第六章 平面向量
[数学文化]——了解数学文化的发展与应用
向量最初应用于物理学，被称为矢量.很多物理量，如力、速度、位移、电场强度、磁感应强度等都是向量.大约公元前350年，古希腊著名学者亚里士多德(Aristotle，公元前384～前322)就知道了力可以表示成向量.“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段.最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿(Newton，1642～1727).
亚里士多德
向量是一种带几何性质的量，除零向量外，总可以画出箭头表示方向，线段长表示大小的有向线段来表示它.1806年，瑞士人阿尔冈(R.Argand，1768～1822)以表示一个有向线段或向量.1827 年，莫比乌斯(Mobius，1790～1868)以表示起点为A，终点为B的向量，这种用法被数学家广泛接受.另外，哈密尔顿(W.R.Hamilton，1805～1865)、吉布斯(J.W.Gibbs，1839～1903)等人则以小写希腊字母表示向量.1912年，兰格文用表示向量，以后，字母上加箭头表示向量的方法逐渐流行，尤其在手写稿中，为了方便印刷，用粗黑体小写字母a，b等表示向量，这两种符号一直沿用至今.
[读图探新]——发现现象背后的知识
问题1：如图(1)，试根据图中的比例尺以及三地的位置，在图中分别用向量表示A地至B，C两地的位移，并求出A地至B，C两地的实际距离(精确到1 km).
问题2：如图(2)是航空发动机的图片，有“涡扇发动机”，“涡轴发动机”等.随着科技的进步，现在出现了“矢量发动机”，查阅有关资料，看一看“矢量发动机”有什么特别之处？
链接：向量除了在日常生活中有应用外，在数学的各个分支，例如平面几何、平面直角坐标系中也有重要的应用；向量也是运动学、力学、电学、经济学等许多学科中不可缺少的数学工具.在本章我们将探究如何用数学符号确切地描述向量，进一步探究向量的运算与应用.
6.1 平面向量及其线性运算
6.1.1 向量的概念
课标要求
素养要求
1.理解向量的概念，掌握向量的表示方法、记法.
2.了解零向量及单位向量.
3.掌握向量的相等与平行.
通过对向量及有关概念的学习，培养学生的数学抽象、直观想象及逻辑推理素养.
教材知识探究
我们在物理学中已经知道，力是矢量(既有大小，又有方向)，如图，放在水平桌面上的物体A.
问题1 物体A受到哪些力的作用？
问题2 物体A受到的力应怎样表示？
提示1 1.重力和桌面对物体A的支持力.
提示2 可用有向线段表示.
1.向量 向量既有大小，又有方向；标量只有大小，没有方向
(1)向量及向量的模
一般地，我们把既有大小又有方向的量称为向量(也称为矢量)，向量的大小也称为向量的模(或长度).
(2)向量及其模的表示法、记法、写法
我们用有向线段来直观地表示向量，其中有向线段的长度表示向量的大小，有向线段箭头所指的方向表示向量的方向.而且，通常将有向线段不带箭头的端点称为向量的始点(或起点)，带箭头的端点称为向量的终点.有向线段始点和终点的相对位置确定向量的大小与方向.始点为A终点为B的有向线段表示的向量，可以用符号简记为，此时向量的模用||表示.
除了用始点和终点的两个大写字母来表示向量外，还可用一个小写字母来表示向量：在印刷时，通常用加粗的斜体小写字母如a，b，c等来表示向量；在书写时，用带箭头的小写字母如，，等来表示向量.此时，向量a的模也用|a|或||来表示.
(3)零向量与单位向量
①零向量 模为零，方向任意(不确定)，但不是没有方向
始点和终点相同的向量称为零向量.零向量在印刷时，通常用加粗的阿拉伯数字零表示，即0；书写时，通常用带箭头的阿拉伯数字零表示，即.零向量的模为0，即|0|＝0.零向量本质上是一个点，因此可以认为零向量的方向是不确定的.
②单位向量
模不为0的向量通常称为非零向量，特别地，把模等于1的向量称为单位向量.这就是说，如果e是单位向量，则|e|＝1；反之也成立.因此，e是单位向量的充要条件是|e|＝1.
2.向量的相等与平行
(1)相等向量
一般地，把大小相等、方向相同的向量称为相等的向量.向量a和b相等，记作a＝b.
