5.3.2 事件之间的关系与运算
课标要求
素养要求
1.了解事件的包含与相等的含义及概率关系.
2.理解事件和(并)、积(交)运算的含义及其概率关系.
3.理解事件的互斥与对立关系，掌握互斥事件的概率加法公式.
4.会进行事件的混合运算.
通过本节课的学习，进一步提升学生的数学抽象、数学运算素养.
教材知识探究
在掷骰子试验中，定义如下事件：C1＝{出现1点}，C2＝{出现2点}，C3＝{出现3点}，C4＝{出现4点}，C5＝{出现5点}，C6＝{出现6点}，D1＝{出现的点数不大于1}，D2＝{出现的点数不大于3}，D3＝{出现的点数不大于5}，E＝{出现的点数小于7}，F＝{出现的点数大于6}，G＝{出现的点数为偶数}，H＝{出现的点数为奇数}.
问题 在上述事件中，(1)事件C1与事件C2的并事件是什么？
(2)事件D2与G及事件C2间有什么关系？
(3)事件C1与事件C2间有什么关系？
(4)事件G与事件H间有什么关系？
提示 (1)C1∪C2＝{出现1点或2点}；(2)D2∩G＝C2；(3)为互斥事件；(4)为对立事件.
1.事件的包含与相等 与集合的子集、集合相等的定义是否类似
(1)事件的包含(关系)及其概率关系
一般地，如果事件A发生时，事件B一定发生，则称“A包含于B”(或“B包含A”)，记作A?B(或B?A)，这一关系可用图表示.
A?B也可用充分必要的语言表述为：A发生是B发生的充分条件，B发生是A发生的必要条件.
概率关系：如果A?B，根据定义可知，事件A发生的可能性不比事件B发生的可能性大，直观上我们就能得到P(A)≤P(B).
(2)事件相等(关系)及其概率关系.
如果事件A发生时，事件B一定发生；而且事件B发生时，事件A也一定发生，则称“A与B相等”，记作A＝B.
A＝B?A?B且B?A.
A＝B也可用充分必要的语言表述为：A发生是B发生的充要条件.
概率关系：当A＝B时，应该有P(A)＝P(B).
2.事件的运算 对比集合的并集、交集运算
(1)事件的和(并)
给定事件A，B，由所有A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为A与B的和(或并)，记作A＋B(或A∪B).
事件A与B的和可以用如图所示的阴影部分表示.
按照定义可知，事件A＋B发生时，当且仅当事件A与事件B中至少有一个发生.显然A?(A＋B)且B?(A＋B).
概率关系：P(A)≤P(A＋B)且P(B)≤P(A＋B)，而且，直观上可知P(A＋B)与P(A)＋P(B)的大小关系为P(A＋B)≤P(A)＋P(B).
(2)事件的积(交)
给定事件A，B，由A与B中的公共样本点组成的事件称为A与B的积(或交)，记作AB(或A∩B).
事件A与B的积可以用如图所示的阴影部分表示.
按照定义可知，事件AB发生时，当且仅当事件A与事件B都发生.显然AB?A且AB?B.
概率关系：P(AB)≤P(A)，P(AB)≤P(B).
3.事件的互斥与对立 对立一定互斥，互斥不一定对立
(1)互斥事件
给定事件A，B，若事件A与B不能同时发生，则称A与B互斥，记作AB＝?(或A∩B＝?)，这一关系可用图表示.
互斥事件的概率加法公式及其推广：
当A与B互斥(即AB＝?)时，有P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，这称为互斥事件的概率加法公式.
一般地，如果A1，A2，…，An是两两互斥的事件，则P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).
(2)对立事件 A＋是什么事件
给定样本空间Ω与事件A，则由Ω中所有不属于A的样本点组成的事件称为A的对立事件，记作，用集合的观点来看，是A在Ω中的补集，如图所示.如果B＝，则称A与B相互对立.
对立事件概率：P(A)＋P()＝1.
4.事件的混合运算 类比实数的加、减、乘、除运算：先算乘除，后算加减
事件的三种运算：求两个事件的和，求两个事件的积，求一个事件的对立事件.因为事件运算的结果仍是事件，因此可以进行事件的混合运算，求积运算的优先级高于求和运算.
