第五章 统计与概率
[数学文化]——了解数学文化的发展与应用
概率论起源于15世纪中叶，尽管任何一个数学分支的产生与发展都不外乎是社会生产、科学技术自身发展的推动，然而概率论的产生，却肇事于所谓的“赌金分配问题”.1494年意大利数学家帕西奥尼(1445～1509)出版了一本有关算术技
帕斯卡 费马
术的书.书中叙述了这样的一个问题：在一场赌博中，某一方先胜6局便算赢家，那么，当甲方胜了4局，乙方胜了3局的情况下，因出现意外，赌局被中断，无法继续，此时，赌金应该如何分配？帕西奥尼的答案是：应当按照4∶3的比例把赌金分给双方，当时，许多人都认为帕西奥尼的分法不是那么公平合理，因为已胜了4局的一方只要再胜2局就可以拿走全部的赌金，而另一方则需要胜3局，并且至少有2局必须连胜，这样要困难得多.但是，人们又找不到更好的解决方法.在这以后100多年中，先后有多位数学家研究过这个问题，但均未得到过正确的答案.直到1654年一位经验丰富的法国赌徒默勒以自己的亲身经历向帕斯卡请教“赌金分配问题”，引起了这位法国天才数学家的兴趣，并促成了帕斯卡与费马这两位大数学家之间就此问题展开的异乎寻常频繁的通信，他们分别用了自己的方法独立而又正确地解决了这个问题.
惠更斯
帕斯卡和费马以“赌金分配问题”开始的通信形式讨论，开创了概率论研究的先河.后来荷兰数学家惠更斯(1629～1695)也参加了这场讨论，并写出了关于概率论的第一篇正式论文《赌博中的推理》.帕斯卡、费马、惠更斯一起被誉为概率论的创始人.事至今日，概率论已经在各行各业中得到了广泛的应用，发展成为一门极其重要的数学学科.
[读图探新]——发现现象背后的知识
据《西墅记》所载，唐明皇与杨贵妃掷骰子戏娱，唐明皇的战况不佳，只有让六个骰子中的两个骰子同时出现“四”才能转败为胜.于是唐明皇一面举骰投掷，一面连呼“重四”.骰子停定，正好重四.唐明皇大悦，命令高力士将骰子的四点涂为红色，红色通常是不能乱用的.因此直到今天，骰子的幺、四两面为红色，其余四面都是黑色.
问题：您能算出唐明皇转败为胜的概率是多少吗？若同时掷两颗骰子，朝上的点数有多少种不同的结果，你能写出对应的样本空间吗？点数不大于7这一事件包含哪几个基本事件？你能求出对应事件的概率吗？这个事件对应的概率是什么类型的概率？求解此类概型的概率的方法是什么？
链接：同时掷两颗不同的骰子，朝上的点数有36种不同的结果，这个试验的基本事件空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}.
“点数之和不大于7”这一事件，包含21个基本事件：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(6，1).
对应的概率为p＝＝，此概率类型为古典概型，求解古典概型的公式是p＝.
5.1 统 计
5.1.1 数据的收集
第一课时 总体与个体、简单随机抽样
课标要求
素养要求
1.了解收集数据的两类方法：直接收集数据与间接收集数据.
2.理解总体、样本、样本容量、普查与抽样调查的概念，了解普查与抽样调查的局限性.
3.了解简单随机抽样的含义；掌握简单随机抽样的两种方法：抽签法和随机数表法.
1.引导学生从实际问题出发，进一步理解总体、样本、样本容量等概念，提升学生数据分析的核心素养.
2.通过抽签法和随机数表法抽取样本的学习，体会抽样的必要性和重要性，提升学生的逻辑推理和数学抽象素养.
教材知识探究
2018年2月9日～25日，第23届冬季奥林匹克运动会在韩国平昌举行，以下是来自腾讯网的平昌奥运会奖牌榜，同时对超过3 100例运动员进行兴奋剂检测，这是奥运史上最多的一次.
2018年平昌冬奥会奖牌榜 腾讯体育 腾讯网
问题1 我们看到的奖牌榜是通过腾讯网得到的，这是直接收集还是间接收集数据？
问题2 平昌冬奥会是对所有的运动员进行兴奋剂检测吗？进行了普查还是抽查？
提示 1.间接收集.2.不是，抽查.
1.总体、个体、样本与样本容量 均是数值指标且有“单位”
考察问题涉及的对象全体是总体，总体中每个对象是个体，抽取的部分对象组成总体的一个样本，一个样本中包含的个体数目是样本容量.
2.普查与抽样调查
(1)普查(全面调查) 注意适用条件
定义：一般地，对总体中每个个体都进行考察的方法称为普查(也称为全面调查).
优点：普查能够了解总体中每个个体的情况，从而能准确地掌握总体的特征.
适用条件：在总体包含的个体总数不大，或有特殊需要的情况下，可以采用普查的方法.
(2)抽样调查 抽取样本具有代表性
定义：只抽取样本进行考察的方法称为抽样调查.
适用条件：普查的方法有时会因为各种原因而无法实施，例如成本太高、时间上不容许、考察方法具有破坏性等，此时抽样调查就成了不二选择.
3.简单随机抽样
1.总体中的每一个个体都有相等的机会被抽到.2.简单随机抽样是其它各种抽样方法的基础
(1)定义：一般地，简单随机抽样(也称为纯随机抽样)就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取个体.
(2)适用条件：当总体中的个体之间差异程度较小和总体中个体数目较少时，通常采用这种方法.
(3)两种方法
①抽签法 总体容量较小时简单易行，关键步骤是要搅拌均匀
先把总体中的N个个体编号，并把编号依次分别写在形状、大小相同的签上(签可以是纸条、卡片或小球等)，然后将这些号签放在同一个容器中，搅拌均匀后，每次随机地从中抽取一个，然后将箱中余下的号签摇均匀，再进行下一次抽取.如此下去，直至抽到预先设定的样本容量.
②随机数表法
1.总体容量较大，且个体之间差异较小时适用.2.编号位数相等，预先确定读数规则且不能变更
用随机数表进行简单随机抽样的一般步骤为：
(1)对总体进行编号.
(2)在随机数表中任意指定一个开始选取的位置.位置的确定可以闭着眼用手指随机确定，也可用其他方式随机确定.
(3)按照一定规则选取编号.例如，若编号是两位，规则可以是每次从左往右选取两个数字，也可以是每次只选取每一组的前两个数字，还可以是每次只选取下面一行同一位置对应的两个数字，等等.规则一经确定，就不能更改.在选取过程中，遇到超过编号范围或已经选取了的数字，应该舍弃.
(4)按照得到的编号找出对应的个体.
教材拓展补遗
[微判断]
1.某校期末考试后，为了分析该校高一年级1 000名学生的学习成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩单.判断下列说法的正误.
(1)1 000名学生是总体.(×)
(2)每名学生是个体.(×)
(3)每名学生的成绩是所抽取的一个样本.(×)
(4)样本的容量是100.(√)
提示 1 000名学生的成绩是统计中的总体，每个学生的成绩是个体，被抽取的100名学生的成绩是一个样本，其样本的容量为100.所以(4)对.
2.判断下列抽样方法是否属于简单随机抽样？
(1)运动员从8个跑道中随机抽取一个跑道.(√)
(2)从20个零件中一次性拿出3个来检验质量.(×)
(3)某班有50名学生，指定其中成绩优异的2名学生参加一次学科竞赛.(×)
(4)为了保证食品安全，从某厂提供的一批月饼中，拿出一个检查后放回，再拿一个检查，反复5次，拿了5个月饼进行检查.(×)
提示 (2)错，因为不是逐个抽样；(3)错，因为不是等可能抽样；(4)错，由于它是有放回抽样.
