4.6 函数的应用(二)
课标要求
素养要求
1.会利用已知函数模型解决实际问题.
2.能建立函数模型解决实际问题.
通过本节内容的学习，使学生认识函数模型的作用，提升学生数学建模、数据分析等素养.
教材知识探究
爱因斯坦说过，复利的威力比原子弹还可怕.若每月坚持投资100元，40年之后将成为百万富翁.也就是说随着变量的增长，指数函数值的增长是非常迅速的，可以根据这一特点来进行资金的管理.例如，按复利计算利率的一种储蓄，本金为a元，每期的利率为r，设本利和为y，存期为x，那么要知道存一定期限之后所得的本利和，就要写出本利和y随着存期x变化的函数式.假设存入的本金为
1 000元，每期的利率为2.25%.
问题 五期后的本利和是多少？
提示 解决这一问题，首先要建立一个指数函数关系式，即y＝a(1＋r)x，将相应的数据代入该关系式就可得到五期的本利和.
常见的函数模型
常用函数模型
(1)一次函数模型
y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)
(2)二次函数模型
y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
(3)指数函数模型
y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
(4)对数函数模型
y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)
(5)幂函数模型
y＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)
(6)分段函数模型
y＝
教材拓展补遗
[微判断]
1.实际问题中两个变量之间一定有确定的函数关系.(×)
提示 两个变量之间可以有关系，但不一定是确定的函数关系.
2.函数模型中，要求定义域只需使函数式有意义.(×)
提示 函数模型中定义域还必须满足实际意义.
3.用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在意义了.(×)
提示 拟合函数预测的结果近似地符合实际结果即可.
[微训练]
1.某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示.
时间
1
2
3
4
利润
(千元)
2
3.98
8.01
15.99
现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的( )
A.y＝log2x B.y＝2x
C.y＝x2 D.y＝2x
解析 逐个检验可得答案为B.
答案 B
2.2014年我国人口总数约为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，则预计________年我国人口将首次超过20亿(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，
lg 7≈0.845 1).
解析 设x年我国人口将超过20亿，由已知条件：14(1＋1.25%)x－2 014>20，x－2 014>＝≈28.7，则x>2 042.7，即x最小为2 043.
答案 2 043
[微思考]
1.斜率k的取值是如何影响一次函数的图像和性质的？
提示 k>0时，直线必经过一、三象限，y随x的增大而增大；k<0时，直线必经过二、四象限，y随x的增大而减小.
2.在幂函数模型的解析式中，n的正负如何影响函数的单调性？
提示 当x>0，n>0时，函数的图像在第一象限内是上升的，在(0，＋∞)上为增函数；当x>0，n<0时，函数的图像在第一象限内是下降的，在(0，＋∞)上为减函数.
题型一 指数型函数 注意归纳其一般形式
【例1】 一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且使森林面积每年比上一年减少p%，10年后森林面积变为.为保护生态环境，所剩森林面积至少要为原面积的.已知到今年为止，森林面积为a.
(1)求p%的值；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
解 (1)由题意得a(1－p%)10＝，
即(1－p%)10＝，解得p%＝1－.
(2)设经过m年森林面积为a，
则a(1－p%)m＝a，即＝，得＝，解得m＝5.故到今年为止，已砍伐了5年.
(3)从今年开始，n年后森林面积为a·(1－p%)n，
令a(1－p%)n≥a，即(1－p%)n≥，
≥，得≤，解得n≤15，
故今后最多还能砍伐15年.
规律方法 在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为N，平均增长率为P，则对于时间x的总产值或总产量y，可以用公式y＝N(1＋P)x表示.解决平均增长率的问题，要用到这个函数式.当增长率为负数即为降低率，此公式仍然适用，这里P<0(或y＝N(1－P)x，P>0).
【训练1】 设在海拔x m处的大气压强是y Pa，y与x之间的函数关系式是y＝cekx，其中c，k为常量.已知某地某天在海平面的大气压为1.01×105 Pa，
1 000 m高空的大气压为0.90×105 Pa，求600 m高空的大气压强(结果保留3个有效数字).
