5.3.3 古典概型
课标要求
素养要求
1.理解古典概型的两个特征.
2.掌握古典概型概率公式.
3.能运用古典概型概率公式、互斥(对立)事件概率加法公式解决问题.
通过本节课的学习，提升学生的数学建模、数学运算素养.
教材知识探究
我们一次向上抛掷红、黄、蓝三颗骰子，可能出现多少种不同的结果呢？
问题 (1)上述试验中所有不同的样本点有何特点？
(2)掷一枚不均匀的骰子，求出现偶数点的概率，这个概率模型是古典概型吗？
提示 (1)①任何两个样本点之间是互斥的，②所有样本点出现的可能性相等.
(2)不是，因为骰子不均匀，每个样本点出现的可能性不相等.
1.古典概型 两个特征：有限性、等可能性
一般地，如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是有限的(简称为有限性)，而且可以认为每个只包含一个样本点的事件(即基本事件)发生的可能性大小都相等(简称为等可能性)，则称这样的随机试验为古典概率模型，简称为古典概型.
2.古典概型概率公式 古典概型适用，否则不能应用
古典概型中，假设样本空间含有n个样本点，如果事件C包含有m个样本点，则P(C)＝.
教材拓展补遗
[微判断]
判断下列有关古典概型的说法是否正确.
(1)试验中样本点只有有限个.(√)
(2)每个样本点发生的可能性相同.(√)
(3)每个事件发生的可能性相同.(×)
(4)样本点的总数为n，随机事件A包含m个样本点，则P(A)＝.(√)
提示 根据古典概型的定义知(1)(2)(4)正确，而(3)中一个事件可能包含多个样本点，因此说每个事件发生的可能性相同，不正确.
[微训练]
1.袋中装有标号分别为1，3，5，7的四个相同的小球，从中取出两个，下列事件不是样本点的是( )
A.取出的两球标号为3和7
B.取出的两球标号的和为4
C.取出的两球的标号都大于3
D.取出的两球的标号的和为8
解析 取出的两球的标号的和为8包括(3，5)和(1，7)，两个样本点.
答案 D
2.袋中装有红、白球各一个，每次任取一个，有放回地抽取两次，则两次都取得红球的概率为________.
解析 所有可能的样本点有：(红，红)，(红，白)，(白，红)，(白，白)，共4个，故所求概率为.
答案
[微思考]
“抛掷两枚硬币，至少一枚正面向上”是样本点吗？
提示 不是.“抛掷两枚硬币，至少一枚正面向上”包含一枚正面向上，两枚正面向上，所以不是样本点.
题型一 样本点的计数
【例1】 袋中有红、白、黄、黑四种颜色且大小相同的四个小球.
(1)从中任取一球；(2)从中任取两球；(3)先后各取一球.写出上面试验的样本空间，并指出样本点的个数.
解 (1)这个试验的样本空间为{(红)，(白)，(黄)，(黑)}，样本点的个数是4.
(2)一次取两球，如记(红，白)代表一次取出红球、白球两个球，则本试验的样本空间为{(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)}，样本点的个数是6.
(3)先后取两球，如记(红，白)代表先取一红球，后取一白球.因此本试验的样本空间为{(红，白)，(白，红)，(红，黄)，(黄，红)，(红，黑)，(黑，红)，(白，黄)，(黄，白)，(白，黑)，(黑，白)，(黄，黑)，(黑，黄)}，样本点的个数是12.
规律方法 列样本点的三种方法及注意点
(1)列举法：一一列出所有样本点的结果，一般适用于较简单的问题.
(2)列表法：一般适用于较简单的试验方法.
(3)树状图法：一般适用于较复杂问题中样本点的个数的探求.
注意点：取两个球时，有无顺序；依次取两球时，取球是否放回.
【训练1】 (1)从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，满足b>a的样本点有( )
A.3个 B.9个
C.10个 D.15个
(2)从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则基本事件的个数为________.
解析 (1)把所取的数a，b写成数对(a，b)的形式，则样本点有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，其中满足b>a的有(1，2)，(1，3)，(2，3)共3个.
(2)从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：
基本事件总数为25.
答案 (1)A (2)25
题型二 古典概型的判断及概率的求法
古典概型的判断方法：①有限性；②等可能性
【例2】 6月1日是儿童节，光明幼儿园的小朋友用红、黄、蓝三种颜色的小凳子布置联欢会的会场，每排三个小凳子，并且任何两排不能完全相同.求：
(1)假设所需的小凳子足够多，那么根据要求一共能布置多少排小凳子？
(2)每排的小凳子颜色都相同的概率.