教材拓展补遗
[微判断]
1.判断下列说法的正误.
(1)若P(A)≤P(B)，则A?B.(×)
(2)若P(A)＝P(B)，则A＝B.(×)
(3)P(A＋B)＝P(A)＋P(B).(×)
(4)P(AB)≤P(A)·P(B).(√)
提示 (1)事件A，B不一定有包含关系.
(2)A，B不一定相等.
(3)当AB＝?时成立，当AB≠?时不成立.
[微训练]
1.同时抛掷两枚硬币，向上都是正面为事件M，向上至少有一枚是正面为事件N，则有( )
A.M?N B.M?N
C.M＝N D.M∩N＝?
解析 M＝{(正，正)}，N＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)}，故M?N.
答案 A
2.抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则( )
A.A?B
B.A＝B
C.A＋B表示向上的点数是1或2或3
D.AB表示向上的点数是1或2或3
解析 设A＝{1，2}，B＝{2，3}，则A∩B＝{1}，A∪B＝{1，2，3}，∴A＋B表示向上的点数为1或2或3.
答案 C
3.事件A与B是对立事件，且P(A)＝0.2，则P(B)＝________.
解析 因A与B是对立事件，所以P(A)＋P(B)＝1，即P(B)＝1－P(A)＝0.8.
答案 0.8
[微思考]
1.在掷骰子的试验中，事件A＝{出现的点数为1}，事件B＝{出现点数为奇数}，A与B应有怎样的关系？
提示 因为1为奇数，所以A?B.
2.判断两个事件是对立事件的条件是什么？
提示 ①看是否是互斥事件，②看两个事件是否必有一个发生.若满足这两个条件，则是对立事件；否则不是.
3.任意给定两个事件A，B，考虑P(A＋B)，P(A)，P(B)，P(AB)，P(A)＋P(B)之间的关系，得出一般的关系式.
提示 P(AB)≤P(A)≤P(A＋B)≤P(A)＋P(B)，P(AB)≤P(B)≤P(A＋B)≤P(A)＋P(B).
4.任意事件概率的加法公式为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB).当A，B满足什么条件时，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)?
提示 当P(AB)＝0，即A，B互斥时，P(A＋B)＝P(A)＋P(B).
题型一 事件关系的判断
【例1】 从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各4张)中，任取一张.
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.
判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由.
解 (1)是互斥事件，不是对立事件.
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件.同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件.
(2)既是互斥事件，又是对立事件.
理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件.
(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件.
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件.
规律方法 互斥事件、对立事件的判定方法
(1)利用基本概念
①互斥事件不可能同时发生；
②对立事件首先是互斥事件，且必须有一个要发生.
(2)利用集合的观点来判断
设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A，B.
①事件A与B互斥，即集合A∩B＝?；
②事件A与B对立，即集合A∩B＝?，且A∪B＝I，即A＝?IB或B＝?IA.
【训练1】 从一批产品中取出3件产品，设A＝{3件产品全不是次品}，B＝{3件产品全是次品}，C＝{3件产品不全是次品}，则下列结论正确的是________(填写序号).
①A与B互斥；②B与C互斥；③A与C互斥；④A与B对立；⑤B与C对立.
解析 A＝{3件产品全不是次品}，指的是3件产品全是正品，B＝{3件产品全是次品}，C＝{3件产品不全是次品}包括1件次品2件正品，2件次品1件正品，3件全是正品3个事件，由此知：A与B是互斥事件，但不对立；A与C是包含关系，不是互斥事件，更不是对立事件；B与C是互斥事件，也是对立事件.
所以正确结论的序号为①②⑤.
答案 ①②⑤
题型二 事件的运算
【例2】 盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}.
求：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？
(2)事件C与A的交事件是什么事件？
解 (1)对于事件D，可能的结果为：1个红球，2个白球或2个红球，1个白球，故D＝A∪B.
(2)对于事件C，可能的结果为：1个红球，2个白球或2个红球，1个白球或3个均为红球，故C∩A＝A.
规律方法 事件间的运算方法
(1)利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算.
