5.1.2 数据的数字特征
第一课时 最值、平均数、中位数、百分位数、众数
课标要求
素养要求
1.理解数据的最值、平均数、中位数、百分位数、众数的意义和作用.
2.会计算数据的这些数字特征，并能解决有关实际问题.
通过本节课的学习，提高学生的数据分析和数学运算素养.
教材知识探究
某校高一期中考试采用百分制，下面是贾老师所任两个班的英语成绩：
高一(1)班期中考试英语成绩
69 84 69 80 75 70 75 71 87 70 80 84 73 81 81 73
66 78 68 79 73 75 76 76 70 74 71 86 63 88
高一(2)班期中考试英语成绩
76 86 74 82 77 68 62 82 72 82 76 81 84 79 67 78
70 72 81 89 81 77 72 77 67 67 72 79 81 75
问题1 分别找出1班和2班的最高分和最低分.
问题2 这两个班哪一个班成绩较好？
提示1 1班最高分、最低分分别为88分，63分；2班最高分、最低分分别为89分，62分.
提示2 可通过两个班的平均成绩确定.
1.最值 一定是数据中的数
一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值，最值反映的是这组数最极端的情况.一般地，最大值用max表示，最小值用min表示.
2.平均数
常使用平均数来刻画一组数据的平均水平(或中心位置).平均数会受每一个数的影响，尤其是最大值、最小值，因此有时平均数并不能很好地表示这组数的中心位置
(1)定义：如果给定的一组数是x1，x2，…，xn，则这组数的平均数为＝(x1＋x2＋…＋xn).
这一公式在数学中常简记为＝xi，
其中的符号“∑”表示求和，读作“西格玛”，∑右边式子中的i表示求和的范围，其最小值与最大值分别写在∑的下面与上面.
求和符号∑具有以下性质：
① (xi＋yi)＝xi＋yi；② (kxi)＝kxi；③t＝nt.
(2)性质：一般地，利用平均数的计算公式可知，如果x1，x2，…，xn的平均数为，且a，b为常数，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均数为a＋b.
3.中位数、百分位数
(1)中位数
有时也可以借助中位数来表示一组数的中心位置，但不能比较全面地体现数据的分布特点
一般地，如果一组数有奇数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n＋1，则称xn＋1为这组数的中位数；如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n，则称 为这组数的中位数.
(2)百分位数
1.当数据个数较多时，可以借助多个百分位数来了解数据的分布特点.2.p%分位数可能不唯一，各种统计软件所得出的p%分位数可能会有差异
定义：一组数的p%(p∈(0，100))分位数指的是满足下列条件的一个数值：至少有p%的数据不大于该值，且至少有(100－p)%的数据不小于该值.,直观理解：一组数的p%分位数指的是，将这组数按照从小到大的顺序排列后，处于p%位置的数.,确定方法：设一组数按照从小到大排列后为x1，x2，…，xn，计算i＝np%的值，如果i不是整数，设i0为大于i的最小整数，取xi0为p%分位数；如果i是整数，取 为p%分位数.特别地，规定：0分位数是x1(即最小值)，100%分位数是xn(即最大值).
4.众数
有些情形中，用众数来描述一组数据的中心位置，众数一定是数据中的数
一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的频数，出现次数最多的数据称为这组数据的众数.)
教材拓展补遗
[微判断]
1.对于数据3，3，2，3，6，3，10，3，6，3，2，判断下列说法的正误.
(1)这组数据的众数是3.(√)
(2)这组数据的众数与中位数的数值不相等.(×)
(3)这组数据的中位数与平均数的数值相等.(×)
(4)这组数据的平均数与众数的数值相等.(×)
提示 在这11个数中，数3出现了6次，频率最高，故众数是3；将这11个数按从小到大顺序排列得2，2，3，3，3，3，3，3，6，6，10，中间数据是3，故中位数是3；而平均数
＝＝4.
故只有(1)正确.
2.(1)描述一组数据极端情况的数字特征是最值.(√)
(2)描述一组数据中心位置的数字特征可以是平均数、中位数和众数.(√)
(3)百分位数可用于了解数据的分布特点.(√)
[微训练]
1.高一(18)班十位同学的数学测试成绩分别为：82，91，73，84，98，99，101，118，98，110，则该组数据的中位数是________.
解析 把这组数据由小到大排列为73，82，84，91，98，98，99，101，110，118，可知中位数为＝98.
答案 98
2.若一组数据8，9，11，12，x的平均数为10，则实数x＝________.
解析 由＝10，
得x＝10.
答案 10
3.已知一组数据为－3，5，7，x，11，且这组数据的众数为5，那么该组数据的中位数是________.
解析 由这组数据的众数为5，可知x＝5.把这组数据由小到大排列为－3，5，5，7，11，则可知中位数为5.
答案 5
[微思考]
1.一组互不相等的数据从小到大排列为：x1，x2，…，xn，什么情况下，其p%(p∈(0，100))分位数一定是数据中的数？
提示 若i＝np%不是整数时，设i0为大于i的最小整数，取xi0为p%分位数，xi0是数据中的数.
2.2016年我国城镇居民人均收入为33 616元，农村居民人均收入为12 363元，由此得到2016年我国居民人均收入为＝22 989.5(元)，这样计算正确吗？
提示 我国居民人均收入的计算方法应为：(城镇居民人均收入×城镇居民人口数＋农村居民人均收入×农村居民人口数)÷(城镇居民人口数＋农村居民人口数)，故不正确.
题型一 最值、众数的确定 它们都是数据中的数
【例1】 确定数据：68，69，71，63，70，68，69，71，69，72的最值和众数.
解 把所给数据从小到大排列为63，68，68，69，69，69，70，71，71，72，则最大值为72，最小值为63，众数为69.
规律方法 1.把数据从小到大排列；
2.根据定义即可确定最值和众数.