(2)向量平行(向量共线)
如果两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个向量平行.通常规定零向量与任意向量平行.两个向量a和b平行，记作a∥b.两个向量平行也称为两个向量共线.
教材拓展补遗
[微判断]
1.温度分为零上，零下和零，所以温度是矢量，也是向量.(×)
2.标量能比较大小，向量也能比较大小.(×)
3.向量的模大于或等于零，向量的模能比较大小.(√)
4.零向量与任意向量平行.(√)
提示 1.温度本身没有方向.
2.向量有相等、不相等之分，但向量不能比较大小.
[微训练]
1.下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功.其中不是向量的有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
解析 日常生活中，常用到两类量，一类量只有大小而没有方向，如质量、路程、密度、温度、功等，这类量叫做数量，它是一个代数量，可以进行代数运算；另一类量既有大小又有方向，如速度、位移、力、加速度等，这类量叫做向量.故选D.
答案 D
2.如图，在矩形ABCD中，可以用同一条有向线段表示的向量是( )
A.和 B.和
C.和 D.和
解析 易知＝.
答案 B
3.如图，以1 cm×3 cm方格纸中的格点为始点和终点的所有向量中，则以A为始点，可以写出________个不同的向量.
解析 由题图可知，以A为始点的向量有，，，，，，，共有7个.
答案 7
[微思考]
1.向量既然可用有向线段表示，那么有向线段就是向量，这种说法正确吗？
提示 不正确.
2.若a∥b∥c，则a∥c，此命题正确吗？
提示 不正确，当b＝0时，不正确.
题型一 向量的有关概念
【例1】 给出以下说法：
①若|a|＝0，则a为零向量；
②单位向量都相等；
③若a与b共线，则a与b的方向相同或相反；
④向量的模一定是正数；
⑤起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；
⑥向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上.其中正确的序号是________.
解析 ①正确，模等于0的向量就是零向量；
②错误，单位向量的模都相等，但方向不一定相同，因此，单位向量不一定相等；
③错误，由于零向量与任一向量共线，但其方向任意，因此，当a与b共线且其中有一个零向量时，它们的方向不一定相同或相反.
④错误，向量的模是非负实数，可能是零；
⑤正确，对于一个向量只要不改变其模的大小和方向，是可以任意移动的，因此相等向量可以起点不同；
⑥错误，共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量必须在同一直线上.
答案 ①⑤
规律方法 要充分理解与向量有关的概念，明白它们各自所表示的含义，搞清它们之间的区别是解决与向量概念有关问题的关键.
【训练1】 给出下列命题：
①若|a|＝|b|，则a＝b；
②两相等向量若其起点相同，则终点也相同；
③若a＝b，b＝c，则a＝c；
④若四边形ABCD是平行四边形，则＝，＝.
其中正确命题的序号是________.
解析 ①该命题不正确，|a|＝|b|只是说明这两向量的模相等，但其方向未必相同；
②该命题正确 ，因两相等向量的模相等，方向相同，故当它们的起点相同时，其终点必重合；
③该命题正确，由向量相等的定义知，a与b的模相等，b与c的模相等，从而a与c的模相等；又a与b的方向相同，b与c的方向相同，从而a与c的方向也必相同，故a＝c；
④该命题不正确.如图所示，显然有≠，≠.
答案 ②③
题型二 向量的直观表示
【例2】 在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：
(1)，使||＝4，点A在点O北偏东45°；
(2)，使||＝4，点B在点A正东；
(3)，使||＝6，点C在点B北偏东30°.
解 (1)由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等.又||＝4，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量如图所示.
(2)由于点B在点A正东方向处，且||＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量如图所示.
(3)由于点C在点B北偏东30°处，且||＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，以B为圆心，6为半径作圆，与到B距离为3的竖直直线(在B的上方)的交点即为点C，画出向量如图所示.
规律方法 在画图时，向量是用有向线段来表示的，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.
【训练2】 中国象棋中规定：马走“日”字.下图是中国象棋的半个棋盘，若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量或表示马走了“一步”.试在图中画出马在B，C处走了“一步”的所有情况.
解 根据规则，画出符合要求的所有向量.
马在B处走了“一步”的情况如图(1)所示；
马在C处走了“一步”的情况如图(2)所示.