解 (1)所有可能的样本点共有27个，如下表所示：
所以一共能布置27排小凳子.
(2)设“每排的小凳子颜色都相同”为事件A，由上表可知，事件A的样本点有1×3＝3(个)，故P(A)＝＝.
【变式1】 (变结论)若例2的条件不变，那么每排的小凳子颜色都不同的概率是多少？
解 设“每排的小凳子颜色都不同”为事件B，由上表可知，事件B的样本点为2×3＝6(个)，故P(B)＝＝.
【变式2】 (变条件，变问法)一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球，求：(1)样本点总数；
(2)事件“摸出2个黑球”包含的样本点的个数；
(3)摸出2个黑球的概率.
解 由于4个球的大小相等，摸出每个球的可能性是均等的， 所以是古典概型.
(1)将黑球编号为黑1，黑2，黑3，从装有4个球的口袋内摸出2个球，所有样本点构成集合Ω＝{(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，白)，(黑2，黑3)，(黑2，白)，(黑3，白)}，其中共有6个样本点.
(2)事件“摸出2个黑球”＝{(黑1，黑2)，(黑2，黑3)，(黑1，黑3)}，共3个样本点.
(3)样本点总数n＝6，事件“摸出两个黑球”包含的样本点数m＝3，故P＝＝，即摸出2个黑球的概率为.
规律方法 1.古典概型需满足两个条件：(1)对于每次随机试验来说，只可能出现有限个不同的试验结果；(2)对于所有不同的试验结果而言，它们出现的可能性是相等的.
2.求古典概型概率的步骤
(1)先判断是否为古典概型；
(2)确定样本点的总数n；
(3)确定事件A包含的样本点个数m；
(4)计算事件A的概率，即P(A)＝.
【训练2】 先后抛掷两枚均匀的硬币.
(1)一共出现多少种可能结果？
(2)出现“一枚正面向上，一枚反面向上”的结果有多少种？
(3)出现“一枚正面向上，一枚反面向上”的概率是多少？
解 (1)抛掷一枚硬币有正面向上、反面向上两种可能结果，我们把硬币标上1，2以便区分，由于1号硬币每种结果都可与2号硬币的任意一个结果配对，组成抛掷两枚硬币的一个结果，因此抛掷两枚硬币的结果有2×2＝4(种).它们是(正1，反2)，(正1，正2)，(反1，正2)，(反1，反2).
(2)由(1)知出现“一枚正面向上，一枚反面向上”的结果有2种，它们是(正1，反2)，(反1，正2).
(3)出现“一枚正面向上，一枚反面向上”的概率P＝.
题型三 古典概型综合问题
【例3】 某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别，公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料.若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为合格.假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力.
(1)求此人被评为优秀的概率；
(2)求此人被评为良好及以上的概率.
解 用编号1，2，3表示A饮料，用编号4，5表示B饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为：(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，共有10种.
令D表示“此人被评为优秀”，E表示“此人被评为良好”，F表示“此人被评为良好及以上”.
(1)事件D包含(1，2，3)这1个基本事件，故P(D)＝.
(2)事件E包括(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，共6个基本事件，所以P(E)＝，故P(F)＝P(D)＋P(E)＝.
规律方法 古典概型中的概率也具有前面我们所说的概率的性质.假设古典概型对应的样本空间含n个样本点，事件A包含m个样本点，则：
(1)由0≤m≤n与P(A)＝可知
0≤P(A)≤1；
(2)因为中包含的样本点个数为n－m，所以
P()＝＝1－＝1－P(A)，
即P(A)＋P()＝1；
(3)若事件B包含有k个样本点，而且A与B互斥，则容易知道A＋B包含m＋k个样本点，从而
P(A＋B)＝＝＋＝P(A)＋P(B).
【训练3】 现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语.从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组.
(1)求A1被选中的概率；
(2)求B1和C1不全被选中的概率.
解 (1)方法一 因为要从通晓日语的志愿者A1，A2，A3中选1名，A1，A2，A3等可能地被选取，故P(A1)＝.
