4.3 指数函数与对数函数的关系
课标要求
素养要求
1.理解反函数的概念，了解存在反函数的条件，会求简单函数的反函数.
2.理解互为反函数图像间的关系.
3.知道指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a>0且a≠1).
1.通过学习反函数的概念，提升数学抽象素养.
2.通过求反函数，提升数学运算素养.
3.通过互为反函数图像间关系的应用，提升直观想象素养.
教材知识探究
图中给出了指数函数y＝2x、对数函数y＝log2x的图像，解决下面的问题：
问题1 y＝2x图像上的点(0，1)与y＝log2x图像上的点(1，0)关于哪一条直线对称？
问题2 y＝2x图像上任一点关于直线y＝x的对称点都在y＝log2x的图像上吗？反过来，y＝log2x图像上任一点关于直线y＝x的对称点都在y＝2x的图像上吗？
问题3 y＝2x与y＝log2x的图像是否关于直线y＝x对称？
问题4 如何由y＝2x变换出y＝log2x?
提示1 关于直线y＝x对称.
提示2 都在y＝log2x的图像上，都在y＝2x的图像上.
提示3 关于直线y＝x对称.
提示4 y＝2xx＝log2yy＝log2x.
1.反函数的概念 判断函数y＝f(x)是否存在反函数的依据
(1)一般地，如果在函数y＝f(x)中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y＝f(x)的反函数.此时，称y＝f(x)存在反函数，可以记作x＝f－1(y).
(2)一般地，对于函数y＝f(x)的反函数x＝f－1(y)，习惯上反函数的自变量仍用x表示，因变量仍用y表示，则函数y＝f(x)的反函数记作y＝f－1(x).
2.求反函数的两种方法
(1)可以通过对调y＝f(x)中的x与y，然后从x＝f(y)中求出y得到反函数y＝f－1(x).
(2)从y＝f(x)反解得到x＝f－1(y)，然后把x＝f－1(y)中的x，y对调得到y＝f－1(x).
3.互为反函数的图像与性质
(1)图像 对称的原因：x，y互换
y＝f(x)与y＝f－1(x)的图像关于直线y＝x对称.
(2)性质
①y＝f(x)的定义域与y＝f－1(x)的值域相同，y＝f(x)的值域与y＝f－1(x)的定义域相同.
②如果y＝f(x)是单调函数，那么它的反函数y＝f－1(x)一定存在.此时，如果y＝f(x)是增函数，则y＝f－1(x)也是增函数；如果y＝f(x)是减函数，则y＝f－1(x)也是减函数.
教材拓展补遗
[微判断]
1.任意一个函数都有反函数.(×)
提示 函数y＝x2(x∈R)的反函数不存在.
2.y＝2x与y＝log3x互为反函数.(×)
提示 y＝2x与y＝log2x互为反函数.
3.若函数y＝x2(x≥a)存在反函数，则a的取值范围是[0，＋∞).(√)
[微训练]
1.若函数y＝与y＝logax互为反函数，则a＝________.
解析 由题意知，a＝.
答案
2.函数y＝f(x)的反函数存在，若点(2，1)在y＝f(x)的图像上，则其反函数一定过点________.
解析 由互为反函数的图像关于直线y＝x对称，∴(2，1)关于y＝x的对称点(1，2)一定在其反函数的图像上.
答案 (1，2)
3.函数y＝ln(2x)的反函数是________.
解析 对y＝ln(2x)中x，y互换得x＝ln(2y)，即2y＝ex，y＝ex.
答案 y＝ex
[微思考]
1.若函数y＝f(x)的反函数存在，指出y＝f(x)，x＝f－1(y)，y＝f－1(x)图像间的关系.
提示 y＝f(x)与x＝f－1(y)的图像相同；y＝f(x)，x＝f－1(y)它们的图像与y＝f－1(x)的图像关于直线y＝x对称.
