4.5 增长速度的比较
课标要求
素养要求
1.能利用函数的平均变化率，说明函数的增长速度.
2.比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”、“直线上升”、“指数爆炸”等术语的现实含义.
通过本节课的学习，使学生体会常见函数的增长速度，提升学生数学抽象、逻辑推理等素养.
教材知识探究
杰米是百万富翁，一天，他碰到一件奇怪的事，一个叫韦伯的人对他说：“我想和你订个合同，我将在整整一个月中(这个月有31天)，每天给你10万元，而你第一天只需给我1分钱，以后你每天给我的钱是前一天的两倍.”杰米说：“真的？你说话算数？”
合同开始生效了，杰米欣喜若狂.第一天杰米支出1分钱，收入10万元.第二天杰米支出2分钱，收入10万元，到了第10天，杰米共得100万元，而总共才付出10元2角3分.到了第20天，杰米共得200万元，而韦伯才得1万多元.杰米想：要是合同订二、三个月该多好！可从21天起，情况发生了转变.
第22天杰米支出2万多，收入10万，到第28天，杰米支出134万多，收入10万.结果，杰米在一个月(31)天内得到310万元的同时，共付给韦伯2千1百多万元！杰米破产了.
问题1 写出杰米每天收入y(单位：分)与天数x的函数关系式.
问题2 写出杰米每天支出y(单位：分)与天数x的函数关系式.
提示1 y＝107(x∈N*)
提示2 y＝2x－1(x∈N*)
三种常见函数模型的增长差异
对比三类函数的增长速度，熟记图像变化规律
函数
性质
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝kx(k>0)
在(0，＋∞)上的增减性
增函数
增函数
增函数
图像的变化
随x的增大逐渐变“陡”
随x的增大逐渐趋于稳定
随k值而不同
形象描述
指数爆炸
对数增长
直线上升
增长速度
y＝ax(a>1)的增长速度最终都会大大超过y＝kx(k>0)的增长速度；总存在一个x0，当x>x0时，恒有logax
增长结果
存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>logax
教材拓展补遗
[微判断]
1.当x每增加一个单位时，y增加或减少的量为定值(不等于零)，则y是x的一次函数.(√)
2.函数y＝log2x增长的速度越来越慢.(√)
3.不存在一个实数m，使得当x>m时，1.1x>x100.(×)
提示 根据指数函数和幂函数增长速度的比较可知存在一个实数m，使得当x>m时，1.1x>x100.
[微训练]
1.下列函数中随x的增大而增长速度最快的是( )
A.y＝ex B.y＝100 ln x
C.y＝x100 D.y＝100·2x
解析 指数函数y＝ax，在a>1时呈爆炸式增长，并且a值越大，增长速度越快，应选A.
答案 A
2.函数y＝－2x＋1的平均变化率为________，也就是说自变量每增加一个单位，函数值将________个单位.
解析 ＝＝＝－2，∴自变量每增加一个单位，函数值将减小2个单位.
答案 －2 减小2
3.已知f(x)＝2x＋3，g(x)＝3x－2，若g(x0＋Δx)>f(x0＋Δx)对任意Δx>0恒成立，则x0的最小值为________.
解析 f(x)，g(x)的平均增长率分别为2，3，由g(x0＋Δx)>f(x0＋Δx)，可得3(x0＋Δx)－2>2(x0＋Δx)＋3，∴x0>5－Δx.∵Δx>0，∴5－Δx<5，∴x0≥5.
答案 5
[微思考]
1.函数y1＝log3x与函数y2＝3x，当x从1增加到m时，函数的增量分别是Δy1与Δy2，则根据两类函数的增长差异，Δy1与Δy2的大小关系如何？
提示 由于对数函数在x>1后的增长速度小于指数函数的增长速度，所以Δy1<Δy2.
2.在区间(0，＋∞)上，当a>1，n>0时，是否总有logax提示 不是，但总存在x0，使得当a>1，n>0，x>x0时，logax题型一 幂函数的增长速度
y＝xα：当α>1，x>0时，随x的增加，y增加的越来越快，当0<α<1，x>0时，随x的增加，y增加的越来越慢
【例1】 已知函数y＝x2，分别计算函数在区间[1，2]与[2，3]上的平均变化率，并说明当自变量每增加1个单位时，函数值变化的规律.
