log22＝.
答案
8.已知f(x)＝|log3x|，若f(a)>f(2)，则a的取值范围为________.
解析 作出函数f(x)的图像，如图所示，由于f(2)＝f，故结合图像可知02.
答案 ∪(2，＋∞)
三、解答题
9.求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝log(x－1)(3－x)；
(2)f(x)＝＋log2(3x－1).
解 (1)由题意知解得1(2)由题意知解得x>且x≠1，故f(x)的定义域为∪(1，＋∞).
10.已知f(x)＝|lg x|，且>a>b>1，试借助图像比较f(a)，f(b)，f(c)的大小.
解 先作出函数y＝lg x的图像， 再将图像位于x轴下方的部分折到x轴上方，于是得f(x)＝|lg x|的图像(如图)，由图像可知，f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.
由>a>b>1得f>f(a)>f(b)，
而f＝＝|－lg c|＝|lg c|＝f(c)，
∴f(c)>f(a)>f(b).
能力提升
11.函数y＝x＋a与y＝logax的图像只可能是下图中的( )
解析 A中，由y＝x＋a的图像知a>1，而y＝logax为减函数，A错；B中，由y＝x＋a的图像知0答案 C
12.若函数f(x)为定义在R上的奇函数，且x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg(x＋1)，求f(x)的表达式，并画出大致图像.
解 ∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0.
又当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，
∴f(－x)＝lg(1－x).又f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝－lg(1－x)，
∴f(x)的解析式为f(x)＝
∴f(x)的大致图像如图所示：
创新猜想
13.(多空题)已知函数f(x)＝则f(f(－1))＝________；若f(f(x))＝x，则x的取值范围是________.
解析 f(－1)＝3－1>0，故f(f(－1))＝f(3－1)＝log33－1＝－1.
当x≤0时，f(x)＝3x>0，f(f(x))＝f(3x)＝log33x＝x；
当0当x＝1时，f(x)＝log31＝0，f(f(x))＝f(0)＝30＝1；
当x>1时，f(x)＝log3x>0，f(f(x))＝log3(log3x)≠x，故使f(f(x))＝x的x的取值范围是(－∞，1].
答案 －1 (－∞，1]
14.已知f(x)为定义在区间(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x.
(1)当x∈(－∞，0)时，求函数f(x)的解析式；
(2)在给出的坐标系中画出函数f(x)的图像，写出函数f(x)的单调区间，并指出单调性.
解 (1)设x∈(－∞，0)，则－x∈(0，＋∞)，
所以f(－x)＝log2(－x)，
又f(x)为定义在区间(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，得f(－x)＝f(x)，
所以f(x)＝log2(－x)(x∈(－∞，0)).
(2)函数图像如图.
f(x)的单调增区间是(0，＋∞)，单调减区间是(－∞，0).
课件31张PPT。4.2.3 对数函数的性质与图像
第一课时 对数函数的概念、性质与图像教材知识探究中科院古脊椎动物与古人类研究所的专家向外界确认，河南汝阳村李锤发现的“龙骨”实际上是一头距今已有8 000万至1亿年历史的黄河巨龙的肋骨.经过发掘、整理、还原模型，专家推断这条黄河巨龙活着的时候，体重应该在60吨左右，是迄今为止亚洲最高大、最肥胖的“亚洲龙王”.
同学们，你们知道专家是怎样依据化石估算出黄河巨龙的生
活年代的吗？那就让我们学习一种新的函数模型——对数函数来解决这个问题吧！提示 两个函数都是对数的真数作为函数的自变量.1. 的概念 其结构特征：①底a>0且a≠1，②真数是自变量x，③对数符号前面的系数为1
一般地，函数y＝logax称为对数函数，其中a是常数，a>0且a≠1.对数函数2.对数函数的图像和性质（0,+∞）R（1，0）y<0y>0y>0y<0增减 提示 对数函数中自变量x在真数的位置上，且x>0，所以错误.
2.函数y＝2log3x是对数函数.( )
提示 在解析式y＝logax(a>0且a≠1)中，logax的系数必须是1，所以错误.