【训练1】 确定数据：9.4，8.4，9.4，9.9，9.6，9.7的最值和众数.
解 把数据从小到大排列为8.4，9.4，9.4，9.6，9.7，9.9，则最大值为9.9，最小值为8.4，众数为9.4.
题型二 中位数、百分位数的确定
【例2】 确定数据：1，2，2，2，2，3，3，3，5，5，6，6，8，8，9，10，10，12，13，13的中位数，78%分位数.
解 因为所给数据已从小到大排列，共为20个，
而且i1＝20×50%＝10为整数，
i2＝20×78%＝15.6不为整数，
所以这组数据的中位数为＝＝5.5，
78%分位数为x16＝10.
规律方法 1.把数据从小到大排列为x1，x2，…，xn；
2.若i＝np%为整数，则p%分位数为；若i＝np%不是整数，取i0为大于i的最小整数，则xi0即为p%分位数.
【训练2】 确定数据0，0，0，0，1，1，2，3，4，5，6，6，7，7，10，14，14，14，14，15的28%分位数和75%分位数.
解 因为数据已从小到大排列，共有20个.
而且i1＝20×28%＝5.6，不为整数，
i2＝20×75%＝15是整数，
因此，此数据的28%分位数为x6＝1，75%分位数为＝＝12.
题型三 平均数的计算
【例3】 求数据18.9，19.5，19.5，19.2，19，18.8，19.5的平均数.
解 方法一 (用定义式)这组数据的平均数为×(18.9＋3×19.5＋19.2＋19＋18.8)＝19.2.
方法二 (用性质)将每一个数乘以10，再减去190，可得－1，5，5，2，0，－2，5.
这组新数的平均数为
×(－1＋5＋5＋2＋0－2＋5)＝2.
故所求平均数为19.2.
规律方法 (1)用定义式；
(2)用平均数的性质；
(3)在容量为n的一组数据中，若数据x1有n1个，x2有n2个，…，xk有nk个，且n＝n1＋n2＋…＋nk，则这组数据的平均数为(n1x1＋n2x2＋…＋nkxk)＝x1＋x2＋…＋xk.
【训练3】 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示：
成绩(单位：m)
1.50
1.60
1.65
1.70
1.75
1.80
1.85
1.90
人数
2
3
2
3
4
1
1
1
分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数.(保留两位小数)
解 在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75.上面表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是1.70；这组数据的平均数是＝(1.50×2＋1.60×3＋…＋1.90×1)＝≈1.69(m).
一、素养落地
1.通过学习最值、平均数、中位数、百分位数和众数等数字特征，培养数据分析和数学运算素养.
2.众数、中位数、平均数的意义
(1)样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息，平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大.
(2)当一组数据中有不少数据重复出现时，其众数往往更能反映问题，当一组数据中个别数据较大时，可用中位数描述其中心位置.
二、素养训练
1.一个样本数据按从小到大的顺序排列为13，14，19，x，23，27，28，31，中位数为22，则x等于( )
A.21 B.22
C.23 D.19
解析 一共8个数，所以中位数为中间两数的平均数，即＝22，x＝21，故选A.
答案 A
2.一组观察值4，3，5，6出现的次数分别为3，2，4，2，则样本平均值约为( )
A.4.55 B.4.5
C.12.5 D.1.64
解析 由条件得＝(4×3＋3×2＋5×4＋6×2)≈4.55.
答案 A
3.某产品售后服务中心随机选取了10个工作日，分别记录了每个工作日接到的客户服务电话的数量(单位：次)：
63 38 25 42 56 48 53 39 28 47
则上述数据的50%分位数为________.
解析 把这组数据从小到大排序：25，28，38，39，42，47，48，53，56，63，则10×50%＝5.
所以50%分位数为＝＝44.5.
答案 44.5
4.已知x1，x2，…，xn的平均数为，计算 (xi－)的值.
解 (xi－)＝(x1＋x2＋…＋xn)－n
＝(x1＋x2＋…＋xn)－n·(x1＋x2＋…＋xn)
＝0.
基础达标
一、选择题
1.已知一组数据从小到大排列为－1，0，4，x，6，15，且这组数据的中位数是5，那么这组数据的众数为( )
A.5 B.6
C.4 D.5.5
解析 由题意得(4＋x)＝5，得x＝6.故众数为6.
答案 B
2.如果数据x1，x2，…，xn的平均数是，则3x1＋2，3x2＋2，…，3xn＋2的平均数是( )
A. B.3
C.3＋2 D.以上均不是
解析 由平均数的性质可知所求平均数为3＋2.
答案 C
3.已知甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩分别为甲：9，12，1x，24，27，乙：9，15，1y，18，24(单位：分).其中x，y为两个不清楚的数据，若甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为( )
A.2，5 B.5，5
C.5，8 D.8，8
解析 因为甲组数据的中位数为15，所以易知x＝5，又乙组数据的平均数为16.8，所以＝16.8，解得y＝8.
答案 C
4.某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各有1人，则该小组数学成绩的平均数、众数、中位数分别是( )
A.85分，85分，85分 B.87分，85分，86分
C.87分，85分，85分 D.87分，85分，90分
解析 平均数为＝87(分)，众数为85分，中位数为85分，故选C.
答案 C
5.某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，则由此求出的平均数与实际平均数的差是( )
A.3.5 B.－3
C.3 D.－0.5
解析 少输入90，＝3，平均数少3，求出的平均数减去实际平均数为－3.
答案 B
二、填空题
6.在一次歌手大奖赛上，七位评委为某歌手打出的分数如下：
9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7
去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数分别为________.
解析 7个数据中去掉一个最高分和一个最低分后，余下的5个数为：9.4 9.4 9.6 9.4 9.7
则平均数为：
＝＝9.5.
答案 9.5
7.下表记录了某地区一年之内的月平均降水量.
