6.1.3 向量的减法
课标要求
素养要求
1.了解向量的相反向量.
2.理解向量差的定义，向量加法与向量减法的关系.
3.掌握向量减法的三角形法则.
1.通过相反向量、向量的差，培养学生的数学抽象、逻辑推理素养.
2.通过学习向量减法法则及其应用，培养学生的直观想象、数学运算素养.
教材知识探究
已知向量是向量与向量x的和，如图所示.
问题1 指出表示x的有向线段.
问题2 向量x的模与||，||有什么关系？
提示1 表示向量x.
提示2 ||－||<|x|.
1.相反向量 －0＝0
(1)定义：给定一个向量，我们把与这个向量方向相反、大小相等的向量称为它的相反向量，向量a的相反向量记作－a，因此，的相反向量是－，而且
－＝.
(2)性质：任何一个向量与它的相反向量的和等于零向量，即a＋(－a)＝0，＋(－)＝0.
2.向量的差 结果仍为向量
(1)一般地，平面上任意给定两个向量a，b，如果向量x能够满足b＋x＝a，则称x为向量a与b的差，并记作x＝a－b.求向量差的运算称为向量的减法.
(2)在平面内任取一点O，作＝a，＝b，作出向量，注意到＋＝，因此向量就是向量a与b的差(也称为向量a与b的差向量)，即－＝.
(3)向量的减法法则
当a与b不共线时，此时向量a，b，a－b正好能构成一个三角形 ，求a－b的差可用图表示，因此上述求两向量差的作图方法也常称为向量减法的三角形法则.
当a与b共线时，若a与b同向，则＝a－b(＝a，＝b)，如图所示.
若a与b反向，则＝a－b(＝a，＝b)，如图所示.
(特别地a＝0时，a－b＝－b，若b＝0时，a－b＝a)
(4)向量的减法也可以看成向量的加法的逆运算，即a－b＝a＋(－b)，也就说：一个向量减去另一个向量，等于第一个向量加上第二个向量的相反向量，如图所示.
3.差向量模的不等式||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.
教材拓展补遗
[微判断]
1.若a＋b＝0，则a，b互为相反向量，反之也成立.(√)
2.若a－b＝a，则b＝0.(√)
3.若a－b＝－b，则a＝0.(√)
4.若a＝b，则a－b＝0.(×)
提示 若a＝b，则a－b＝0.
[微训练]
1.在△ABC中，若＝a，＝b，则等于( )
A.a B.a＋b
C.b－a D.a－b
解析 ＝－＝a－b.
答案 D
2.非零向量m与n是相反向量，下列不正确的是( )
A.m＝n B.m＝－n
C.|m|＝|n| D.方向相反
解析 非零向量m与n是相反向量，则有m＝－n，|m|＝|n|，它们的方向相反.
答案 A
3.下列运算中正确的是( )
A.－＝ B.－＝
C.－＝ D.－＝0
解析 根据向量减法的几何意义，知－＝，所以C正确，A错误；B显然错误；对于D，－应该等于0，而不是0.
答案 C
[微思考]
1.若a，b是不共线的向量，则|a＋b|与|a－b|的几何意义是什么？
提示 如图所示，设＝a，＝b，则＝a＋b，＝a－b.因为四边形OACB是平行四边形，所以|a＋b|＝||，|a－b|＝||，分别是以OA，OB为邻边的平行四边形的两条对角线的长.
2.对不等式||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|，写出使左边“＝”成立、使右边“＝”成立、使左右两边“＝”号同时成立的条件.
提示 当a，b同向或至少一个为零向量时，左边等号成立；
当a，b反向或至少一个为零向量时，右边等号成立；
当a，b至少有一个为零向量时，左右两边的等号同时成立.
题型一 向量加、减法的基本运算
【例1】 化简：(1)－－；
(2)(－)－(－).
解 (1)方法一 －－＝－＝.
方法二 －－＝－(＋)＝－＝.
方法三 －－＝＋(＋)＝＋(＋)＝＋＝＋＝.
(2)方法一 (－)－(－)
＝－－＋＝＋＋＋
＝(＋)＋(＋)＝＋＝0.
方法二 (－)－(－)＝－－＋
＝(－)－(－)－(－)＋(－)
＝－－＋－＋＋－＝0.
方法三 (－)－(－)＝－－＋
＝(－)＋(－)＝＋＝0.
规律方法 利用向量加、减法的基本运算化简向量的一般思路是将若干个求和(差)的向量最终转化为首尾相接的向量，如果遇到差向量可利用相反向量转化为和向量.
【训练1】 化简：
(1)－＋－；
(2)＋＋－.
解 (1)－＋－
＝(＋)－(＋)
＝－＝0.
(2)＋＋－
＝(＋)＋(－)
＝＋＝0.
题型二 用已知向量表示其他向量
【例2】 如图，解答下列各题：
(1)用a，d，e表示；
(2)用b，c表示；
(3)用a，b，e表示；
(4)用d，c表示.
解 由题意知，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，则
(1)＝＋＋＝d＋e＋a.
(2)＝－＝－－＝－b－c.