3.函数y＝log3(x＋1)的定义域是(0，＋∞).( )
提示 由对数式y＝log3(x＋1)的真数x＋1>0可得x>－1，所以函数的定义域为(－1，＋∞)，所以错误.×××[微训练]
1.若对数函数的图像过点P(9，2)，则此对数函数的解析式为________.
解析 设对数函数为y＝logax(a>0且a≠1)，∴2＝loga9，∴a＝3，
∴解析式为y＝log3x.
答案 y＝log3x2.函数f(x)＝loga(2x－1)＋2的图像恒过定点________.
解析 令2x－1＝1，得x＝1，又f(1)＝2，故f(x)的图像恒过定点(1，2).
答案 (1，2)[微思考]
1.对数函数的解析式中的底数能否等于0或小于0?
提示 因为y＝logax?x＝ay，而在指数函数中底数a需要满足a>0且a≠1，故在对数函数解析式中a的取值范围不能等于0且不能小于0.
2.对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图像与y轴能相交吗？
提示 因为y＝logax的定义域为(0，＋∞)，所以其图像能与y轴无限接近，但不能相交.题型一 对数函数的概念及应用
【例1】 (1)下列函数表达式中，是①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；④y＝ln x；⑤y＝logx(x＋2)；⑥y＝2log4x；⑦y＝log2(x＋1).
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
(2)若对数函数f(x)的图像过点(4，－2)，则f(8)＝________.对数函数的有( )答案 (1)B (2)－3规律方法 判断一个函数是对数函数的方法【训练1】 若函数f(x)＝log(a＋1)x＋(a2－2a－8)是对数函数，则a＝________.答案 4题型二 与对数函数有关函数的定义域规律方法 求与对数函数有关的函数的定义域时应遵循的原则
(1)分母不能为0.
(2)根指数为偶数时，被开方数非负.
(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.解得x>2且x≠3.∴函数的定义域为(2，3)∪(3，＋∞).解得－1∴函数的定义域为(－1，0)∪(0，4).题型三 对数函数的【例3】 已知y＝lg x的图像如图所示，由图像作出y＝lg |x|和y＝|lg x|的图像，并解
答以下问题：图像问题先画出函数的图像，再研究函数具有的性质(1)函数y＝lg |x|( )
A.是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增
B.是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减
C.是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增
D.是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减
(2)函数f(x)＝|lg x|，若0f(b).
证明：ab<1.(1)解析 作出y＝lg |x|图像如图(1)所示.从图可以看出，选项B正确.
答案 B(2)证明 作出y＝|lg x|的图像如图(2)所示，由图可以看出，若0f(b)，此时有ab<1成立；
若0因为f(a)>f(b)，所以－lg a>lg b，即lg a＋lg b<0，
lg(ab)<0，所以ab<1；
若1f(b)相矛盾.
综上可知，若0f(b)时，ab<1.规律方法 (1)作y＝f(|x|)的图像时，保留y＝f(x)(x≥0)的图像不变，x<0时y＝f(|x|)的图像与y＝f(x)(x>0)的图像关于y轴对称.
(2)作y＝|f(x)|的图像时，保留y＝f(x)在x轴及上方图像不变，把x轴下方的图像以x轴为对称轴翻折上去即可.
(3)有关对数函数平移也符合“左加右减，上加下减”的规律.
(4)y＝f(－x)与y＝f(x)的图像关于y轴对称，y＝－f(x)与y＝f(x)的图像关于x轴对称，y＝－f(－x)与y＝f(x)的图像关于原点对称.【训练3】 (1)函数y＝loga(x＋2)＋1(a>0且a≠1)的图像过定点( )
A.(1，2) B.(2，1)
C.(－2，1) D.(－1，1)
(2)已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图像如图所示，则函数
g(x)＝b＋logax的图像大致是( )解析 (1)令x＋2＝1，即x＝－1，得y＝loga1＋1＝1，故函数y＝loga(x＋2)＋1的图像过定点(－1，1).
(2)由函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图像可知0答案 (1)D (2)D一、素养落地
1.通过学习对数函数的概念，培养数学抽象素养；通过运用函数的图像与简单的性质解决问题，提升直观想象素养及数学运算素养.
2.判断一个函数是不是对数函数，关键是分析所给函数是否具有y＝logax(a>0且a≠1)这种形式.