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
月平均降水量/cm
5.8
4.8
5.3
4.6
5.6
5.6
5.1
7.1
5.6
5.3
6.4
6.6
则25%分位数为________.
解析 把这组数据按由小到大的顺序排列，得：4.6，4.8，5.1，5.3，5.3，5.6，5.6，5.6，5.8，6.4，6.6，7.1，i＝12×25%＝3为整数，则25%分位数为＝5.2.
答案 5.2
8.某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班，其中甲班40人，乙班50人.现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是________分.
解析 由题知两个班总成绩为40×90＋50×81＝7 650(分)，总人数为40＋50＝90，所以平均成绩为＝85(分).
答案 85
三、解答题
9.欧洲联盟委员会和荷兰环境评估署于2015年12月公布了20个国家和地区的二氧化碳排放总量及人均二氧化碳排放量，结果如下表：
国家和地区
排放总量/千吨
人均排放量/吨
国家和地区
排放总量/千吨
人均排放量/吨
中国
10 330 000
7.4
巴西
480 000
2.0
美国
5 300 000
16.6
英国
480 000
7.5
欧盟
3 740 000
7.3
墨西哥
470 000
3.9
印度
2 070 000
1.7
伊朗
410 000
5.3
俄罗斯
1 800 000
12.6
澳大利亚
390 000
16.9
日本
1 360 000
10.7
意大利
390 000
6.4
德国
840 000
10.2
法国
370 000
5.7
韩国
630 000
12.7
南非
330 000
6.2
加拿大
550 000
15.7
波兰
320 000
6.2
印度尼西亚
510 000
2.6
沙特阿拉伯
490 000
16.6
则这些国家和地区人均二氧化碳排放量的四分位数是多少.
解 把这20个国家和地区的人均二氧化碳排放量按从小到大的顺序排列：
1.7，2.0，2.6，3.9，5.3，5.7，6.2，6.2，6.4，7.3，7.4，7.5，10.2，10.7，12.6，12.7，15.7，16.6，16.6，16.9.
因为i＝20×25%＝5为整数，
所以20个数的25%分位数为＝5.5.
而20×＝10，所以50%分位数为＝7.35，
而20×＝15，所以75%分位数为＝12.65.
所以这20个国家和地区的人均二氧化碳排放量的三个四分位数为：
25%分位数
50%分位数
75%分位数
5.5吨
7.35吨
12.65吨
10.某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄(单位：岁)如下：
甲群 13，13，14，15，15，15，15，16，17，17；
乙群 54，3，4，4，5，5，6，6，6，57.
(1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？
(2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？
解 (1)甲群市民年龄的平均数为
＝15(岁)，
中位数为15岁，众数为15岁.平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征.
(2)乙群市民年龄的平均数为
＝15(岁)，
中位数为5.5岁，众数为6岁.
由于乙群市民大多数是儿童，所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差.
能力提升
11.记样本x1，x2，…，xm的平均数为，样本y1，y2，…，yn的平均数为 (≠).若样本x1，x2，…，xm，y1，y2，…，yn的平均数为＝＋，则的值为( )
A.3 B.4
C. D.
解析 由题意知x1＋x2＋…＋xm＝m，y1＋y2＋…＋yn＝n，＝＝＝＋＝＋.所以＝，＝，可得3m＝n，所以＝.
答案 D
12.某公司的33名职工月工资(单位：元)如下：
职务
董事长
副董
事长
董事
总经理
经理
管理员
职员
人数
1
1
2
1
5
3
20
工资
11 000
10 000
9 000
8 000
6 500
5 500
4 000
(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；
(2)假设副董事长的工资从10 000元提升到20 000元，董事长的工资从11 000元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是多少？(精确到元)
(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法.
解 (1)平均数是：＝4 000＋
≈4 000＋1 333＝5 333(元).
中位数是4 000元，众数是4 000元.
(2)平均数是′＝4 000＋
≈4 000＋2 212＝6 212(元)，
中位数是4 000元，众数是4 000元.
(3)在这个问题中，中位数和众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平.
创新猜想
13.(开放题)已知12，10，15，9，8，a中的最大值为15，其中a是正整数，则满足上述条件的a的一个值为________.
解析 由题意知a≤15且a∈N*，∴a的可能取值为1，2，3，…，15.
答案 1(答案不唯一，只需满足a≤15且a∈N*即可)
14.甲、乙两位同学相约晚上在某餐馆吃饭.他们分别在A，B两个网站查看同一家餐馆的好评率.甲在网站A查到的好评率是98%，而乙在网站B查到的好评率是85%.综合考虑这两个网站的信息，应该如何得到这家餐馆的好评率？
解 好评率是由好评人数除以总评价人数得到的.98%的好评率意味着如果有100人评价，那么其中98人给了好评.
设在网站A评价该餐馆的人数为n1，其中给出好评的人数为m1；在网站B评价该餐馆的人数为n2，其中给出好评的人数为m2.由题目条件，＝98%，＝85%.
综合A，B两个网站的信息，这家餐馆的总好评率应为，把m1＝0.98n1，m2＝0.85n2代入，得
＝0.98·＋0.85·.
其中，和分别是各自的权重，总好评率等于相应的好评率与其权重乘积的和.
所以除非再知道A，B两个网站评价人数的比例关系，否则并不能求出总好评率.
由以上分析可知，当且仅当n1＝n2时，总好评率等于.
课件29张PPT。5.1.2 数据的数字特征
第一课时 最值、平均数、中位数、百分位数、众数教材知识探究某校高一期中考试采用百分制，下面是贾老师所任两个班的英语成绩：
高一(1)班期中考试英语成绩
69 84 69 80 75 70 75 71 87 70 80 84 73 81 81 73
66 78 68 79 73 75 76 76 70 74 71 86 63 88
高一(2)班期中考试英语成绩
76 86 74 82 77 68 62 82 72 82 76 81 84 79 67 78
70 72 81 89 81 77 72 77 67 67 72 79 81 75 问题1 分别找出1班和2班的最高分和最低分.