解 因为＝＝x2＋x1，所以y＝x2在区间[1，2]上的平均变化率为3，在区间[2，3]上的平均变化率为5，不难看出，当自变量大于零时，自变量每增加1个单位，区间的左端点值越大，函数值增加越快.
规律方法 1.利用函数的平均变化率的符号可以说明幂函数的单调性.
2.可以利用函数平均变化率的大小说明幂函数增加的快慢.
【训练1】 已知函数y＝x，分别计算函数在区间[0，1]与[1，2]上的平均变化率，并说明，当自变量每增加一个单位时 ，函数值变化的规律.
解 因为＝＝，
所以y＝x在[0，1]上的平均变化率为1，在[1，2]上的平均变化率为－1，可以看出自变量每增加1个单位，区间左端点值越大，函数值增加越慢.
题型二 指数(对数)函数的增长速度
y＝ax：当a>1时，随x的增加，y值增加的越来越快，可以远远超过y＝xα(α>1)的增长速度；
y＝logax：当a>1，x>0时，y随x的增加而增加，但增加的速度越来越慢
【例2】 分别计算函数y＝3x在区间[1，2]与[2，3]上的平均变化率，并说明函数值变化的规律.
解 因为＝，所以函数y＝3x在区间[1，2]上的平均变化率为＝6，在[2，3]上的平均变化率为＝18，可以看出，当自变量每增加1个单位时，区间左端点值越大，函数值增加越快.
规律方法 1.指数函数y＝ax(a>1)不但是增函数，而且函数值增加的越来越快(即增加速度越来越大)，称为指数爆炸.
2.对数函数y＝logax(a>1)是增函数，但增加的速度越来越慢.
【训练2】 计算函数y＝log3x在区间[1，2]与[2，3]上的平均变化率，并以此说明函数值变化的规律.
解 因为＝，所以y＝log3x在区间[1，2]上的平均变化率为＝log32.
在区间[2，3]上的平均变化率为＝log3，
∴函数y＝log3x在区间[1，2]与[2，3]上均是增函数，
又log32>log3，∴函数值y增加的速度越来越慢.
题型三 不同函数在同一区间上平均变化率的比较
【例3】 已知函数f(x)＝2x，g(x)＝x，h(x)＝log2x，分别计算这三个函数在区间[a，a＋1](a>1)上的平均变化率，并比较它们的大小.
解 因为＝＝2a，＝＝1，
＝＝log2，
又因为a>1时，有2a>21＝2>1，
log2因此在区间[a，a＋1]上，f(x)的平均变化率最大，h(x)的最小.
规律方法 1.不同函数在同一区间平均变化率的大小可以反映函数变化的大致规律.
2.若一个函数单调增加且增加的速度越来越大，则其反函数也单调增加，但增加的速度越来越小.
【训练3】 已知函数y＝log3x在[a，a＋1](0解 ∵＝＝log3<1，
∴log3∴一、素养落地
1.通过函数的平均增长率说明函数的增长速度，提升逻辑推理、数学运算和直观想象素养.
2.几种函数模型的选取
(1)当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型.
(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型.
(3)当要求增长速度比较均匀时，常常选用一次函数模型.
(4)幂函数模型y＝xn(n>0)，可以描述增长幅度不同的变化：n值较小(n≤1)时，增长较慢；n值较大(n>1)时，增长较快.
二、素养训练
1.下列函数中随x的增长而增长最快的是( )
A.y＝ex B.y＝ln x
C.y＝x1 000 D.y＝2x
答案 A
2.已知函数f(x)在任意区间上的平均变化率为5，则当自变量减少2个单位时，函数值________单位.
解析 设f(x)＝5x＋b，x∈R，则f(x－2)－f(x)＝5×(x－2)＋b－(5x＋b)＝－10.
答案 减少10个
3.甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是________(填序号).
①甲比乙先出发；②乙比甲跑的路程多；③甲、乙两人的速度相同；④甲比乙先到达终点.