2.若函数y＝f(x)存在反函数，y＝f(x)一定具有单调性吗？
提示 y＝f(x)不一定具有单调性，如y＝2x存在反函数，它是增函数，y＝存在反函数，但y＝不是单调函数.
题型一 反函数的概念
【例1】 判定下列函数是否存在反函数？
(1)
x
1
2
3
4
5
f(x)
0
0
1
3
5
(2)函数y＝f(x)的图像是如图所示的三点A，B，C.
解 (1)∵f(x)＝0时，x＝1或x＝2，即对应的x不唯一，因此f(x)的反函数不存在.
(2)由图可知函数y＝f(x)的定义域为{－1，1，2}，值域为{－1，1，－2}，且对值域中的任一个值，在定义域中都有唯一的x值与之对应，所以y＝f(x)存在反函数.
规律方法 判定存在反函数的方法
(1)用定义：若函数y＝f(x)值域中任一个y的值，在定义域中有唯一的x与之对应，则此函数的反函数存在，否则，反函数不存在.
(2)用单调性：若函数y＝f(x)在定义域上单调，则它的反函数存在.
【训练1】 判定下列函数的反函数是否存在
(1)
x
1
2
3
4
5
g(x)
－1
0
1
－2
5
(2)函数y＝f(x)的图像是如图所示的三点A，B，C.
解 (1)因为对g(x)的值域{－1，0，1，－2，5}中任意一个值，都只有唯一的x与之对应，因此g(x)的反函数g－1(x)存在.
(2)由y＝f(x)的图像知当y＝1时，与之对应的x＝－1或x＝3，即与y＝1对应的x的值不唯一，所以此函数的反函数不存在.
题型二 求反函数
【例2】 求下列函数的反函数. 要先确定原函数的值域
(1)y＝2x＋1(x∈R)；
(2)y＝1＋ln(x－1)(x>1)；
(3)y＝(x∈R且x≠－1).
解析 (1)函数y＝2x＋1，当x∈R时，y>0.
方法一 ∵x＋1＝log2y，∴x＝－1＋log2y，x，y互换得反函数为y＝－1＋log2x(x>0).
方法二 对y＝2x＋1中的x，y互换得x＝2y＋1，∴y＋1＝log2x，即反函数为y＝
－1＋log2x(x>0).
(2)由y＝1＋ln(x－1)，得x＝ey－1＋1，又由x>1，知y∈R，∴反函数为y＝ex－1＋1(x∈R).
(3)y＝＝1＋(x∈R且x≠－1)，
∴y∈R且y≠1.
对y＝，x，y互换得x＝，∴反函数为y＝(x∈R且x≠1).
规律方法 1.求反函数时，要先确定原函数的值域.
2.两种方法：x，y先互换，再求y与先求x，再x，y互换.
3.最后要注明反函数的定义域.
【训练2】 求下列函数的反函数.
(1)y＝(1≤x≤2)；
(2)y＝x2－1(x≤0)；
(3)y＝log2(x>0).
解 (1)∵1≤x≤2，∴0≤2x－x2≤1，∴y∈[0，1].
∵y＝，∴y2＝2x－x2，－(x－1)2＝y2－1，(x－1)2＝1－y2.∵x∈[1，2]，∴x－1＝，∴反函数为y＝1＋(0≤x≤1).
(2)∵y＝x2－1(x≤0)，∴y≥－1.
∴x＝－，x，y互换得反函数为y＝－(x≥－1).
(3)∵x>0，∴1＋>1，y＝log2>0，∴1＋＝2y，即x＝，x，y互换得反函数为y＝(x>0).
题型三 互为反函数的图像与性质的应用
【例3】 (1)若函数y＝的图像关于直线y＝x对称，则常数a的值等于________.
(2)记f(x)＝log3(x＋1)的反函数为y＝f－1(x)，则方程f－1(x)＝8的解x＝________.