问题2 这两个班哪一个班成绩较好？
提示1 1班最高分、最低分分别为88分，63分；2班最高分、最低分分别为89分，62分.
提示2 可通过两个班的平均成绩确定.一组数据的最值指的是其中的最 值与最 值，最值反映的是这组数最极端的情况.一般地，最大值用 表示，最小值用 表示.2.平均数1.最值一定是数据中的数常使用平均数来刻画一组数据的平均水平(或中心位置).平均数会受每一个数的影响，尤其是最大值、最小值，因此有时平均数并不能很好地表示这组数的中心位置大小maxminnt有时也可以借助中位数来表示一组数的中心位置，但不能比较全面地体现数据的分布特点3.中位数、百分位数 (1)中位数一般地，如果一组数有奇数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n＋1，则称 为这组数的中位数；如果一组数有偶数个数，且按照从小到
大排列后为x1，x2，…，x2n，则称 为这组数的中位数.xn＋1(2)百分位数1.当数据个数较多时，可以借助多个百分位数来了解数据的分布特点.2.p%分位数可能不唯一，各种统计软件所得出的p%分位数可能会有差异定义：一组数的p%(p∈(0，100))分位数指的是满足下列条件的一个数值：至少有p%的数据不大于该值，且至少有(100－p)%的数据不小于该值.,直观理解：一组数的p%分位数指的是，将这组数按照从小到大的顺序排列后，处于 位置的数.p %确定方法：设一组数按照从小到大排列后为x1，x2，…，xn，计算i＝np%的值，如果i不是整数，设i0为大于i的最小整数，取 为p%分位数；如果i是整数，取 为p%分位数.特别地，规定：0分位数是 (即最小值)，100%分位数是 (即最大值）.有些情形中，用众数来描述一组数据的中心位置，众数一定是数据中的数一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的 ，出现次数
的数据称为这组数据的众数.)4.众数xi0x1xn频数最多教材拓展补遗
[微判断]
1.对于数据3，3，2，3，6，3，10，3，6，3，2，判断下列说法的正误.
(1)这组数据的众数是3.( )
(2)这组数据的众数与中位数的数值不相等.( )
(3)这组数据的中位数与平均数的数值相等.( )
(4)这组数据的平均数与众数的数值相等.( )√×××2.(1)描述一组数据极端情况的数字特征是最值.( )
(2)描述一组数据中心位置的数字特征可以是平均数、中位数和众数.( )
(3)百分位数可用于了解数据的分布特点.( )√√√[微训练]
1.高一(18)班十位同学的数学测试成绩分别为：82，91，73，84，98，99，101，118，98，110，则该组数据的中位数是________.答案 982.若一组数据8，9，11，12，x的平均数为10，则实数x＝________.答案 103.已知一组数据为－3，5，7，x，11，且这组数据的众数为5，那么该组数据的中位数是________.
解析 由这组数据的众数为5，可知x＝5.把这组数据由小到大排列为－3，5，5，7，11，则可知中位数为5.
答案 5[微思考]
1.一组互不相等的数据从小到大排列为：x1，x2，…，xn，什么情况下，其p%(p∈(0，100))分位数一定是数据中的数？
提示 若i＝np%不是整数时，设i0为大于i的最小整数，取xi0为p%分位数，xi0是数据中的数.提示 我国居民人均收入的计算方法应为：(城镇居民人均收入×城镇居民人口数＋农村居民人均收入×农村居民人口数)÷(城镇居民人口数＋农村居民人口数)，故不正确.题型一 【例1】 确定数据：68，69，71，63，70，68，69，71，69，72的最值和众数.
解 把所给数据从小到大排列为63，68，68，69，69，69，70，71，71，72，则最大值为72，最小值为63，众数为69.
规律方法 1.把数据从小到大排列；
2.根据定义即可确定最值和众数.最值、众数的确定它们都是数据中的数【训练1】 确定数据：9.4，8.4，9.4，9.9，9.6，9.7的最值和众数.
解 把数据从小到大排列为8.4，9.4，9.4，9.6，9.7，9.9，则最大值为9.9，最小值为8.4，众数为9.4.题型二 的确定【例2】 确定数据：1，2，2，2，2，3，3，3，5，5，6，6，8，8，9，10，10，12，13，13的中位数，78%分位数.
解 因为所给数据已从小到大排列，共为20个，
而且i1＝20×50%＝10为整数，
i2＝20×78%＝15.6不为整数，中位数、百分位数【训练2】 确定数据0，0，0，0，1，1，2，3，4，5，6，6，7，7，10，14，14，14，14，15的28%分位数和75%分位数.
解 因为数据已从小到大排列，共有20个.
而且i1＝20×28%＝5.6，不为整数，
i2＝20×75%＝15是整数，题型三 平均数的计算
【例3】 求数据18.9，19.5，19.5，19.2，19，18.8，19.5的平均数.方法二 (用性质)将每一个数乘以10，再减去190，可得－1，5，5，2，0，－2，5.
这组新数的平均数为【训练3】 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示：分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数.(保留两位小数)一、素养落地
1.通过学习最值、平均数、中位数、百分位数和众数等数字特征，培养数据分析和数学运算素养.
2.众数、中位数、平均数的意义
(1)样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息，平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大.
(2)当一组数据中有不少数据重复出现时，其众数往往更能反映问题，当一组数据中个别数据较大时，可用中位数描述其中心位置.二、素养训练
1.一个样本数据按从小到大的顺序排列为13，14，19，x，23，27，28，31，中位数为22，则x等于( )
A.21 B.22 C.23 D.19答案 A2.一组观察值4，3，5，6出现的次数分别为3，2，4，2，则样本平均值约为( )
A.4.55 B.4.5
C.12.5 D.1.64答案 A3.某产品售后服务中心随机选取了10个工作日，分别记录了每个工作日接到的客户服务电话的数量(单位：次)：
63 38 25 42 56 48 53 39 28 47
则上述数据的50%分位数为________.解析 把这组数据从小到大排序：25，28，38，39，42，47，48，53，56，63，则10×50%＝5.答案 44.5第二课时 极差、方差与标准差
课标要求
素养要求
1.理解极差、方差和标准差的意义和作用.
