5.4 统计与概率的应用
课标要求
素养要求
利用统计和概率的知识解决日常生活和其他学科中的一些难题.
通过统计与概率的应用，培养学生的数学建模、数据分析素养.
教材知识探究
某市准备实行阶梯电价，要求约75%的居民用电量在第一阶梯内，约20%的居民用电量在第二阶梯内，约5%的居民用电量在第三阶梯内.
问题1 若已知该市所有居民的用电量，怎样确定阶梯电价的临界点？
问题2 若不能获取所有居民的用电量，又怎样确定阶梯电价的临界点？
提示1 把该市所有居民的用电量按照从小到大的顺序排列，最后求出这组数的75%分位数、95%分位数即可.
提示2 可以采用随机抽样和用样本估计总体的办法来解决问题.
1.用样本的数字特征(分布)估计总体的数字特征(分布)
2.用样本频率估计总体容量
模拟方法：已知一个盒子里装有若干个小玻璃球，在不容许将玻璃球一一拿出来数的情况下，可以这样来估计出盒子里小玻璃球的个数：再往盒子里放入m个带有标记的玻璃球，充分搅拌盒子里的玻璃球之后，从盒子里取出n个玻璃球，数出其中带有标记的球的个数，记为k.由此可知，从搅拌后的盒子中随机取出一个球，得到的是有标记的球的概率可以估计为.
另外，如果设盒子中原有的玻璃球个数为x，则从搅拌后的盒子中随机取出一个球，得到的是有标记的球的概率为.由≈，可得x≈m.
3.概率的应用
(1)游戏(比赛)规则的公平性问题
(2)负主要责任对象的确定
(3)生物学中显性基因个体的概率
(4)产品合格率的计算
4.统计与概率的结合应用
涉及隐私或敏感问题问卷设计
下面是一种能解决此类问题的问卷样式.
在回答问题前，请自行抛一个硬币：如果得到正面，请按照问题一勾选答案；如果得到反面，请按照问题二勾选答案.(友情提示：为了不泄露您的隐私，请不要让其他人知道您抛硬币的结果).
问题一：您的身份证号码最后一个数是奇数吗？
问题二：捡到东西后是否有据为己有的行为？
□是 □不是
教材拓展补遗
[微判断]
1.用样本估计总体时，关键是取得容量适当的合理样本.(√)
2.游戏规则制订的原则应使参加游戏者取胜的概率都相等.(√)
3.设计隐私或敏感问题的问卷设计必需使被调查人打消顾虑.(√)
[微训练]
我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( )
A.134石 B.169石
C.338石 D.1 366石
解析 这批米内夹谷为×1 534≈169石，故选B.
答案 B
[微思考]
1.乒乓球比赛前，用抽签来决定谁先发球，抽签方法是从1～10共10个数中各抽取1个，再比较大小，这种抽签方法公平吗？
提示 公平
2.某厂家声称自己的产品合格率为99%，市场质量管理人员抽取了这个厂家的3件产品进行检验，发现3件都不合格，厂家所声称的合格率可信吗？
提示 不可信
题型一 统计的应用
【例1】 某医院门诊部关于病人等待挂号的时间记录如下：
等待时间/min
[0，5)
[5，10)
[10，15)
[15，20)
[20，25]
频数
4
8
5
2
1
(1)试用上述分组资料来求病人平均等待时间的估计值及平均等待时间标准差的估计值s；
(2)为更好地服务病人，提高效率，医院应如何规定病人等待的时间范围？
解 (1)易知＝xipi，s2＝ (xi－)2pi，其中xi为组中值，pi为相应的频数.
＝(2.5×4＋7.5×8＋12.5×5＋17.5×2＋22.5×1)＝9.5(min).
s2＝[(2.5－9.5)2×4＋(7.5－9.5)2×8＋(12.5－9.5)2×5＋(17.5－9.5)2×2＋(22.5－9.5)2×1]＝28.5(min2).
s＝≈5.34(min).
∴病人平均等待时间为9.5 min，标准差约为5.34 min.
(2)由(1)知平均等待时间为9.5 min，标准差约为5.34 min.
∴规定病人等待的时间范围为4.16～14.84 min为好.
规律方法 (1)用样本估计总体是统计学中的核心思考.