解 将x＝0，y＝1.01×105；x＝1 000，y＝0.90×105分别代入函数式y＝cekx，
得
∴
将c＝1.01×105代入0.90×105＝ce1 000k，
∴k＝×ln .
由计算器算得
k≈－1.15×10－4，∴y＝1.01×105×e－1.15×10－4x.
将x＝600代入上述函数式得
y＝1.01×105×e－1.15×10－4×600，
由计算器算得y≈0.943×105.
所以在600 m高空的大气压强约为0.943×105 Pa.
题型二 对数型函数 注意归纳其一般形式
【例2】 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数v＝log3，单位是m/s，θ是表示鱼的耗氧量的单位数.
(1)当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时①，它的游速是多少？
(2)某条鲑鱼想把游速提高1__m/s②，那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍？
①将函数式中的θ换为900求解v；②游速提高1 m/s的意思是函数值的差值为1.
解 (1)由v＝log3可知，
当θ＝900时，v＝log3＝log39＝1(m/s).
所以当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是1 m/s.
(2)由v2－v1＝1，即log3－log3＝1，得＝9.所以耗氧量的单位数为原来的9倍.
规律方法 对数型函数模型：y＝mlogax＋c(m≠0，a>0且a≠1)，对数型函数模型一般给出函数关系式，然后利用对数的运算求解.
【训练2】 某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过8万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过8万元时，若超出A万元，则超出部分按log5(2A＋1)进行奖励.记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元).
(1)写出奖金y关于销售利润x的关系式；
(2)如果业务员小江获得3.2万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
解 (1)由题意，当销售利润不超过8万元时，按销售利润的15%进行奖励，当销售利润超过8万元时，若超出A万元，则超出部分按log5(2A＋1)进行奖励，∴当0≤x≤8时，y＝0.15x；
当x>8时，y＝1.2＋log5(2x－15).
∴奖金y关于销售利润x的关系式为y＝
(2)由题意，1.2＋log5(2x－15)＝3.2，解得x＝20，
故小江的销售利润是20万元.
题型三 函数模型的选择问题
【例3】 某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为100 t，120 t，130 t.为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产量y与月序数x之间的关系.对此模拟函数可选用二次函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c均为待定系数，x∈N*)或函数y＝g(x)＝pqx＋r(p，q，r均为待定系数，x∈N*).现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137 t，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？
解 根据题意可列方程组
解得
所以y＝f(x)＝－5x2＋35x＋70.①
同理y＝g(x)＝－80×0.5x＋140.②
再将x＝4分别代入①式与②式得
f(4)＝－5×42＋35×4＋70＝130(t)，g(4)＝－80×0.54＋140＝135(t).
与f(4)相比，g(4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量，所以②式作为模拟函数比①式更好，故选用函数y＝g(x)＝pqx＋r作为模拟函数较好.
规律方法 建立拟合函数与预测的基本步骤
【训练3】 某企业常年生产一种出口产品，近年来，该产品的产量平稳增长.记2015年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f(x)(万件)之间的关系如下表所示：
x
1
2
3
4
f(x)
4.00
5.58
7.00
8.44
若f(x)近似符合以下三种函数模型之一：f(x)＝ax＋b，f(x)＝2x＋a，f(x)＝logx＋a.
找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取2015年和2017年的数据求出相应的解析式.
解 最适合的函数模型是f(x)＝ax＋b，理由如下.
若模型为f(x)＝2x＋a，则由f(1)＝21＋a＝4，
得a＝2，即f(x)＝2x＋2，
此时f(2)＝6，f(3)＝10，f(4)＝18，与已知相差太大，不符合.若模型为f(x)＝logx＋a，
则f(x)是减函数，与已知不符合.
故最适合的函数模型是f(x)＝ax＋b.
由已知得解得
所以f(x)＝x＋，x∈N.
一、素养落地
1.通过利用已知函数模型解决实际问题，提升数学建模素养；通过建立函数模型解决实际问题，提升数据分析素养.