解析 (1)可求得函数y＝的反函数是y＝，
∵自身图像关于y＝x对称，即反函数是函数自身，
∴＝，可得a＝－1.
(2)∵f－1(x)＝8，∴x＝f(8)＝log3(8＋1)＝2.
答案 (1)－1 (2)2
规律方法 (1)若一个函数的图像关于直线y＝x对称，则其反函数与原函数相同.
(2)y＝f(a)存在反函数y＝f－1(x)，若f(a)＝b，则f－1(b)＝a.
(3)互为反函数的两函数若具有单调性，则它们的单调性相同.
【训练3】 (1)对任意不等于1的正数a，函数f(x)＝loga(x＋3)的反函数图像都过点P，则点P的坐标是________；
(2)设f－1(x)是函数f(x)＝log2(x＋1)的反函数，若[1＋f－1(a)][1＋f－1(b)]＝8，则f(a＋b)＝________.
解析 (1)当x＝－2时，f(x)＝loga(－2＋3)＝0，∴f(x)恒过(－2，0)点，即反函数图像恒过点(0，－2).
(2)∵f－1(x)＝2x－1，∴[1＋f－1(a)][1＋f－1(b)]＝2a·2b＝2a＋b＝8.∴a＋b＝3，∴f(a＋b)＝log2(3＋1)＝log24＝2.
答案 (1)(0，－2) (2)2
一、素养落地
1.通过运用反函数的概念，提升数学抽象素养；通过求解反函数，提升数学运算素养；通过互为反函数的图像和性质的应用，提升直观想象和逻辑推理素养.
2.判断一个函数是否存在反函数或求反函数时，均需明确原函数的值域.
3.若函数y＝f(x)(定义域为A，值域为B)存在反函数y＝f－1(x)，则
(1)y＝f(x)与y＝f－1(x)的图像不一定有交点，若有交点，它们的交点不一定在直线y＝x上.
(2)若b＝f(a)，则a＝f－1(b)，f－1[f(a)]＝a，f[f－1(b)]＝b.
(3)若f(x)＝f－1(x)?f(x)的图像关于直线y＝x对称.
二、素养训练
1.函数y＝(x≥－1)的反函数为( )
A.y＝x2－1(x≥0) B.y＝x2－1(x≥1)
C.y＝x2＋1(x≥0) D.y＝x2＋1(x≥1)
解析 ∵x≥－1，∴y＝≥0，y2＝x＋1，x＝y2－1，x，y互换得反函数y＝x2－1(x≥0).
答案 A
2.函数f(x)＝log4(x＋1)的反函数f－1(x)＝________.
解析 由y＝log4(x＋1)得x＋1＝4y，x＝4y－1，∴反函数为f－1(x)＝4x－1.
答案 4x－1
3.设函数f(x)的图像关于点(1，2)对称，且存在反函数f－1(x)，f(4)＝0，则f－1(4)＝________.
解析 ∵f(x)的图像关于点(1，2)对称，且f(4)＝0，点(4，0)关于(1，2)的对称点为(－2，4)，又∵f(x)存在反函数f－1(x)，从而f－1(4)＝－2.
答案 －2
4.(1)举出一个例子，要求这个函数有反函数并且它们的交点在直线y＝x上.
(2)举出一个例子，要求这个函数有反函数且它们的交点不在直线y＝x上.
(3)举出一个例子，要求这个函数有反函数且它们的交点有的在直线y＝x上，有的不在直线y＝x上.
(4)举出一个例子，要求这个函数有反函数且它们的交点为直线y＝x上的任意一点.
解 (1)如y＝2x－1.(2)如y＝－.(3)如y＝－x.
(4)如y＝x.
基础达标
一、选择题
1.函数y＝(x≠－5)的反函数是( )
A.y＝－5(x≠0) B.y＝x＋5(x∈R)
C.y＝＋5(x≠0) D.y＝x－5(x∈R)
解析 ∵y＝(x≠－5)，∴y≠0，
∴xy＋5y＝1，∴x＝－5，∴y＝(x≠－5)的反函数为y＝－5(x≠0).