[微训练]
1.对于简单随机抽样，每个个体每次被抽到的机会都( )
A.不等 B.相等
C.有时相等 D.不确定
答案 B
2.用随机数表法进行抽样有以下几个步骤：①将总体中的个体编号；②获取样本号码；③选定开始的数字，按照一定的方向读数，这些步骤的先后顺序应为________.
解析 因为用随机数表法进行抽样，包含这样的步骤：
①将总体中的个体编号；②选定开始的数字，按照一定的方向读数；③获取样本号码.
所以排序为①③②.
答案 ①③②
[微思考]
1.下列调查中，哪些必须采用“普查”，并说明理由.
(1)调查某品牌电视机的市场占有率；
(2)调查高一(1)班的男女同学的比例；
(3)调查某电视连续剧在全国的收视率；
(4)调查某型号炮弹的射程.
提示 (2)必须采用普查.因为调查的是全班级的每个学生，且人数不是太多.
2.简单随机抽样是不放回抽样，对于有放回的抽样可以是简单随机抽样吗？
提示 不可以.简单随机抽样是从总体中逐个抽取的，是一种不放回抽样，也就是每次从总体中取出一个元素后不再放回总体，若放回，则一定不是简单随机抽样.
题型一 抽样调查与普查 根据二者的适用条件判别
【例1】 下列调查中哪些是用普查方式，哪些是用抽查方式收集数据的？
(1)为了了解我们班级的每个学生穿几号鞋，向全班同学做调查；
(2)为了了解我们学校高一年级学生穿几号鞋，向我们所在班的全体同学做调查；
(3)为了了解我们班的同学们每天睡眠时间，在每个小组中各选取2名学生做调查；
(4)为了了解我们班的同学们每天的睡眠时间，选取班级中学号为双数的所有学生做调查.
解 (1)因为调查的是班级的每个学生，所以用的是普查.
(2)通过我们班的全体同学穿几号鞋来了解学校高一年级学生穿几号鞋，这是抽样调查，样本是我们班的全体同学所穿的鞋号，总体是学校高一年级学生所穿的鞋号.
(3)、(4)也都是抽样调查，样本分别是每小组中选取的2名学生的睡眠时间，学号为双数的所有学生的睡眠时间；总体是我们班的同学每天的睡眠时间.
规律方法 1.在抽样调查中要注意以下事项
(1)样本抽取具有随机性：即在抽取样本时总体的每个个体被抽到的可能性相等.
(2)样本抽取具有代表性：当总体数目较大且个体有明显差异时，要特别注意样本的代表性.
2.普查与抽样调查的特点
方式
抽样调查
普查
特点
节省人力、物力和财力
需要大量的人力、物力和财力
可以用于带有破坏性的检查
不能用于带有破坏性的检查
结果与实际情况之间有误差
在操作正确的情况下，能得到准确结果
【训练1】 一些期刊杂志社经常会请一些曾经高考落榜而在某方面的事业上取得成就的著名专家、学者，谈他们对高考落榜的看法，这些名人所讲的都是大同小异，不外乎“我也有过落榜的沮丧，但从长远看，它有益于我的人生”，“我是因祸得福，落榜使我走了另一条成功之路”等等.小明据此得出一条结论：上大学不如高考落榜，他的结论正确吗？
解 小明的结论是错误的.在众多的高考落榜生中，走出另外一条成功之路的是少数，小明通过研究一些期刊杂志社报道过的一些成功人士就得出结论是片面的，因为他的抽样不具有代表性.
题型二 抽签法的应用
【例2】 要从某汽车厂生产的30辆汽车中随机抽取3辆进行测试，请选择合适的抽样方法，并写出抽样过程.
解 本题中总体容量较小，样本的容量也小，故可选用抽签法来抽取含3个个体的样本，其抽样过程如下：
第一步，将30辆汽车进行编号，所编号码是01，02，…，30.
第二步，将号码分别写在大小、外观相同的纸条上，揉成团，制成号签.
第三步，将全部号签放入一个袋子中，并搅拌均匀.
第四步，每次从袋子中不放回地抽取1个号签，并记录上面的编号，连续抽取三次.
第五步，所得号码对应的3辆汽车就是要抽取的对象.
规律方法 抽签法的一般步骤
【训练2】 某校高一年级有43名足球运动员，要从中抽出5人抽查学习负担情况，用抽签法设计一个抽样方案.
解 第一步：编号，把43名运动员编号为1～43；
第二步：制签，做好大小、形状相同的号签，分别写上这43个数；
第三步：搅拌，将这些号签放在暗箱中，进行均匀搅拌.
第四步：抽签入样，每次从中抽取一个，连续抽取5次(不放回抽取)，从而得到容量为5的入选样本.
题型三 随机数表法的应用
【例3】 (1)要研究某种品牌的850颗种子的发芽率，从中抽取50颗种子进行实验，利用随机数表法抽取种子，先将850颗种子按001，002，…，850进行编号，如果从随机数表第3行第6列的数开始向右读，请依次写出最先检验的4颗种子的编号__________(下面抽取了随机数表的第1行至第5行).
03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 62 33 26 16 80 45 60 11 14 10 95
97 74 24 67 62 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 51 24 51 79 89 73
16 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53 13 55 38 58 59 88 97 54 14 10
12 56 85 99 26 96 96 68 27 31 05 03 72 93 15 57 12 10 14 21 88 26 49 81 76
55 59 56 35 64 38 54 82 46 22 31 62 43 09 90 06 18 44 32 53 23 83 01 30 30
(2)假设我们要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，应如何操作？
(1)解析 由随机数表的第3行第6列得4颗种子的编号依次为：227，665，650，267.
答案 227，665，650，267
(2)解 第一步，将800袋牛奶编号为000，001，…，799.
第二步，在随机数表中任选一个数作为起始数(例如选出第8行第7列的数7).
第三步，从选定的数7开始依次向右读，每次读三位(读数的方向也可以是向左、向上、向下等)，将编号范围内的数取出，编号范围外或重复的数去掉，直到取满60个号码为止，就得到一个容量为60的样本.
【变式1】 (变条件)在例3(1)的条件下，若从第4行第5列开始向右读，则最先检验的4颗种子的编号为________，________，________，________.
解析 从第4行第5列向右开始读依次为：668，273，105，037.
答案 668 273 105 037
【变式2】 (变问法)在例3(1)中若将“850颗种子”改为“1 850颗种子”，又如何编号？
解 可将1 850颗种子按0001，0002，…，1850进行编号.
规律方法 随机数表法抽样的步骤
(1)编号：这里的所谓编号，实际上是新编数字号码，编号位数相等.
(2)确定读数方向：为了保证选取数字的随机性，应在面对随机数表之前就指出开始数字的纵、横位置，然后确定读数方向.
(3)获取样本：读数在总体编号内的取出，而读数不在总体编号内的和已取出的不再取出，依次下去，直至得到容量为n的样本.
【训练3】 高三某班有34位同学，座位号记为01，02，…，34，用下面的随机数表选取5组数作为参加青年志愿者活动的五位同学的座号.选取方法是从随机数表第一行的第6列和第7列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第4个志愿者的座号为( )
49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20
96 43 84 26 34 91 64 57 24 55 06 88 77
04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06
A.23 B.09
C.02 D.16
解析 从随机数表第一行的第6列和第7列数字35开始，由左到右依次选取两个数字，不超过34的依次为21，32，09，16，17，第四个志愿者的座号为16.
答案 D
一、素养落地
1.通过本节课的学习，培养学生运用数学抽象的思维方式思考并解决问题的能力，提升学生数据分析、逻辑推理和数学抽象素养.
