4.7 数学建模活动：生长规律的描述
课标要求
素养要求
收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题，感悟数学模型中参数的现实意义.
通过生活中具体的数学模型，进行提出问题、分析数据、建立模型、检验模型来发展数据分析、数学抽象及数学建模素养.
教材知识探究
数学建模是在20世纪60和70年代进入一些西方国家大学的，我国的几所大学也在80年代初将数学建模引入课堂.经过30多年的发展现在绝大多数本科院校和许多专科学校都开设了各种形式的数学建模课程和讲座，为培养学生利用数学方法分析、解决实际问题的能力开辟了一条有效的途径.大学生数学建模竞赛最早是1985年在美国出现的，1989年在几位从事数学建模教育的教师的组织和推动下，我国几所大学的学生开始参加美国的竞赛，而且积极性越来越高，近几年参赛校数、队数占到相当大的比例.可以说数学建模竞赛是在美国诞生，在中国开花、结果的.
问题 你知道什么是数学建模吗？
提示 数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程.主要过程包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，求解模型、检验结果、得出结论，最终解决实际问题.
1.用函数构建数学模型解决实际问题的步骤
(1)观察实际情景：对实际问题中的变化过程进行分析；
(2)发现和提出问题：析出常量、变量及其相互关系；
(3)收集数据、分析数据：明确其运动变化的基本特征，从而确定它的运动变化类型；
(4)选择函数模型：根据分析结果，选择适当的函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；
(5)求解函数模型：通过运算推理，求解函数模型；
(6)检验模型： 利用函数模型的解说明实际问题的变化规律，达到解决问题的目的.
2.数学建模活动的要求
(1)组建团队；(2)开展研究报告；(3)撰写研究报告；(4)交流展示.
教材拓展补遗
[微判断]
1.在构建函数模型时，经常会遇到没有现成数据可用的情况，这时就需要先收集数据.(√)
2.在用函数构建数学模型解决实际问题时，首先要对实际问题中的变化过程进行分析，析出其中的常量、变量及其相互关系.(√)
3.求出函数模型后，还需要利用函数模型的解说明实际问题的变化规律，从而达到解决问题的目的.(√)
[微思考]
数学建模活动是一个科学的研究过程，科学研究通常要经历哪几个步骤？
提示 科学研究通常需要经历四个基本步骤
(1)选题；
(2)开题；
(3)做题；
(4)结题.
生长规律的描述
1.发现问题，提出问题
生物的生长发育是一个连续的过程，但不同的时间段可能有不同的增长速度.例如，香港特别行政区卫生署2010年发布的《香港特别行政区7岁以下儿童生长发育参照标准》指出，香港7岁以下女童身高(长)的中位数如下表所示(0岁指刚出生时)
年龄/岁
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
身高/cm
49.7
66.8
75
81.5
87.2
92.1
96.3
年龄/岁
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
身高/cm
99.4
103.1
106.7
110.2
113.5
116.6
119.4
以上数据可用下图表示
从数据和图都可以看出，香港地区7岁以下女童身高的增长速度越来越慢，能否利用数学语言来描述类似的生长规律呢？
2.分析问题、建立模型
要描述生长规律，实际上是要描述当一个量(记为x)变化时，另外一个量(记为y)会怎样变化.例如，随着年龄的增长，身高将怎样变化？
不难想到，我们可以借助函数y＝f(x)来描述生长规律.
因为从生长规律来说，当x增大时，y是增大的，这说明函数y＝f(x)在指定的范围内应该是增函数；又因为不同的时间段有不同的增长速度，所以函数y＝f(x)不能是一次函数.
为了简单起见，可以假设函数的变量x，y都是连续变化的(也就是说可以取某个区间内的任意值).
当然，根据不同对象的生长规律，可以选择不同的函数形式.
对于香港地区7岁以下女童身高来说，考虑到增长速度一开始比较快，后来慢慢变缓，而我们熟悉的函数中，幂函数y＝具有这种性质，因此生长规律可用g(x)＝a＋b来描述.
3.确定参数、计算求解
对于描述香港地区7岁以下女童身高的函数g(x)＝a＋b来说，为了确定a，b的值可以在已有的数据中选择两对代入函数式，然后列方程组求解.