题型三 相等向量与共线向量
【例3】 如图所示，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形.
(1)写出与相等的向量；
(2)写出与共线的向量；
(3)向量与是否相等？
解 (1)与相等的向量为：，，.
(2)与共线的向量为：，，，，，，，，.
(3)向量与不相等，因为与的方向相反，所以它们不相等.
规律方法 判断一组向量是否相等，关键是看这组向量是否方向相同，长度相等，与起点和终点的位置无关.对于共线向量，则只要判断它们是否同向或反向即可.
【训练3】 如图，在正方形ABCD中，M，N分别为AB和CD的中点，在以A，B，C，D，M，N为起点和终点的所有向量中，相等的向量分别有多少对？
解 不妨设正方形的边长为2，则以A，B，C，D，M，N为起点和终点的向量中：
(1)模为2的相等向量共有8对，＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝.
(2)模为1的相等向量有12对，其中与同向的有，，，这四个向量组成相等的向量有6对，即＝，＝，＝，＝，＝，＝，同理与反向的也有6对.
(3)模为的相等向量共有4对，＝，＝，＝，＝.
一、素养落地
1.通过本节学习，培养数学抽象、直观想象素养.
2.向量是既有大小又有方向的量，从其定义看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起数形结合的桥梁作用.
3.对于向量有关命题的真假判断，要注意零向量这一特殊情形.
二、素养训练
1.已知向量a如图所示，下列说不正确的是( )
A.也可以用表示
B.方向是由M指向N
C.起点是M
D.终点是M
解析 a＝，起点是M，终点是N.
答案 D
2.如图，在四边形ABCD中，若＝，则图中相等的向量是( )
A.与 B.与
C.与 D.与
解析 ∵＝，∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AC，BD互相平分，∴＝.
答案 D
3.如图，在△ABC中，若DE∥BC，则图中所示向量是共线向量的有________________.
解析 观察图形，并结合共线向量的定义可得解.
答案 与，与，与
4.在四边形ABCD中，∥且||≠||，试判定四边形ABCD的形状.
解 ∵∥且||≠||，
∴AB∥DC，但AB≠DC，
∴四边形ABCD是梯形.
基础达标
一、选择题
1.下列说法正确的是( )
A.零向量没有大小，没有方向
B.零向量是唯一没有方向的向量
C.零向量的长度为0
D.由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行
解析 零向量的长度为0，方向是任意的，故A，B错误，C正确.零向量与任一向量平行，故D错误.
答案 C
2.如图在等腰梯形ABCD中，①与是共线向量，②＝，③>.以上结论中正确的个数是( )
A.0 B.1
C.2 D.3
解析 因为与的方向不相同，也不相反，所以与不共线，即①不正确；由①可知②不正确；因为两个向量不能比较大小，所以③不正确.
答案 A
3.设O是正方形ABCD的中心，则向量，，，是( )
A.相等的向量 B.平行的向量
C.有相同起点的向量 D.模相等的向量
解析 这四个向量的模相等.
答案 D
4.若a为任一非零向量，b为模为1的向量，下列各式：①|a|＞|b|；②a∥b；③|a|＞0；④|b|＝±1.其中正确的是( )
A.①④ B.③ C.①②③ D.②③
解析 a为任一非零向量，故|a|＞0，只有③正确.
答案 B
5.如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则( )
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
解析 由平面几何知识知，与方向不同，故≠；与方向不同，故≠；与模相等而方向相反，故≠；与模相等且方向相同，
∴＝.
答案 D
二、填空题
6.如图，?ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，图中所示向量与平行且模相等的向量有________个.
解析 与平行且模相等的向量是，，.
答案 3
7.若||＝||且＝，则四边形ABCD的形状为________.
解析 ∵＝，∴四边形ABCD为平行四边形，又||＝||，即有一组邻边相等，故四边形ABCD为菱形.
答案 菱形
8.给出下列四个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b方向相反；④|a|＝0或|b|＝0.其中能使a∥b成立的条件是________(填序号).
解析 因为a＝b?a∥b，即①能够使a∥b成立；由于|a|＝|b|并没有确定a与b的方向，即②不能够使a∥b成立；因为a与b方向相反时，a∥b，即③能够使a∥b成立；因为零向量与任意向量共线，所以|a|＝0或|b|＝0时，a∥b能够成立.故使a∥b成立的条件是①③④.