解析 由图知，甲、乙两人s与t的关系均为直线上升，路程s的增长速度不变，即甲、乙均为匀速运动，但甲的速度快.又甲、乙的路程s取值范围相同，即跑了相同的路程，故甲用时少，先到终点.
答案 ④
4.已知函数f(x)＝－x2＋3x.
(1)求f(x)在区间[1，2]与[2，3]上的平均变化率；
(2)记A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))判断直线 AB与直线BC的斜率的相对大小.
解 ＝
＝＝－(x1＋x2)＋3.
∴f(x)在[1，2]上的平均变化率为－(1＋2)＋3＝0，在[2，3]上的平均变化率为
－(2＋3)＋3＝－2.
(2)由(1)知直线AB的斜率大于直线BC的斜率.
基础达标
一、选择题
1.当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应是( )
A.y＝5x B.y＝log5x
C.y＝x5 D.y＝5x
解析 几种函数模型中，指数函数增长速度最快，故选D.
答案 D
2.某公司为了适应市场需求对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用( )
A.一次函数 B.二次函数
C.指数型函数 D.对数型函数
解析 根据各类函数的增长特点易知选D.
答案 D
3.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图像大致是( )
解析 设该林区的森林原有蓄积量为a，
由题意，ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，
∴y＝f(x)的图像大致为D中图像.
答案 D
4.当2A.2x>x2>log2x B.x2>2x>log2x
C.2x>log2x>x2 D.x2>log2x>2x
解析 法一 在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝log2x，y＝x2，y＝2x的图像(图略)，在区间(2，4)上从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的图像，所以x2>2x>log2x.
法二 比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法.可取x＝3，经检验易知选B.
答案 B
5.下面对函数f(x)＝logx，g(x)＝与h(x)＝x－在区间(0，＋∞)上的衰减情况说法正确的是( )
A.f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越慢
B.f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越快
C.f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越慢
D.f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越快
解析 观察函数f(x)＝logx，g(x)＝与h(x)＝x－在区间(0，＋∞)上的大致图像如图，可知：函数f(x)的图像在区间(0，1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢，在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢；同样，函数g(x)的图像在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h(x)的图像在区间(0，1)上递减较快，但递减速度变慢，在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢，故选C.
答案 C
二、填空题
6.函数y＝x2与函数y＝xln x在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是________.
解析 当x变大时，x比ln x增长要快，∴x2要比xln x增长的要快.
答案 y＝x2
7.三个变量y1，y2，y3随变量x的变化情况如表：
x
1.00
3.00
5.00
7.00
9.00
11.00
y1
5
135
625
1 715
3 645
6 655
y2
5
29
245
2 189
19 685
177 149
y3
5.00
6.10
6.61
6.95
7.20
7.40
其中关于x呈对数函数型变化的变量是________，呈指数函数型变化的变量是________，呈幂函数型变化的变量是________.
解析 根据三种模型的变化特点，观察表中数据可知，y2随着x的增大而迅速增加，呈指数函数型变化，y3随着x的增大而增大，但变化缓慢，呈对数函数型变化，y1相对于y2的变化要慢一些，呈幂函数型变化.
答案 y3 y2 y1
8.甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，其路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1).有以下结论：
①当x>1时，甲走在最前面；
②当x>1时，乙走在最前面；
③当01时，丁走在最后面；
④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；
⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲.
其中，正确结论的序号为________.
解析 四个函数的大致图像如图所示，根据图像易知，③④⑤正确.
答案 ③④⑤
三、解答题
9.已知f(x)＝2x，g(x)＝3x，分别计算这两个函数在区间[2，3]上的平均变化率，并比较它们的大小.
解 f(x)＝2x在[2，3]上的平均变化率为＝＝4，g(x)＝3x在[2，3]上的平均变化率为＝＝18.
∴f(x)在[2，3]上的平均变化率小于g(x)在[2，3]上的平均变化率.
10.函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图像如图所示.设两函数的图像交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1 (1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)结合函数图像，判断f(6)，g(6)，f(2 019)，g(2 019)的大小.
解 (1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.
(2)因为f(1)>g(1)，f(2)g(10)，所以1x2，从图像上可以看出，当x1x2时，f(x)>g(x)，所以f(2 019)>g(2 019).又因为g(2 019)>g(6)，所以f(2 019)>
g(2 019)>g(6)>f(6).