(3)＝＋＋＝a＋b＋e.
(4)＝－＝－(＋)＝－c－d.
规律方法 (1)用已知向量表示其他向量时，关键是利用向量加法的三角形法则及向量减法的几何意义.
(2)用几个基本向量表示其他向量的一般步骤为：
①观察待表示的向量位置；②寻找相应的平行四边形或三角形；③运用法则找关系，化简得结果.
【训练2】 如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量，，，及.
解 ∵四边形ACDE为平行四边形，
∴＝＝c，＝－＝b－a，
＝－＝c－a，＝－＝c－b，
∴＝＋＝b－a＋c.
题型三 向量加、减法的综合应用
【例3】 已知任意四边形ABCD中，E为AD的中点，F为BC的中点，求证：＋＝＋.
证明 方法一 如图，在四边形CDEF中，
＋＋＋＝0，
∴＝－－－＝＋＋.①
在四边形ABFE中，
＋＋＋＝0，
∴＝＋＋.②
①＋②得
＋＝＋＋＋＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋).
∵E，F分别是AD，BC的中点，∴＋＝0，＋＝0.
∴＋＝＋.
方法二 如图，在平面内取点O，连接AO，EO，DO，CO，FO，BO，则
＝＋＝＋＋＋，＝＋，
＝＋＝＋＋＋＋＋.
∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴＝，＝.
∴＋＝＋＋＋＋＋＋＋
＝＋＋＋＋＋＋＋
＝(＋)＋(＋＋＋＋)
＝＋.
规律方法 (1)本例用向量的加减运算解决，而不必考虑图形是平面图形还是空间图形，体现了向量的优点.
(2)本结论可以看作梯形中位线定理的推广.
【训练3】 已知非零向量a，b满足|a|＝＋1，|b|＝－1，且|a－b|＝4，求|a＋b|的值.
解 设＝a，＝b，则||＝|a－b|.以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则||＝|a＋b|.
∵(＋1)2＋(－1)2＝42，
∴||2＋||2＝||2.∴OA⊥OB.
∴平行四边形OACB是矩形.
∵矩形的对角线相等，
∴||＝||＝4，即|a＋b|＝4.
一、素养落地
1.通过学习向量的减法，培养数学抽象、直观想象和数学运算素养.
2.向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义，－＝就可以把减法转化为加法，即：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.如a－b＝a＋(－b).
3.注意向量加、减运算三角形法则的区别.
4.以平行四边形ABCD的两邻边AB，AD分别表示向量＝a，＝b，则两条对角线表示的向量为＝a＋b，＝b－a，＝a－b，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记牢.
二、素养训练
1.已知菱形ABCD的边长为a，∠DAB＝60°，则－的模为( )
A.a B.2a
C.a D.a
解析 ∵菱形ABCD的边长为a，∠DAB＝60°，∴△ABD为等边三角形，BD＝a，
∴|－|＝||＝a.
答案 A
2.在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是( )
A.－＝0 B.－＝
C.－＝ D.＋＝0
解析 ∵＝，∴－＝0，A正确；
∵－＝＋＝，∴B正确；
∵－＝，∴C错误；
∵＝，∴＝－，∴＋＝0，D正确.
答案 C
3.如图，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则＋用a，b，c表示为________.
解析 ＋＝＋＋－＝b＋c.
答案 b＋c
4.已知＝a，＝b，若||＝12，||＝5，且∠AOB＝90°，求|a－b|的值.
解 ∵||＝12，||＝5，∠AOB＝90°，
∴||2＋||2＝||2，∴||＝13.
∵＝a，＝b，∴a－b＝－＝，
∴|a－b|＝||＝13.
基础达标
一、选择题
1.在三角形ABC中，＝a，＝b，则＝( )
A.a－b B.b－a
C.a＋b D.－a－b
解析 ＝－＝－a－b.
答案 D
2.化简－＋＋的结果等于( )
A. B.
C. D.
解析 原式＝－＝＋＝.
答案 B
3.如图，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则＝( )
A.a－b＋c B.b－(a＋c)
C.a＋b＋c D.b－a＋c
解析 ＝＋＝－＋＝a－b＋c.
答案 A
4.在边长为1的正三角形ABC中，|－|的值为( )
A.1 B.2
C. D.
解析 作菱形ABCD，则|－|＝|－|＝||＝.
答案 D
5.下列各式不能化简为的是( )
A.＋(＋) B.(＋)＋(－)
C.－＋ D.＋－
解析 A项中，原式＝＋＋＝＋＋＝；
B项中，原式＝(＋)＋(－)＝0＋＋＝；
C项中，原式＝＋－＝0＋＝；
D项中，原式＝－＝＋≠.
答案 D
二、填空题
6.可以写成：①＋；②－；③－；④－，其中正确的是________(只填序号).
解析 ①＋＝，正确；
②－≠＋，不正确；
③－＝，不正确；
④－＝，正确.
答案 ①④
7.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，则－－＋＋＝________.
解析 原式＝＋＋＋＝.
答案
8.在平行四边形ABCD中，若＝a，＝b，且|a＋b|＝|a－b|，则四边形ABCD的形状是________.