(2)利用Venn图.借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算.
【训练2】 设A，B为两个事件，试用A，B表示下列事件：
(1)A，B两个事件中至少有一个发生；
(2)A事件发生且B事件不发生；
(3)A，B两个事件都不发生.
解 (1)按照定义有A＋B.
(2)因为B不发生可以表示为，因此可以写成A.
(3)按照定义有 .
题型三 互斥事件概率加法公式的应用
【例3】 某射击运动员在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.1，0.2，0.3，0.3，0.1.计算这个运动员在一次射击中：
(1)射中10环或9环的概率；
(2)至少射中7环的概率.
解 设运动员射击一次，射中10环、9环、8环、7环、7环以下分别记为A，B，C，D，E，则P(A)＝0.1，P(B)＝0.2，P(C)＝0.3，P(D)＝0.3，P(E)＝0.1.
(1)∵A，B互斥，∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.2＝0.3，即射中10环或9环的概率为0.3.
(2)记F＝A＋B＋C＋D，∵E，F对立，
∴P(F)＝1－P(E)＝1－0.1＝0.9，即P(A＋B＋C＋D)＝0.9，即至少射中7环的概率为0.9.
规律方法 (1)公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，只有当A，B两事件互斥时才能使用，如果A，B不互斥，就不能应用这一公式.
(2)利用对立事件的概率公式求解时，必须准确判断两个事件确实是对立事件时才能应用.
【训练3】 甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，求：
(1)甲获胜的概率；
(2)甲不输的概率.
解 (1)“甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件，所以“甲获胜”的概率P＝1－－＝.
(2)法一 设事件A为“甲不输”，可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(A)＝＋＝.
法二 设事件A为“甲不输”，可看成是“乙获胜”的对立事件，所以P(A)＝1－＝.
即甲不输的概率是.
一、素养落地
1.通过学习事件之间的关系及运算，提升学生的数学抽象、数学运算素养.
2.注意类比集合的关系及运算.
3.注意互斥事件概率加法公式、对立事件概率公式的适用条件.
4.求复杂事件的概率通常有两种方法：
(1)将所求事件转化成彼此互斥事件的和事件；
(2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率.
二、素养训练
1.掷一枚骰子，设事件A＝{出现的点数不大于3}，B＝{出现的点数为奇数}，则事件A与事件B的关系是( )
A.A?B
B.A∩B＝{出现的点数为1或3}
C.事件A与B互斥
D.事件A与B是对立事件
解析 由题意事件A表示出现的点数是1或2或3；事件B表示出现的点数是1或3或5.故A∩B＝{出现的点数为1或3}.
答案 B
2.若A，B事件互斥，且有P(A)＝0.1，P(B)＝0.3，那么P(A＋B)＝( )
A.0.6 B.0.4
C.0.2 D.0.03
解析 ∵事件A，B是互斥事件，且P(A)＝0.1，P(B)＝0.3，∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.4.
答案 B
3.如果事件A与B是互斥事件，且事件A＋B的概率是0.8，事件A的概率是事件B的概率的3倍，那么事件A的概率为________.
解析 由题意知P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8，又P(A)＝3P(B)，∴P(A)＋P(A)＝0.8，∴P(A)＝0.6.
答案 0.6
4.从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件.
(1)恰好有1件次品和恰好有2件次品；
(2)至少有1件次品和全是次品；
(3)至少有1件正品和至少有1件次品.
解 (1)中恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生，因此它们是互斥事件，又因为它们的和事件不是必然事件，所以它们不是对立事件，同理可以判断(2)(3)中的2个事件不是互斥事件，从而也不是对立事件.
基础达标
一、选择题
1.抽查10件产品，设事件A：至少有两件次品，则与事件A互斥的事件为( )
A.恰有两件次品 B.恰有一件次品
C.恰有两件正品 D.至少有两件正品
解析 事件“恰有一件次品”与事件A不会同时发生，故选B.