(2)主要题型是用样本的数字特征或分布估计总体的数字特征或总体的分布.
(3)平均值、方差(或标准差)是评判数据平均取值水平和离散程度的依据.
【训练1】 某校甲班、乙班各有49名学生，两班在一次数学测验中的成绩(满分100分)统计如下表：
班级
平均分
众数
中位数
标准差
甲班
79
70
87
19.8
乙班
79
70
79
5.2
(1)请你对下面的一段话给予简要分析：
甲班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测验，全班平均79分，得70分的人最多，我得了85分，在班里算是上游了！”
(2)请你根据表中数据，对这两个班的测验情况进行简要分析，并提出教学建议.
解 (1)由中位数可知，85分排在第25名之后，从名次上讲，85分不算是上游，但也不能单以名次来判断学习成绩的好坏，小刚得了85分，说明他对这阶段的学习内容掌握较好.
(2)甲班学生成绩的中位数为87分，说明高于或等于87分的学生占一半以上，而平均分为79分，标准差很大，说明低分也多，两极分化严重，建议对学习有困难的同学多给一些帮助；
乙班学生成绩的中位数和平均分均为79分，标准差小，说明学生成绩之间差别较小，成绩很差的学生少，但成绩优异的学生也很少，建议采取措施提高优秀率.
题型二 概率的应用
【例2】 如图所示，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：
所用时间(分钟)
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
选择L1的人数
6
12
18
12
12
选择L2的人数
0
4
16
16
4
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；
(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；
(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径.
解 (1)共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，
故用频率估计相应的概率为0.44.
(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为：
所用时间(分钟)
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
L1的频率
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
L2的频率
0
0.1
0.4
0.4
0.1
(3)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站.
由(2)知，P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，
P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，P(A1)>P(A2)，
所以甲应选择L1.
P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，
P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，P(B2)>P(B1)，
所以乙应选择L2.
规律方法 (1)游戏规则是否公平：判定概率是否都相等.
(2)大概率事件易发生，小概率事件不易发生.
(3)概率在总体估计中的应用.
【训练2】 (1)一天，甲拿出一个装有三张卡片的盒子(一张卡片的两面都是绿色，一张卡片的两面都是蓝色，还有一张卡片一面是绿色，另一面是蓝色)，跟乙说玩一个游戏，规则是：甲将盒子里的卡片顺序打乱后，由乙随机抽出一张卡片放在桌子上，然后卡片朝下的面的颜色决定胜负，如果朝下的面的颜色与朝上的面的颜色一致，则甲赢，否则甲输.这个规则是________的(填“公平”或“不公平”).
(2)为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，如200只，给每只天鹅作上记号，不影响其存活，然后放回保护区.经过适当的时间，让它们和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天鹅，如150只，查看其中有记号的天鹅，设有20只.试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量为________只.
解析 (1)方法一 把卡片六个面的颜色记为G1，G2，G3，B1，B2，B3，其中，Gi表示绿色，Bi表示蓝色(i＝1，2，3)；G3和B3是两面颜色不一样的那张卡片的颜色.游戏所有的结果可以用如图所示.
不难看出，此时，样本空间中共有6个样本点，朝上的面与朝下的面颜色不一致的情况只有2种，因此乙赢的概率为＝.
因此，这个游戏不公平.
方法二 把三张卡片分别记为G，B，M，其中，G表示两面都是绿色的卡片，B表示两面都是蓝色的卡片，M表示一面是绿色另一面是蓝色的卡片.
考虑乙抽取到卡片只有三种可能，而且只有抽到M乙才能赢，所以乙赢的概率为.
因此，这个游戏不公平.
(2)设保护区中天鹅的数量约为n，将n的估计值记作1.假设每只天鹅被捕到的可能性是相等的，从保护区中任捕一只，设事件A＝{带有记号的天鹅}，则P(A)＝.①
第二次从保护区中捕出150只天鹅，其中有20只带有记号，由概率的统计定义可知，P(A)＝.②
则≈，解得n≈1 500，
即＝1 500.
所以估计该自然保护区中约有天鹅1 500只.③
答案 (1)不公平 (2)1 500
题型三 统计与概率的综合应用
【例3】 请设计一份调查问卷，就最近结束的一次考试调查学生的作弊情况.