例如，如果选择的是g(0)＝49.7与g(4)＝103.1，则有
由此可解得a＝26.7，b＝49.7，
所以g(x)＝26.7＋49.7.
4.验证结果、改进模型
因为在求解时，我们都只用到了部分已有的数据，因此可以利用其他数据来检验所建立模型的优劣.
例如，对于描述香港地区7岁以下女童身高的函数g(x)＝26.7＋49.7来说，计算函数值，可以得到以下数据的对比表.
年龄/岁
0.5
1
1.5
2
2.5
3
身高/cm
66.8
75
81.5
87.2
92.1
96.3
g(x)
68.6
76.4
82.4
87.5
91.9
95.9
年龄/岁
3.5
4.5
5
5.5
6
6.5
身高/cm
99.4
106.7
110.2
113.5
116.6
119.4
g(x)
99.7
106.3
109.4
112.3
115.1
117.8
由表可以看出，误差都在2 cm以内，因此g(x)＝26.7＋49.7能够较好地反映香港地区7岁以下女童身高的生长规律.
建模活动 节约燃气有多种途径.取定一壶水，希望在不更换水壶，且不能对壶中的水进行其他处理的情况下，只通过控制燃气阀门改变气流量，使烧开这壶水所使用燃气量最小.
烧开水中的燃气节约问题
一、确定实验方案，获取实验数据
1.给定燃气灶和一只水壶，选择燃气灶旋钮的五个位置(当然多选一些更好，这里由于是粗略地寻找一个最佳位置，故只选取5个位置，在要求精度较高的情况下读者可以探究更多的位置)，因为关闭时，燃气旋钮的位置为竖置方向，我们把这个位置定为0°，燃气开到最大时，旋钮转了90°，为方便计算，将0°～90°五等分，18°，36°，54°，72°，90°确认为5个位置，如下图(1)所示.
图(1)
2.在选好的5个位置上，分别记录烧开一壶水所需的时间和所用的燃气量，得到了一组实验相关数据如下表所示.
燃气旋钮在不同位置时烧开一壶水所需燃气量
项目
位置
开始时燃气表读数(m3)
水开时燃气表读数(m3)
所需燃气量(m3)
18°
9.080
9.210
0.130
36°
8.958
9.080
0.122
54°
8.819
8.958
0.139
72°
8.670
8.819
0.149
90°
8.498
8.670
0.172
二、模型建立
首先将以上数据描在坐标纸上，用表内数据在直角坐标系上标出旋钮位置与烧开一壶水燃气用量的点如图(2)所示.
图(2)
拟合函数：从上图中可以看出，5个点显示出随着旋钮的角度逐渐增大，燃气用量有一个从大到小又从小到大的变化过程，在我们学习过的函数图像中，二次函数图像与之最接近，可以用二次函数近似地表示这种变化.
设函数式为y＝ax2＋bx＋c，取三组数据即可求出表达式的系数，选取数据时原则上要求数据点不要过于集中，尽可能多地使用已有数据，以防止积累误差导致错误，故不妨取(18，0.130)，(36，0.122)，(90，0.172)，得方程组
解得a＝1.856×10－5，b＝－1.446×10－3，c＝0.15，则函数式为y＝1.856×10－5x2－1.446×10－3x＋0.15.
求最小用气量：求燃气用气量最少时的旋钮位置实际上是求函数y＝1.856×10－5x2－1.446×10－3x＋0.15的最小值点x0.
x0＝－＝－≈39，
即燃气用量最少时的旋钮位置是旋转39°的位置，这时的用气量是y0＝＝
≈0.122(m3).
三、模型检验和改进
1.取旋转39°的旋钮位置，烧一壶开水，所得实际用气量是不是0.122 m3呢？如果基本吻合，就可以依此作结论了，如果相差太大，特别是这个用量大于0.122 m3，最小值点就肯定不是39°的旋钮，说明三组数据取得不好，可以换另外的点重新计算，然后再检验，直至结果与实际比较接近就可以了.实际上，我们从已知的五组数据可以看出，如果取(18，0.130)，(36，0.122)，(54，0.139)，函数的最小值点就小于39°.