2.本节重点是掌握抽签法和随机数表法的步骤和应用条件.
二、素养训练
1.医生要检验病人血液中血脂的含量，采取的调查方法应该是( )
A.普查
B.抽样调查
C.既不能普查也不能抽样调查
D.普查与抽样调查都可以
解析 医生在检验病人血液中血脂的含量时，通常抽取少量的血样进行检验，故选B.
答案 B
2.从某实验班45名同学中随机抽取5名同学参加“挑战杯”竞赛，将45名同学编号为01，02，…，45，用随机数表法确定这5名同学，现将随机数表摘录部分如下：
16
22
77
94
39
49
54
43
54
82
17
37
93
23
78
87
35
20
96
43
84
42
17
53
31
57
24
55
06
88
77
04
74
47
67
21
76
33
50
25
从随机数表第一行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的第5个同学的编号为( )
A.23 B.37
C.35 D.17
解析 直接结合随机数表进行求解即可，故选A.
答案 A
3.有如下抽取样本的方式：
(1)从无限多个个体中抽取100个个体；
(2)盒子中有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验，在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里；
(3)某班45名同学，指定个子最高的5人参加某活动；
(4)从50名大学生中，抽取5人调查其晚间休息质量.
其中属于简单随机抽样的是________(只填序号).
解析 (1)不是简单随机抽样，由于被抽取的总体的个体数是无限的.
(2)不是简单随机抽样，由于它是有放回抽样.
(3)不是简单随机抽样，因为不是等可能抽样.
(4)是简单随机抽样.
答案 (4)
4.学校举办元旦晚会，需要从每班选10名男生，8名女生参加合唱节目，某班有男生32名，女生28名，试用抽签法确定该班参加合唱的同学.
解 第一步，将32名男生从00到31进行编号；
第二步，用相同的纸条制成32个号签，在每个号签上写上这些编号；
第三步，将写好的号签放在一个容器内摇匀，不放回地逐个从中抽出10个号签；
第四步，相应编号的男生参加合唱；
第五步，用相同的办法从28名女生中选出8名，
则此8名女生参加合唱.
基础达标
一、选择题
1.在获取数据的途径中，下列为直接收集数据的是( )
A.十三届全国人大代表共2 980人
B.2017年《中国新歌声2》在同类综艺节目中收视率排名第2名
C.平昌冬奥会闭幕式，北京惊艳8分钟
D.小明测得自己的身高为180 cm
解析 小明测得自己的身高为直接收集的数据，故选D.
答案 D
2.下面的四个问题中可以用抽样调查方法的是( )
A.检验10件产品的质量
B.银行对公司10万元存款的现钞的真假检验
C.跳伞运动员检查20个伞包及伞的质量
D.检验一批汽车的防碰撞性能
解析 根据抽样调查与普查的概念可知A，B，C一般采用普查的方法，只有D是采用抽样调查的方法.
答案 D
3.从某年级500名学生中抽取60名学生进行身高的统计分析，下列说法正确的是( )
A.500名学生是总体
B.每个被抽查的学生是个体
C.抽取的60名学生的身高是一个样本
D.抽取的60名学生的身高是样本容量
解析 由于抽取的是60名学生的身高，因此500名学生的身高是总体，每个学生的身高是个体，抽取的60名学生的身高构成一个样本，样本的容量为60.
答案 C
4.抽签法确保样本代表性的关键是( )
A.制签 B.搅拌均匀
C.逐一抽取 D.抽取不放回
解析 若样本具有很好的代表性，则每一个个体被抽取的机会相等，故需要对号签搅拌均匀.
答案 B
5.下列抽样方法中是简单随机抽样的是( )
A.在机器传送带上抽取30件产品作为样本
B.在无限多个个体中抽取50个个体作为样本
C.箱子里共有100个零件，今从中选取10个零件进行检验，在抽样操作时，每次任意地拿出一个零件进行质量检验，检验后不再把它放回箱子里，直到抽取10个零件为止
D.从50个个体中一次性抽取5个个体作为样本
解析 A不是，因为传送带上的产品数量不确定；B不是，因为个体的数量无限；C是，因为满足简单随机抽样的定义；D不是，因为它不是逐个抽取.
答案 C
二、填空题
6.用随机数表法从100名学生(男生25人)中抽选20人进行评教，某男学生被抽到的可能性是________.
解析 因为样本容量为20，总体容量为100，所以总体中每个个体被抽到的可能性都为＝0.2.
答案 0.2
7.下列调查方式中比较合理的是________.
①了解浙江卫视“奔跑吧兄弟”综艺节目的收视率，采用抽查的方式；
②了解某渔场中青鱼的平均质量，采用抽查的方式；
③了解iphone 6s手机的使用寿命，采用普查的方式；
④了解一批新能源电动汽车的刹车性能，采用普查的方式.
解析 ①②采用抽查方式；
③了解手机寿命的过程会有破坏性，应采用抽查方式；
④了解汽车刹车性能，因涉及人身安全，对汽车没有破坏性，应采用普查的形式.
答案 ①②④
8.考察某公司生产的500克袋装牛奶的三聚氰胺含量是否超标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数“3”开始向右读，则得到的第4个样本个体的编号是________(下面摘取了随机数表中的第7行至第9行).
第7行 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67
21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
第8行 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75
12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
第9行 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38
15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
解析 由随机数表可以看出前4个样本个体的编号是331，572，455，068.所以第4个样本个体的编号是068.
答案 068
三、解答题
9.在生产实践中，检查袋装牛奶是否合格时往往是从一大批袋装牛奶中抽样，也就是说总体中的个体数很大时往往采取抽查的方式，你能从这个例子出发说明一下抽查的必要性吗？
解 如果普查，那么费时费力，等检查完了，牛奶的保质期可能就到了，况且检查牛奶具有破坏性，每袋牛奶检查时必须拆开，这样检查就会得不偿失，没有什么意义了.
10.某校2018级高一年级有50位任课教师，为了调查老师的业余兴趣情况，打算抽取一个容量为5的样本，问此样本若采用抽签法将如何获得？
解 首先，把50位任课教师编上号码：1，2，3，…，50.制作50个形状、大小相同的号签(号签可以用小球、卡片、纸条等制作)，然后将这些号签放在同一个不透明的箱子里，进行均匀搅拌.抽签时，每次从中抽出1个号签，不放回，连续抽取5次，就得到一个容量为5的样本.
能力提升
11.用简单随机抽样方法从含有10个个体的总体中，抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性、“第二次被抽到”的可能性分别是( )
A.， B.，
C.， D.，
解析 简单随机抽样中每个个体每次被抽取的机会均等，都为.
答案 A
12.现有一批编号为10，11，…，99，100，…，600的元件，打算从中抽取一个容量为6的样本进行质量检验.如何用随机数表法设计抽样方案？
解 (1)将元件的编号调整为010，011，012，…，099，100，…，600.
(2)在随机数表中任选一数作为开始数字，任选一方向作为读数方向.比如，选第6行第7列的数“0”，向右读(见课本随机数表6－2).
(3)每次读取三位，凡不在010～600中的数跳过去不读，前面已经读过的也跳过去不读，依次可得到370，016，203，503，211，491.
(4)以上号码对应的6个元件就是要抽取的样本.
创新猜想
13.(开放题)省农科站要检测某品牌种子的发芽率，计划采用随机数表法从该品牌800粒种子抽取60粒进行检测，可将这800粒种子编号为________(填一种即可).
解析 可以编号为：001，002，…，800，也可以编号为000，001，…，799等.