答案 B
2.从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，那么互斥而不对立的两事件是( )
A.“至少有1个黑球”和“都是黑球”
B.“至少有1个黑球”和“至少有1个红球”
C.“恰有1个黑球”和“恰有2个红球”
D.“至少有1个黑球”和“都是红球”
解析 A，B中事件均不互斥，C中事件互斥而不对立，D中事件是对立事件.
答案 C
3.对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机}，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是( )
A.A?D B.B∩D＝?
C.A∪C＝D D.A∪B＝B∪D
解析 “恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，另一种是两弹都击中，∴A∪B≠B∪D.
答案 D
4.若A，B是互斥事件，则( )
A.P(A)＋P(B)<1 B.P(A)＋P(B)>1
C.P(A)＋P(B)＝1 D.P(A)＋P(B)≤1
解析 当A，B对立时，P(A)＋P(B)＝1；当A，B互斥不对立时，P(A)＋P(B)<1.
答案 D
5.围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，从中取出2粒都是白子的概率是.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )
A. B.
C. D.1
解析 设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则C＝A＋B，且事件A与B互斥.所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝，即任意取出2粒恰好是同一色的概率为.
答案 C
二、填空题
6.打靶3次，事件Ai表示“击中i次”，其中i＝0，1，2，3.那么A＝A1∪A2∪A3表示________.
解析 A1∪A2∪A3所表示的含义是A1，A2，A3这三个事件中至少有一个发生，即可能击中1次、2次或3次.
答案 至少有一次击中
7.抛掷一枚骰子，记事件A为“落地时向上的点数是奇数”，事件B为“落地时向上的点数是偶数”，事件C为“落地时向上的点数是2的倍数”，事件D为“落地时向上的点数是2或4”，则上述事件是互斥事件但不是对立事件的两个事件是________.
解析 A与D互斥但不对立.
答案 A与D
8.某服务电话，打进的电话响第一声时被接听的概率为0.1，响第二声时被接听的概率为0.2，响第三声时被接听的概率为0.3，响第四声时被接听的概率为0.35，则打进的电话响第五声前被接听的概率为________.
解析 事件“响第一声时被接听”“响第二声时被接听”“响第三声时被接听”“响第四声时被接听”彼此互斥，所以“电话在响第五声前被接听”的概率为0.1＋0.2＋0.3＋0.35＝0.95.
答案 0.95
三、解答题
9.设某人向一个目标射击3次，用事件Ai表示随机事件“第i次射击击中目标”(i＝1，2，3)，指出下列事件的含义：
(1)A1∩A2；
(2)A1∩A2∩3；
(3)A1∪A；
(4)1∩2∩3.
解 (1)A1∩A2表示第1次和第2次射击都击中目标.
(2)A1∩A2∩3表示第1次和第2次射击都击中目标，而第3次没有击中目标.
(3)A1∪A表示第1次和第2次都没击中目标.
(4)1∩2∩3表示三次都没击中目标.
10.某战士射击一次，击中环数大于7的概率为0.6，击中环数是6或7或8的概率为0.3，则该战士击中环数大于5的概率为0.6＋0.3＝0.9，对吗？为什么？
解 错.因该战士击中环数大于7与击中环数为6或7或8不是互斥事件，所以不能用互斥事件的概率加法公式计算.
能力提升
11.口袋内有一些大小、形状完全相同的红球、黄球和白球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或黄球的概率为0.4，摸出的球是红球或白球的概率为0.9，那么摸出的球是黄球或白球的概率为( )
A.0.5 B.0.7
C.0.3 D.0.6
解析 设摸出红球的概率是P(A)，摸出黄球的概率是P(B)，摸出白球的概率是P(C)，
∴P(A)＋P(B)＝0.4，P(A)＋P(C)＝0.9.
∴P(C)＝1－P(A)－P(B)＝0.6，
P(B)＝1－P(A)－P(C)＝0.1.∴P(B)＋P(C)＝0.7.
答案 B
12.已知数学考试中，李明成绩高于90分的概率为0.3，不低于60分且不高于90分的概率为0.5，求：
(1)李明成绩不低于60分的概率；
(2)李明成绩低于60分的概率.
解 记事件A：李明成绩高于90分，B：李明成绩不低于60分且不高于90分，则不难看出A与B互斥，且
P(A)＝0.3，P(B)＝0.5.