2.当旋钮旋转的角度非常小，有一点点火时，其火力是不能够将水烧开的，长时间燃火的燃气量却可以非常大，也就是说，图中贴近纵轴的点的位置会非常高，那么整个图像就不是二次函数图像了.
3.在做实验时，每次烧开水前的水壶温度并不是真的完全一样，并且由于烧水的过程有热量散失，这都会影响实验结果.另外每次的读数可能会不够准确，我们在建立函数模型之前，主观上作了这样的假设：实验是足够精确的，所得的实验数据是准确的.
4.尽管假设每次实验都是准确的，但是实验都受客观环境的影响，不能保证环境是稳定的.仅根据一组实验数据就建立数学模型可能与实际有较大误差，可以重复做几次实验，取几次实验数据的平均值，误差就减少了.
四、模型的评价
该模型用较简单的数学知识对现实生活中的问题给出了解决方案，方法简捷实用，便于计算.该模型中用的函数拟合是一类问题的通用方法，在解决现实生活中其他问题时仍有重要的参考价值.该模型建立过程中的假设条件太强，该模型只考虑通过改变阀门位置来达到节约燃气用量的目的，此方法比较局限，实际过程中可以考虑通过控制阀门大小，每次只烧半壶水分两次完成烧水的方法来实现节约燃气用量的目的.阀门位置改变时燃气量的变化与阀门本身设计有关，而在模型中讨论时并没有详细讨论.
秦春霞主编：
参考文献：1.《中学数学课程标准与内容分析》北京师范大学出版社 2015
2.仇金家主编：《中学数学课题学习指导》中国人民大学出版社 2010
课件23张PPT。4.7 数学建模活动：生长规律的描述教材知识探究数学建模是在20世纪60和70年代进入一些西方国家大学的，我国的几所大学也在80年代初将数学建模引入课堂.经过30多年的发展现在绝大多数本科院校和许多专科学校都开设了各种形式的数学建模课程和讲座，为培养学生利用数学方法分析、解决实际问题的能力开辟了一条有效的途径.大学生数学建模竞赛最早是1985年在美国出现的，1989年在几位从事数学建模教育的教师的组织和推动下，我国几所大学的学生开始参加美国的竞赛，而且积极性越来越高，近几年参赛校数、队数占到相当大的比例.可以说数学建模竞赛是在美国诞生，在中国开花、结果的.问题 你知道什么是数学建模吗？
提示 数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程.主要过程包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，求解模型、检验结果、得出结论，最终解决实际问题.1.用函数构建数学模型解决实际问题的步骤
(1)观察实际情景：对实际问题中的变化过程进行分析；
(2)发现和提出问题：析出常量、变量及其相互关系；
(3)收集数据、分析数据：明确其运动变化的基本特征，从而确定它的运动变化类型；
(4)选择函数模型：根据分析结果，选择适当的函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；
(5)求解函数模型：通过运算推理，求解函数模型；
(6)检验模型： 利用函数模型的解说明实际问题的变化规律，达到解决问题的目的.2.数学建模活动的要求
(1)组建团队；(2)开展研究报告；(3)撰写研究报告；(4)交流展示.
教材拓展补遗
[微判断]
1.在构建函数模型时，经常会遇到没有现成数据可用的情况，这时就需要先收集数据.( )
2.在用函数构建数学模型解决实际问题时，首先要对实际问题中的变化过程进行分析，析出其中的常量、变量及其相互关系.( )
3.求出函数模型后，还需要利用函数模型的解说明实际问题的变化规律，从而达到解决问题的目的.( )√√√[微思考]
数学建模活动是一个科学的研究过程，科学研究通常要经历哪几个步骤？
提示 科学研究通常需要经历四个基本步骤
(1)选题；
(2)开题；
(3)做题；
(4)结题.生长规律的描述
1.发现问题，提出问题
生物的生长发育是一个连续的过程，但不同的时间段可能有不同的增长速度.例如，香港特别行政区卫生署2010年发布的《香港特别行政区7岁以下儿童生长发育参照标准》指出，香港7岁以下女童身高(长)的中位数如下表所示(0岁指刚出生时)以上数据可用下图表示从数据和图都可以看出，香港地区7岁以下女童身高的增长速度越来越慢，能否利用数学语言来描述类似的生长规律呢？2.分析问题、建立模型
要描述生长规律，实际上是要描述当一个量(记为x)变化时，另外一个量(记为y)会怎样变化.例如，随着年龄的增长，身高将怎样变化？
不难想到，我们可以借助函数y＝f(x)来描述生长规律.