答案 001，002，……，800(答案不唯一，或000，001，…，799等，只需位数相同且为800个号码即可)
14.某合资企业有150名职工，要从中随机抽出20人去参观学习.请用抽签法和随机数表法进行抽取，并写出过程.
解 (抽签法)先把150名职工编号：1，2，3，…，150，把编号分别写在相同的小纸片上，揉成小球，放入一个不透明的袋子中，充分搅拌均匀后，从中逐个不放回地抽取20个小球，这样就抽出了去参观学习的20名职工.
(随机数表法)第一步，先把150名职工编号：001，002，003，…，150.
第二步，从随机数表(如表6－2)中任选一个数，如第10行第4列数“9”.
第三步，从数字9开始向右连续读数，每3个数字为一组，在读取的过程中，把大于150的数和与前面重复的数去掉，这样就得到20个号码如下：
019，058，005，002，054，115，062，004，131，094，071，114，138，003，047，013，060，024，008，093.
这20个号码对应的职工就是去参观学习的20名职工.
课件39张PPT。第五章 统计与概率 [数学文化]——了解数学文化的发展与应用
概率论起源于15世纪中叶，尽管任何一个数学分支的产生与发展都不外乎是社会生产、科学技术自身发展的推动，然而概率论的产生，却肇事于所谓的“赌金分配问题”.帕斯卡 费马1494年意大利数学家帕西奥尼(1445～1509)出版了一本有关算术技术的书.书中叙述了这样的一个问题：在一场赌博中，某一方先胜6局便算赢家，那么，当甲方胜了4局，乙方胜了3局的情况下，因出现意外，赌局被中断，无法继续，此时，赌金应该如何分配？帕西奥尼的答案是：应当按照4∶3的比例把赌金分给双方，当时，许多人都认为帕西奥尼的分法不是那么公平合理，
因为已胜了4局的一方只要再胜2局就可以拿走全部的赌金，而
另一方则需要胜3局，并且至少有2局必须连胜，这样要困难得
多.但是，人们又找不到更好的解决方法.在这以后100多年中，
先后有多位数学家研究过这个问题，但均未得到过正确的答
案.直到1654年一位经验丰富的法国赌徒默勒以自己的亲身经
历向帕斯卡请教“赌金分配问题”，引起了这位法国天才数学家的兴趣，并促成了帕斯卡与费马这两位大数学家之间就此问题展开的异乎寻常频繁的通信，他们分别用了自己的方法独立而又正确地解决了这个问题.惠更斯帕斯卡和费马以“赌金分配问题”开始的通信形式讨论，开创了概率论研究的先河.后来荷兰数学家惠更斯(1629～1695)也参加了这场讨论，并写出了关于概率论的第一篇正式论文《赌博中的推理》.帕斯卡、费马、惠更斯一起被誉为概率论的创始人.事至今日，概率论已经在各行各业中得到了广泛的应用，发展成为一门极其重要的数学学科.[读图探新]——发现现象背后的知识
据《西墅记》所载，唐明皇与杨贵妃掷骰子戏娱，唐明皇的战况不佳，只有让六个骰子中的两个骰子同时出现“四”才能转败为胜.于是唐明皇一面举骰投掷，一面连呼“重四”.骰子停定，正好重四.唐明皇大悦，命令高力士将骰子的四点涂为红色，红色通常是不能乱用的.因此直到今天，骰子的幺、四两面为红色，其余四面都是黑色.问题：您能算出唐明皇转败为胜的概率是多少吗？若同时掷两颗骰子，朝上的点数有多少种不同的结果，你能写出对应的样本空间吗？点数不大于7这一事件包含哪几个基本事件？你能求出对应事件的概率吗？这个事件对应的概率是什么类型的概率？求解此类概型的概率的方法是什么？
链接：同时掷两颗不同的骰子，朝上的点数有36种不同的结果，这个试验的基本事件空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}.5.1 统 计
5.1.1 数据的收集
第一课时 总体与个体、简单随机抽样教材知识探究2018年2月9日～25日，第23届冬季奥林匹克运动会在韩国平昌举行，以下是来自腾讯网的平昌奥运会奖牌榜，同时对超过3 100例运动员进行兴奋剂检测，这是奥运史上最多的一次.2018年平昌冬奥会奖牌榜 腾讯体育 腾讯网问题1 我们看到的奖牌榜是通过腾讯网得到的，这是直接收集还是间接收集数据？
问题2 平昌冬奥会是对所有的运动员进行兴奋剂检测吗？进行了普查还是抽查？
提示 1.间接收集.2.不是，抽查.1.总体、个体、样本考察问题涉及的 是总体，总体中每个对象是个体，抽取的 组成总体的一个样本，一个样本中包含的 是样本容量.定义：一般地，对总体中每个个体都进行考察的方法称为普查(也称为全面调查).
优点：普查能够了解总体中每个个体的情况，从而能准确地掌握总体的特征.与样本容量均是数值指标且有“单位”2.普查与抽样调查(1)普查(全面调查) 注意适用条件对象全体部分对象个体数目适用条件：在总体包含的个体总数不大，或有特殊需要的情况下，可以采用普查的方法.定义：只抽取样本进行考察的方法称为抽样调查.
适用条件：普查的方法有时会因为各种原因而无法实施，例如成本太高、时间上不容许、考察方法具有破坏性等，此时抽样调查就成了不二选择.(2)抽样调查抽取样本具有代表性3.简单随机抽样1.总体中的每一个个体都有相等的机会被抽到.2.简单随机抽样是其它各种抽样方法的基础(1)定义：一般地，简单随机抽样(也称为纯随机抽样)就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取个体.
(2)适用条件：当总体中的个体之间差异程度较 和总体中个体数目较 时，通常采用这种方法.小少先把总体中的N个个体 ，并把编号依次分别写在形状、大小 的签上(签可以是纸条、卡片或小球等)，然后将这些号签放在同一个容器中，搅拌均匀后，每次随机地从中抽取 ，然后将箱中余下的号签摇均匀，再进行下一次抽取.如此下去，直至抽到预先设定的样本容量.总体容量较小时简单易行，关键步骤是要搅拌均匀(3)两种方法①抽签法编号相同一个②随机数表法1.总体容量较大，且个体之间差异较小时适用.2.编号位数相等，预先确定读数规则且不能变更用随机数表进行简单随机抽样的一般步骤为：
(1)对总体进行编号.
(2)在随机数表中任意指定一个开始选取的位置.位置的确定可以闭着眼用手指随机确定，也可用其他方式随机确定.
(3)按照一定规则选取编号.例如，若编号是两位，规则可以是每次从左往右选取两个数字，也可以是每次只选取每一组的前两个数字，还可以是每次只选取下面一行同一位置对应的两个数字，等等.规则一经确定，就不能更改.在选取过程中，遇到超过编号范围或已经选取了的数字，应该舍弃.
(4)按照得到的编号找出对应的个体.教材拓展补遗
[微判断]
1.某校期末考试后，为了分析该校高一年级1 000名学生的学习成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩单.判断下列说法的正误.
(1)1 000名学生是总体.( )
(2)每名学生是个体.( )
(3)每名学生的成绩是所抽取的一个样本.( )
(4)样本的容量是100.( )
提示 1 000名学生的成绩是统计中的总体，每个学生的成绩是个体，被抽取的100名学生的成绩是一个样本，其样本的容量为100.所以(4)对.×××√2.判断下列抽样方法是否属于简单随机抽样？
(1)运动员从8个跑道中随机抽取一个跑道.( )
(2)从20个零件中一次性拿出3个来检验质量.( )
(3)某班有50名学生，指定其中成绩优异的2名学生参加一次学科竞赛.( )
(4)为了保证食品安全，从某厂提供的一批月饼中，拿出一个检查后放回，再拿一个检查，反复5次，拿了5个月饼进行检查.( )
提示 (2)错，因为不是逐个抽样；(3)错，因为不是等可能抽样；(4)错，由于它是有放回抽样.√×××[微训练]
1.对于简单随机抽样，每个个体每次被抽到的机会都( )
A.不等 B.相等 C.有时相等 D.不确定
答案 B
2.用随机数表法进行抽样有以下几个步骤：①将总体中的个体编号；②获取样本号码；③选定开始的数字，按照一定的方向读数，这些步骤的先后顺序应为________.