3.在对数函数y＝logax(a>0且a≠1)中，底数a对其图像直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图像和性质.
4.涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析.二、素养训练
1.下列函数是对数函数的是( )
A.y＝loga(2x) B.y＝log22x
C.y＝log2x＋1 D.y＝lg x
解析 选项A，B，C中的函数都不具有“y＝logax(a>0且a≠1)”的形式，只有D选项符合.
答案 D解析 由4－x2≥0得－2≤x≤2，∴A＝[－2，2].由1－x>0得x<1，∴B＝(－∞，1).∴A∩B＝[－2，1)，故选D.
答案 D3.若函数f(x)＝2loga(2－x)＋3(a>0，且a≠1)的图像过定点P，则点P的坐标是________.
解析 令2－x＝1，即x＝1，得y＝2loga1＋3＝3，故点P的坐标为(1，3).
答案 (1，3)4.已知f(x)＝log3x.
(1)作出这个函数的图像；
(2)当0f(2)的a值.
解 (1)作出函数y＝log3x的图像如图所示.(2)令f(x)＝f(2)，即log3x＝log32，解得x＝2.由如图所示的图像知：当0f(2)的a值.第二课时 对数函数及其性质的应用
课标要求
素养要求
1.进一步理解对数函数的图像和性质.
2.能运用对数函数的图像和性质解决相关问题.
通过本节课的学习，理解对数函数的性质，并能利用对数函数的性质解决比较对数式大小、求最值、解不等式等综合问题，提升数学抽象及数学运算素养.
教材知识探究
观察图形，回答下列问题：
图(1) 图(2)
问题1 观察图(1)所示的函数y＝log2x，y＝log0.5x，y＝log10x，y＝log0.1x的图像，你能得出什么结论？
提示 对于底数a>1的对数函数，在(1，＋∞)内，底数越大越靠近x轴；对于底数0问题2 函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx的图像如图(2)所示，那么a，b，c的大小关系如何？
提示 由图像可知a>1，b，c都大于0且小于1，由于y＝logbx的图像在(1，
＋∞)上比y＝logcx的图像靠近x轴，所以b1.y＝logaf(x)型函数性质的研究
(1)定义域：由f(x)>0解得x的取值范围，即为函数的定义域.
(2)值域：在函数y＝logaf(x)的定义域中确定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的单调性确定函数的值域.
(3)单调性：在定义域内考虑t＝f(x)与y＝logat的单调性，根据同增异减法则判定(或运用单调性定义判定).
(4)奇偶性：根据奇偶函数的定义判定.
(5)最值：在f(x)>0的条件下，确定t＝f(x)的值域，再根据a确定函数y＝logat的单调性，最后确定最值.
2.logaf(x)(1)讨论a与1的关系，确定单调性；
(2)转化为f(x)与g(x)的不等关系求解，且注意真数大于零.
教材拓展补遗
[微判断]
1.y＝log2x2在[0，＋∞)上为增函数.(×)
提示 函数y＝log2x2的定义域为{x|x≠0}.
2.y＝logx2在(0，＋∞)上为增函数.(×)
提示 函数y＝logx2在(0，＋∞)上为减函数.
3.ln x<1的解集为(－∞，e).(×)
提示 由ln x<1，解得0[微训练]
1.已知log7(2x)解析 由0<2x答案 (0，2)
2.若a＝log0.20.3，b＝log26，c＝log0.24，则a，b，c的大小关系为________.
解析 因为f(x)＝log0.2x在(0，＋∞)上为减函数，且0.2<0.3<1<4.则log0.20.2>log0.20.3>log0.21>log0.24，
即1>a>0>c.同理log26>log22＝1，可知结果.
答案 b>a>c
[微思考]
1.你能求出函数y＝log2(x2＋2x＋2)＋2的定义域、单调区间、值域吗？
提示 因为x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1>0恒成立，所以函数y＝log2(x2＋2x＋2)＋2的定义域为R.
令t＝x2＋2x＋2，所以函数t＝x2＋2x＋2的单调递增区间为(－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1).
故函数y＝log2(x2＋2x＋2)＋2的单调递增区间为(－1，＋∞)，单调递减区间为
(－∞，－1).
由以上的单调性可知，当x＝－1时，ymin＝2.