2.函数模型的应用实例主要包括三个方面：
(1)利用给定的函数模型解决实际问题；
(2)建立确定性的函数模型解决实际问题；
(3)建立拟合函数模型解决实际问题.
3.在引入自变量建立函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求.
二、素养训练
1.若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是( )
A.y＝0.957 6 B.y＝(0.957 6)100x
C.y＝ D.y＝1－0.042 4
答案 A
2.某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：
x
1
2
3
…
y
1
3
8
…
则下面的函数关系式中，拟合效果最好的是( )
A.y＝2x－1 B.y＝x2－1
C.y＝2x－1 D.y＝1.5x2－2.5x＋2
解析 将数值代入各选项中，三个点均与D项吻合，故选D.
答案 D
3.某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，则每台彩电的原价为________元.
解析 设彩电的原价为a元，
∴a(1＋0.4)·80%－a＝270，
∴0.12a＝270，解得a＝2 250.
∴每台彩电的原价为2 250元.
答案 2 250
4.经市场调查，某新开业的商场在过去一个月内(以30天计)，顾客人数f(t)(千人)与时间t(天)的函数关系近似满足f(t)＝4＋(t∈N*)，人均消费g(t)(元)与时间t(天)的函数关系近似满足g(t)＝
(1)求该商场的日收益w(t)(千元)与时间t(天)(1≤t≤30，t∈N*)的函数解析式；
(2)求该商场日收益的最小值(千元).
解 (1)由题意w(t)＝f(t)·g(t)＝
＝
(2)当1≤t≤7时，w(t)单调递增，最小值在t＝1处取到，w(1)＝500；
当7由<500，可得w(t)的最小值为.
所以该商场日收益的最小值为千元.
基础达标
一、选择题
1.下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，它最可能的函数模型是( )
x
4
5
6
7
8
9
10
y
15
17
19
21
23
25
27
A.一次函数模型 B.幂函数模型
C.指数函数模型 D.对数函数模型
解析 根据已知数据可知，自变量每增加1函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型.
答案 A
2.某研究小组在一项实验中获得一组关于y，t的数据，将其整理得到如图所示的图形.下列函数中，最能近似刻画y与t之间关系的是( )
A.y＝2t B.y＝2t2
C.y＝t3 D.y＝log2t
解析 由题图知，该函数可能是y＝log2t.故选D.
答案 D
3.有浓度为90%的溶液100 g，从中倒出10 g后再倒入10 g水称为一次操作，要使浓度低于10%，这种操作至少应进行的次数为(参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)( )
A.19 B.20
C.21 D.22
解析 操作次数为n时的浓度为，由<10%，得n＋1>＝≈21.8，所以n≥21.
答案 C
4.某新款电视投放市场后第一个月销售了100台，第二个月销售了200台，第三个月销售了400台，第四个月销售了790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x(1≤x≤4，x∈N*)之间关系的是( )
A.y＝100x B.y＝50x2－50x＋100
C.y＝50×2x D.y＝100x
解析 将题目中的数据代入各函数中，易知指数型函数能较好地与题中的数据相对应.
答案 C
5.某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入.若该公司2015年全年投入研发奖金130万元.在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，
lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( )
A.2018年 B.2019年
C.2020年 D.2021年
解析 设第x年的研发奖金超过200万元，则由题意可得130×(1＋12%)x>200，
∴1.12x>，∴x>log1.12＝log1.1220－log1.1213
＝－＝
≈＝3.8，∴x≥4，
即3年后不到200万元，第4年超过200万元，即2019年超过200万元.
答案 B
二、填空题
6.某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示，给出下列四种说法：①前三年中产量增长的速度越来越快；②前三年中产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变.其中说法正确是________(填序号).
解析 由t∈[0，3]的图像，联想到幂函数y＝xα(0<α<1)，反映了C随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢；由t∈[3，8]的图像可知，总产量C没有变化，即第三年后停止生产.
答案 ②③
7.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v m/s和燃料质量M kg、火箭(除燃料外)质量m kg的关系是v＝2 000ln，则当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12 km/s.