解析 因为用随机数表法进行抽样，包含这样的步骤：
①将总体中的个体编号；②选定开始的数字，按照一定的方向读数；③获取样本号码.所以排序为①③②.
答案 ①③②[微思考]
1.下列调查中，哪些必须采用“普查”，并说明理由.
(1)调查某品牌电视机的市场占有率；
(2)调查高一(1)班的男女同学的比例；
(3)调查某电视连续剧在全国的收视率；
(4)调查某型号炮弹的射程.
提示 (2)必须采用普查.因为调查的是全班级的每个学生，且人数不是太多.
2.简单随机抽样是不放回抽样，对于有放回的抽样可以是简单随机抽样吗？
提示 不可以.简单随机抽样是从总体中逐个抽取的，是一种不放回抽样，也就是每次从总体中取出一个元素后不再放回总体，若放回，则一定不是简单随机抽样.题型一 【例1】 下列调查中哪些是用普查方式，哪些是用抽查方式收集数据的？
(1)为了了解我们班级的每个学生穿几号鞋，向全班同学做调查；
(2)为了了解我们学校高一年级学生穿几号鞋，向我们所在班的全体同学做调查；
(3)为了了解我们班的同学们每天睡眠时间，在每个小组中各选取2名学生做调查；
(4)为了了解我们班的同学们每天的睡眠时间，选取班级中学号为双数的所有学生做调查.抽样调查与普查根据二者的适用条件判别解 (1)因为调查的是班级的每个学生，所以用的是普查.
(2)通过我们班的全体同学穿几号鞋来了解学校高一年级学生穿几号鞋，这是抽样调查，样本是我们班的全体同学所穿的鞋号，总体是学校高一年级学生所穿的鞋号.
(3)、(4)也都是抽样调查，样本分别是每小组中选取的2名学生的睡眠时间，学号为双数的所有学生的睡眠时间；总体是我们班的同学每天的睡眠时间.规律方法 1.在抽样调查中要注意以下事项
(1)样本抽取具有随机性：即在抽取样本时总体的每个个体被抽到的可能性相等.
(2)样本抽取具有代表性：当总体数目较大且个体有明显差异时，要特别注意样本的代表性.2.普查与抽样调查的特点【训练1】 一些期刊杂志社经常会请一些曾经高考落榜而在某方面的事业上取得成就的著名专家、学者，谈他们对高考落榜的看法，这些名人所讲的都是大同小异，不外乎“我也有过落榜的沮丧，但从长远看，它有益于我的人生”，“我是因祸得福，落榜使我走了另一条成功之路”等等.小明据此得出一条结论：上大学不如高考落榜，他的结论正确吗？
解 小明的结论是错误的.在众多的高考落榜生中，走出另外一条成功之路的是少数，小明通过研究一些期刊杂志社报道过的一些成功人士就得出结论是片面的，因为他的抽样不具有代表性.题型二 【例2】 要从某汽车厂生产的30辆汽车中随机抽取3辆进行测试，请选择合适的抽样方法，并写出抽样过程.
解 本题中总体容量较小，样本的容量也小，故可选用抽签法来抽取含3个个体的样本，其抽样过程如下：
第一步，将30辆汽车进行编号，所编号码是01，02，…，30.
第二步，将号码分别写在大小、外观相同的纸条上，揉成团，制成号签.
第三步，将全部号签放入一个袋子中，并搅拌均匀.
第四步，每次从袋子中不放回地抽取1个号签，并记录上面的编号，连续抽取三次.
第五步，所得号码对应的3辆汽车就是要抽取的对象.抽签法的应用号签要搅拌均匀，不放回依次抽取，每次取一个规律方法 抽签法的一般步骤【训练2】 某校高一年级有43名足球运动员，要从中抽出5人抽查学习负担情况，用抽签法设计一个抽样方案.
解 第一步：编号，把43名运动员编号为1～43；
第二步：制签，做好大小、形状相同的号签，分别写上这43个数；
第三步：搅拌，将这些号签放在暗箱中，进行均匀搅拌.
第四步：抽签入样，每次从中抽取一个，连续抽取5次(不放回抽取)，从而得到容量为5的入选样本.题型三 【例3】 (1)要研究某种品牌的850颗种子的发芽率，从中抽取50颗种子进行实验，利用随机数表法抽取种子，先将850颗种子按001，002，…，850进行编号，如果从随机数表第3行第6列的数开始向右读，请依次写出最先检验的4颗种子的编号__________(下面抽取了随机数表的第1行至第5行).随机数表法的应用03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 62 33 26 16 80 45 60 11 14 10 95
97 74 24 67 62 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 51 24 51 79 89 73
16 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53 13 55 38 58 59 88 97 54 14 10
12 56 85 99 26 96 96 68 27 31 05 03 72 93 15 57 12 10 14 21 88 26 49 81 76
55 59 56 35 64 38 54 82 46 22 31 62 43 09 90 06 18 44 32 53 23 83 01 30 30
(2)假设我们要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，应如何操作？(1)解析 由随机数表的第3行第6列得4颗种子的编号依次为：227，665，650，267.
答案 227，665，650，267
(2)解 第一步，将800袋牛奶编号为000，001，…，799.
第二步，在随机数表中任选一个数作为起始数(例如选出第8行第7列的数7).
第三步，从选定的数7开始依次向右读，每次读三位(读数的方向也可以是向左、向上、向下等)，将编号范围内的数取出，编号范围外或重复的数去掉，直到取满60个号码为止，就得到一个容量为60的样本.【变式1】 (变条件)在例3(1)的条件下，若从第4行第5列开始向右读，则最先检验的4颗种子的编号为________，________，________，________.
解析 从第4行第5列向右开始读依次为：668，273，105，037.
答案 668 273 105 037【变式2】 (变问法)在例3(1)中若将“850颗种子”改为“1 850颗种子”，又如何编号？
解 可将1 850颗种子按0001，0002，…，1850进行编号.
规律方法 随机数表法抽样的步骤
(1)编号：这里的所谓编号，实际上是新编数字号码，编号位数相等.
(2)确定读数方向：为了保证选取数字的随机性，应在面对随机数表之前就指出开始数字的纵、横位置，然后确定读数方向.
(3)获取样本：读数在总体编号内的取出，而读数不在总体编号内的和已取出的不再取出，依次下去，直至得到容量为n的样本.【训练3】 高三某班有34位同学，座位号记为01，02，…，34，用下面的随机数表选取5组数作为参加青年志愿者活动的五位同学的座号.选取方法是从随机数表第一行的第6列和第7列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第4个志愿者的座号为( )
49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20
96 43 84 26 34 91 64 57 24 55 06 88 77
04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06
A.23 B.09 C.02 D.16
解析 从随机数表第一行的第6列和第7列数字35开始，由左到右依次选取两个数字，不超过34的依次为21，32，09，16，17，第四个志愿者的座号为16.
答案 D一、素养落地
1.通过本节课的学习，培养学生运用数学抽象的思维方式思考并解决问题的能力，提升学生数据分析、逻辑推理和数学抽象素养.