所以函数y＝log2(x2＋2x＋2)＋2的值域为[2，＋∞).
2.你能确定log24，log34，log0.24，log0.34的大小关系吗？
提示 在同一直角坐标系中，作出y＝log2x，y＝log3x，y＝log0.2x，y＝log0.3x的大致图像如图所示.
作出x＝4，可得log0.34题型一 比较对数值的大小
【例1】 (1)若a＝log23，b＝log32，c＝log46，则下列结论正确的是( )
A.bC.c(2)下列不等式成立的是(其中a>0且a≠1)( )
A.loga5.1log2.2
C.log1.1(a＋1)解析 (1)因为函数y＝log4x在(0，＋∞)上是增函数，故a＝log23＝log49>log46>1，log32<1，所以b(2)对于选项A，因为a和1的大小关系不确定，无法确定loga5.1与loga5.9的大小，故A不成立；对于选项B，因为y＝logx在(0，＋∞)上是减函数，所以成立；对于选项C，因为y＝log1.1x在(0，＋∞)上是增函数，所以不成立；对于选项D，log32.9>0，log0.52.2<0，故不成立，故选B.
答案 (1)D (2)B
规律方法 比较对数值大小时常用的四种方法
(1)同底数的利用对数函数的单调性.
(2)同真数的利用对数函数的图像或用换底公式转化.
(3)底数和真数都不同，找中间量.
(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.
【训练1】 比较下列各组中两个值的大小：
(1)log31.9，log32；
(2)log23，log0.32；
(3)logaπ，loga3.14(a>0且a≠1)；
(4)log30.2，log40.2.
解 (1)因为y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，
所以log31.9(2)因为log23>log21＝0，log0.32所以log23>log0.32.
(3)当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，则有logaπ>loga3.14；
当0则有logaπ综上所得，当a>1时，logaπ>loga3.14；当0logaπ(4)在同一直角坐标系中，作出y＝log3x，y＝log4x的图像(图像略)，再作出直线x＝0.2，观察图像可得log30.2题型二 解对数不等式
【例2】 若－10且a≠1)，求实数a的取值范围.
解 ∵－1∴loga当a>1时，0<<；
当0>a>0，则0故实数a的取值范围是∪.
规律方法 两类对数不等式的解法
(1)形如logaf(x)①当0g(x)>0；
②当a>1时，可转化为0(2)形如logaf(x)①当0ab；
②当a>1时，可转化为0【训练2】 已知log0.3(3x)A. B.
C. D.
解析 因为函数y＝log0.3x是(0，＋∞)上的减函数，所以原不等式等价于解得x>.
答案 A
题型三 对数型函数性质的综合应用
【例3】 已知函数f(x)＝loga(a>0且a≠1).
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)的奇偶性，并求函数的单调区间.
判断奇偶性时应注意定义域关于原点对称，然后再根据f(－x)与f(x)的关系进行判断
解 (1)要使此函数有意义，则有或
解得x>1或x<－1，故此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞).
(2)由(1)可得f(x)的定义域关于原点对称.
又∵f(－x)＝loga＝loga＝－loga＝－f(x)，∴f(x)为奇函数.
f(x)＝loga＝loga，
函数u＝1＋在区间(－∞，－1)和区间(1，＋∞)上单调递减，
所以当a>1时，f(x)＝loga的单调递减区间为
(－∞，－1)，(1，＋∞)，无单调递增区间；当0规律方法 形如y＝logaf(x)的函数的单调性
首先要确保f(x)>0，
当a>1时，y＝logaf(x)的单调性在f(x)>0的前提下与y＝f(x)的单调性一致.
当00的前提下与y＝f(x)的单调性相反.
【训练3】 已知f(x)＝log4(4x－1).
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)求f(x)在区间上的值域.
解 (1)由4x－1>0，解得x>0，
因此f(x)的定义域为(0，＋∞).
(2)设任意0因此log4(4x1－1)即f(x1)故f(x)在(0，＋∞)上递增.
(3)由(2)知f(x)在区间上递增，
又f＝0，f(2)＝log415，
因此f(x)在上的值域为[0，log415].
一、素养落地
1.通过利用对数函数的单调性解决比较对数式的大小问题，提升数学抽象素养；通过利用对数函数性质解决不等式及综合问题，提升数学运算素养.