2.会计算样本数据的这些数字特征，并能解答有关实际问题.
通过极差、方差和标准差的求解及应用，提高学生的数据分析、逻辑推理和数学运算素养.
教材知识探究
2017年国际射击联合会世界杯总决赛在印度新德里落下帷幕.中国射击队获得2金2银5铜共9枚奖牌，在金牌榜上仅次于意大利队列次席，在奖牌榜上则高居首位.这次总决赛中有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶十次，每次命中的环数如下：
甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4
乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
问题 (1)如果你是教练，你应当如何对这次射击情况作出评价？
(2)如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？
(3)两人射击的平均成绩是一样的，那么两个人的水平就没有什么差异吗？
(4)什么样的指标可以反映一组数据变化范围的大小？
(5)什么样的指标能反映一组数据与其平均值的离散程度？
提示 (1)平均成绩一样，s(2)选乙.
(3)有.
(4)极差.
(5)方差(标准差).
极差、方差与标准差
1.极差：一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差.极差反映了一组数的变化范围.
2.方差
定义：如果x1，x2，…，xn的平均数为，则方差可用求和符号表示为
s2＝__(xi－)2＝x－2.
性质：如果a，b为常数，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2.
3.标准差
定义：方差的算术平方根称为标准差.一般用s表示，即样本数据x1，x2，…，xn的标准差为s＝.
性质：如果a，b为常数，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的标准差为|a|s.
教材拓展补遗
[微判断]
1.如果一组数中，各数据值都相等，则标准差为0，表明数据没有波动，数据没有离散性，反之也成立.(√)
2.若各数据的值与平均数的差的绝对值较大，则标准差也较大，表明数据的波动幅度也较大，数据的离散程度较高.(√)
3.标准差是样本数据到平均数的一种平均距离.(√)
[微训练]
1.已知数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是________.
解析 这组数据的平均数为8，故方差为s2＝×[(6－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(10－8)2]＝.
答案
2.从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为________.
分数
5
4
3
2
1
人数
20
10
30
30
10
解析 ∵＝＝3，
∴s2＝(20×22＋10×12＋30×02＋30×12＋10×22)
＝＝，∴s＝.
答案
3.甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：
甲
乙
丙
丁
平均环数
8.3
8.8
8.8
8.7
方差s2
3.5
3.6
2.2
5.4
若要从这四人中选择一人去参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是________(填“甲”“乙”“丙”“丁”中的一个).
解析 分析题中表格数据可知，乙与丙的平均环数最多，又丙的方差比乙小，说明丙成绩发挥得较为稳定，所以最佳人选为丙.
答案 丙
[微思考]
1.在实际问题中，方差和标准差的“单位”相同吗？
提示 不相同，标准差的单位与原数据中的单位相同，方差的单位是原数据单位的平方.
2.能用 (xi－)来衡量一组数的离散程度吗？
提示 不能.
3.能用|xi－|来衡量一组数的离散程度吗？
提示 能.
题型一 极差、方差、标准差的计算
【例1】 已知一组数据：2，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，4，5，5，5，5，5，5，6，6.
(1)求极差；
(2)求方差；
(3)求标准差.
解 (1)最大值为6，最小值为2，极差为4.
(2)可将数据整理为
x
2
3
4
5
6
频数
3
4
5
6
2
每一个数都减去4可得
x－4
－2
－1
0
1
2
频数
3
4
5
6
2
这组数的平均数与方差分别为
×[(－2)×3＋(－1)×4＋0×5＋1×6＋2×2]＝0，
×[(－2)2×3＋(－1)2×4＋02×5＋12×6＋22×2]＝.
因此，所求平均值为4，方差为.
(3)由(2)知标准差为.
规律方法 求方差的基本方法
(1)先求平均值，再代入公式s2＝ (xi－)2，或s2＝
x－2.
(2)用性质；
(3)当一组数据重复数据较多时，可先整理出频数表 ，再计算s2.
【训练1】 (1)有一笔统计资料，共有11个数据如下(不完全以大小排列)：2，4，4，5，5，6，7，8，9，11，x，已知这组数据的平均数为6，则这组数据的方差为( )
A.6 B.
C.66 D.6.5
(2)若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的标准差为( )
A.8 B.15
C.16 D.32
解析 (1)因为＝(2＋4＋4＋5＋5＋6＋7＋8＋9＋11＋x)＝(61＋x)＝6，所以x＝5.
方差为s2＝
＝＝6.
(2)样本数据x1，x2，…，x10的标准差s＝8，则样本数据2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的标准差s′＝2×8＝16.
答案 (1)A (2)C
题型二 分层抽样的方差
【例2】 甲、乙两班学生参加了同一考试，其中甲班50人，乙班40人.甲班的平均成绩为80.5分，方差为500；乙班的平均成绩为85分，方差为360.那么甲、乙两班全部90名学生的平均成绩和方差分别是多少？
解 设甲班50名学生的成绩分别是a1，a2，…，a50，那么甲班的平均成绩和方差分别为
甲＝＝80.5(分)，
s＝＝500.
设乙班40名学生的成绩分别是b1，b2，…，b40，那么乙班的平均成绩和方差分别为
乙＝＝85(分)，
s＝＝360.
如果不知道a1，a2，…，a50和b1，b2，…，b40，只知道甲、乙两班的平均成绩、方差及甲、乙两班的人数，那么根据前面的分析，全部90名学生的平均成绩应为
＝＝＝82.5(分)，
方差s2＝
＝
＝≈442.78.