2.本节重点是掌握抽签法和随机数表法的步骤和应用条件.二、素养训练
1.医生要检验病人血液中血脂的含量，采取的调查方法应该是( )
A.普查
B.抽样调查
C.既不能普查也不能抽样调查
D.普查与抽样调查都可以
解析 医生在检验病人血液中血脂的含量时，通常抽取少量的血样进行检验，故选B.
答案 B2.从某实验班45名同学中随机抽取5名同学参加“挑战杯”竞赛，将45名同学编号为01，02，…，45，用随机数表法确定这5名同学，现将随机数表摘录部分如下：从随机数表第一行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的第5个同学的编号为( )
A.23 B.37 C.35 D.17
解析 直接结合随机数表进行求解即可，故选A.
答案 A3.有如下抽取样本的方式：
(1)从无限多个个体中抽取100个个体；
(2)盒子中有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验，在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里；
(3)某班45名同学，指定个子最高的5人参加某活动；
(4)从50名大学生中，抽取5人调查其晚间休息质量.
其中属于简单随机抽样的是________(只填序号).
解析 (1)不是简单随机抽样，由于被抽取的总体的个体数是无限的.
(2)不是简单随机抽样，由于它是有放回抽样.
(3)不是简单随机抽样，因为不是等可能抽样.
(4)是简单随机抽样.
答案 (4)4.学校举办元旦晚会，需要从每班选10名男生，8名女生参加合唱节目，某班有男生32名，女生28名，试用抽签法确定该班参加合唱的同学.
解 第一步，将32名男生从00到31进行编号；
第二步，用相同的纸条制成32个号签，在每个号签上写上这些编号；
第三步，将写好的号签放在一个容器内摇匀，不放回地逐个从中抽出10个号签；
第四步，相应编号的男生参加合唱；
第五步，用相同的办法从28名女生中选出8名，
则此8名女生参加合唱.第二课时 分层抽样
课标要求
素养要求
1.通过实例，了解分层抽样的特点和使用范围.
2.了解分层抽样的必要性，掌握各层样本量比例分配的方法.
通过分层抽样的学习，提升学生的数学运算、逻辑推理和数学抽象素养.
教材知识探究
为了考察某校的教学水平，将对这个学校高三年级部分学生的本学年考试成绩进行考察，为了全面地反映实际情况，采取以下三种方式进行抽查(已知该校高三年级共有20个教学班，并且每个班内的学生已经按随机方式编好了学号，假定该校每班学生人数都相同).
①从全年级20个班中任意抽取一个班，再从该班中任意抽取20人，考察他们的学习成绩；
②每个班都抽取1人，共计20人，考察这20个学生的成绩；
③把该校高三年级的学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别，从其中共抽取100名学生进行考察(已知若按成绩分，该校高三学生中优秀学生有150名，良好学生有600名，普通学生有250名).
问题1 上面三种抽取方式中各采用何种抽取样本的方法？
问题2 方式三中如何确定优秀生、良好生、普通生的抽取人数？这样抽取有什么好处？
问题3 在实际问题中，如何选择抽样方法？
提示 1.(1)简单随机抽样，(2)简单随机抽样，(3)分层抽样.
2.根据各层人数，这样更有代表性.
3.总体由差异明显的几部分组成时，采用分层抽样.否则，采用简单随机抽样.
分层抽样
1.定义：
一般地，如果相对于要考察的问题来说，总体可以分成有明显差别的、互不重叠的几部分时，每一部分可称为层，在各层中按层在总体中所占比例进行随机抽样的方法称为分层随机抽样(简称为分层抽样).
2.适用范围：当总体是由差异明显的几类个体构成，并且知道某一类个体在总体中所占的百分比时，通常采用分层抽样.
教材拓展补遗
[微判断]
分层抽样，即将相似的个体归入一类(层)，然后每层各抽若干个个体构成样本，所以分层随机抽样为保证每个个体等可能入样，判断下列说法的正误.
(1)每层内等可能抽样.(√)
(2)每层内不等可能抽样.(×)
(3)所有层用同一抽样比.(√)
(4)所有层抽同样多样本.(×)
提示 由分层抽样的概念知，所有层抽样比相同，且保证等可能入样.
[微训练]
1.为调查某班学生的平均身高，从50名学生中抽取5名，抽样方法是________；如果男生的身高和女生的身高有显著不同(男生30人，女生20人)，抽样方法是________.
答案 简单随机抽样 分层抽样
2.一个工厂有若干车间，今采用分层抽样的方法从全厂某天生产的2 048件产品中抽取一个容量为128的样本进行质量检查.若一车间这一天生产256件产品，从该车间抽取的产品件数为________.
答案 16
[微思考]
分层抽样的总体具有什么特性？
提示 分层抽样的总体由差异明显的几部分构成，也就是说当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本充分地反映总体的情况，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比例进行抽样.
题型一 分层抽样概念的理解
【例1】 下列问题中最适合用分层抽样抽取样本的是( )
A.从10名同学中抽取3人参加座谈会
B.某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125个，中等收入的家庭280个，低收入的家庭95个.为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本
C.从1000名工人中，抽取100名调查上班途中所用的时间
D.从生产流水线上，抽取样本检查产品质量
解析 B中的总体是由差异明显的几部分组成的，最适合用分层抽样.
答案 B
规律方法 分层抽样的依据
(1)适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；
(2)样本能更充分地反映总体的情况；
(3)等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都相等.
【训练1】 某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是________.
解析 因为三个年级的学生视力会存在明显差异，因此使用分层抽样.
答案 分层抽样
题型二 分层抽样中的相关计算
角度1 求样本各层中抽取的量
【例2－1】 (1)某市有大型超市200家，中型超市400家，小型超市1 400家.为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样的方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市________家.
(2)某单位共有老、中、青职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍.为了解职工的身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为________.
解析 (1)根据题意，可得抽样比为＝，故应抽取中型超市400×＝20(家).
(2)设该单位老年职工人数为x，由题意得3x＝430－160，解得x＝90.则样本中的老年职工人数为90×＝18.
答案 (1)20 (2)18
角度2 求总体容量
【例2－2】 交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层随机抽样调查，假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N为( )
A.101 B.808
C.1 212 D.2 012
解析 因为甲社区有驾驶员96人，并且在甲社区抽取的驾驶员的人数为12人，所以四个社区抽取驾驶员的比例为＝，所以驾驶员的总人数为(12＋21＋25＋43)÷＝808(人).
答案 B
规律方法 分层抽样中每层抽取的个体数的确定方法.
(1)已知总体容量、样本容量及各层的个体数时，首先确定抽样比，其中N为总体容量，n为样本容量；然后确定每层抽取的个体的个数ni＝Ni×，其中Ni为第i(i＝1，2，…，k)层的个体数，ni为第i层应抽取的个体数.
(2)已知各层个体数之比为m1∶m2∶…∶mk，样本容量为n时，每层抽取的个体数为ni＝n×(i＝1，2，…，k).
【训练2】 (1)某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150，150，400，300名学生.为了解学生的就业倾向，用分层随机抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为________.
(2)某企业三月中旬生产A，B，C三种产品共3 000件，根据分层随机抽样的结果，该企业统计员制作了如下的统计表：
由于不小心，表格中A，C产品的有关数据已被污染，导致看不清楚，统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，则C产品的数量是________件.
解析 (1)设应在丙专业抽取的学生人数为x，
则＝，
即＝，
解得x＝16.
(2)设C产品的数量为x件，则A产品的数量为3 000－1 300－x＝(1 700－x)件.设C产品的样本容量为a，则A产品的样本容量为10＋a，由分层随机抽样的定义可知＝＝，解得x＝800.