解析 由题意2 000ln＝12 000.
∴ln＝6，从而＝e6－1.
答案 e6－1
8.某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是
192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时.
解析 由已知条件得192＝eb，∴b＝ln 192.又∵48＝e22k＋b＝e22k＋ln 192＝192e22k＝192(e11k)2，∴e11k＝＝＝.设该食品在33 ℃的保鲜时间是t小时，则t＝e33k＋ln 192＝192e33k＝192(e11k)3＝192×＝24.
答案 24
三、解答题
9.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)·，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期.现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min，那么降温到35 ℃时，需要多少时间？(参考数据：lg11≈1.04，lg 2≈0.30)
解 由题意知40－24＝(88－24)·，
即＝，解得h＝10.故T－24＝(88－24)·.
当T＝35时，代入上式，得
35－24＝(88－24)·，即＝.
两边取对数，求得t≈25.
因此，约需要25 min，可降温到35 ℃.
10.某工厂生产一种电脑元件，每月的生产数据如表：
月份
1
2
3
产量/千件
50
52
53.9
为估计以后每月该电脑元件的产量，以这三个月的产量为依据，用函数y＝ax＋b或y＝ax＋b(a，b为常数，且a>0)来模拟这种电脑元件的月产量y(千件)与月份的关系.请问：用以上哪个模拟函数较好？说明理由.
解 将(1，50)，(2，52)分别代入两解析式得：
或(a>0)
解得(两方程组的解相同).
所以两函数分别为y＝2x＋48或y＝2x＋48.
当x＝3时，对于y＝2x＋48有y＝54；
当x＝3时，对于y＝2x＋48有y＝56.
由于56与53.9的误差较大，
所以选y＝ax＋b较好.
能力提升
11.某地区发生里氏8.0级特大地震.地震专家对发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表
强度(J)
1.6×1019
3.2×1019
4.5×1019
6.4×1019
震级(里氏)
5.0
5.2
5.3
5.4
注：地震强度是指地震时释放的能量.
地震强度x和震级y的模拟函数关系可以选用y＝alg x＋b(其中a，b为常数).利用散点图可知a的值等于________.(取lg 2＝0.3进行计算)
解析 由记录的部分数据可知
x＝1.6×1019时，y＝5.0，
x＝3.2×1019时，y＝5.2.
所以5.0＝alg(1.6×1019)＋b，①
5.2＝alg(3.2×1019)＋b，②
②－①得0.2＝alg，0.2＝alg 2.
所以a＝＝＝.
答案
12.某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP(即人均纯收入)在0.5～8千美元的地区销售该公司A饮料的情况调查时发现：该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减.
(1)下列几个模拟函数中：①y＝ax2＋bx；②y＝kx＋b；③y＝logax＋b；④y＝ax＋b(x表示人均GDP，单位：千美元，y表示年人均A饮料的销售量，单位：L).用哪个模拟函数来描述人均A饮料销售量与地区的人均GDP关系更合适？说明理由.
(2)若人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销售量为2 L；人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销售量为5 L，把(1)中你所选的模拟函数求出来，并求出各个地区中，年人均A饮料的销售量最多是多少？
解 (1)用①来模拟比较合适.因为该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减.而②，③，④表示的函数在区间上是单调函数，所以②，③，④都不合适，故用①来模拟比较合适.
(2)因为人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销售量为2 L；人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销售量为5 L，把x＝1，y＝2；x＝4，y＝5代入到y＝ax2＋bx，得解得a＝－，b＝，所以函数解析式为y＝－x2＋x(x∈[0.5，8]).
因为y＝－x2＋x＝－＋，所以当x＝时，年人均A饮料的销售量最多是 L.
创新猜想
13.(多空题)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.
①当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为________.
解析 ①顾客一次购买草莓和西瓜各1盒时，
总价为60＋80＝140(元)，达到120元，
又∵x＝10，∴顾客需要支付140－10＝130(元).