解 准备一个不透明的袋子，里面装有形状、大小、质量完全相同的黑、白棋子各15颗.
调查问卷设计如下：
班级：________ 姓名________
为了防止您回答的问题被别人知道，请您先从袋子里摸出一个棋子.若摸到的是白棋子，就如实回答问题一；若摸到的是黑棋子，就如实回答问题二.每个问题仅有两个可选答案：是或否.
问题一：您在这次考试中作弊了吗？
问题二：您的生日的日期是偶数吗？
您的回答：________(填“是”或“否”).
规律方法 假设被调查的学生数为2m，回答“是”的有n人.由题意可知，每个学生从口袋中摸出1个白棋子或1个黑棋子的概率都是0.5，即我们估计大约m个学生回答了第一个问题，另m个学生回答了第二个问题.在摸出黑棋子的前提下，回答自己生日日期是偶数的概率是≈0.49.因而在回答第二个问题的学生中，大约有49%m人回答“是”.所以我们推出，在回答第一个问题的m人中，大约有(n－49%m)人回答“是”，即被调查的2m个学生中，在这次考试中大约有(n－49%m)人作弊.
【训练3】 下面是一种能解决调查敏感问题的问卷样式.
在回答问题前，请自行抛一个硬币：如果得到正面，请按照问题一勾选答案；如果得到反面，请按照问题二勾选答案.(友情提示：为了不泄露您的隐私，请不要让其他人知道您抛硬币的结果.)
问题一：您的身份证号码最后一个数是奇数吗？
问题二：捡到东西后是否有据为已有的行为？
□是 □不是
(1)如果收回的200份问卷里，有62份答“是”，①那么有多少人回答了问题二？其中又有多少人答“是”呢？
②估计捡到东西据为己有的行为的比例.
(2)回收问卷的多少，对估计捡到东西据为己有的行为的比例是否有重大影响(直观作答，不必说明理由).
解 (1)①由于抛硬币得到正面的概率为，因此可估计出回答问题一的人数为200×＝100；
又因为身份证号码最后一个数是奇数与是偶数的概率都是，因此回答了问题一的人中，答“是”的人数可估计为100×＝50.由此可得，大约有100人回答了问题二，其中约有62－50＝12人答“是”.②也就是说，捡到东西后有据为已有的行为的比例约为12%.
(2)没有重大影响.
一、素养落地
1.通过本节，提升数学应用能力，培养学生的数学建模、数学运算素养.
2.本节主要有以下几个方面的问题
(1)统计知识的应用；
(2)概率的应用；
(3)统计与概率知识的综合应用.
3.本节的主要思想：用样本估计总体.
二、素养训练
1.某市交警部门在调查一起车祸过程中，所有的目击证人都指证肇事车是一辆普通桑塔纳出租车，但由于天黑，均未看清该车的车牌号码及颜色，而该市有两家出租车公司，其中甲公司有100辆桑塔纳出租车，3 000辆帕萨特出租车；乙公司有3 000辆桑塔纳出租车，100辆帕萨特出租车，交警部门应先调查哪个公司的车辆较合理( )
A.甲公司 B.乙公司
C.甲与乙公司 D.以上都对
解析 由于甲公司桑塔纳的比例为＝，
乙公司桑塔纳的比例为＝，可知应选B.
答案 B
2.李大伯承包了一个果园，种植了100棵樱桃树，今年已进入收获期，收获时，从中任选并采摘了10棵树的樱桃，分别称得每棵树所产樱桃的质量如下表.
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
质量/kg
14
21
27
17
18
20
19
23
19
22
据调查，市场上今年樱桃的批发价格为每千克15元，用所学的统计知识估计今年此果园樱桃的总产量与按批发价格销售樱桃所得的总收入分别约为( )
A.200 kg，3 000元 B.1 900 kg，28 500元
C.2 000 kg，30 000元 D.1 850 kg，27 750 元
解析 样本平均数为
＝＝20(kg).
由此可估计每棵樱桃树所产樱桃平均约为20 kg，所以这100棵樱桃树所产樱桃的质量约为20×100＝2 000(kg).再根据樱桃批发价格为每千克15元，可得总收入约为15×2 000＝30 000(元).