答案 A
2.记函数y＝1＋3－x的反函数为y＝g(x)，则g(10)等于( )
A.2 B.－2
C.3 D.－1
解析 由于y＝g(x)为y＝1＋3－x的反函数，故求g(10)即求1＋3－x＝10的x的值，解得x＝－2.
答案 B
3.函数y＝(x≠0)的反函数的图像大致是( )
解析 y＝(x≠0)的反函数为y＝(x≠－1)，其图像为y＝的图像向左平移1个单位长度.
答案 B
4.函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1，2]上存在反函数的充要条件是( )
A.a∈(－∞，1] B.a∈[2，＋∞)
C.a∈[1，2] D.a∈(－∞，1]∪[2，＋∞)
解析 ∵f(x)＝x2－2ax－3的对称轴为x＝a，∴y＝f(x)在[1，2]上存在反函数的充要条件为[1，2]?(－∞，a]或[1，2]?[a，＋∞)，即a≥2或a≤1.
答案 D
5.设k>1，f(x)＝k(x－1)(x∈R)，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝f(x)的图像与x轴交于A点，它的反函数y＝f－1(x)的图像与y轴交于B点，并且这两个函数的图像交于P点，已知四边形OAPB的面积是3，则k等于( )
A.3 B.
C. D.
解析 如图，S四边形OAPB＝3，且在四边形OAPB中，连接OP，则△OAP≌△OBP，故S△OAP＝.
∵A为f(x)＝k(x－1)与x轴的交点，∴A(1，0).
设P(x，y)，则∴x＝kx－k，∴x＝y＝>0(∵k>1)，∴S△OAP＝|OA|·|y|＝×1×＝，解得k＝.
答案 B
二、填空题
6.函数f(x)＝－x2(x∈(－∞，－2])的反函数f－1(x)＝________.
解析 由y＝－x2，x∈(－∞，－2]，得y∈(－∞，－4]，∴x＝－，即f－1(x)＝－，x∈(－∞，－4].
答案 －，x∈(－∞，－4]
7.函数f(x)＝log3(x＋3)的反函数的图像与y轴的交点坐标是________.
解析 方法一 函数f(x)＝log3(x＋3)的反函数为y＝f－1(x)＝3x－3，所以与y轴的交点为(0，－2).
方法二 设所求交点为(0，b).由反函数的定义知(b，0)即为函数y＝log3(x＋3)与x轴的交点，所以有log3(b＋3)＝0，∴b＝－2，故交点为(0，－2).
答案 (0，－2)
8.已知函数y＝f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)＝3x－1，设f(x)的反函数是y＝g(x)，则g(－8)＝________.
解析 当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝3－x－1，
又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝－3－x＋1，
∴f(x)＝
又由y＝f(x)与y＝g(x)互为反函数，可知求g(－8)即求f(x)＝－8时的x.
当x≥0时，f(x)＝－8，即3x－1＝－8，
∴3x＝－7<0无解.
当x<0时，f(x)＝－8即－3－x＋1＝－8，
∴x＝－2，即g(－8)＝－2.
答案 －2
三、解答题
9.求下列函数的反函数.
(1)y＝ln(x∈(1，＋∞)).
(2)y＝(x∈R且x≠－).
解 (1)∵y＝ln ，∴＝ey，∴x＝，
又＝1＋(x>1)，
∴>1，ln >0.
因此y＝ln (x∈(1，＋∞))的反函数为y＝(x>0).
(2)∵y＝，∴y＋2xy＝1－2x，∴(2y＋2)x＝1－y，∴x＝，∴反函数为y＝(x∈R，x≠－1).
10.在同一平面直角坐标系中，函数y＝f(x)和y＝g(x)的图像关于直线y＝x对称，现将y＝g(x)的图像沿x轴向左平移2个单位长度，再沿y轴向上平移1个单位长度，所得的图像是由两条线段组成的折线(如图)，求f(x)的表达式.