方法二 用M表示“A1恰好被选中”这一事件，则M＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)}，有6种情况.而从8人中选出通晓日语、俄语和韩语志愿者各1名，共有18种选取方法，则P(M)＝＝.
(2)用N表示“B1，C1不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“B1，C1全被选中”.由于＝{(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)}，则P()＝＝，
故P(N)＝1－P()＝.
一、素养落地
1.通过对古典概型的学习，提升数学建模、数学运算素养.
2.古典概型问题
(1)要准确判断；
(2)正确写出样本空间，得到样本点的总数n，确定事件包含的样本点个数m；
(3)代入公式计算.
3.注意古典概型与互斥事件概率公式的综合运用，解决较为复杂的概率计算问题.
二、素养训练
1.某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则样本点共有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
解析 该生选报的所有可能情况：{数学和计算机}，{数学和航空模型}，{计算机和航空模型}，所以样本点有3个.
答案 C
2.下列试验中是古典概型的是( )
A.种下一粒花生，观察它是否发芽
B.向正方形ABCD内，任意投掷一点P，观察点P是否与正方形的中心O重合
C.从1，2，3，4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率
D.在区间[0，5]内任取一点，求此点小于2的概率
解析 A中花生发芽与不发芽的概率不一定相等，故不是古典概型，B，D中的试验的样本点有无数多个，不是古典概型；C中试验有6个样本点，且每个样本点发生的概率相同，是古典概型.
答案 C
3.现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3 m的概率为________.
解析 从5根竹竿中一次抽取2根的可能结果有{2.5，2.6}，{2.5，2.7}，{2.5，2.8}，{2.5，2.9}，{2.6，2.7}，{2.6，2.8}，{2.6，2.9}，{2.7，2.8}，{2.7，2.9}，{2.8，2.9}，共10种，它们的长度恰好相差0.3 m的事件数为2，分别是{2.5，2.8}，{2.6，2.9}，故所求概率为0.2.
答案 0.2
4.从甲、乙、丙三人中，任选两名代表，求甲被选中的概率.
解 从甲、乙、丙三人中任选两名代表，共有3个结果：(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)，其中甲被选中的有2个，故所求的概率为P＝.
三、审题答题
示范(三) 古典概型的求解问题
【典型示例】 (12分)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160.现采用分层随机抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.
(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人①？
(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果②；
②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率③.
审题答题
看到①想到计算各年级人数之比，再按比例划分人数.
看到②想到用列举法写出所有可能的抽取结果.
看到③想到古典概型，用事件M发生的可能结果除以所有可能的结果.
满分解答
解 (1)由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层随机抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人.4分
(2)①从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为
{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种.8分
②由(1)，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种.所以事件M发生的概率P(M)＝.12分
满分心得
容易错误的地方是列举不全或重复而出现错误.
基础达标
一、选择题
1.下列是古典概型的是( )
A.任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点
B.求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点时
C.从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率
D.抛掷一枚质地不均匀硬币首次出现正面为止
解析 A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B项中的样本点是无限的，故B不是；C项中满足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D项中样本点既不是有限个也不具有等可能性，故D不是.
答案 C
2.甲、乙、丙三名学生随机站成一排，则甲站在边上的概率为( )
A. B.
C. D.
解析 甲、乙、丙三名学生随机站成一排，共有6种结果：甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，其中甲站在边上的结果有4个，故所求的概率为＝.
答案 B
3.从数字1，2，3，4，5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率是( )
A. B.
C. D.
解析 从数字1，2，3，4，5中任取两个不同的数字，一共能构成20个两位数：12，13，14，15，23，24，25，34，35，45，21，31，41，51，32，42，52，43，53，54，其中大于40的有8个，故所求的概率为＝.
答案 B
4.有大小相同的五个球，上面分别标有序号1，2，3，4，5，现从中任取两球，则这两球的序号不相邻的概率为( )
A. B.
C. D.
解析 从五个小球中任取两球的基本事件共有10种.其中序号相邻的有(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，共4种，故P(序号不相邻)＝1－＝＝.
答案 C
5.从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( )
A. B.
C. D.
解析 设3个红球分别为红1、红2、红3，2个白球分别为白1、白2，则从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球的取法有(红1，红2，红3)，(红1，红2，白1)，(红1，红2，白2)，(红1，红3，白1)，(红1，红3，白2)，(红1，白1，白2)，(红2，红3，白1)，(红2，红3，白2)，(红2，白1，白2)，(红3，白1，白2)，共10种，其中不含白球的只有(红1，红2，红3)1种，所以不含白球的概率为，所以至少有1个白球的概率P＝1－＝.