答案 C
3.玲玲和倩倩下象棋，为了确定谁先走第一步，玲玲对倩倩说：“拿一个飞镖射向如图所示的靶中，若射中区域所标的数字大于3，则我先走第一步，否则你先走第一步.”你认为这个游戏规则公平吗？________.(填“公平”或“不公平”)
解析 如题图所示，所标的数字大于3的区域有5个，而小于或等于3的区域只有3个，所以玲玲先走的概率是，倩倩先走的概率是.所以不公平.
答案 不公平
4.为估计一片大草原中野马的数量，可使用以下方法：先从草原中捕捉一定数量的野马，例如200匹，给每匹马作上记号，然后放回草原.经过适当时间，让其和草原中其余的野马充分混合，再从草原中捕捉一定数量的野马，如100匹，查看其中有记号的马，设有40匹.试根据上述数据，估计该草原上野马的数量.
解 设草原野马的数量为n，将n的估计值记作.假定每匹野马被捕捉的可能性是相等的，从草原中任意捕捉一匹，记事件A为“带有记号的野马”.
由古典概型概率，知P(A)＝.①
第二次从草原中捕捉100匹，观察每匹马上是否有记号，共需观察100次，其中带记号的野马有40匹，即事件A发生的频数m＝40，由概率的统计定义，知P(A)≈.②
由①②式，得≈，则n≈500，＝500.
所以，估计草原中约有野马500匹.
基础达标
一、选择题
1.已知样本：12，7，11，12，11，12，10，10，9，8，13，12，10，9，6，11，8，9，8，10，那么频率为0.25的数据的范围是( )
A.[5.5，7.5) B.[7.5，9.5)
C.[9.5，11.5) D.[11.5，13.5)
解析 由题可知，样本容量为20，20×0.25＝5，而四个选项中，只有D选项的区间中有5个数据.
答案 D
2.某事件的概率是万分之一，说明了( )
A.概率太小，该事件几乎不可能发生
B.10 000次中一定发生1次
C.10 000人中，9 999人说不发生，1人说发生
D.10 000次中不可能发生10 000次
解析 万分之一的概率很小，属于小概率事件，发生的可能性很小，故选A.其他的均是错误的.
答案 A
3.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( )
A.0.3 B.0.4
C.0.6 D.0.7
解析 设“只用现金支付”为事件A，“既用现金支付也用非现金支付”为事件B，“不用现金支付”为事件C，则P(C)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.45－0.15＝0.4.故选B.
答案 B
4.若经检验，某厂的产品合格率为98%，则估算该厂8 000件产品中的次品件数为( )
A.7 840 B.160
C.16 D.784
解析 在8 000件产品中，合格品约有8 000×98%＝7 840件，故次品约有8 000－7 840＝160(件).
答案 B
5.有甲、乙两支女子曲棍球队，为了预测来年的情况，作了如下统计：在当年的国际联赛中，甲队平均每场进球数为5.1，全年比赛进球个数的标准差为21；而乙队平均每场进球数为0.8，全年比赛进球个数的标准差为0.3.那么有关来年的叙述正确的个数为( )
①甲队的每场进球数一定比乙队多；②估计乙队发挥比甲队稳定；③与甲队相比，估计乙队几乎每场都进球；④甲队的总进球数可能比乙队要多.
A.1 B.2
C.3 D.4
解析 当年由于甲队全年比赛进球个数的标准差为21，远远大于乙队进球个数的标准差0.3，说明甲队发挥不稳定，乙队发挥稳定；又当年甲队平均每场进球数5.1，远远大于乙队平均每场进球数0.8，说明当年甲队在很多场比赛中进球很少，也有很多场比赛中进球非常多，而乙队当年大部分比赛都进球，只有少部分比赛中没有进球 ，因此利用当年的比赛情况，可以估计来年的比赛情况：甲队的每场进球数只是可能比乙队多.所以①不正确；②③④正确.
答案 C
二、填空题
6.给出统计活动的5个步骤，则它们之间正确的顺序是________.
①收集数据；②整理数据；③确定调查对象；④分析数据；⑤作出推断
答案 ③①②④⑤
7.从某地区15 000名老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如下表所示.
则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多________人.
解析 在容量为500的随机样本中，生活不能自理的老人中男性比女性多2人，则在该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多2÷＝60(人).