(1)因为“李明成绩不低于60分”可表示为A＋B，由A与B互斥可知
P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.3＋0.5＝0.8.
(2)因为“李明成绩低于60分”可表示为，因此
P()＝1－P(A＋B)＝1－0.8＝0.2.
创新猜想
13.(多空题)某运动员射击一次，若事件A(中靶)的概率为0.95，则的概率＝________；若事件B(中靶环数大于5)的概率为0.7，那么事件C(中靶环数小于6)的概率＝________；事件D(中靶环数大于0且小于6)的概率＝________.
解析 P()＝1－P(A)＝1－0.95＝0.05.
依据题意，事件C与事件B是对立事件，故P(C)＝1－P(B)＝1－0.7＝0.3.
依据题意，事件C是事件D与事件的和事件，且事件D与事件互斥，故P(C)＝P(D)＋P()，
故P(D)＝P(C)－P()＝0.3－0.05＝0.25.
答案 0.05 0.3 0.25
14.袋中有红球、黑球、黄球、绿球若干，从中任取一球，得到红球的概率为，得到黑球或黄球的概率为，得到黄球或绿球的概率为，求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是多少？
解 记“得到红球”为事件A，“得到黑球”为事件B，“得到黄球”为事件C，“得到绿球”为事件D，事件A，B，C，D显然彼此互斥，则由题意可知，P(A)＝，①
P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝，②
P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝.③
由事件A和事件B＋C＋D是对立事件可得
P(A)＝1－P(B＋C＋D)＝1－[P(B)＋P(C)＋P(D)]，
即P(B)＋P(C)＋P(D)＝1－P(A)＝1－＝.④
②③④联立可得P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝.
即得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是，，.
课件34张PPT。5.3.2 事件之间的关系与运算教材知识探究在掷骰子试验中，定义如下事件：C1＝{出现1点}，C2＝{出现2点}，C3＝{出现3点}，C4＝{出现4点}，C5＝{出现5点}，C6＝{出现6点}，D1＝{出现的点数不大于1}，D2＝{出现的点数不大于3}，D3＝{出现的点数不大于5}，E＝{出现的点数小于7}，F＝{出现的点数大于6}，G＝{出现的点数为偶数}，H＝{出现的点数为奇数}.问题 在上述事件中，(1)事件C1与事件C2的并事件是什么？
(2)事件D2与G及事件C2间有什么关系？
(3)事件C1与事件C2间有什么关系？
(4)事件G与事件H间有什么关系？
提示 (1)C1∪C2＝{出现1点或2点}；(2)D2∩G＝C2；(3)为互斥事件；(4)为对立事件.1.事件的包含与相等(1)事件的包含(关系)及其概率关系
一般地，如果事件A发生时，事件B一定发生，则称“A包含于B”(或“B包含A”)，记作A?B(或B?A)，这一关系可用图表示.与集合的子集、集合相等的定义是否类似A?B也可用充分必要的语言表述为：A发生是B发生的 ，B发生是A发生的 .
概率关系：如果A?B，根据定义可知，事件A发生的可能性不比事件B发生的可能性大，直观上我们就能得到P(A) P(B).
(2)事件相等(关系)及其概率关系.
如果事件A发生时，事件B 发生；而且事件B发生时，事件A 发生，则称“A与B相等”，记作A＝B.
A＝B?A?B且B?A.
A＝B也可用充分必要的语言表述为：A发生是B发生的 .
概率关系：当A＝B时，应该有P(A) P(B).充分条件必要条件≤一定也一定充要条件=2.事件的运算对比集合的并集、交集运算(1)事件的和(并)
给定事件A，B，由 A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为A与B的和(或并)，记作A＋B(或A∪B).
事件A与B的和可以用如图所示的阴影部分表示.按照定义可知，事件A＋B发生时，当且仅当事件A与事件B中 发生.显然A (A＋B)且B (A＋B).所有至少有一个??概率关系：P(A) P(A＋B)且P(B) P(A＋B)，而且，直观上可知P(A＋B)与P(A)＋P(B)的大小关系为P(A＋B) P(A)＋P(B).