答案 D
二、填空题
6.将一枚质地均匀的一元硬币抛3次，恰好出现一次正面的概率是________.
解析 试验共有8个结果：(正，正，正)，(反，正，正)，(正，反，正)，(正，正，反)，(反，反，正)，(反，正，反)，(正，反，反)，(反，反，反)，其中恰好出现一次正面的结果有3个，故所求的概率是.
答案
7.一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率，公司收集了20 000部汽车的相关信息，时间是从某年的5月1日到下一年的5月1日，共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎，则一部汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似是________.
解析 P＝＝0.03.
答案 0.03
8.在1，2，3，4四个数中，可重复地选取两个数，则其中一个数是另一个数的2倍的概率是________.
解析 用列举法知，可重复地选取两个数共有16种可能，其中一个数是另一个数的2倍的有1，2；2，1；2，4；4，2共4种，故所求的概率为＝.
答案
三、解答题
9.同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y，结果为(x，y).
(1)写出这个试验的样本点；
(2)求这个试验的样本点的总数；
(3)“x＋y＝5”这一事件包含哪几个样本点？“x<3且y>1”呢？
(4)“xy＝4”这一事件包含哪几个样本点？“x＝y”呢？
解 (1)这个试验的样本点有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)；
(2)样本点的总数为16；
(3)“x＋y＝5”包含以下4个样本点：(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)；
“x<3且y>1”包含以下6个样本点：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4)；
(4)“xy＝4”包含以下3个样本点：(1，4)，(2，2)，(4，1)；“x＝y”包含以下4个样本点：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4).
10.一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球.
(1)共有多少个样本点？
(2)摸出的2只球都是白球的概率是多少？
解 (1)分别记白球为1、2、3号，黑球为4、5号，从中摸出2只球，有如下样本点(摸到1、2号球用(1，2)表示)：
(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5).
因此，共有10个样本点.
(2)上述10个样本点发生的可能性相同，且只有3个样本点是摸到两只白球(记为事件A)，即(1，2)，(1，3)，(2，3)，故P(A)＝.
故摸出2只球都是白球的概率为.
能力提升
11.先后掷两个均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件A：点数之和为7，B：至少出现一个3点，则P()＝________；P(B)＝________；P(AB)＝________.
解析 用数对(x，y)来表示抛掷结果，则样本空间可记为
Ω＝{(i，j)|i，j＝1，2，3，4，5，6}，
而且样本空间可用图直观表示.
样本空间中，共包含36个样本点.不难看出，A＝{(6，1)，(5，2)，(4，3)，(3，4)，(2，5)，(1，6)}，A包含6个样本点(即图中橙色框中的点)，因此P(A)＝＝.
由对立事件概率之间的关系可知
P()＝1－P(A)＝1－＝.
类似地，可以看出，图中绿色框中的点可以代表事件B，因此B包含11个样本点，从而P(B)＝.
不难知道，AB＝{(4，3)，(3，4)}，因此P(AB)＝＝.
答案
12.从1，2，3，4，5这5个数字中任取三个不同的数字，求下列事件的概率：
(1)事件A＝{三个数字中不含1和5}；
(2)事件B＝{三个数字中含1或5}.
解 这个试验的样本点为：(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，所以样本点总数n＝10.
(1)因为事件A＝{(2，3，4)}，
所以事件A包含的样本点数m＝1.
所以P(A)＝＝.
(2)因为事件B＝{(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)}，
所以事件B包含的样本点数m＝9.
所以P(B)＝＝.
创新猜想
13.(多空题)甲、乙两人玩锤子、剪刀、布的猜拳游戏，假设两人都随机出拳，则平局的概率为________，甲不输的概率为________.
解析 因为甲有3种不同的出拳方法，乙同样也有3种不同的出拳方法，因此一次出拳共有3×3＝9(种)不同的可能.
因为都是随机出拳，所以可以看成古典概型，而且样本空间中共包含9个样本点，样本空间可以用右图直观表示.
因为锤子赢剪刀，剪刀赢布，布赢锤子，因此若记事件A为“平局”，B为“甲赢”，则：
事件A包含3个样本点(图中的△)，因此P(A)＝＝；
事件B包含3个样本点(图中的※)，
因此P(B)＝＝；
因为A＋B表示“甲不输”，且A，B互斥，因此所求概率为
P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝.