解析 由题意知a＋b＝，a－b＝，
∵|a＋b|＝|a－b|，即||＝||，∴?ABCD为矩形.
答案 矩形
三、解答题
9.已知O为平行四边形ABCD内一点，＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示.
解 方法一 如图所示，＝＋＝a＋＝a＋(－)＝a＋c－b.
方法二 ＝＋＋＋＝＋＋(＋)＝＋＋0＝＋(＋)＝a＋(－b＋c)＝a－b＋c.
10.已知在矩形ABCD中，||＝4，设＝a，＝b，＝c.试求|a＋b＋c|.
解 a＋b＋c＝＋＋＝＋.
延长BC至E，使CE＝BC，连接DE.
∵＝＝，
∴四边形ACED是平行四边形，∴＝，
∴＋＝＋＝，∴|a＋b＋c|＝||＝2||＝2||＝8.
能力提升
11.若||＝5，||＝8，则||的取值范围是( )
A.[3，8] B.(3，8)
C.[3，13] D.(3，13)
解析 ∵||＝|－|且
|||－|||≤|－|≤||＋||，
∴3≤|－|≤13.∴3≤||≤13.
答案 C
12.已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，求|a＋b|的值.
解 在平面内任取一点A，作＝a，＝b，
则＝a＋b，＝a－b.
由题意，知||＝||＝2，||＝1.
如图所示，过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AB交直线AB的延长线于F.
∵AB＝BD＝2，∴AE＝ED＝AD＝.
在△ABE中，cos∠EAB＝＝.
在△CBF中，∠CBF＝∠EAB，∴cos∠CBF＝.
∴BF＝BCcos∠CBF＝1×＝.∴CF＝.
∴AF＝AB＋BF＝2＋＝.
在Rt△AFC中，AC＝＝ ＝，
∴|a＋b|＝.
创新猜想
13.(多空题)已知?ABCD的对角线AC和BD相交于O，且＝a，＝b，则＝________，＝________(用a，b表示).
解析 如图，＝＝－＝b－a，＝－＝－－＝－a－b.
答案 b－a －a－b
14.已知a，b是两个非零向量，且|a|＝|b|＝|a－b|，求.
解 设＝a，＝b，则＝－＝a－b.
∵|a|＝|b|＝|a－b|，
∴BA＝OA＝OB.
∴△OAB为正三角形.设其边长为1，则
|a－b|＝||＝1，|a＋b|＝2×＝.
∴＝＝.
课件31张PPT。6.1.3 向量的减法教材知识探究1.相反向量 －0＝0相反相等002.向量的差结果仍为向量a-b(3)向量的减法法则
当a与b不共线时，此时向量a，b，a－b正好能构成一个三角形 ，求a－b的差可用图表示，因此上述求两向量差的作图方法也常称为向量减法的三角形法则.(特别地a＝0时，a－b＝－b，若b＝0时，a－b＝a)
(4)向量的减法也可以看成向量的加法的逆运算，即a－b＝a＋(－b)，也就说：一个向量减去另一个向量，等于第一个向量加上第二个向量的 ，如图所示.3.差向量模的不等式||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.相反向量教材拓展补遗
[微判断]
1.若a＋b＝0，则a，b互为相反向量，反之也成立.( )
2.若a－b＝a，则b＝0.( )
3.若a－b＝－b，则a＝0.( )
4.若a＝b，则a－b＝0.( )
提示 若a＝b，则a－b＝0.√√√×答案 D2.非零向量m与n是相反向量，下列不正确的是( )
A.m＝n B.m＝－n
C.|m|＝|n| D.方向相反
解析 非零向量m与n是相反向量，则有m＝－n，|m|＝|n|，它们的方向相反.
答案 A答案 C[微思考]
1.若a，b是不共线的向量，则|a＋b|与|a－b|的几何意义是什么？2.对不等式||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|，写出使左边“＝”成立、使右边“＝”成立、使左右两边“＝”号同时成立的条件.
提示 当a，b同向或至少一个为零向量时，左边等号成立；
当a，b反向或至少一个为零向量时，右边等号成立；
当a，b至少有一个为零向量时，左右两边的等号同时成立.题型一 向量加、减法的基本运算规律方法 利用向量加、减法的基本运算化简向量的一般思路是将若干个求和(差)的向量最终转化为首尾相接的向量，如果遇到差向量可利用相反向量转化为和向量.规律方法 (1)用已知向量表示其他向量时，关键是利用向量加法的三角形法则及向量减法的几何意义.
(2)用几个基本向量表示其他向量的一般步骤为：
①观察待表示的向量位置；②寻找相应的平行四边形或三角形；③运用法则找关系，化简得结果.①＋②得方法二 如图，在平面内取点O，连接AO，EO，DO，CO，FO，BO，则∵E，F分别是AD，BC的中点，规律方法 (1)本例用向量的加减运算解决，而不必考虑图形是平面图形还是空间图形，体现了向量的优点.
(2)本结论可以看作梯形中位线定理的推广.∴平行四边形OACB是矩形.∵矩形的对角线相等，答案 A答案 C答案 b＋c