规律方法 若样本中有两层，第一层有m个数，分别为x1，x2，…，xm，平均数为，方差为s2；第二层有n个数，分别为y1，y2，…，yn，平均数为，方差为t2，则样本的均值为＝，方差为.
【训练2】 在考察某中学学生身高时，采用分层抽样的方法得到了20名男生身高的平均值为170，方差为16；15名女生的身高的平均值为165，方差为25，试计算这35名学生的方差.
解 由题意知男＝170，s＝16，女＝165，s＝25，则＝≈167.86，s2＝
≈25.98.
题型三 数字特征的应用
【例3】 在一次科技知识竞赛中，两组学生的成绩如表所示：
分数(分)
50
60
70
80
90
100
人数
(人)
甲组
2
5
10
13
14
6
乙组
4
4
16
2
12
12
已经计算得知两个组成绩的平均数都是80分，请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁次，说明理由.
解 (1)甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数比较看，甲组的成绩好一些.
(2)s＝[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172，
s＝[4×(50－80)2＋4×(60－80)2＋16×(70－80)2＋2×(80－80)2＋12×(90－80)2＋12×(100－80)2]＝256.
因为s＜s，
所以甲组的成绩比乙组的成绩稳定，故甲组好些.
(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分，其中，甲组成绩不低于80分的有33人，乙组成绩不低于80分的有26人，从这一角度来看甲组的成绩较好.
(4)从成绩统计表来看，甲组的成绩不低于90分的有20人，乙组的成绩不低于90分的有24人，所以乙组成绩集中在高分段的人数多.同时乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6，从这一些角度来看，乙组的成绩较好.
规律方法 在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究其偏离平均值的离散程度(即方差或标准差).标准差越大，说明数据的离散性越大；标准差越小，说明数据的离散性越小或数据越集中、稳定.
【训练3】 为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从甲、乙两种麦苗中各抽10株，测得它们的株高分别为(单位：cm)：
甲：25 41 40 37 22 14 19 39 21 42
乙：27 16 44 27 44 16 40 40 16 40
(1)哪种小麦的苗长得高？
(2)哪种小麦的苗长得齐？
解 (1)甲＝×(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝×300＝30(cm).
乙＝×(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)
＝×310＝31(cm).
显然甲<乙，所以乙种小麦的苗长得高.
(2)s＝×[(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22－30)2＋(14－30)2＋(19－30)2＋(39－30)2＋(21－30)2＋(42－30)2]
＝×(25＋121＋100＋49＋64＋256＋121＋81＋81＋144)＝×1 042＝104.2.
s＝×[(27－31)2＋(16－31)2＋(44－31)2＋(27－31)2＋(44－31)2＋(16－31)2＋(40－31)2＋(40－31)2＋(16－31)2＋(40－31)2]
＝×(16＋225＋169＋16＋169＋225＋81＋81＋225＋81)＝×1 288＝128.8.
显然s一、素养落地
1.通过学习极差、方差和标准差，提高数据分析、逻辑推理和数学运算素养.
2.在计算方差或标准差时，当数据的重复数据较多时，要先把数据整理为频数表再用公式或性质计算.
3.在实际问题中，平均值和方差(或标准差)是评定优劣的两个依据.
二、素养训练
1.已知数据：2，4，4，6，6，6，8，8，8，8，则这10个数的标准差为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析 这10个数的平均数＝×(2＋4×2＋6×3＋8×4)＝6，方差s2＝×[(2－6)2＋(4－6)2×2＋(6－6)2×3＋(8－6)2×4]＝4，则标准差为2.
答案 B
2.样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3.若该样本的平均数为1，则样本方差为( )
A. B.
C. D.2
解析 ∵样本的平均数为1，
∴(a＋0＋1＋2＋3)＝1，∴a＝－1，
∴样本方差s2＝[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.
答案 D
3.某人5次上班途中所花时间(单位：min)分别为x，y，10，11，9.若这组数据的平均数为10，方差为2，则|x－y|＝________.
解析 ＝＝10，
所以x＋y＝20.
方差为2，则
＝2，
(x－10)2＋(10－x)2＝8，
(x－10)2＝4，x＝8或x＝12，
则y＝12或y＝8，所以|x－y|＝4.
答案 4
4.一组数据中的每一个数据都乘2，再减去80，得到一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，求原来数据的平均数和方差.
解 设原数据的平均数为，方差为s2，则新数据的平均数为2－80，方差为4s2，由题意得2－80＝1.2，所以4s2＝4.4，所以＝40.6，s2＝1.1.
基础达标
一、选择题
1.下列说法中正确的是( )
A.在两组数据中，平均数较大的一组方差较大
B.平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据离平均数的波动大小
C.求出各个数据与平均数的差的平方后再相加，所得的和就是方差
D.在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大的表示射击水平高
解析 由平均数、方差的定义及意义可知选B.
答案 B
2.甲、乙两名射击运动员，在一次连续10次的射击中，他们所射中环数的平均数一样，但方差不同，正确评价他们的水平是( )
A.因为他们所射中环数的平均数一样，所以他们水平相同
B.虽然射中环数的平均数一样，但方差较大的，潜力较大，更有发展前途
C.虽然射中环数的平均数一样，但方差较小的，发挥较稳定，更有发展前途
D.虽然射中环数的平均数一样，但方差较小的，发挥较不稳定，忽高忽低
解析 主要考查了方差的实际意义.
答案 C
3.在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据.则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是( )
A.众数 B.平均数
C.中位数 D.标准差
解析 只有标准差不变，其中众数、平均数和中位数都加2.
