6.1.2 向量的加法
课标要求
素养要求
1.理解向量和的定义.
2.掌握向量加法的法则.
3.了解多个向量相加.
4.理解向量加法的运算律.
5.了解和向量模的不等式.
1.通过学习和向量定义，培养学生的数学抽象素养.
2.通过向量加法的运算，培养学生的直观想象、数学运算素养.
教材知识探究
如图所示，李敏同学上午从家(点A)到达了公园(点B)，下午从公园(点B)到达了舅家(点C).
问题1 分别用向量表示出李敏上午的位移、下午的位移以及这一天的位移.
问题2 这一天的位移与上午的位移、下午的位移有什么关系？
提示1 .
提示2 ＝＋.
1．向量的和(和向量) 结果仍为向量
一般地，平面上任意给定两个向量a，b，在该平面内任取一点A，作＝a，＝b，作出向量，则向量称为向量a与b的和(也称为向量a与b的和向量)．向量a与b的和向量记作a＋b，因此＋＝.求向量和的运算称为向量的加法．
2.向量的加法法则
当a与b不共线时
(1)向量加法的三角形法则 两相加向量首尾相接
当a与b不共线时，如图(1)所示，此时a，b，a＋b正好能构成一个三角形，这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的三角形法则．
图(1)
(2)向量加法的平行四边形法则 两相加向量有公共起点
当a，b不共线时，如图(2)所示，在该平面内任取一点A，作＝a，＝b，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，作出向量，则向量就表示a，b两向量的和a＋b.这种求向量和的作图方法也常称为向量加法的平行四边形法则．
图(2)
当a与b共线时，求它们的和可用如图(3)(4)表示．
特别地对任意向量a，有a＋0＝＋a＝a.
(3)和向量模的不等式 注意取等号的条件
向量a，b的模与a＋b的模之间满足不等式
||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.
3.多个向量相加
为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的始点为始点，最后一个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图(5)所示．
图(5)
4.向量加法的运算律
(1)加法交换律
对于任意的向量a，b，都有a＋b＝b＋a．
(2)加法结合律
对于任意a，b，c，都有(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
教材拓展补遗
[微判断]
1.任意向量与零的和都是这个向量本身.(×)
2.向量加法的三角形法则、平行四边形法则适用于求任意两个向量的和.(×)
3.求两向量的和，只需使它们“首尾相接”，从第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量就表示两向量的和.(√)
提示 1.零加向量无意义.
2.平行四边形法则只适用于不共线向量.
[微训练]
1.在△ABC中，＝a，＝b，则a＋b等于( )
A. B.
C. D.
解析 a＋b＝＋＝.
答案 D
2.设a表示“向东走5 km”，b表示“向南走5 km”，则a＋b表示( )
A.向东走10 km
B.向南走10 km
C.向东南走10 km
D.向东南走5 km
解析 如图所示，＝a＋b，||＝5，||＝5，且AB⊥BC，则||＝5，∠BAC＝45°.
答案 D
3.在△ABC中，＝a，＝b，＝c，则a＋b＋c＝________.
解析 由向量加法的三角形法则，得＋＝，即a＋b＋c＝＋＋＝0.
答案 0
[微思考]
1.向量加法的平行四边形法则和三角形法则有何区别与联系？
提示 区别：三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”；联系：①三角形法则、平行四边形法则都适用于不共线的两个向量求和.②当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的.
2.分别指出不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|左边取“＝”、右边取“＝”、左右两边同时取“＝”的条件.
提示 当a，b共线，并且a，b方向相反或至少有一个为零向量时，不等式左边等号成立；
当a，b共线，并且a，b方向相同或者至少有一个为零向量时，不等式右边等号成立；
当a，b至少有一个为零向量时不等式左右两边的等号同时成立.
题型一 向量的加法运算
【例1】 化简或计算：(1)＋＋＝________.
(2)＋＋＋＋＝________.
(3)?ABCD中(如图)，对角线AC，BD交于点O.
则①＋＝________；
②＋＋＝________；
③＋＋＝________；
④＋＋＝________.
解析 (1)＋＋＝(＋)＋＝＋＝.
(2)＋＋＋＋
＝(＋)＋(＋)＋
＝＋＋＝＋＝0.
(3)①＋＝，
②＋＋＝＋＝，
③＋＋＝＋＝，
④＋＋＝＋＝0.
答案 (1) (2)0 (3)① ② ③ ④0
规律方法 (1)解决该类题目要灵活应用向量加法的运算律和向量加法法则，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母排列顺序，特别注意勿将0写成0.