2.比较两个对数值的大小及解对数不等式问题，其依据是对数函数的单调性.若对数的底数是字母且范围不明确，一般要分a>1和03.解决与对数函数相关的问题时要树立“定义域优先”的原则，同时注意数形结合思想和分类讨论思想在解决问题中的应用.
二、素养训练
1.设a＝log37，b＝21.1，c＝0.83.1，则( )
A.bC.c解析 ∵log33∵21.1>21，∴b>2.∵0<0.83.1<0.80，∴0即c答案 B
2.不等式log(2x＋3)A.(－∞，3) B.
C. D.
解析 由题意可得解得答案 D
3.设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则( )
A.aC.a解析 ∵1＝log55>log54>log53>log51＝0，
∴1>a＝log54>log53>b＝(log53)2.
又∵c＝log45>log44＝1，∴c>a>b.
答案 D
4.判断函数f(x)＝log2(＋x)的奇偶性.
解 易知f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，又f(－x)＋f(x)＝log2(－x)＋log2(＋x)＝log2(x2＋1－x2)＝log21＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数.
基础达标
一、选择题
1.若a＝20.2，b＝log43.2，c＝log20.5，则( )
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>a>b D.b>c>a
解析 ∵a＝20.2>1>b＝log43.2>0>c＝－1，∴a>b>c.
答案 A
2.函数f(x)＝logax(0A.0 B.1
C.2 D.a
解析 ∵0∴f(x)max＝f(a2)＝logaa2＝2.
答案 C
3.函数f(x)＝loga[(a－1)x＋1]在定义域上( )
A.是增函数 B.是减函数
C.先增后减 D.先减后增
解析 当a>1时，y＝logat和t＝(a－1)x＋1都是增函数，所以f(x)是增函数；当0答案 A
4.已知函数y＝log2(x2－2kx＋k)的值域为R，则k的取值范围是( )
A.(0，1) B.[0，1)
C.(－∞，0]∪[1，＋∞) D.[1，＋∞)∪{0}
解析 令t＝x2－2kx＋k，由y＝log2(x2－2kx＋k)的值域为R，得函数t＝x2－2kx＋k的图像一定恒与x轴有交点，所以Δ＝4k2－4k≥0，即k≤0或k≥1.
答案 C
5.已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝lg x，h(x)＝log3x，直线y＝a(a<0)与这三个函数图像的交点的横坐标分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是( )
A.x2C.x1解析 分别作出三个函数的大致图像，如图所示.
由图可知，x2答案 A
二、填空题
6.不等式log(4x＋2x＋1)>0的解集为________.
解析 由log(4x＋2x＋1)>0，得
4x＋2x＋1<1，即(2x)2＋2·2x<1，配方得(2x＋1)2<2，
所以2x<－1，两边取以2为底的对数，
得x答案 (－∞，log2(－1))
7.已知f(x)＝log(x2－ax＋3a)在区间[2，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是________.
解析 二次函数y＝x2－ax＋3a的对称轴为x＝，由已知，应有≤2，且满足当x≥2时，y＝x2－ax＋3a>0，即解得－4答案 (－4，4]
8.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，f＝0，则不等式f(logx)>0的解集为________________.
解析 ∵f(x)是R上的偶函数，
∴它的图像关于y轴对称.
∵f(x)在[0，＋∞)上为增函数，
∴f(x)在(－∞，0]上为减函数.
由f＝0，得f＝0，
函数的大致图像如图所示.
∴f(logx)>0?logx<－或logx>
?x>2或0答案 ∪(2，＋∞)
三、解答题
9.已知函数y＝f(x)的图像与g(x)＝logax(a>0且a≠1)的图像关于x轴对称，且g(x)的图像过点(9，2).
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若f(3x－1)>f(－x＋5)成立，求x的取值范围.
解 (1)∵g(x)＝logax(a>0且a≠1)的图像过点(9，2)，
∴loga9＝2，解得a＝3，∴g(x)＝log3x.
又∵函数y＝f(x)的图像与g(x)＝log3x的图像关于x轴对称，∴f(x)＝logx.