②法一 当单笔订单的总价达不到120元时，顾客不少付，则李明得到总价的80%；
当单笔订单的总价达到120元时，顾客少付x元，设总价为a元(a≥120)，则李明每笔订单得到的金额与总价的比为＝0.8，
∴当a越小时，此比值越小.又a最小为120元(即买两盒草莓)，∴0.8(120－x)≥120×0.7，解得x≤15.
∴x的最大值为15.
法二 购买水果总价刚好达到120元时，顾客少付x元，这时x占全部付款的比例最高，此时如果满足李明所得金额是促销前总价的70%，那么其x值最大.由此列式得(120－x)×0.8＝120×0.7，解得x＝15.∴x的最大值为15.
答案 ①130 ②15
14.某医学专家为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行试验，经检测，病毒细胞的个数与天数记录如下表：
天数
1
2
3
4
5
6
病毒细胞的个数
1
2
4
8
16
32
已知该病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候小白鼠将死亡，但注射某种药物，可杀死其体内该病毒细胞的98%.
(1)为了使小白鼠在试验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物(精确到天，lg 2≈0.301 0)?
(2)第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命(精确到天)?
解 (1)由题意知第一次注射药物前病毒细胞个数y关于天数n(n∈N*)的函数关系式为y＝2n－1(n∈N*).为了使小白鼠在试验过程中不死亡，则2n－1≤108，两边取对数，解得n≤27，即第一次最迟应在第27天注射该种药物.
(2)由题意知注射药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞个数为226×2%，再经过x天后小白鼠体内的病毒细胞个数为226×2%×2x，由题意226×2%×2x≤108，两边取对数得26lg 2＋lg 2－2＋xlg 2≤8，解得x≤6，即再经过6天必须注射药物，即第二次最迟应在第33天注射该种药物.
课件29张PPT。4.6 函数的应用(二)教材知识探究爱因斯坦说过，复利的威力比原子弹还可怕.若每月坚持投资100元，40年之后将成为百万富翁.也就是说随着变量的增长，指数函数值的增长是非常迅速的，可以根据这一特点来进行资金的管理.例如，按复利计算利率的一种储蓄，本金为a元，每期的利率为r，设本利和为y，存期为x，那么要知道存一定期限之后所得的本利和，就要写出本利和y随着存期x变化的函数式.假设存入的本金为1 000元，每期的利率为2.25%.问题 五期后的本利和是多少？
提示 解决这一问题，首先要建立一个指数函数关系式，即y＝a(1＋r)x，将相应的数据代入该关系式就可得到五期的本利和.常见的函数模型教材拓展补遗
[微判断]
1.实际问题中两个变量之间一定有确定的函数关系.( )
提示 两个变量之间可以有关系，但不一定是确定的函数关系.
2.函数模型中，要求定义域只需使函数式有意义.( )
提示 函数模型中定义域还必须满足实际意义.
3.用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在意义了.( )
提示 拟合函数预测的结果近似地符合实际结果即可.×××[微训练]
1.某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示.现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的( )
A.y＝log2x B.y＝2x C.y＝x2 D.y＝2x
解析 逐个检验可得答案为B.
答案 B2.2014年我国人口总数约为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，则预计________年我国人口将首次超过20亿(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 7≈0.845 1).答案 2 043[微思考]
1.斜率k的取值是如何影响一次函数的图像和性质的？
提示 k>0时，直线必经过一、三象限，y随x的增大而增大；k<0时，直线必经过二、四象限，y随x的增大而减小.
2.在幂函数模型的解析式中，n的正负如何影响函数的单调性？
提示 当x>0，n>0时，函数的图像在第一象限内是上升的，在(0，＋∞)上为增函数；当x>0，n<0时，函数的图像在第一象限内是下降的，在(0，＋∞)上为减函数.题型一 指数型函数注意归纳其一般形式规律方法 在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为N，平均增长率为P，则对于时间x的总产值或总产量y，可以用公式y＝N(1＋P)x表示.解决平均增长率的问题，要用到这个函数式.当增长率为负数即为降低率，此公式仍然适用，这里P<0(或y＝N(1－P)x，P>0).【训练1】 设在海拔x m处的大气压强是y Pa，y与x之间的函数关系式是y＝cekx，其中c，k为常量.已知某地某天在海平面的大气压为1.01×105 Pa，1 000 m高空的大气压为0.90×105 Pa，求600 m高空的大气压强(结果保留3个有效数字).解 将x＝0，y＝1.01×105；x＝1 000，y＝0.90×105分别代入函数式y＝cekx，将c＝1.01×105代入0.90×105＝ce1 000k，由计算器算得
k≈－1.15×10－4，∴y＝1.01×105×e－1.15×10－4x.