答案 60
8.如果袋中装有数量差别很大的白球和红球(只是颜色不同)，从中无放回地任取1个球，取了100次，得到80个白球，估计袋中数量较多的是________.
解析 取了100次，得到80个白球，则取出白球的频率是＝0.8，估计其概率是0.8，那么取出红球的概率约是0.2，取出白球的概率大于取出红球的概率，所以估计袋中数量较多的是白球.
答案 白球
三、解答题
9.在乒乓球比赛中，裁判员有时也用两名运动员伸出手指数的和是单数还是双数来决定谁先发球，其具体规则是：让两名运动员背对背站立，规定一名运动员得单数胜，另一名运动员得双数胜，然后裁判员让两名运动员同时伸出一只手的手指，两个人的手指数的和为单数，则指定单数胜的运动员得到先发球权，若两个人的手指数的和为双数，则指定双数胜的运动员得到先发球权.你认为这个规则公平吗？请用概率的知识加以解释.
解 这个规则是公平的.因为当两名运动员背对背站立时，每名队员伸出的手指数是随机的.那么手指数的和是单数与双数的结果也是随机的.也就是说，每名运动员取得先发球权的概率都是0.5.所以这个规则是公平的.
10.某校为了了解学生近视的情况，对四个非毕业年级各班的近视学生人数进行了统计，每个年级都有7个班.如果某个年级的每个班的近视人数都不超过5人，则认定该年级为“学生视力保护达标年级”.这四个年级各班近视学生人数情况统计如下表.
初一年级
平均值为2，方差为2
初二年级
平均值为1，方差大于0
高一年级
中位数为3，众数为4
高二年级
平均值为3，中位数为4
试根据表中数据，推断“学生视力保护达标年级”.
解 根据题目要求，若符合“学生视力保护达标年级”，则需要该年级7个班的近视人数都不超过5人.
为了便于说明，不妨设某年级各班的近视人数分别为
xi(1≤i≤7)，并且xi≤xi＋1.
(1)初一年级：平均值为2，方差为2.
易知xi＝14且 (xi－2)2＝14.
由于14<16，所以|xi－2|<4.
由于只有7个样本且都为整数，所以可以把14分解成以下两种形式：
①14＝32＋22＋12；
②14＝22＋22＋22＋12＋12.
对于情况①，只能有一种情况：0，1，2，2，2，2，5；而情况②中可以有0，0，2，2，3，3，4和0，1，1，2，2，4，4这两种情况.
(2)初二年级：平均值为1，方差大于0.
要出现不符合的情况，在满足各班人数和为7的前提下，除了x7，其他各班都尽量小即可，初二年级的反例有以下两种：0，0，0，0，0，0，7；0，0，0，0，0，1，6.
(3)高一年级：中位数为3，众数为4.
易知x4＝3，由于众数为4，可知x5，x6，x7三个中至少有两个为4，要出现不符合的情况，则需要x5＝x6＝4，且x7>5即可，由于众数为4，所以其他每班的人数必须各不相同.所以高一年级的反例前六个班的近视人数只有0，1，2，3，4，4一种.
(4)高二年级：平均值为3，中位数为4.
易知x4＝4，要出现不符合的情况，需要让x1，x2，x3尽量小，所以令x1＝x2＝x3＝0，同时为了让x7尽量的大，则只需令x5＝x6＝4，由已知可知xi＝21，所以此时x7＝9.
当然，对于高二年级的反例还可以举出如下几种：
0，0，1，4，4，4，8；0，0，0，4，4，5，8；0，0，2，4，4，4，7；0，1，1，4，4，4，7；0，0，0，4，4，6，7；0，0，0，4，5，5，7；0，0，1，4，4，5，7；0，0，3，4，4，4，6；0，1，2，4，4，4，6；1，1，1，4，4，4，6；0，0，0，4，5，6，6；0，0，1，4，4，6，6；0，0，1，4，5，5，6；0，0，2，4，4，5，6；0，1，1，4，4，5，6.
综上，初一年级所涉及的三种情况均符合每个班的近视人数都不超过5人，所以初一年级符合“学生视力保护达标年级”.