(2)运用向量加法求和时，在图中表示“首尾相接”时，其和向量是从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点.
【训练1】 如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：
(1)＋＋；
(2)＋＋＋.
解 (1)＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝；
(2)＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0.
题型二 利用向量证明几何问题
【例2】 在?ABCD的对角线BD的延长线及反向延长线上，取点F，E，使BE＝DF(如图).用向量的方法证明：四边形AECF也是平行四边形.
证明 ∵＝＋，
＝＋.
又∵＝，＝，
∴＝，即AE，FC平行且相等，
∴四边形FAEC是平行四边形.
规律方法 用向量证明几何问题的一般步骤：
(1)要把几何问题中的边转化成相应的向量；
(2)通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系.
【训练2】 已知在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且AO＝OC，DO＝OB.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明 根据向量加法的三角形法则，有
＝＋，＝＋，
又∵＝，＝，
∴＋＝＋.∴＝.
∴AB∥DC，且AB＝DC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
题型三 向量加法的实际应用
【例3】 如图所示，在抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和.
解 设，分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km，从B地按南偏东55°的方向飞行800 km，
则飞机飞行的路程指的是||＋||；
两次飞行的位移的和指的是＋＝.
依题意，有||＋||＝800＋800＝1 600(km)，
又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，
所以||＝
＝ ＝800(km).
其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.
从而飞机飞行的路程是1 600 km，两次飞行的位移和的大小为800 km，方向为北偏东80°.
规律方法 解决与向量有关的实际应用题，应本着如下步骤：弄清实际问题→转化为数学问题→正确画出示意图→用向量表示实际量→向量运算→回扣实际问题→作出解答.
【训练3】 已知小船在静水中的速度与河水的流速都是10 km/h，问：
(1)小船在河水中行驶的实际速度的最大值与最小值分别是多少？
(2)如果小船在河南岸M处，对岸北偏东30°有一码头N，小船的航向如何确定才能直线到达对岸码头？(河水自西向东流)
解 (1)小船顺流行驶时实际速度最大，最大值为20 km/h；小船逆流行驶时实际速度最小，最小值为0 km/h，此时小船是静止的.
(2)如图所示，设表示水流的速度，表示小船实际过河的速度.
设MC⊥MA，
||＝||＝10，∠CMN＝30°.
∵＋＝，
∴四边形MANB为菱形.
则∠AMN＝60°，
∴△AMN为等边三角形.
在△MNB中，||＝||＝||＝10，
∴∠BMN＝60°，而∠CMN＝30°，∴∠CMB＝30°，
∴小船要由M直达码头N，其航向应为北偏西30°.
一、素养落地
1.通过向量加法的学习，提升数学抽象、直观想象和数学运算素养.
2.三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本法则，两个法则是统一的.当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则.
3.向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行.
二、素养训练
1.已知向量a∥b，且|a|>|b|>0，则向量a＋b的方向( )
A.与向量a方向相同 B.与向量a方向相反
C.与向量b方向相同 D.与向量b方向相反
解析 a∥b且|a|>|b|>0，∴当a，b同向时，a＋b的方向与a相同；当a，b反向时，∵|a|>|b|，∴a＋b的方向仍与a相同.
答案 A
2.下列等式不正确的是( )
①a＋(b＋c)＝(a＋c)＋b；②＋≠0；
③＝＋＋.
A.②③ B.②
C.① D.③
解析 ①满足向量加法的交换律与结合律，①正确.
＋＝＝0，②不正确.
＋＋＝＋(＋)＝＋
＝＋＝，③正确.
答案 B
3.设E是平行四边形ABCD外一点，如图所示，化简下列各式：
(1)＋＝________；
(2)＋＋＝______；
(3)＋＋＝________；
(4)＋＋＋＝________.
解析 (1)＋＝.
(2)＋＋＝＋＋＝＋＝0.
(3)＋＋＝＋＋＝＋＝.
(4)＋＋＋＝＋＝.
答案 (1) (2)0 (3) (4)
4.如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且BP＝QC.
求证：＋＝＋.
证明 ∵＝＋，
＝＋，
∴＋＝＋＋＋.
又∵BP＝QC且与方向相反，
∴＋＝0，∴＋＝＋，
即＋＝＋.
基础达标
一、选择题
1.化简＋＋＋的结果等于( )
A. B.
C. D.
解析 ＋＋＋＝＋0＝.