解 由题图知，g(x)的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后，所得函数的解析式为y＝再把该函数图像向下平移一个单位长度，向右平移两个单位长度后得到g(x)＝再求g(x)的反函数，得到f(x)＝
能力提升
11.函数y＝f(x)的图像与函数y＝g(x)的图像关于直线y＋x＝0对称，则y＝f(x)的反函数是( )
A.y＝g(x) B.y＝g(－x)
C.y＝－g(x) D.y＝－g(－x)
解析 假设y＝f(x)的反函数为y＝k(x)，则y＝k(x)与y＝f(x)的图像关于直线y＝x对称，又函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图像关于直线x＋y＝0对称，∴y＝k(x)与y＝g(x)的图像关于原点对称，故y＝f(x)的反函数为y＝－g(－x).
答案 D
12.设f－1(x)是函数f(x)＝(ax－a－x)(a>1)的反函数，求使f－1(x)>1成立的x的取值范围.
解 方法一 由已知得f－1(x)＝loga(x＋)>1＝logaa，
∴x＋>a，∴>a－x，
又>a－x?a－x≤0或解得x>.故所求x的取值范围为.
方法二 f(x)＝(ax－a－x)(a>1)，
当a>1时，y＝ax单调递增，y＝a－x单调递减，∴f(x)＝(ax－a－x)单调递增，
∴f－1(x)也单调递增，f－1(x)>1说明反函数的值域是(1，＋∞)，即原函数的定义域是(1，＋∞)，
求f－1(x)>1中x的取值范围，即求反函数的x的取值范围，只要求原函数f(x)在(1，＋∞)上的值域，
又f(x)单调递增，∴f(x)>f(1)即f(x)>，
∴f－1(x)>1中的x>.
故所求x的取值范围为.
创新猜想
13.(开放题)把下面不完整的命题补充完整，并使其成为真命题.
若函数f(x)＝3＋log2x的图像与g(x)的图像关于________对称，则函数g(x)＝________.(注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形)
答案 ①x轴，－3－log2x
②y轴，3＋log2(－x)
③原点，－3－log2(－x)
④直线y＝x，2x－3等(答案不唯一，写出符合题意的一种即可)
14.已知x1满足2x＋2x＝5，x2满足2x＋2log2(x－1)＝5，求x1＋x2的值.
解 由2x＋2x＝5，得2x＝5－2x，2x－1＝.由2x＋2log2(x－1)＝5，得log2(x－1)＝.令x′＝x－1，得2x′＝，log2x′＝，又y＝2x′与y＝log2x′互为反函数，图像关于y＝x′对称，令y＝2x′与y＝交点为A(x1′，y1)，y＝log2x′与y＝交点为B(x2′，y2)，则A与B关于y＝x′对称，AB中点C(x0′，y0)即为直线y＝与y＝x′的交点，易知x0′＝，∴x1′＋x2′＝，∴x1－1＋x2－1＝，故x1＋x2＝.
课件29张PPT。4.3 指数函数与对数函数的关系教材知识探究图中给出了指数函数y＝2x、对数函数y＝log2x的图像，解决下面的问题：
问题1 y＝2x图像上的点(0，1)与y＝log2x图像上的点(1，0)关于哪一条直线对称？
问题2 y＝2x图像上任一点关于直线y＝x的对称点都在y＝log2x的图像上吗？反过来，y＝log2x图像上任一点关于直线y＝x的对称点都在y＝2x的图像上吗？问题3 y＝2x与y＝log2x的图像是否关于直线y＝x对称？
问题4 如何由y＝2x变换出y＝log2x?
提示1 关于直线y＝x对称.
提示2 都在y＝log2x的图像上，都在y＝2x的图像上.