能力提升
11.某汽车站，每天均有3辆开往省城的分上、中、下三个等级的客车.某天王先生准备从该汽车站乘车去省城办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序.为了尽可能乘上上等车，他采取如下策略：先放过第一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆，那么他乘上上等车的概率为( )
A. B.
C. D.
解析 上、中、下三辆车的出发顺序是任意的，有上、中、下；上、下、中；中、上、下；中、下、上；下、上、中；下、中、上，共6种情况.若第二辆车比第一辆好，有3种情况：下、中、上；下、上、中；中、上、下，符合条件的仅有2种情况；若第二辆不比第一辆好，有3种情况：中、下、上；上、中、下；上、下、中，其中仅有1种情况适合条件.所以王先生乘上上等车的概率P＝＝.
答案 B
12.甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语.在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求“星队”至少猜对3个成语的概率.
解 记事件A：“甲第一轮猜对”，
记事件B：“乙第一轮猜对”，
记事件C：“甲第二轮猜对”，
记事件D：“乙第二轮猜对”，
记事件E：“‘星队’至少猜对3个成语”.
由题意，E＝ABCD＋BCD＋ACD＋ABD＋ABC ，
由事件的独立性与互斥性，得
P(E)＝P(ABCD)＋P(BCD)＋P(ACD)＋P(ABD)＋P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)P(D)＋P()P(B)P(C)P(D)＋P(A)P()P(C)P(D)＋P(A)P(B)P()P(D)＋P(A)P(B)P(C)P()＝×××＋2×＝，
所以“星队”至少猜对3个成语的概率为.
创新猜想
13.(多选题)如图的转盘被划分成六个相同大小的扇形，并分别标上1，2，3，4，5，6这六个数字，指针停在每个扇形的可能性相同(假设指针不会落在分界线上)，下列叙述正确的是( )
A.如果指针前三次都停在了3号扇形，下次就一定不会停在3号扇形
B.只要指针连续转六次，一定会有一次停在6号扇形
C.指针停在奇数号扇形的概率与停在偶数号扇形的概率相等
D.P(1)＋P(2)＋P(3)＋P(4)＋P(5)＋P(6)＝1
解析 指针停在奇数号扇形的概率与停在偶数号扇形的概率均为，∴C正确，A，B不正确；由于指针落在分界线上的概率为0，∴P(1)＋P(2)＋P(3)＋P(4)＋P(5)＋P(6)＝1，D正确.
答案 CD
14.用力伸大拇指有的人是直的(直拇指)，有的人是曲的(曲拇指).同人的眼皮单双一样，也是由遗传自父母的基因决定的，其中显性基因记作D，隐性基因记作d；成对的基因中，只要出现了显性基因，就一定是直拇指(这就是说，“直拇指”的充要条件是“基因对是DD，dD或Dd”).同前面一样，决定眼皮单双的基因仍记作B(显性基因)和b(隐性基因).
有一对夫妻，两人决定大拇指形态和眼皮单双的基因都是DdBb，不考虑基因突变，求他们的孩子是直拇指且单眼皮的概率.(生物学上已经证明：控制不同性状的基因遗传时互不干扰.)
解 方法一 根据题意，这对夫妻孩子的决定大拇指形态和眼皮单双的基因的所有可能可以用下图所示.
不难看出，样本空间中共包含16个样本点，其中表示直拇指且单眼皮的是DDbb，Ddbb，dDbb，因此，所求概率为.
方法二 先考虑孩子是直拇指的概率.
所有的情况可用右图表示，由右图可以看出，孩子是直拇指的概率约为.
同理，孩子是双眼皮的概率为，因此是单眼皮的概率为1－＝.
由于不同性状的基因遗传时互不干扰，也就是说是否为直拇指与是否为单眼皮相互独立，因此是直拇指且单眼皮的概率为×＝.
课件33张PPT。5.4 统计与概率的应用教材知识探究某市准备实行阶梯电价，要求约75%的居民用电量在第一阶梯内，约20%的居民用电量在第二阶梯内，约5%的居民用电量在第三阶梯内.
问题1 若已知该市所有居民的用电量，怎样确定阶梯电价的临界点？
问题2 若不能获取所有居民的用电量，又怎样确定阶梯电价的临界点？
提示1 把该市所有居民的用电量按照从小到大的顺序排列，最后求出这组数的75%分位数、95%分位数即可.