答案 (1)16 (2)800
题型三 分层抽样的设计
【例3】 某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级机关为了了解该政府机构的改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，并具体实施操作.
解 因为个体差异明显，为体现调查的公平性，应该采用分层抽样.
因为＝，
所以从副处级以上干部中抽取10×＝2(人)，
从一般干部中抽取70×＝14(人)，
从工人中抽取20×＝4(人).
因为副处级以上干部与工人人数都较少，可分别按1～10编号与1～20编号，然后采用抽签法分别抽取2人和4人.
一般干部有70人，人数较多，首先按00，01，…，69编号，然后利用随机数表法抽取14人.
规律方法 分层抽样的步骤
【训练3】 某市的3个区共有高中学生20 000人，且3个区的高中学生人数之比为2∶3∶5，各区高中学生的视力有明显差异，现要从所有学生中抽取一个容量为200的样本，调查该市高中学生的视力情况，试写出抽样过程.
解 (1)由于该市各区高中学生的视力有明显差异，故按3个区分成三层，用分层抽样来抽取样本.
(2)确定每层抽取个体的个数，在3个区分别抽取的学生人数之比是2∶3∶5，所以抽取的学生人数分别是200×＝40；200×＝60；200×＝100.
(3)在各层分别抽取样本.
(4)综合每层抽样，组成容量为200的样本.
一、素养落地
1.通过学习分层抽样，培养学生的数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.
2.认识简单随机抽样与分层抽样的区别与联系.
3.重点掌握分层抽样的步骤及有关计算.
二、素养训练
1.分层抽样适合的总体是( )
A.总体容量较多 B.样本容量较多
C.总体中个体有差异 D.任何总体
解析 根据分层随机抽样的特点可知选C.
答案 C
2.某单位有职工1 500人，其中青年职工700人，中年职工500人，老年职工300人.为了了解该单位职工的健康状况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为14人，则样本容量为( )
A.14 B.30
C.50 D.70
解析 设样本容量为N，由题意得＝，解得N＝30.
答案 B
3.某校做了一次关于“感恩父母”的问卷调查，从8～10岁，11～12岁，13～14岁，15～16岁四个年龄段回收的问卷依次为：120份，180份，240份，x份.因调查需要，从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300的样本，其中在11～12岁学生问卷中抽取60份，则在15～16岁学生中抽取的问卷份数为________.
解析 由题意可得＝，解得x＝360，故在15～16岁学生中抽取的问卷份数为360×＝120.
答案 120
4.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，求应从高二年级抽取的学生人数.
解 设应从高二年级抽取x名学生，则x∶50＝3∶10.解得x＝15.故应从高二年级抽取15名学生.
基础达标
一、选择题
1.某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名.现用分层随机抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为( )
A.6 B.8
C.10 D.12
解析 设在高二年级学生中抽取的人数为x，则＝，解得x＝8.
答案 B
2.为了保证分层抽样时每个个体等可能地被抽取，必须要求( )
A.每层不等可能抽样
B.每层抽取的个体数相等
C.每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取ni＝n(i＝1，2，…，k)个个体.(其中k是层数，n是抽取的样本容量，Ni是第i层中个体的个数，N是总体容量)
D.只要抽取的样本容量一定，每层抽取的个体数没有限制
解析 A不正确.B中由于每层的容量不一定相等，每层抽同样多的个体数，显然从整个总体来看，各层之间的个体被抽取的可能性就不一样了，因此B也不正确.C中对于第i层的每个个体，它被抽到的可能性与层数无关，即对于每个个体来说，被抽取的可能性是相同的，故C正确.D不正确.
答案 C
3.某校一、二、三年级共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表.已知在这三个年级学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在这三个年级中抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为( )
一年级
二年级
三年级
女生
373
x
y
男生
377
370
z
A.24 B.18
C.16 D.12
解析 依题意知二年级的女生有380名，那么三年级学生的人数应该是2 000－373－377－380－370＝500，故在分层随机抽样中应在三年级抽取的学生人数为×64＝16.
答案 C
4.某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测.若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是( )
A.4 B.5
C.6 D.7
解析 分层抽样中，按相同的抽样比来抽取，本题中抽样比为＝，因此植物油类应抽取10×＝2(种)，果蔬类食品应抽20×＝4(种)，因此从植物油类和果蔬类食品中抽取的种数之和为2＋4＝6.
答案 C
5.某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品数量之比为2∶3∶5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件.那么此样本的容量n等于( )
A.60 B.70
C.80 D.90
解析 由题意知，总体中A种型号产品所占的比是＝，因样本中A种型号产品有16件，则×n＝16，解得n＝80.故选C.
答案 C
二、填空题
6.某校有老师200人，男学生1 200人，女学生1 000人.现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本，已知从女学生中抽取的人数为80人，则n＝________.
解析 由题意得，＝，解得n＝192.
答案 192
7.某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1 200辆，6 000辆和2 000辆.为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取的辆数为________.
解析 设三种型号的轿车依次抽取x辆，y辆，z辆，则有解得故填6，30，10.
答案 6，30，10
8.为调查某高校学生对“一带一路”政策的了解情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为500的样本，其中大一年级抽取200人，大二年级抽取100人.若其他年级共有3 000人，则该校学生的总人数是________.
解析 由题意知，从其他年级抽取200人，又其他年级共有学生3 000人，所以该校学生的总人数是＝7 500.
答案 7 500
三、解答题
9.某网站欲调查网民对当前网页的满意程度，在登录的所有网民中收回有效贴子共50 000份，其中持各种态度的份数如下表所示：
很满意
满意
一般
不满意
10 800
12 400
15 600
11 200
为了了解网民的具体想法和意见，以便决定如何更改才能使网页更完美，打算从中抽选500份，为使样本更具有代表性，每类中各应抽选出多少份？
解 因为＝，所以＝108，＝124，＝156，＝112.故应从持四种态度的帖子中分别抽取108份、124份、156份、112份进行调查.
10.海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此商品的数量(单位：件)如下表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
地区
A
B
C
数量
50
150
100
求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量.
解 A，B，C三个地区商品的总数为50＋150＋100＝300，
故抽样比k＝＝，故A地区抽取的商品的数量为×50＝1；
B地区抽取的商品的数量为×150＝3；
C地区抽取的商品的数量为×100＝2.
能力提升
11.现有某工厂生产的甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品分别为150件、120件、180件、150件.为了调查产品的情况，需从这600件产品中抽取一个容量为100的样本，若采用分层抽样，设甲产品中应抽取产品件数为x，此次抽样中，某件产品A被抽到的可能性为y，则x，y的值分别为( )
A.25， B.20，
C.25， D.25，
解析 根据分层抽样的定义和方法可得＝，解得x＝25.
由于分层抽样的每个个体被抽到的可能性相等，则y＝＝.
答案 D
12.为了对某课题进行讨论研究，用分层抽样的方法从A，B，C三所高校的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表(单位：人)
高校
相关人数
抽取人数
A
x
1
B
36
y
C
54
3
(1)求x，y；
(2)若从高校B相关的人中选2人作专题发言，应采用什么抽样法，请写出合理的抽样过程.
解 (1)分层抽样是按各层相关人数和抽取人数的比例进行的，所以有：＝且＝，故x＝18，y＝2.
(2)总体容量和样本容量较小，所以应采用抽签法，过程如下：
第一步，将36人随机编号，号码为1，2，3，…，36；
第二步，将号码分别写在相同的纸片上，揉成团，制成号签；
第三步，将写好的号签放在一个容器中并搅拌均匀，依次不放回地抽取2个号签，并记下号码，则号码对应的两名相关人员即为被选的发言代表.