(2)事件的积(交)
给定事件A，B，由A与B中的 样本点组成的事件称为A与B的积(或交)，记作AB(或A∩B).
事件A与B的积可以用如图所示的阴影部分表示.
按照定义可知，事件AB发生时，当且仅当事件A与事件B 发生.显然AB A且AB B.
概率关系：P(AB) P(A)，P(AB) P(B).≤≤≤公共都??≤≤3.事件的互斥与对立(1)互斥事件
给定事件A，B，若事件A与B不能 ，则称A与B互斥，记作AB＝?(或A∩B＝?)，这一关系可用图表示.互斥事件的概率加法公式及其推广：
当A与B互斥(即AB＝?)时，有P(A＋B)＝ ，这称为互斥事件的概率加法公式.对立一定互斥，互斥不一定对立同时发生P(A)+P(B)一般地，如果A1，A2，…，An是两两互斥的事件，则P(A1＋A2＋…＋An)＝ .(2)对立事件P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)不属于A相互对立14.事件的混合运算类比实数的加、减、乘、除运算：先算乘除，后算加减事件的三种运算：求两个事件的和，求两个事件的积，求一个事件的对立事件.因为事件运算的结果仍是事件，因此可以进行事件的混合运算，求积运算的优先级高于求和运算.教材拓展补遗
[微判断]
1.判断下列说法的正误.
(1)若P(A)≤P(B)，则A?B.( )
(2)若P(A)＝P(B)，则A＝B.( )
(3)P(A＋B)＝P(A)＋P(B).( )
(4)P(AB)≤P(A)·P(B).( )
提示 (1)事件A，B不一定有包含关系.
(2)A，B不一定相等.
(3)当AB＝?时成立，当AB≠?时不成立.×××√[微训练]
1.同时抛掷两枚硬币，向上都是正面为事件M，向上至少有一枚是正面为事件N，则有( )
A.M?N B.M?N
C.M＝N D.M∩N＝?
解析 M＝{(正，正)}，N＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)}，故M?N.
答案 A2.抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则( )
A.A?B
B.A＝B
C.A＋B表示向上的点数是1或2或3
D.AB表示向上的点数是1或2或3
解析 设A＝{1，2}，B＝{2，3}，则A∩B＝{1}，A∪B＝{1，2，3}，∴A＋B表示向上的点数为1或2或3.
答案 C3.事件A与B是对立事件，且P(A)＝0.2，则P(B)＝________.
解析 因A与B是对立事件，所以P(A)＋P(B)＝1，即P(B)＝1－P(A)＝0.8.
答案 0.8[微思考]
1.在掷骰子的试验中，事件A＝{出现的点数为1}，事件B＝{出现点数为奇数}，A与B应有怎样的关系？
提示 因为1为奇数，所以A?B.
2.判断两个事件是对立事件的条件是什么？
提示 ①看是否是互斥事件，②看两个事件是否必有一个发生.若满足这两个条件，则是对立事件；否则不是.3.任意给定两个事件A，B，考虑P(A＋B)，P(A)，P(B)，P(AB)，P(A)＋P(B)之间的关系，得出一般的关系式.
提示 P(AB)≤P(A)≤P(A＋B)≤P(A)＋P(B)，P(AB)≤P(B)≤P(A＋B)≤P(A)＋P(B).
4.任意事件概率的加法公式为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB).当A，B满足什么条件时，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)?
提示 当P(AB)＝0，即A，B互斥时，P(A＋B)＝P(A)＋P(B).题型一 事件关系的判断
【例1】 从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各4张)中，任取一张.
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.
判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由.解 (1)是互斥事件，不是对立事件.
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件.同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件.
(2)既是互斥事件，又是对立事件.
理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件.
(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件.
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件.规律方法 互斥事件、对立事件的判定方法
(1)利用基本概念
①互斥事件不可能同时发生；
②对立事件首先是互斥事件，且必须有一个要发生.
(2)利用集合的观点来判断
设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A，B.