提示3 关于直线y＝x对称.1.反函数的概念(1)一般地，如果在函数y＝f(x)中，给定值域中 的值，只有 的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y＝f(x)的反函数.此时，称y＝f(x)存在反函数，可以记作x＝f－1(y).
(2)一般地，对于函数y＝f(x)的反函数x＝f－1(y)，习惯上反函数的自变量仍用x表示，因变量仍用y表示，则函数y＝f(x)的反函数记作y＝f－1(x).判断函数y＝f(x)是否存在反函数的依据任意一个y唯一2.求反函数的两种方法
(1)可以通过对调y＝f(x)中的x与y，然后从x＝f(y)中求出y得到反函数y＝f－1(x).
(2)从y＝f(x)反解得到x＝f－1(y)，然后把x＝f－1(y)中的x，y对调得到y＝f－1(x).3.互为反函数的图像与性质
(1)y＝f(x)与y＝f－1(x)的图像关于直线 对称.
(2)性质
①y＝f(x)的定义域与y＝f－1(x)的 相同，y＝f(x)的值域与y＝f－1(x)的
相同.
②如果y＝f(x)是单调函数，那么它的反函数y＝f－1(x)一定存在.此时，如果y＝f(x)是增函数，则y＝f－1(x)也是 ；如果y＝f(x)是 ，则y＝f－1(x)也是减函数.图像对称的原因：x，y互换y=x值域定义域增函数减函数教材拓展补遗
[微判断]
1.任意一个函数都有反函数.( )
提示 函数y＝x2(x∈R)的反函数不存在.
2.y＝2x与y＝log3x互为反函数.( )
提示 y＝2x与y＝log2x互为反函数.
3.若函数y＝x2(x≥a)存在反函数，则a的取值范围是[0，＋∞).( )××√2.函数y＝f(x)的反函数存在，若点(2，1)在y＝f(x)的图像上，则其反函数一定过点________.
解析 由互为反函数的图像关于直线y＝x对称，∴(2，1)关于y＝x的对称点(1，2)一定在其反函数的图像上.
答案 (1，2)3.函数y＝ln(2x)的反函数是________.[微思考]
1.若函数y＝f(x)的反函数存在，指出y＝f(x)，x＝f－1(y)，y＝f－1(x)图像间的关系.
提示 y＝f(x)与x＝f－1(y)的图像相同；y＝f(x)，x＝f－1(y)它们的图像与y＝f－1(x)的图像关于直线y＝x对称.2.若函数y＝f(x)存在反函数，y＝f(x)一定具有单调性吗？题型一 反函数的概念
【例1】 判定下列函数(1)是否存在反函数？关键是判定值域中的任意一个y的值，是否只有唯一的x与之对应(2)函数y＝f(x)的图像是如图所示的三点A，B，C.解 (1)∵f(x)＝0时，x＝1或x＝2，即对应的x不唯一，因此f(x)的反函数不存在.
(2)由图可知函数y＝f(x)的定义域为{－1，1，2}，值域为{－1，1，－2}，且对值域中的任一个值，在定义域中都有唯一的x值与之对应，所以y＝f(x)存在反函数.规律方法 判定存在反函数的方法
(1)用定义：若函数y＝f(x)值域中任一个y的值，在定义域中有唯一的x与之对应，则此函数的反函数存在，否则，反函数不存在.
(2)用单调性：若函数y＝f(x)在定义域上单调，则它的反函数存在.【训练1】 判定下列函数的反函数是否存在
(1) (2)函数y＝f(x)的图像是如图所示的三点A，B，C.解 (1)因为对g(x)的值域{－1，0，1，－2，5}中任意一个值，都只有唯一的x与之对应，因此g(x)的反函数g－1(x)存在.
(2)由y＝f(x)的图像知当y＝1时，与之对应的x＝－1或x＝3，即与y＝1对应的x的值不唯一，所以此函数的反函数不存在.题型二 求反函数
【例2】 求下列函数的解析 (1)函数y＝2x＋1，当x∈R时，y>0.