答案 D
4.某公司10位员工的月工资(单位：元)为x1，x2，…，x10，其均值和方差分别为和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为( )
A.，s2＋1002 B.＋100，s2＋1002
C.，s2 D.＋100，s2
解析 样本数据x1，x2，…，x10的均值＝(x1＋x2＋…＋x10)，
方差s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(x10－)2]，
新数据x1＋100，x2＋100，…，x10＋100的均值′＝(x1＋100＋x2＋100＋…＋x10＋100)＝(x1＋x2＋…＋x10)＋100＝＋100，
新数据x1＋100，x2＋100，…，x10＋100的方差
s′2＝[(x1＋100－－100)2＋(x2＋100－－100)2＋…＋(x10＋100－－100)2]
＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(x10－)2]＝s2.
答案 D
5.某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的分数登错了，甲实得80分，却记了50分，乙得70分却记了100分，更正后平均分和方差分别是( )
A.70，75 B.70，50
C.75，1.04 D.65，2.35
解析 因甲少记了30分，乙多记了30分，故平均分不变.设更正后的方差为s2，则由题意可得：
s2＝[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(80－70)2＋(70－70)2＋…＋(x48－70)2]，
而更正前有：75＝[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(50－70)2＋(100－70)2＋…＋(x48－70)2]，化简整理得s2＝50.
答案 B
二、填空题
6.某篮球队在一个赛季的10场比赛中分别进球：30，35，25，25，30，34，26，25，29，21，则该球队平均每场进球________个，方差为________.
解析 ＝×(30＋35＋25＋25＋30＋34＋26＋25＋29＋21)＝28，
s2＝×[(30－28)2＋(35－28)2＋…＋(21－28)2]
＝17.4.
答案 28 17.4
7.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：
学生
1号
2号
3号
4号
5号
甲班
6
7
7
8
7
乙班
6
7
6
7
9
则以上两组数据的方差中较小的一个方差为________.
解析 由题中表格得，甲＝7，s＝×(12＋02＋02＋12＋02)＝；乙＝7，s＝×(12＋02＋12＋02＋22)＝，s答案
8.在某年的足球联赛中，一队每场比赛平均失球个数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.1；二队每场比赛平均失球个数是2.1，全年比赛失球个数的标准差为0.4，有如下结论：
①平均说来一队比二队防守技术好；
②二队比一队技术水平更稳定；
③一队有时表现差，有时表现又非常好；
④二队很少不失球.
上面说法正确的是________.
解析 由一队、二队的平均值，方差知①②③④都正确.
答案 ①②③④
三、解答题
9.如果x1，x2，…，xn的平均数为，求证s2＝x－2.
证明 s2＝ (xi－)2
＝[(x＋x＋…＋x)－2 (x1＋x2＋…＋xn)＋n2]
＝(x＋x＋…＋x)－22＋2
＝x－2.
10.在一个文艺比赛中，12名专业人士和12名观众代表各组成一个评判小组，给参赛选手打分.如下是两个评判组对同一选手打分的情况.
A：49，50，47，50，47，47，46，55，45，44，42，42
B：42，49，47，46，58，62，68，66，55，73，70，36
(1)求A组数的众数和B组数的中位数；
(2)对每一组计算用于衡量相似性的数值，回答：小组A与小组B哪一个更像是由专业人士组成的？并说明理由.
解 (1)由题意可得，A组数据的众数为47，B组数据的中位数为＝56.5.
(2)小组A，B数据的平均数分别为
A＝(42＋42＋44＋45＋46＋47＋47＋47＋49＋50＋50＋55)＝＝47，
B＝(36＋42＋46＋47＋49＋55＋58＋62＋66＋68＋70＋73)＝＝56，
小组A，B数据的方差分别为
s＝[(47－42)2＋(47－42)2＋…＋(55－47)2]
＝(25＋25＋9＋4＋1＋4＋9＋9＋64)＝12.5，
s＝[(36－56)2＋(42－56)2＋…＋(73－56)2]
＝(400＋196＋100＋81＋49＋1＋4＋36＋100＋144＋196＋289)＝133.
因为s能力提升
11.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是( )
A.甲地：总体平均数为3，中位数为4
B.乙地：总体平均数为1，总体方差大于0
C.丙地：中位数为2，众数为3
D.丁地：总体平均数为2，总体方差为3
解析 ∵平均数和中位数不能限制某一天的病例不超过7人，故A不正确；当总体方差大于0时，不知道总体方差的具体数值，因此不能确定数据的波动大小，故B不正确；中位数和众数也不能限制某一天的病例不超过7人，故C不正确；当总体平均数是2时，若有一个数据超过7，则s2＞(8－2)2＝3.6，则方差就超过3，∴总体平均数是2，总体方差为3时，没有数据超过7，故D正确.
答案 D
12.某工厂36名工人的年龄数据如下表.
工人
编号
年龄
工人
编号
年龄
工人编号
年龄
工人编号
年龄
1
40
10
36
19
27
28
34
2
44
11
31
20
43
29
39
3
40
12
38
21
41
30
43
4
41
13
39
22
37
31
38
5
33
14
43
23
34
32
42
6
40
15
45
24
42
33
53
7
45
16
39
25
37
34
37
8
42
17
38
26
44
35
49
9
43
18
36
27
42
36
39
用简单随机抽样法抽得样本为：44，40，36，43，36，37，44，43，37.
(1)计算样本的平均值和方差；
(2)36名工人中年龄在－s与＋s之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01%)?
解 (1)样本的平均值为
＝＝40，
方差为：
s2＝[(44－40)2＋(40－40)2＋(36－40)2＋(43－40)2＋(36－40)2＋(37－40)2＋(44－40)2＋(43－40)2＋(37－40)2]
＝[42＋02＋(－4)2＋32＋(－4)2＋(－3)2＋42＋32＋(－3)2]＝.
(2)由(1)知s＝，所以－s＝，＋s＝，
所以年龄在－s与＋s之间的共有23人，
所占的百分比为：×100%≈63.89%.
创新猜想
13.(多空题)已知方差s2＝(x＋x＋…＋x)－2，用这个公式计算：若10个数的平均数是3，标准差是2，则方差是________，这10个数据的平方和是________.