能力提升
11.已知函数f(x)的定义域为R.
(1)若f(x)在任意区间内的平均变化率均为正数，则f(x)是________函数(填“增”或“减”).
(2)若f(x)在任意区间内的平均变化率均比g(x)＝2在同一区间内的平均变化率小，则f(x)是________函数(填“增”或“减”).
解析 设x1，x2∈R，且x1≠x2，
(1)则有＝>0，∴f(x)是增函数.
(2)由于g(x)＝2在[x1，x2]上的平均变化率为0，
∴＝<0，∴f(x)是减函数.
答案 (1)增 (2)减
12.已知函数f(x)＝x＋1，g(x)＝2x－2，
(1)比较f(2)与g(2)的大小；
(2)若f(2＋Δx)解 (1)f(2)＝2＋1＝3，g(2)＝2×2－2＝2，
∴f(2)>g(2).
(2)∵f(2＋Δx)∴Δx>1，即Δx的取值范围为(1，＋∞).
创新猜想
13.(开放题)同时满足下列两个条件的f(x)的解析式为________(写出一个即可).
(1)若[a，b]是f(x)的定义域的子集，则f(x)在区间[a，b]上的平均变化率为负；
(2)f(x)在整个定义域内不是减函数.
答案 f(x)＝(答案不唯一)
14.已知函数f(x)的定义域为R，而且f(x)在任意区间上的平均变化率均比g(x)＝x－1在同一区间的平均变化率小，判断f(2)－f(1)与1的大小.
解 g(x)＝x－1在任意区间上的平均变化率为1，由题意知<1，∴f(2)－f(1)<1.
课件22张PPT。4.5 增长速度的比较教材知识探究杰米是百万富翁，一天，他碰到一件奇怪的事，一个叫韦伯的人对他说：“我想和你订个合同，我将在整整一个月中(这个月有31天)，每天给你10万元，而你第一天只需给我1分钱，以后你每天给我的钱是前一天的两倍.”杰米说：“真的？你说话算数？”
合同开始生效了，杰米欣喜若狂.第一天杰米支出1分钱，收入10万元.第二天杰米支出2分钱，收入10万元，到了第10天，杰米共得100万元，而总共才付出10元2角3分.到了第20天，杰米共得200万元，而韦伯才得1万多元.杰米想：要是合同订二、三个月该多好！可从21天起，情况发生了转变.第22天杰米支出2万多，收入10万，到第28天，杰米支出134万多，收入10万.结果，杰米在一个月(31)天内得到310万元的同时，共付给韦伯2千1百多万元！杰米破产了.
问题1 写出杰米每天收入y(单位：分)与天数x的函数关系式.
问题2 写出杰米每天支出y(单位：分)与天数x的函数关系式.
提示1 y＝107(x∈N*)
提示2 y＝2x－1(x∈N*)三种常见函数模型的增长差异
对比三类函数的增长速度，熟记图像变化规律增函数增函数增函数教材拓展补遗
[微判断]
1.当x每增加一个单位时，y增加或减少的量为定值(不等于零)，则y是x的一次函数.( )
2.函数y＝log2x增长的速度越来越慢.( )
3.不存在一个实数m，使得当x>m时，1.1x>x100.( )
提示 根据指数函数和幂函数增长速度的比较可知存在一个实数m，使得当x>m时，1.1x>x100.√√×解析 指数函数y＝ax，在a>1时呈爆炸式增长，并且a值越大，增长速度越快，应选A.
答案 A2.函数y＝－2x＋1的平均变化率为________，也就是说自变量每增加一个单位，函数值将________个单位.答案 －2 减小23.已知f(x)＝2x＋3，g(x)＝3x－2，若g(x0＋Δx)>f(x0＋Δx)对任意Δx>0恒成立，则x0的最小值为________.
解析 f(x)，g(x)的平均增长率分别为2，3，由g(x0＋Δx)>f(x0＋Δx)，可得3(x0＋Δx)－2>2(x0＋Δx)＋3，∴x0>5－Δx.∵Δx>0，∴5－Δx<5，∴x0≥5.