答案 ①③④
三、解答题
9.某人从A点出发向西走了250 m到达B点，然后改变方向向北偏西30°走了
450 m到达C点，最后又改变方向，向东走了250 m到达D点.
(1)作出向量，，(1 cm代表200 m).
(2)求的模.
解 (1)如图所示：
(2)连接DA，由于方向是正东，模长为250 m，方向是正西，模长为250 m，所以CD綉AB，因此四边形ABCD为平行四边形，所以||＝||＝450 m，
即的模为450 m.
10.如图，在四边形ABCD中，＝，N，M分别是AD，BC上的点，且＝.求证：＝.
证明 ∵＝，
∴||＝||且AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴||＝||，且DA∥CB.
又∵与的方向相同，
∴＝.同理可证，四边形CNAM是平行四边形，
∴＝.∵||＝||，||＝||，
∴||＝||.
∵DN∥MB且与的方向相同，∴＝.
能力提升
11.已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝________.
解析 因为A，B，C三点不共线，所以与不共线，又因为m∥且m∥，所以m＝0.
答案 0
12.如图所示，已知＝＝.求证：
(1)△ABC≌△A′B′C′；
(2)＝，＝.
证明 (1)∵＝，
∴||＝||，且∥.
又∵A不在上，∴AA′∥BB′.
∴四边形AA′B′B是平行四边形.
∴||＝||.
同理||＝||，||＝||.
∴△ABC≌△A′B′C′.
(2)由(1)知四边形AA′B′B是平行四边形，
∴∥，且||＝||.
∴＝.同理可证＝.
创新猜想
13.(多空题)四边形ABCD为边长为3的正方形，把各边三等分后，共有9个小正方形，16个顶点，从中选取两个点作为向量的起点和终点，则与平行且长度为2的向量有________个，与向量同向且长度为2的向量有________个.
解析 如图所示，满足与平行且长度为2的向量有，，，，，，，共8个，与向量同向且长度为2的向量占与向量平行且长度为2的向量中的一半，共4个.
答案 8 4
14.如图，在平行四边形ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，设点集S＝{A，B，C，D，O}，向量集合T＝{|M，N∈S，且M，N不重合}，试求集合T中元素的个数.
解 由题意知，S中任意两点连成的有向线段，共有20个，即，，，；，，，；，，，；，，，；，，，.由平行四边形的性质可知，共有8对向量相等，即＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝.
∵集合中元素具有互异性，∴集合T中的元素共有12个.
课件35张PPT。第六章 平面向量 [数学文化]——了解数学文化的发展与应用
向量最初应用于物理学，被称为矢量.很多物理量，如力、速度、位移、电场强度、磁感应强度等都是向量.大约公元前350年，古希腊著名学者亚里士多德(Aristotle，公元前384～前322)就知道了力可以表示成向量.“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段.最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿(Newton，1642～1727).亚里士多德[读图探新]——发现现象背后的知识 问题1：如图(1)，试根据图中的比例尺以及三地的位置，在图中分别用向量表示A地至B，C两地的位移，并求出A地至B，C两地的实际距离(精确到1 km).
问题2：如图(2)是航空发动机的图片，有“涡扇发动机”，“涡轴发动机”等.随着科技的进步，现在出现了“矢量发动机”，查阅有关资料，看一看“矢量发动机”有什么特别之处？
链接：向量除了在日常生活中有应用外，在数学的各个分支，例如平面几何、平面直角坐标系中也有重要的应用；向量也是运动学、力学、电学、经济学等许多学科中不可缺少的数学工具.在本章我们将探究如何用数学符号确切地描述向量，进一步探究向量的运算与应用.6.1 平面向量及其线性运算
6.1.1 向量的概念教材知识探究我们在物理学中已经知道，力是矢量(既有大小，又有方向)，如图，放在水平桌面上的物体A.问题1 物体A受到哪些力的作用？
问题2 物体A受到的力应怎样表示？
提示1 1.重力和桌面对物体A的支持力.