因为从生长规律来说，当x增大时，y是增大的，这说明函数y＝f(x)在指定的范围内应该是增函数；又因为不同的时间段有不同的增长速度，所以函数y＝f(x)不能是一次函数.烧开水中的燃气节约问题
一、确定实验方案，获取实验数据
1.给定燃气灶和一只水壶，选择燃气灶旋钮的五个位置(当然多选一些更好，这里由于是粗略地寻找一个最佳位置，故只选取5个位置，在要求精度较高的情况下读者可以探究更多的位置)，因为关闭时，燃气旋钮的位置为竖置方向，我们把这个位置定为0°，燃气开到最大时，旋钮转了90°，为方便计算，将0°～90°五等分，18°，36°，54°，72°，90°确认为5个位置，如下图(1)所示.图(1)2.在选好的5个位置上，分别记录烧开一壶水所需的时间和所用的燃气量，得到了一组实验相关数据如下表所示.
燃气旋钮在不同位置时烧开一壶水所需燃气量二、模型建立
首先将以上数据描在坐标纸上，用表内数据在直角坐标系上标出旋钮位置与烧开一壶水燃气用量的点如图(2)所示.图(2)
拟合函数：从上图中可以看出，5个点显示出随着旋钮的角度逐渐增大，燃气用量有一个从大到小又从小到大的变化过程，在我们学习过的函数图像中，二次函数图像与之最接近，可以用二次函数近似地表示这种变化.三、模型检验和改进
1.取旋转39°的旋钮位置，烧一壶开水，所得实际用气量是不是0.122 m3呢？如果基本吻合，就可以依此作结论了，如果相差太大，特别是这个用量大于0.122 m3，最小值点就肯定不是39°的旋钮，说明三组数据取得不好，可以换另外的点重新计算，然后再检验，直至结果与实际比较接近就可以了.实际上，我们从已知的五组数据可以看出，如果取(18，0.130)，(36，0.122)，(54，0.139)，函数的最小值点就小于39°.
2.当旋钮旋转的角度非常小，有一点点火时，其火力是不能够将水烧开的，长时间燃火的燃气量却可以非常大，也就是说，图中贴近纵轴的点的位置会非常高，那么整个图像就不是二次函数图像了.3.在做实验时，每次烧开水前的水壶温度并不是真的完全一样，并且由于烧水的过程有热量散失，这都会影响实验结果.另外每次的读数可能会不够准确，我们在建立函数模型之前，主观上作了这样的假设：实验是足够精确的，所得的实验数据是准确的.
4.尽管假设每次实验都是准确的，但是实验都受客观环境的影响，不能保证环境是稳定的.仅根据一组实验数据就建立数学模型可能与实际有较大误差，可以重复做几次实验，取几次实验数据的平均值，误差就减少了.四、模型的评价
该模型用较简单的数学知识对现实生活中的问题给出了解决方案，方法简捷实用，便于计算.该模型中用的函数拟合是一类问题的通用方法，在解决现实生活中其他问题时仍有重要的参考价值.该模型建立过程中的假设条件太强，该模型只考虑通过改变阀门位置来达到节约燃气用量的目的，此方法比较局限，实际过程中可以考虑通过控制阀门大小，每次只烧半壶水分两次完成烧水的方法来实现节约燃气用量的目的.阀门位置改变时燃气量的变化与阀门本身设计有关，而在模型中讨论时并没有详细讨论.
秦春霞主编：
参考文献：1.《中学数学课程标准与内容分析》北京师范大学出版社 2015
2.仇金家主编：《中学数学课题学习指导》中国人民大学出版社 2010