答案 5[微思考]
1.函数y1＝log3x与函数y2＝3x，当x从1增加到m时，函数的增量分别是Δy1与Δy2，则根据两类函数的增长差异，Δy1与Δy2的大小关系如何？
提示 由于对数函数在x>1后的增长速度小于指数函数的增长速度，所以Δy1<Δy2.
2.在区间(0，＋∞)上，当a>1，n>0时，是否总有logax 提示 不是，但总存在x0，使得当a>1，n>0，x>x0时，logax1，x>0时，随x的增加，y增加的越来越快，当0<α<1，x>0时，随x的增加，y增加的越来越慢【例1】 已知函数y＝x2，分别计算函数在区间[1，2]与[2，3]上的平均变化率，并说明当自变量每增加1个单位时，函数值变化的规律.规律方法 1.利用函数的平均变化率的符号可以说明幂函数的单调性.
2.可以利用函数平均变化率的大小说明幂函数增加的快慢.题型二 指数(对数)函数的增长速度y＝ax：当a>1时，随x的增加，y值增加的越来越快，可以远远超过y＝xα(α>1)的增长速度；
y＝logax：当a>1，x>0时，y随x的增加而增加，但增加的速度越来越慢【例2】 分别计算函数y＝3x在区间[1，2]与[2，3]上的平均变化率，并说明函数值变
化的规律.规律方法 1.指数函数y＝ax(a>1)不但是增函数，而且函数值增加的越来越快(即增加速度越来越大)，称为指数爆炸.
2.对数函数y＝logax(a>1)是增函数，但增加的速度越来越慢.【训练2】 计算函数y＝log3x在区间[1，2]与[2，3]上的平均变化率，并以此说明函数值变化的规律.∴函数y＝log3x在区间[1，2]与[2，3]上均是增函数，
又log32>log3，∴函数值y增加的速度越来越慢.题型三 不同函数在同一区间上平均变化率的比较
【例3】 已知函数f(x)＝2x，g(x)＝x，h(x)＝log2x，分别计算这三个函数在区间[a，a＋1](a>1)上的平均变化率，并比较它们的大小.又因为a>1时，有2a>21＝2>1，因此在区间[a，a＋1]上，f(x)的平均变化率最大，h(x)的最小.规律方法 1.不同函数在同一区间平均变化率的大小可以反映函数变化的大致规律.
2.若一个函数单调增加且增加的速度越来越大，则其反函数也单调增加，但增加的速度越来越小.【训练3】 已知函数y＝log3x在[a，a＋1](01.通过函数的平均增长率说明函数的增长速度，提升逻辑推理、数学运算和直观想象素养.
2.几种函数模型的选取
(1)当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型.
(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型.
(3)当要求增长速度比较均匀时，常常选用一次函数模型.
(4)幂函数模型y＝xn(n>0)，可以描述增长幅度不同的变化：n值较小(n≤1)时，增长较慢；n值较大(n>1)时，增长较快.`二、素养训练
1.下列函数中随x的增长而增长最快的是( )
A.y＝ex B.y＝ln x
C.y＝x1 000 D.y＝2x
答案 A
2.已知函数f(x)在任意区间上的平均变化率为5，则当自变量减少2个单位时，函数值________单位.
解析 设f(x)＝5x＋b，x∈R，则f(x－2)－f(x)＝5×(x－2)＋b－(5x＋b)＝－10.
答案 减少10个3.甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是________(填序号).
①甲比乙先出发；②乙比甲跑的路程多；③甲、乙两人的速度相同；④甲比乙先到达终点.解析 由图知，甲、乙两人s与t的关系均为直线上升，路程s的增长速度不变，即甲、乙均为匀速运动，但甲的速度快.又甲、乙的路程s取值范围相同，即跑了相同的路程，故甲用时少，先到终点.
答案 ④4.已知函数f(x)＝－x2＋3x.
(1)求f(x)在区间[1，2]与[2，3]上的平均变化率；
(2)记A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))判断直线 AB与直线BC的斜率的相对大小.∴f(x)在[1，2]上的平均变化率为－(1＋2)＋3＝0，在[2，3]上的平均变化率为－(2＋3)＋3＝－2.
(2)由(1)知直线AB的斜率大于直线BC的斜率.