答案
14.甲、乙等四人参加4×100 m接力赛，求甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率.
解 设事件A为“甲跑第一棒”，事件B为“乙跑第四棒”，则P(A)＝，P(B)＝.设x为甲跑的棒数，y为乙跑的棒数，则(x，y)共有12种结果：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3).
而甲跑第一棒，乙跑第四棒只有一种可能(1，4)，
故P(AB)＝.所以甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率为
P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝＋－＝.
课件35张PPT。5.3.3 古典概型教材知识探究我们一次向上抛掷红、黄、蓝三颗骰子，可能出现多少种不同的结果呢？
问题 (1)上述试验中所有不同的样本点有何特点？
(2)掷一枚不均匀的骰子，求出现偶数点的概率，这个概率模型是古典概型吗？提示 (1)①任何两个样本点之间是互斥的，②所有样本点出现的可能性相等.
(2)不是，因为骰子不均匀，每个样本点出现的可能性不相等.1.
一般地，如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是__________(简称为有限性)，而且可以认为每个只包含一个样本点的事件(即基本事件)发生的可能性大小__________ (简称为等可能性)，则称这样的随机试验为古典概率模型，简称为古典概型.有限的都相等古典概型两个特征：有限性、等可能性2 . 古典概型概率公式古典概型适用，否则不能应用提示 根据古典概型的定义知(1)(2)(4)正确，而(3)中一个事件可能包含多个样本点，因此说每个事件发生的可能性相同，不正确.√√×√[微训练]
1.袋中装有标号分别为1，3，5，7的四个相同的小球，从中取出两个，下列事件不是样本点的是( )
A.取出的两球标号为3和7
B.取出的两球标号的和为4
C.取出的两球的标号都大于3
D.取出的两球的标号的和为8
解析 取出的两球的标号的和为8包括(3，5)和(1，7)，两个样本点.
答案 D2.袋中装有红、白球各一个，每次任取一个，有放回地抽取两次，则两次都取得红球的概率为________.[微思考]
“抛掷两枚硬币，至少一枚正面向上”是样本点吗？
提示 不是.“抛掷两枚硬币，至少一枚正面向上”包含一枚正面向上，两枚正面向上，所以不是样本点.题型一 【例1】 袋中有红、白、黄、黑四种颜色且大小相同的四个小球.
(1)从中任取一球；(2)从中任取两球；(3)先后各取一球.写出上面试验的样本空间，并指出样本点的个数.
解 (1)这个试验的样本空间为{(红)，(白)，(黄)，(黑)}，样本点的个数是4.样本点的计数一次取两个，无序；先后（依次）取两个，有序(2)一次取两球，如记(红，白)代表一次取出红球、白球两个球，则本试验的样本空间为{(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)}，样本点的个数是6.
(3)先后取两球，如记(红，白)代表先取一红球，后取一白球.因此本试验的样本空间为{(红，白)，(白，红)，(红，黄)，(黄，红)，(红，黑)，(黑，红)，(白，黄)，(黄，白)，(白，黑)，(黑，白)，(黄，黑)，(黑，黄)}，样本点的个数是12.规律方法 列样本点的三种方法及注意点
(1)列举法：一一列出所有样本点的结果，一般适用于较简单的问题.
(2)列表法：一般适用于较简单的试验方法.
(3)树状图法：一般适用于较复杂问题中样本点的个数的探求.
注意点：取两个球时，有无顺序；依次取两球时，取球是否放回.【训练1】 (1)从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，满足b>a的样本点有( )
A.3个 B.9个
C.10个 D.15个
(2)从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则基本事件的个数为________.
解析 (1)把所取的数a，b写成数对(a，b)的形式，则样本点有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，其中满足b>a的有(1，2)，(1，3)，(2，3)共3个.(2)从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：基本事件总数为25.
答案 (1)A (2)25题型二 的判断及概率的求法古典概型的判断方法：①有限性；②等可能性古典概型【例2】 6月1日是儿童节，光明幼儿园的小朋友用红、黄、蓝三种颜色的小凳子布置联欢会的会场，每排三个小凳子，并且任何两排不能完全相同.求：
(1)假设所需的小凳子足够多，那么根据要求一共能布置多少排小凳子？
(2)每排的小凳子颜色都相同的概率.解 (1)所有可能的样本点共有27个，如下表所示：所以一共能布置27排小凳子.【变式1】 (变结论)若例2的条件不变，那么每排的小凳子颜色都不同的概率是多少？【变式2】 (变条件，变问法)一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球，求：(1)样本点总数；
(2)事件“摸出2个黑球”包含的样本点的个数；
(3)摸出2个黑球的概率.