提示2 可以采用随机抽样和用样本估计总体的办法来解决问题.3.概率的应用
(1)游戏(比赛)规则的公平性问题
(2)负主要责任对象的确定
(3)生物学中显性基因个体的概率
(4)产品合格率的计算
4.统计与概率的结合应用
涉及隐私或敏感问题问卷设计
下面是一种能解决此类问题的问卷样式.
在回答问题前，请自行抛一个硬币：如果得到正面，请按照问题一勾选答案；如果得到反面，请按照问题二勾选答案.(友情提示：为了不泄露您的隐私，请不要让其他人知道您抛硬币的结果).只有答题人自己知道其回答的是哪个题，所以答题人就不会有顾虑了问题一：您的身份证号码最后一个数是奇数吗？
问题二：捡到东西后是否有据为己有的行为？
□是 □不是教材拓展补遗
[微判断]
1.用样本估计总体时，关键是取得容量适当的合理样本.( )
2.游戏规则制订的原则应使参加游戏者取胜的概率都相等.( )
3.设计隐私或敏感问题的问卷设计必需使被调查人打消顾虑.( )√√√[微训练]
我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( )
A.134石 B.169石
C.338石 D.1 366石答案 B[微思考]
1.乒乓球比赛前，用抽签来决定谁先发球，抽签方法是从1～10共10个数中各抽取1个，再比较大小，这种抽签方法公平吗？
提示 公平
2.某厂家声称自己的产品合格率为99%，市场质量管理人员抽取了这个厂家的3件产品进行检验，发现3件都不合格，厂家所声称的合格率可信吗？
提示 不可信题型一 统计的应用
【例1】 某医院门诊部关于病人等待挂号的时间记录如下：∴病人平均等待时间为9.5 min，标准差约为5.34 min.
(2)由(1)知平均等待时间为9.5 min，标准差约为5.34 min.
∴规定病人等待的时间范围为4.16～14.84 min为好.规律方法 (1)用样本估计总体是统计学中的核心思考.
(2)主要题型是用样本的数字特征或分布估计总体的数字特征或总体的分布.
(3)平均值、方差(或标准差)是评判数据平均取值水平和离散程度的依据.【训练1】 某校甲班、乙班各有49名学生，两班在一次数学测验中的成绩(满分100分)
统计如下表：(1)请你对下面的一段话给予简要分析：
甲班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测验，全班平均79分，得70分的人最多，我得了85分，在班里算是上游了！”
(2)请你根据表中数据，对这两个班的测验情况进行简要分析，并提出教学建议.解 (1)由中位数可知，85分排在第25名之后，从名次上讲，85分不算是上游，但也不能单以名次来判断学习成绩的好坏，小刚得了85分，说明他对这阶段的学习内容掌握较好.
(2)甲班学生成绩的中位数为87分，说明高于或等于87分的学生占一半以上，而平均分为79分，标准差很大，说明低分也多，两极分化严重，建议对学习有困难的同学多给一些帮助；
乙班学生成绩的中位数和平均分均为79分，标准差小，说明学生成绩之间差别较小，成绩很差的学生少，但成绩优异的学生也很少，建议采取措施提高优秀率.题型二 概率的应用
【例2】 如图所示，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；
(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；
(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径.
解 (1)共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，
故用频率估计相应的概率为0.44.
(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为：(3)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站.
由(2)知，P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，
P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，P(A1)>P(A2)，
所以甲应选择L1.
P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，
P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，P(B2)>P(B1)，
所以乙应选择L2.
规律方法 (1)游戏规则是否公平：判定概率是否都相等.
(2)大概率事件易发生，小概率事件不易发生.
(3)概率在总体估计中的应用.【训练2】 (1)一天，甲拿出一个装有三张卡片的盒子(一张卡片的两面都是绿色，一张卡片的两面都是蓝色，还有一张卡片一面是绿色，另一面是蓝色)，跟乙说玩一个游戏，规则是：甲将盒子里的卡片顺序打乱后，由乙随机抽出一张卡片放在桌子上，然后卡片朝下的面的颜色决定胜负，如果朝下的面的颜色与朝上的面的颜色一致，则甲赢，否则甲输.这个规则是________的(填“公平”或“不公平”).