①事件A与B互斥，即集合A∩B＝?；
②事件A与B对立，即集合A∩B＝?，且A∪B＝I，即A＝?IB或B＝?IA.【训练1】 从一批产品中取出3件产品，设A＝{3件产品全不是次品}，B＝{3件产品全是次品}，C＝{3件产品不全是次品}，则下列结论正确的是________(填写序号).
①A与B互斥；②B与C互斥；③A与C互斥；④A与B对立；⑤B与C对立.
解析 A＝{3件产品全不是次品}，指的是3件产品全是正品，B＝{3件产品全是次品}，C＝{3件产品不全是次品}包括1件次品2件正品，2件次品1件正品，3件全是正品3个事件，由此知：A与B是互斥事件，但不对立；A与C是包含关系，不是互斥事件，更不是对立事件；B与C是互斥事件，也是对立事件.
所以正确结论的序号为①②⑤.
答案 ①②⑤题型二 事件的运算
【例2】 盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}.
求：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？
(2)事件C与A的交事件是什么事件？
解 (1)对于事件D，可能的结果为：1个红球，2个白球或2个红球，1个白球，故D＝A∪B.
(2)对于事件C，可能的结果为：1个红球，2个白球或2个红球，1个白球或3个均为红球，故C∩A＝A.规律方法 事件间的运算方法
(1)利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算.
(2)利用Venn图.借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算.【训练2】 设A，B为两个事件，试用A，B表示下列事件：
(1)A，B两个事件中至少有一个发生；
(2)A事件发生且B事件不发生；
(3)A，B两个事件都不发生.解 (1)按照定义有A＋B.题型三 互斥事件概率加法公式的应用
【例3】 某射击运动员在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.1，0.2，0.3，0.3，0.1.计算这个运动员在一次射击中：
(1)射中10环或9环的概率；
(2)至少射中7环的概率.解 设运动员射击一次，射中10环、9环、8环、7环、7环以下分别记为A，B，C，D，E，则P(A)＝0.1，P(B)＝0.2，P(C)＝0.3，P(D)＝0.3，P(E)＝0.1.
(1)∵A，B互斥，∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.2＝0.3，即射中10环或9环的概率为0.3.
(2)记F＝A＋B＋C＋D，∵E，F对立，
∴P(F)＝1－P(E)＝1－0.1＝0.9，即P(A＋B＋C＋D)＝0.9，即至少射中7环的概率为0.9.规律方法 (1)公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，只有当A，B两事件互斥时才能使用，如果A，B不互斥，就不能应用这一公式.
(2)利用对立事件的概率公式求解时，必须准确判断两个事件确实是对立事件时才能应用.一、素养落地
1.通过学习事件之间的关系及运算，提升学生的数学抽象、数学运算素养.
2.注意类比集合的关系及运算.
3.注意互斥事件概率加法公式、对立事件概率公式的适用条件.
4.求复杂事件的概率通常有两种方法：
(1)将所求事件转化成彼此互斥事件的和事件；
(2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率.二、素养训练
1.掷一枚骰子，设事件A＝{出现的点数不大于3}，B＝{出现的点数为奇数}，则事件A与事件B的关系是( )
A.A?B
B.A∩B＝{出现的点数为1或3}
C.事件A与B互斥
D.事件A与B是对立事件
解析 由题意事件A表示出现的点数是1或2或3；事件B表示出现的点数是1或3或5.故A∩B＝{出现的点数为1或3}.
答案 B2.若A，B事件互斥，且有P(A)＝0.1，P(B)＝0.3，那么P(A＋B)＝( )
A.0.6 B.0.4
C.0.2 D.0.03
解析 ∵事件A，B是互斥事件，且P(A)＝0.1，P(B)＝0.3，∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.4.
答案 B3.如果事件A与B是互斥事件，且事件A＋B的概率是0.8，事件A的概率是事件B的概率的3倍，那么事件A的概率为________.答案 0.64.从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件.
(1)恰好有1件次品和恰好有2件次品；
(2)至少有1件次品和全是次品；
(3)至少有1件正品和至少有1件次品.
解 (1)中恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生，因此它们是互斥事件，又因为它们的和事件不是必然事件，所以它们不是对立事件，同理可以判断(2)(3)中的2个事件不是互斥事件，从而也不是对立事件.