解 由于4个球的大小相等，摸出每个球的可能性是均等的， 所以是古典概型.
(1)将黑球编号为黑1，黑2，黑3，从装有4个球的口袋内摸出2个球，所有样本点构成集合Ω＝{(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，白)，(黑2，黑3)，(黑2，白)，(黑3，白)}，其中共有6个样本点.
(2)事件“摸出2个黑球”＝{(黑1，黑2)，(黑2，黑3)，(黑1，黑3)}，共3个样本点.【训练2】 先后抛掷两枚均匀的硬币.
(1)一共出现多少种可能结果？
(2)出现“一枚正面向上，一枚反面向上”的结果有多少种？
(3)出现“一枚正面向上，一枚反面向上”的概率是多少？
解 (1)抛掷一枚硬币有正面向上、反面向上两种可能结果，我们把硬币标上1，2以便区分，由于1号硬币每种结果都可与2号硬币的任意一个结果配对，组成抛掷两枚硬币的一个结果，因此抛掷两枚硬币的结果有2×2＝4(种).它们是(正1，反2)，(正1，正2)，(反1，正2)，(反1，反2).
(2)由(1)知出现“一枚正面向上，一枚反面向上”的结果有2种，它们是(正1，反2)，(反1，正2).题型三 古典概型综合问题
【例3】 某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别，公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料.若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为合格.假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力.
(1)求此人被评为优秀的概率；
(2)求此人被评为良好及以上的概率.解 用编号1，2，3表示A饮料，用编号4，5表示B饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为：(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，共有10种.
令D表示“此人被评为优秀”，E表示“此人被评为良好”，F表示“此人被评为良好及以上”.【训练3】 现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语.从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组.
(1)求A1被选中的概率；
(2)求B1和C1不全被选中的概率.一、素养落地
1.通过对古典概型的学习，提升数学建模、数学运算素养.
2.古典概型问题
(1)要准确判断；
(2)正确写出样本空间，得到样本点的总数n，确定事件包含的样本点个数m；
(3)代入公式计算.
3.注意古典概型与互斥事件概率公式的综合运用，解决较为复杂的概率计算问题.二、素养训练
1.某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则样本点共有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
解析 该生选报的所有可能情况：{数学和计算机}，{数学和航空模型}，{计算机和航空模型}，所以样本点有3个.
答案 C2.下列试验中是古典概型的是( )
A.种下一粒花生，观察它是否发芽
B.向正方形ABCD内，任意投掷一点P，观察点P是否与正方形的中心O重合
C.从1，2，3，4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率
D.在区间[0，5]内任取一点，求此点小于2的概率
解析 A中花生发芽与不发芽的概率不一定相等，故不是古典概型，B，D中的试验的样本点有无数多个，不是古典概型；C中试验有6个样本点，且每个样本点发生的概率相同，是古典概型.
答案 C3.现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3 m的概率为________.
解析 从5根竹竿中一次抽取2根的可能结果有{2.5，2.6}，{2.5，2.7}，{2.5，2.8}，{2.5，2.9}，{2.6，2.7}，{2.6，2.8}，{2.6，2.9}，{2.7，2.8}，{2.7，2.9}，{2.8，2.9}，共10种，它们的长度恰好相差0.3 m的事件数为2，分别是{2.5，2.8}，{2.6，2.9}，故所求概率为0.2.
答案 0.24.从甲、乙、丙三人中，任选两名代表，求甲被选中的概率.三、审题答题
示范(三) 古典概型的求解问题
【典型示例】 (12分)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160.现采用分层随机抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.
(1)(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人①？审题答题
看到①想到计算各年级人数之比，再按比例划分人数.①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果②；②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率③.看到②想到用列举法写出所有可能的抽取结果.看到③想到古典概型，用事件M发生的可能结果除以所有可能的结果.满分解答
解 (1)由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层随机抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人.4分
(2)①从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为
{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种.8分满分心得
容易错误的地方是列举不全或重复而出现错误.