答案 B
2.在四边形ABCD中，＝＋，则一定有( )
A.四边形ABCD是矩形
B.四边形ABCD是菱形
C.四边形ABCD是正方形
D.四边形ABCD是平行四边形
解析 由＝＋，又＝＋，得＝，即AD＝BC，且AD∥BC，所以四边形ABCD的一组对边平行且相等，故为平行四边形.
答案 D
3.如图所示的方格中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝( )
A. B.
C. D.
解析 利用平行四边形法则作出向量＋，平移即可发现＋＝.
答案 C
4.已知四边形ABCD是一菱形，则下列等式中成立的是( )
A.＋＝ B.＋＝
C.＋＝ D.＋＝
解析 对于A，＋＝≠；对于B，＋≠；对于C，＋＝＋＝，又＝，
∴＋＝；对于D，＋≠.
答案 C
5.在矩形ABCD中，||＝4，||＝2，则|＋＋|等于( )
A.2 B.4
C.12 D.6
解析 ∵＋＝，
又||＝＝2，
∴|＋＋|＝|＋|
＝||＋||＝2||＝4.
答案 B
二、填空题
6.已知||＝||＝1，且∠AOB＝60°，则|＋|＝________.
解析 如图所示，＋＝，|＋|＝||，
在△OAC中，∠AOC＝30°，
||＝||＝1，∴||＝，
即|＋|＝.
答案
7.已知点G是△ABC的重心，则＋＋＝______.
解析 如图所示，连接AG并延长交BC于E点，则点E为BC的中点，延长AE到D点，使ED＝GE，
则＋＝，＋＝0，
∴＋＋＝0.
答案 0
8.如图，已知△ABC是直角三角形且∠A＝90°，则在下列结论中正确的是________.
①|＋|＝||；②|＋|＝||；③||2＋||2＝||2.
解析 ①正确.以AB，AC为邻边作?ABDC，又∠BAC＝90°，
所以?ABDC为矩形，所以AD＝BC，
所以|＋|＝||＝||.
②正确.|＋|＝||＝||.
③正确.由勾股定理知
||2＋||2＝||2.
答案 ①②③
三、解答题
9.一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度的大小.
解 如图所示，表示水流速度，表示船垂直于对岸的方向行驶的速度，表示船实际航行的速度，∠AOC＝30°，||＝5.
∵四边形OACB为矩形，
∴||＝＝5，||＝＝10，
∴水流速度大小为5 km/h，船实际速度大小为10 km/h.
10.如图，在△ABC中，O为重心，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，化简下列各式；
(1)＋＋；
(2)＋＋；
(3)＋＋.
解 (1)＋＋＝＋＝.
(2)＋＋＝(＋)＋＝＋＝.
(3)∵E，F分别是AC，AB的中点，
∴EF∥BC且EF＝BC.
∵D是BC的中点，
∴BD＝DC＝BC.∴EF＝BD.
∴＋＋＝＋＋＝＋＝.
能力提升
11.在平行四边形ABCD中，若|＋|＝|＋|，则四边形ABCD是( )
A.菱形 B.矩形
C.正方形 D.不确定
解析 如图，延长DC至D′，使＝′＝.
∵|＋|＝|＋|＝|＋′|，∴||＝|′|，
故△BDD′为等腰三角形，
∴BC⊥CD，?ABCD为矩形.
答案 B
12.如图，已知向量a，b，c不共线.求作向量a＋b＋c.
解 方法一 如图①，在平面内作＝a，＝b，则＝a＋b；再作＝c，则＝a＋b＋c.
方法二 如图②，在平面内作＝a，＝b，以OA与OB为邻边作平行四边形OADB，则＝a＋b；再作＝c，以OD与OC为邻边作平行四边形ODEC，则＝a＋b＋c.
创新猜想
13.(多空题)设|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最大值为________；最小值为________.
解析 当a与b共线同向时，|a＋b|max＝20；当a与b共线反向时，|a＋b|min＝4.
答案 20 4
14.如图，已知向量a，b，c，d.
(1)求作a＋b＋c＋d.
(2)设|a|＝2，e为单位向量，求|a＋e|的最大值.
解 (1)在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，＝d，则＝a＋b＋c＋d.
(2)在平面内任取一点O，作＝a，＝e，则a＋e＝＋＝，因为e为单位向量，所以点B在以A为圆心的单位圆上(如图所示)，由图可知当点B在点B1时，O，A，B1三点共线，||即|a＋e|最大，最大值是3.
课件32张PPT。6.1.2 向量的加法教材知识探究如图所示，李敏同学上午从家(点A)到达了公园(点B)，下午从公园(点B)到达了舅家(点C).
问题1 分别用向量表示出李敏上午的位移、下午的位移以及这一天的位移.