(2)为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，如200只，给每只天鹅作上记号，不影响其存活，然后放回保护区.经过适当的时间，让它们和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天鹅，如150只，查看其中有记号的天鹅，设有20只.试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量为________只.解析 (1)方法一 把卡片六个面的颜色记为G1，G2，G3，B1，B2，B3，其中，Gi表示绿色，Bi表示蓝色(i＝1，2，3)；G3和B3是两面颜色不一样的那张卡片的颜色.游戏所有的结果可以用如图所示.方法二 把三张卡片分别记为G，B，M，其中，G表示两面都是绿色的卡片，B表示两面都是蓝色的卡片，M表示一面是绿色另一面是蓝色的卡片.所以估计该自然保护区中约有天鹅1 500只.③
答案 (1)不公平 (2)1 500题型三 统计与概率的综合应用
【例3】 请设计一份调查问卷，就最近结束的一次考试调查学生的作弊情况.
解 准备一个不透明的袋子，里面装有形状、大小、质量完全相同的黑、白棋子各15颗.
调查问卷设计如下：
班级：________ 姓名________
为了防止您回答的问题被别人知道，请您先从袋子里摸出一个棋子.若摸到的是白棋子，就如实回答问题一；若摸到的是黑棋子，就如实回答问题二.每个问题仅有两个可选答案：是或否.
问题一：您在这次考试中作弊了吗？
问题二：您的生日的日期是偶数吗？
您的回答：________(填“是”或“否”).【训练3】 下面是一种能解决调查敏感问题的问卷样式.
在回答问题前，请自行抛一个硬币：如果得到正面，请按照问题一勾选答案；如果得到反面，请按照问题二勾选答案.(友情提示：为了不泄露您的隐私，请不要让其他人知道您抛硬币的结果.)
问题一：您的身份证号码最后一个数是奇数吗？
问题二：捡到东西后是否有据为已有的行为？
□是 □不是
(1)如果收回的200份问卷里，有62份答“是”，①那么有多少人回答了问题二？其中又有多少人答“是”呢？
②估计捡到东西据为己有的行为的比例.
(2)回收问卷的多少，对估计捡到东西据为己有的行为的比例是否有重大影响(直观作答，不必说明理由).(2)没有重大影响.一、素养落地
1.通过本节，提升数学应用能力，培养学生的数学建模、数学运算素养.
2.本节主要有以下几个方面的问题
(1)统计知识的应用；
(2)概率的应用；
(3)统计与概率知识的综合应用.
3.本节的主要思想：用样本估计总体.二、素养训练
1.某市交警部门在调查一起车祸过程中，所有的目击证人都指证肇事车是一辆普通桑塔纳出租车，但由于天黑，均未看清该车的车牌号码及颜色，而该市有两家出租车公司，其中甲公司有100辆桑塔纳出租车，3 000辆帕萨特出租车；乙公司有3 000辆桑塔纳出租车，100辆帕萨特出租车，交警部门应先调查哪个公司的车辆较合理( )
A.甲公司 B.乙公司
C.甲与乙公司 D.以上都对答案 B2.李大伯承包了一个果园，种植了100棵樱桃树，今年已进入收获期，收获时，从中任选并采摘了10棵树的樱桃，分别称得每棵树所产樱桃的质量如下表.据调查，市场上今年樱桃的批发价格为每千克15元，用所学的统计知识估计今年此果园樱桃的总产量与按批发价格销售樱桃所得的总收入分别约为( )
A.200 kg，3 000元 B.1 900 kg，28 500元
C.2 000 kg，30 000元 D.1 850 kg，27 750 元解析 样本平均数为答案 C3.玲玲和倩倩下象棋，为了确定谁先走第一步，玲玲对倩倩说：“拿一个飞镖射向如图所示的靶中，若射中区域所标的数字大于3，则我先走第一步，否则你先走第一步.”你认为这个游戏规则公平吗？________.(填“公平”或“不公平”)答案 不公平4.为估计一片大草原中野马的数量，可使用以下方法：先从草原中捕捉一定数量的野马，例如200匹，给每匹马作上记号，然后放回草原.经过适当时间，让其和草原中其余的野马充分混合，再从草原中捕捉一定数量的野马，如100匹，查看其中有记号的马，设有40匹.试根据上述数据，估计该草原上野马的数量.所以，估计草原中约有野马500匹.