解析 由方差的算术平方根是标准差知，s2＝22＝4，
故4＝×(x＋x＋…＋x)－9，
所以x＋x＋…＋x＝130.
答案 4 130
14.已知x1，x2，…，xn的标准差为s，如果a，b为常数，证明ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的标准差为|a|s.
证明 ∵[(ax1＋b)－(a＋b)]2
＝ (axi－a)2＝[a2(xi－)2]
＝a2 (xi－)2＝a2s2，
又s≥0，∴其标准差为＝|a|s.
课件36张PPT。第二课时 极差、方差与标准差教材知识探究2017年国际射击联合会世界杯总决赛在印度新德里落下帷幕.中国射击队获得2金2银5铜共9枚奖牌，在金牌榜上仅次于意大利队列次席，在奖牌榜上则高居首位.这次总决赛中有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶十次，每次命中的环数如下：甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4
乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7问题 (1)如果你是教练，你应当如何对这次射击情况作出评价？
(2)如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？
(3)两人射击的平均成绩是一样的，那么两个人的水平就没有什么差异吗？
(4)什么样的指标可以反映一组数据变化范围的大小？
(5)什么样的指标能反映一组数据与其平均值的离散程度？极差、方差与标准差描述数据的离散程度，在实际问题中，它们都有“单位”最大值最小值a2s2算术平方根|as|教材拓展补遗
[微判断]
1.如果一组数中，各数据值都相等，则标准差为0，表明数据没有波动，数据没有离散性，反之也成立.( )
2.若各数据的值与平均数的差的绝对值较大，则标准差也较大，表明数据的波动幅度也较大，数据的离散程度较高.( )
3.标准差是样本数据到平均数的一种平均距离.( )√√√[微训练]
1.已知数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是________.2.从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为________.3.甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：若要从这四人中选择一人去参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是________(填“甲”“乙”“丙”“丁”中的一个).解析 分析题中表格数据可知，乙与丙的平均环数最多，又丙的方差比乙小，说明丙成绩发挥得较为稳定，所以最佳人选为丙.
答案 丙[微思考]
1.在实际问题中，方差和标准差的“单位”相同吗？
提示 不相同，标准差的单位与原数据中的单位相同，方差的单位是原数据单位的平方.提示 能.提示 不能.题型一 极差、方差、标准差的计算
【例1】 已知一组数据：2，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，4，5，5，5，5，5，5，6，6.
(1)求极差；
(2)求方差；
(3)求标准差.
解 (1)最大值为6，最小值为2，极差为4.(2)可将数据整理为每一个数都减去4可得这组数的平均数与方差分别为方差为s2＝(2)样本数据x1，x2，…，x10的标准差s＝8，则样本数据2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的标准差s′＝2×8＝16.
答案 (1)A (2)C题型二 分层抽样的方差
【例2】 甲、乙两班学生参加了同一考试，其中甲班50人，乙班40人.甲班的平均成绩为80.5分，方差为500；乙班的平均成绩为85分，方差为360.那么甲、乙两班全部90名学生的平均成绩和方差分别是多少？
解 设甲班50名学生的成绩分别是a1，a2，…，a50，那么甲班的平均成绩和方差分别为设乙班40名学生的成绩分别是b1，b2，…，b40，那么乙班的平均成绩和方差分别为如果不知道a1，a2，…，a50和b1，b2，…，b40，只知道甲、乙两班的平均成绩、方差及甲、乙两班的人数，那么根据前面的分析，全部90名学生的平均成绩应为【训练2】 在考察某中学学生身高时，采用分层抽样的方法得到了20名男生身高的平均值为170，方差为16；15名女生的身高的平均值为165，方差为25，试计算这35名学生的方差.题型三 数字特征的应用
【例3】 在一次科技知识竞赛中，两组学生的成绩如表所示：已经计算得知两个组成绩的平均数都是80分，请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁次，说明理由.解 (1)甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数比较看，甲组的成绩好一些.(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分，其中，甲组成绩不低于80分的有33人，乙组成绩不低于80分的有26人，从这一角度来看甲组的成绩较好.
(4)从成绩统计表来看，甲组的成绩不低于90分的有20人，乙组的成绩不低于90分的有24人，所以乙组成绩集中在高分段的人数多.同时乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6，从这一些角度来看，乙组的成绩较好.规律方法 在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究其偏离平均值的离散程度(即方差或标准差).标准差越大，说明数据的离散性越大；标准差越小，说明数据的离散性越小或数据越集中、稳定.【训练3】 为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从甲、乙两种麦苗中各抽10株，测得它们的株高分别为(单位：cm)：
甲：25 41 40 37 22 14 19 39 21 42
乙：27 16 44 27 44 16 40 40 16 40
(1)哪种小麦的苗长得高？
(2)哪种小麦的苗长得齐？一、素养落地
1.通过学习极差、方差和标准差，提高数据分析、逻辑推理和数学运算素养.
2.在计算方差或标准差时，当数据的重复数据较多时，要先把数据整理为频数表再用公式或性质计算.
3.在实际问题中，平均值和方差(或标准差)是评定优劣的两个依据.二、素养训练
1.已知数据：2，4，4，6，6，6，8，8，8，8，则这10个数的标准差为( )
A.1 B.2
C.3 D.4答案 B解析 ∵样本的平均数为1，答案 D所以x＋y＝20.
方差为2，则3.某人5次上班途中所花时间(单位：min)分别为x，y，10，11，9.若这组数据的平均数为10，方差为2，则|x－y|＝________.(x－10)2＋(10－x)2＝8，
(x－10)2＝4，x＝8或x＝12，
则y＝12或y＝8，所以|x－y|＝4.
答案 44.一组数据中的每一个数据都乘2，再减去80，得到一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，求原来数据的平均数和方差.