提示2 可用有向线段表示.1.向量向量既有大小，又有方向；标量只有大小，没有方向大小方向大小长度箭头始点终点(3)零向量与单位向量①零向量模为零，方向任意(不确定)，但不是没有方向小写始点终点 ②单位向量
模不为0的向量通常称为非零向量，特别地，把模等于 的向量称为单位向量.这就是说，如果e是单位向量，则|e|＝1；反之也成立.因此，e是单位向量的充要条件是|e|＝1.
2.向量的相等与平行
(1)相等向量
一般地，把大小____________、方向____________的向量称为相等的向量.向量a和b相等，记作a＝b.
(2)向量平行(向量共线)
如果两个非零向量的方向_______________，则称这两个向量平行.通常规定零向量与任意向量____________.两个向量a和b平行，记作a∥b.两个向量平行也称为两个向量共线.1相等相同相同或者相反平行教材拓展补遗
[微判断]
1.温度分为零上，零下和零，所以温度是矢量，也是向量.( )
2.标量能比较大小，向量也能比较大小.( )
3.向量的模大于或等于零，向量的模能比较大小.( )
4.零向量与任意向量平行.( )
提示 1.温度本身没有方向.
2.向量有相等、不相等之分，但向量不能比较大小.××√√[微训练]
1.下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功.其中不是向量的有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
解析 日常生活中，常用到两类量，一类量只有大小而没有方向，如质量、路程、密度、温度、功等，这类量叫做数量，它是一个代数量，可以进行代数运算；另一类量既有大小又有方向，如速度、位移、力、加速度等，这类量叫做向量.故选D.
答案 D2.如图，在矩形ABCD中，可以用同一条有向线段表示的向量是( )答案 B3.如图，以1 cm×3 cm方格纸中的格点为始点和终点的所有向量中，则以A为始点，可以写出________个不同的向量.答案 7[微思考]
1.向量既然可用有向线段表示，那么有向线段就是向量，这种说法正确吗？
提示 不正确.
2.若a∥b∥c，则a∥c，此命题正确吗？
提示 不正确，当b＝0时，不正确.解析 ①正确，模等于0的向量就是零向量；
②错误，单位向量的模都相等，但方向不一定相同，因此，单位向量不一定相等；
③错误，由于零向量与任一向量共线，但其方向任意，因此，当a与b共线且其中有一个零向量时，它们的方向不一定相同或相反.
④错误，向量的模是非负实数，可能是零；
⑤正确，对于一个向量只要不改变其模的大小和方向，是可以任意移动的，因此相等向量可以起点不同；
⑥错误，共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量必须在同一直线上.
答案 ①⑤规律方法 要充分理解与向量有关的概念，明白它们各自所表示的含义，搞清它们之间的区别是解决与向量概念有关问题的关键.解析 ①该命题不正确，|a|＝|b|只是说明这两向量的模相等，但其方向未必相同；
②该命题正确 ，因两相等向量的模相等，方向相同，故当它们的起点相同时，其终点必重合；
③该命题正确，由向量相等的定义知，a与b的模相等，b与c的模相等，从而a与c的模相等；又a与b的方向相同，b与c的方向相同，从而a与c的方向也必相同，故a＝c；答案 ②③题型二 向量的直观【例2】 在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：表示常用有向线段表示，但有向线段本身并不是向量规律方法 在画图时，向量是用有向线段来表示的，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.解 根据规则，画出符合要求的所有向量.
马在B处走了“一步”的情况如图(1)所示；
马在C处走了“一步”的情况如图(2)所示.题型三 相等向量与共线向量相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等规律方法 判断一组向量是否相等，关键是看这组向量是否方向相同，长度相等，与起点和终点的位置无关.对于共线向量，则只要判断它们是否同向或反向即可.【训练3】 如图，在正方形ABCD中，M，N分别为AB和CD的中点，在以A，B，C，D，M，N为起点和终点的所有向量中，相等的向量分别有多少对？一、素养落地
1.通过本节学习，培养数学抽象、直观想象素养.
2.向量是既有大小又有方向的量，从其定义看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起数形结合的桥梁作用.
3.对于向量有关命题的真假判断，要注意零向量这一特殊情形.答案 D答案 D3.如图，在△ABC中，若DE∥BC，则图中所示向量是共线向量的有________________.解析 观察图形，并结合共线向量的定义可得解.∴AB∥DC，但AB≠DC，
∴四边形ABCD是梯形.