创新猜想
13.(多空题)在120个零件中有一级品24个，二级品36个，三级品60个，从中抽取一个容量为20的样本.若用简单随机抽样法抽取，则总体中每个个体被抽取的可能性为________；若按分层抽样，则总体中每个个体被抽取的可能性为________.
解析 简单随机抽样：因为总体中的个体数为N＝120，样本容量n＝20，故每个个体被抽到的可能性均为.
分层抽样：一、二、三级品数量之比为2∶3∶5，20×＝4，20×＝6，20×＝10，故从一、二、三级品中分别抽取4个、6个、10个产品，每个个体被抽到的可能性分别为，，，即都为.
答案
14.某单位最近组织了一次健身活动，活动小组分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加了其中一组.在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%.登山组的职工占参加活动总人数的，且该组中青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.为了了解各组不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层随机抽样法从参加活动的全体职工中抽取200人进行调查，试确定：
(1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；
(2)游泳组中，青年人、中年人、老年人应分别抽取的人数.
解 (1)设登山组人数为x，则游泳组人数为3x，再设游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a，b，c，则有＝47.5%，＝10%，
解得b＝50%，c＝10%，故a＝1－50%－10%＝40%.
所以游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40%，50%，10%.
(2)游泳组中，抽取的青年人人数为200××40%＝60(人)，抽取的中年人人数为200××50%＝75(人)，抽取的老年人人数为200××10%＝15(人).
课件26张PPT。第二课时 分层抽样教材知识探究为了考察某校的教学水平，将对这个学校高三年级部分学生的本学年考试成绩进行考察，为了全面地反映实际情况，采取以下三种方式进行抽查(已知该校高三年级共有20个教学班，并且每个班内的学生已经按随机方式编好了学号，假定该校每班学生人数都相同).①从全年级20个班中任意抽取一个班，再从该班中任意抽取20人，考察他们的学习成绩；
②每个班都抽取1人，共计20人，考察这20个学生的成绩；
③把该校高三年级的学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别，从其中共抽取100名学生进行考察(已知若按成绩分，该校高三学生中优秀学生有150名，良好学生有600名，普通学生有250名).问题1 上面三种抽取方式中各采用何种抽取样本的方法？
问题2 方式三中如何确定优秀生、良好生、普通生的抽取人数？这样抽取有什么好处？
问题3 在实际问题中，如何选择抽样方法？
提示 1.(1)简单随机抽样，(2)简单随机抽样，(3)分层抽样.
2.根据各层人数，这样更有代表性.
3.总体由差异明显的几部分组成时，采用分层抽样.否则，采用简单随机抽样.分层抽样
1.定义：
一般地，如果相对于要考察的问题来说，总体可以分成有明显 、 的几部分时，每一部分可称为层，在各层中按层在总体中所占比例进行随机抽样的方法称为分层随机抽样(简称为分层抽样).
2.适用范围：当总体是由 的几类个体构成，并且知道某一类个体在总体中所占的百分比时，通常采用分层抽样.差别的互不重叠差异明显教材拓展补遗
[微判断]
分层抽样，即将相似的个体归入一类(层)，然后每层各抽若干个个体构成样本，所以分层随机抽样为保证每个个体等可能入样，判断下列说法的正误.
(1)每层内等可能抽样.( )
(2)每层内不等可能抽样.( )
(3)所有层用同一抽样比.( )
(4)所有层抽同样多样本.( )
提示 由分层抽样的概念知，所有层抽样比相同，且保证等可能入样.√×√×[微训练]
1.为调查某班学生的平均身高，从50名学生中抽取5名，抽样方法是________；如果男生的身高和女生的身高有显著不同(男生30人，女生20人)，抽样方法是________.
答案 简单随机抽样 分层抽样
2.一个工厂有若干车间，今采用分层抽样的方法从全厂某天生产的2 048件产品中抽取一个容量为128的样本进行质量检查.若一车间这一天生产256件产品，从该车间抽取的产品件数为________.
答案 16[微思考]
分层抽样的总体具有什么特性？
提示 分层抽样的总体由差异明显的几部分构成，也就是说当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本充分地反映总体的情况，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比例进行抽样.题型一 分层抽样概念的理解
【例1】 下列问题中最适合用分层抽样抽取样本的是( )
A.从10名同学中抽取3人参加座谈会
B.某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125个，中等收入的家庭280个，低收入的家庭95个.为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本
C.从1000名工人中，抽取100名调查上班途中所用的时间
D.从生产流水线上，抽取样本检查产品质量
解析 B中的总体是由差异明显的几部分组成的，最适合用分层抽样.
答案 B规律方法 分层抽样的依据
(1)适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；
(2)样本能更充分地反映总体的情况；
(3)等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都相等.【训练1】 某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是________.
解析 因为三个年级的学生视力会存在明显差异，因此使用分层抽样.
答案 分层抽样题型二 分层抽样中的相关计算
角度1 求样本各层中抽取的量
【例2－1】 (1)某市有大型超市200家，中型超市400家，小型超市1 400家.为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样的方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市________家.
(2)某单位共有老、中、青职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍.为了解职工的身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为________.答案 (1)20 (2)18角度2 求总体容量
【例2－2】 交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层随机抽样调查，假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N为( )
A.101 B.808 C.1 212 D.2 012答案 B【训练2】 (1)某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150，150，400，300名学生.为了解学生的就业倾向，用分层随机抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为________.
(2)某企业三月中旬生产A，B，C三种产品共3 000件，根据分层随机抽样的结果，该企业统计员制作了如下的统计表：由于不小心，表格中A，C产品的有关数据已被污染，导致看不清楚，统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，则C产品的数量是________件.答案 (1)16 (2)800题型三 分层抽样的设计
【例3】 某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级机关为了了解该政府机构的改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，并具体实施操作.解 因为个体差异明显，为体现调查的公平性，应该采用分层抽样.因为副处级以上干部与工人人数都较少，可分别按1～10编号与1～20编号，然后采用抽签法分别抽取2人和4人.
一般干部有70人，人数较多，首先按00，01，…，69编号，然后利用随机数表法抽取14人.规律方法 分层抽样的步骤【训练3】 某市的3个区共有高中学生20 000人，且3个区的高中学生人数之比为2∶3∶5，各区高中学生的视力有明显差异，现要从所有学生中抽取一个容量为200的样本，调查该市高中学生的视力情况，试写出抽样过程.解 (1)由于该市各区高中学生的视力有明显差异，故按3个区分成三层，用分层抽样来抽取样本.(3)在各层分别抽取样本.
(4)综合每层抽样，组成容量为200的样本.一、素养落地
1.通过学习分层抽样，培养学生的数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.
2.认识简单随机抽样与分层抽样的区别与联系.
3.重点掌握分层抽样的步骤及有关计算.二、素养训练
1.分层抽样适合的总体是( )
A.总体容量较多 B.样本容量较多
C.总体中个体有差异 D.任何总体
解析 根据分层随机抽样的特点可知选C.
答案 C2.某单位有职工1 500人，其中青年职工700人，中年职工500人，老年职工300人.为了了解该单位职工的健康状况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为14人，则样本容量为( )
A.14 B.30 C.50 D.70答案 B3.某校做了一次关于“感恩父母”的问卷调查，从8～10岁，11～12岁，13～14岁，15～16岁四个年龄段回收的问卷依次为：120份，180份，240份，x份.因调查需要，从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300的样本，其中在11～12岁学生问卷中抽取60份，则在15～16岁学生中抽取的问卷份数为________.答案 1204.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，求应从高二年级抽取的学生人数.
解 设应从高二年级抽取x名学生，则x∶50＝3∶10.解得x＝15.故应从高二年级抽取15名学生.