将x＝600代入上述函数式得
y＝1.01×105×e－1.15×10－4×600，
由计算器算得y≈0.943×105.
所以在600 m高空的大气压强约为0.943×105 Pa.题型二 对数型函数注意归纳其一般形式耗氧量是900个单位时①，(2)某条鲑鱼想把 那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍？游速提高1 m/s②，①将函数式中的θ换为900求解v；②游速提高1 m/s的意思是函数值的差值为1.所以当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是1 m/s.规律方法 对数型函数模型：y＝mlogax＋c(m≠0，a>0且a≠1)，对数型函数模型一般给出函数关系式，然后利用对数的运算求解.【训练2】 某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过8万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过8万元时，若超出A万元，则超出部分按log5(2A＋1)进行奖励.记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元).
(1)写出奖金y关于销售利润x的关系式；
(2)如果业务员小江获得3.2万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
解 (1)由题意，当销售利润不超过8万元时，按销售利润的15%进行奖励，当销售利润超过8万元时，若超出A万元，则超出部分按log5(2A＋1)进行奖励，∴当0≤x≤8时，y＝0.15x；当x>8时，y＝1.2＋log5(2x－15).(2)由题意，1.2＋log5(2x－15)＝3.2，解得x＝20，
故小江的销售利润是20万元.题型三 函数模型的【例3】 某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为100 t，120 t，130 t.为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产量y与月序数x之间的关系.对此模拟函数可选用二次函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c均为待定系数，x∈N*)或函数y＝g(x)＝pqx＋r(p，q，r均为待定系数，x∈N*).现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137 t，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？选择问题所以y＝f(x)＝－5x2＋35x＋70.①
同理y＝g(x)＝－80×0.5x＋140.②
再将x＝4分别代入①式与②式得
f(4)＝－5×42＋35×4＋70＝130(t)，g(4)＝－80×0.54＋140＝135(t).
与f(4)相比，g(4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量，所以②式作为模拟函数比①式更好，故选用函数y＝g(x)＝pqx＋r作为模拟函数较好.规律方法 建立拟合函数与预测的基本步骤【训练3】 某企业常年生产一种出口产品，近年来，该产品的产量平稳增长.记2015年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f(x)(万件)之间的关系如下表所示：解 最适合的函数模型是f(x)＝ax＋b，理由如下.
若模型为f(x)＝2x＋a，则由f(1)＝21＋a＝4，
得a＝2，即f(x)＝2x＋2，则f(x)是减函数，与已知不符合.
故最适合的函数模型是f(x)＝ax＋b.一、素养落地
1.通过利用已知函数模型解决实际问题，提升数学建模素养；通过建立函数模型解决实际问题，提升数据分析素养.
2.函数模型的应用实例主要包括三个方面：
(1)利用给定的函数模型解决实际问题；
(2)建立确定性的函数模型解决实际问题；
(3)建立拟合函数模型解决实际问题.
3.在引入自变量建立函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求.答案 A2.某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：则下面的函数关系式中，拟合效果最好的是( )
A.y＝2x－1 B.y＝x2－1
C.y＝2x－1 D.y＝1.5x2－2.5x＋2
解析 将数值代入各选项中，三个点均与D项吻合，故选D.
答案 D3.某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，则每台彩电的原价为________元.
解析 设彩电的原价为a元，
∴a(1＋0.4)·80%－a＝270，
∴0.12a＝270，解得a＝2 250.
∴每台彩电的原价为2 250元.
答案 2 250