(2)由(1)知f(3x－1)>f(－x＋5)，即log(3x－1)>
log(－x＋5)，则解得∴x的取值范围为.
10.讨论函数f(x)＝loga(3x2－2x－1)的单调性.
解 由3x2－2x－1>0得函数的定义域为
.
则当a>1时，若x>1，则u＝3x2－2x－1为增函数，
∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)为增函数.
若x<－，则u＝3x2－2x－1为减函数，
∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)为减函数.
当0若x>1，则f(x)＝loga(3x2－2x－1)为减函数；
若x<－，则f(x)＝loga(3x2－2x－1)为增函数.
综上，当a>1时，f(x)在(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减；
当0能力提升
11.若a>1，且logx1＝logax2＝loga＋1x3<0，则x1，x2，x3的大小关系是( )
A.x1C.x3解析 因为logx1＝logax2＝loga＋1x3<0，
所以＝＝<0，
因为a>1，则lg <0，lg(a＋1)>lg a>0，
所以lg x1>0，lg x2<0，lg x3<0，且lg x2>lg x3，所以x1>1，0答案 C
12.已知函数f(x)＝＋的定义域为A.
(1)求集合A；
(2)若函数g(x)＝(log2x)2－2log2x－1，且x∈A，求函数g(x)的最大值、最小值和对应的x值.
解 (1)要使f(x)有意义，需满足所以 所以≤x≤4，所以集合A＝.
(2)设t＝log2x，因为x∈，所以t∈[－1，2]，
所以y＝t2－2t－1，t∈[－1，2].
因为y＝t2－2t－1＝(t－1)2－2的对称轴为t＝1∈[－1，2]，
所以当t＝1时，y有最小值－2.
所以当t＝－1时，y有最大值2.
所以当x＝2时，g(x)的最小值为－2.
当x＝时，g(x)的最大值为2.
创新猜想
13.(多空题)已知f(x)＝log，若f(x)在(－1，2)上单调递减，则实数m的取值范围是________；当m＝________时，f(x)的单调减区间的长度最小.
解析 若函数f(x)＝log在(－1，2)上单调递减，
则令t＝－mx－x2，知其在(－1，2)上单调递增，且恒为正.
由t＝－mx－x2的图像开口向下，且以直线x＝－为对称轴，
得解得－≤m≤－4.
对于t＝－mx－x2，
由Δ>0，即(－m)2＋4×>0知m∈R，
单调减区间的长度＝，∴当m＝0时，单调减区间的长度最小为.
答案
14.已知函数f(x)＝log的图像关于原点对称，其中a为常数.
(1)求a的值；
(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log(x－1)解 (1)∵函数f(x)的图像关于原点对称，
∴函数f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
即log＝－log＝log，
解得a＝－1或a＝1(舍).
(2)由(1)知，f(x)＝log，故f(x)＋log(x－1)＝log＋log(x－1)＝log(1＋x)，
当x>1时，log(1＋x)<－1.
∵当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log(x－1)∴m≥－1，即m的取值范围为[－1，＋∞).
课件29张PPT。第二课时 对数函数及其性质的应用教材知识探究观察图形，回答下列问题：图(1) 图(2)问题1 观察图(1)所示的函数y＝log2x，y＝log0.5x，y＝log10x，y＝log0.1x的图像，你能得出什么结论？
提示 对于底数a>1的对数函数，在(1，＋∞)内，底数越大越靠近x轴；对于底数0问题2 函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx的图像如图(2)所示，那么a，b，c的大小关系如何？
提示 由图像可知a>1，b，c都大于0且小于1，由于y＝logbx的图像在(1，＋∞)上比y＝logcx的图像靠近x轴，所以b (1)定义域：由f(x)>0解得x的取值范围，即为函数的定义域.
(2)值域：在函数y＝logaf(x)的定义域中确定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的单调性确定函数的值域.
(3)单调性：在定义域内考虑t＝f(x)与y＝logat的单调性，根据 法则判定(或运用单调性定义判定).
(4)奇偶性：根据奇偶函数的定义判定.