问题2 这一天的位移与上午的位移、下午的位移有什么关系？1. (和向量)向量的和结果仍为向量a＋b2.向量的加法法则
当a与b不共线时(1)向量加法的三角形法则当a与b不共线时，如图(1)所示，此时a，b，a＋b正好能构成一个三角形，这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的三角形法则．两相加向量首尾相接图(1)(2)向量加法的平行四边形法则图(2)两相加向量有公共起点当a与b共线时，求它们的和可用如图(3)(4)表示．(3)和向量模的不等式向量a，b的模与a＋b的模之间满足不等式
||a|－|b|| |a＋b| |a|＋|b|.3.多个向量相加
为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的始点为 ，最后一个向量的终点为 的向量，就是这些向量的和，如图(5)所示．注意取等号的条件图(5)≤≤始点终点4.向量加法的运算律
(1)加法交换律
对于任意的向量a，b，都有a＋b＝ ．
(2)加法结合律
对于任意a，b，c，都有(a＋b)＋c＝ ．b+aa+(b+c)教材拓展补遗
[微判断]
1.任意向量与零的和都是这个向量本身.( )
2.向量加法的三角形法则、平行四边形法则适用于求任意两个向量的和.( )
3.求两向量的和，只需使它们“首尾相接”，从第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量就表示两向量的和.( )
提示 1.零加向量无意义.
2.平行四边形法则只适用于不共线向量.××√答案 D答案 D答案 0[微思考]
1.向量加法的平行四边形法则和三角形法则有何区别与联系？
提示 区别：三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”；联系：①三角形法则、平行四边形法则都适用于不共线的两个向量求和.②当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的.2.分别指出不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|左边取“＝”、右边取“＝”、左右两边同时取“＝”的条件.
提示 当a，b共线，并且a，b方向相反或至少有一个为零向量时，不等式左边等号成立；
当a，b共线，并且a，b方向相同或者至少有一个为零向量时，不等式右边等号成立；
当a，b至少有一个为零向量时不等式左右两边的等号同时成立.规律方法 (1)解决该类题目要灵活应用向量加法的运算律和向量加法法则，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母排列顺序，特别注意勿将0写成0.
(2)运用向量加法求和时，在图中表示“首尾相接”时，其和向量是从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点.题型二 利用向量证明几何问题
【例2】 在?ABCD的对角线BD的延长线及反向延长线上，取点F，E，使BE＝DF(如图).用向量的方法证明：四边形AECF也是平行四边形.规律方法 用向量证明几何问题的一般步骤：
(1)要把几何问题中的边转化成相应的向量；
(2)通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系.【训练2】 已知在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且AO＝OC，DO＝OB.
求证：四边形ABCD是平行四边形.证明 根据向量加法的三角形法则，有∴AB∥DC，且AB＝DC.∴四边形ABCD是平行四边形.题型三 向量加法的实际应用
【例3】 如图所示，在抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和.又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.规律方法 解决与向量有关的实际应用题，应本着如下步骤：弄清实际问题→转化为数学问题→正确画出示意图→用向量表示实际量→向量运算→回扣实际问题→作出解答.【训练3】 已知小船在静水中的速度与河水的流速都是10 km/h，问：
(1)小船在河水中行驶的实际速度的最大值与最小值分别是多少？
(2)如果小船在河南岸M处，对岸北偏东30°有一码头N，小船的航向如何确定才能直线到达对岸码头？(河水自西向东流)解 (1)小船顺流行驶时实际速度最大，最大值为20 km/h；小船逆流行驶时实际速度最小，最小值为0 km/h，此时小船是静止的.∴∠BMN＝60°，而∠CMN＝30°，∴∠CMB＝30°，则∠AMN＝60°，∴△AMN为等边三角形.∴小船要由M直达码头N，其航向应为北偏西30°.一、素养落地
1.通过向量加法的学习，提升数学抽象、直观想象和数学运算素养.
2.三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本法则，两个法则是统一的.当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则.
3.向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行.二、素养训练
1.已知向量a∥b，且|a|>|b|>0，则向量a＋b的方向( )
A.与向量a方向相同 B.与向量a方向相反
C.与向量b方向相同 D.与向量b方向相反
解析 a∥b且|a|>|b|>0，∴当a，b同向时，a＋b的方向与a相同；当a，b反向时，∵|a|>|b|，∴a＋b的方向仍与a相同.
答案 A答案 B解析 ①满足向量加法的交换律与结合律，①正确.3.设E是平行四边形ABCD外一点，如图所示，化简下列各式：