方法一 ∵x＋1＝log2y，∴x＝－1＋log2y，x，y互换得反函数为y＝－1＋log2x(x>0).反函数.要先确定原函数的值域方法二 对y＝2x＋1中的x，y互换得x＝2y＋1，∴y＋1＝log2x，即反函数为y＝－1＋log2x(x>0).
(2)由y＝1＋ln(x－1)，得x＝ey－1＋1，又由x>1，知y∈R，∴反函数为y＝ex－1＋1(x∈R).∴y∈R且y≠1.规律方法 1.求反函数时，要先确定原函数的值域.
2.两种方法：x，y先互换，再求y与先求x，再x，y互换.
3.最后要注明反函数的定义域.解 (1)∵1≤x≤2，∴0≤2x－x2≤1，∴y∈[0，1].(2)∵y＝x2－1(x≤0)，∴y≥－1.(2)∵f－1(x)＝8，∴x＝f(8)＝log3(8＋1)＝2.
答案 (1)－1 (2)2规律方法 (1)若一个函数的图像关于直线y＝x对称，则其反函数与原函数相同.
(2)y＝f(a)存在反函数y＝f－1(x)，若f(a)＝b，则f－1(b)＝a.
(3)互为反函数的两函数若具有单调性，则它们的单调性相同.【训练3】 (1)对任意不等于1的正数a，函数f(x)＝loga(x＋3)的反函数图像都过点P，则点P的坐标是________；
(2)设f－1(x)是函数f(x)＝log2(x＋1)的反函数，若[1＋f－1(a)][1＋f－1(b)]＝8，则f(a＋b)＝________.
解析 (1)当x＝－2时，f(x)＝loga(－2＋3)＝0，∴f(x)恒过(－2，0)点，即反函数图像恒过点(0，－2).
(2)∵f－1(x)＝2x－1，∴[1＋f－1(a)][1＋f－1(b)]＝2a·2b＝2a＋b＝8.∴a＋b＝3，∴f(a＋b)＝log2(3＋1)＝log24＝2.
答案 (1)(0，－2) (2)2一、素养落地
1.通过运用反函数的概念，提升数学抽象素养；通过求解反函数，提升数学运算素养；通过互为反函数的图像和性质的应用，提升直观想象和逻辑推理素养.
2.判断一个函数是否存在反函数或求反函数时，均需明确原函数的值域.
3.若函数y＝f(x)(定义域为A，值域为B)存在反函数y＝f－1(x)，则
(1)y＝f(x)与y＝f－1(x)的图像不一定有交点，若有交点，它们的交点不一定在直线y＝x上.
(2)若b＝f(a)，则a＝f－1(b)，f－1[f(a)]＝a，f[f－1(b)]＝b.
(3)若f(x)＝f－1(x)?f(x)的图像关于直线y＝x对称.答案 A2.函数f(x)＝log4(x＋1)的反函数f－1(x)＝________.
解析 由y＝log4(x＋1)得x＋1＝4y，x＝4y－1，∴反函数为f－1(x)＝4x－1.
答案 4x－1
3.设函数f(x)的图像关于点(1，2)对称，且存在反函数f－1(x)，f(4)＝0，则f－1(4)＝________.
解析 ∵f(x)的图像关于点(1，2)对称，且f(4)＝0，点(4，0)关于(1，2)的对称点为
(－2，4)，又∵f(x)存在反函数f－1(x)，从而f－1(4)＝－2.
答案 －24.(1)举出一个例子，要求这个函数有反函数并且它们的交点在直线y＝x上.
(2)举出一个例子，要求这个函数有反函数且它们的交点不在直线y＝x上.
(3)举出一个例子，要求这个函数有反函数且它们的交点有的在直线y＝x上，有的不在直线y＝x上.
(4)举出一个例子，要求这个函数有反函数且它们的交点为直线y＝x上的任意一点.