(5)最值：在f(x)>0的条件下，确定t＝f(x)的值域，再根据a确定函数y＝logat的单调性，最后确定最值.同增异减2.logaf(x) (1)讨论a与1的关系，确定单调性；
(2)转化为f(x)与g(x)的不等关系求解，且注意真数大于零.教材拓展补遗
[微判断]
1.y＝log2x2在[0，＋∞)上为增函数.( )
提示 函数y＝log2x2的定义域为{x|x≠0}.3.ln x<1的解集为(－∞，e).( )
提示 由ln x<1，解得01.已知log7(2x) 解析 由0<2x 答案 (0，2)
2.若a＝log0.20.3，b＝log26，c＝log0.24，则a，b，c的大小关系为________.
解析 因为f(x)＝log0.2x在(0，＋∞)上为减函数，且0.2<0.3<1<4.则log0.20.2>log0.20.3>log0.21>log0.24，
即1>a>0>c.同理log26>log22＝1，可知结果.
答案 b>a>c[微思考]
1.你能求出函数y＝log2(x2＋2x＋2)＋2的定义域、单调区间、值域吗？
提示 因为x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1>0恒成立，所以函数y＝log2(x2＋2x＋2)＋2的定义域为R.
令t＝x2＋2x＋2，所以函数t＝x2＋2x＋2的单调递增区间为(－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1).
故函数y＝log2(x2＋2x＋2)＋2的单调递增区间为(－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1).
由以上的单调性可知，当x＝－1时，ymin＝2.
所以函数y＝log2(x2＋2x＋2)＋2的值域为[2，＋∞).2.你能确定log24，log34，log0.24，log0.34的大小关系吗？
提示 在同一直角坐标系中，作出y＝log2x，y＝log3x，y＝log0.2x，y＝log0.3x的大致图像如图所示.作出x＝4，可得log0.34log46>1，log32<1，所以b(1)同底数的利用对数函数的单调性.
(2)同真数的利用对数函数的图像或用换底公式转化.
(3)底数和真数都不同，找中间量.
(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.【训练1】 比较下列各组中两个值的大小：
(1)log31.9，log32；
(2)log23，log0.32；
(3)logaπ，loga3.14(a>0且a≠1)；
(4)log30.2，log40.2.
解 (1)因为y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，
所以log31.9log21＝0，log0.32log0.32.
(3)当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，则有logaπ>loga3.14；
当0则有logaπ综上所得，当a>1时，logaπ>loga3.14；当0logaπ(4)在同一直角坐标系中，作出y＝log3x，y＝log4x的图像(图像略)，再作出直线x＝0.2，观察图像可得log30.21和0(1)形如logaf(x)①当0g(x)>0；
②当a>1时，可转化为0(2)形如logaf(x)①当0ab；
②当a>1时，可转化为01或x<－1，故此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞).判断奇偶性时应注意定义域关于原点对称，然后再根据f(－x)与f(x)的关系进行判断(2)判断函数f(x)的奇偶性，并求函数的单调区间.规律方法 形如y＝logaf(x)的函数的单调性
首先要确保f(x)>0，
当a>1时，y＝logaf(x)的单调性在f(x)>0的前提下与y＝f(x)的单调性一致.
当00的前提下与y＝f(x)的单调性相反.解 (1)由4x－1>0，解得x>0，
因此f(x)的定义域为(0，＋∞).
(2)设任意0因此log4(4x1－1)即f(x1)故f(x)在(0，＋∞)上递增.一、素养落地
1.通过利用对数函数的单调性解决比较对数式的大小问题，提升数学抽象素养；通过利用对数函数性质解决不等式及综合问题，提升数学运算素养.
2.比较两个对数值的大小及解对数不等式问题，其依据是对数函数的单调性.若对数的底数是字母且范围不明确，一般要分a>1和03.解决与对数函数相关的问题时要树立“定义域优先”的原则，同时注意数形结合思想和分类讨论思想在解决问题中的应用.二、素养训练
1.设a＝log37，b＝21.1，c＝0.83.1，则( )
A.b C.c 解析 ∵log33 ∵21.1>21，∴b>2.∵0<0.83.1<0.80，∴0 即c 答案 B答案 D3.设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则( )
A.a C.a 解析 ∵1＝log55>log54>log53>log51＝0，
∴1>a＝log54>log53>b＝(log53)2.
又∵c＝log45>log44＝1，∴c>a>b.
答案 D