6.1.4 数乘向量
课标要求
素养要求
1.理解数乘向量的定义及几何意义.
2.了解数乘向量的运算律.
3.会判定向量平行、三点共线.
1.通过学习数乘向量的定义、几何意义及运算律，培养学生的数学抽象、直观想象素养.
2.通过数乘向量运算律的运用，向量平行及三点共线的判定与应用，培养学生的数学运算和逻辑推理素养.
教材知识探究
在急风骤雨、雷电交加的夜晚，为什么我们总是先看到闪电，后听到雷声？这是因为在同一方向上光速远远大于声速.经测量，光速大小约为声速的8.7×105倍.
一重物由高空自由落下，由自由落体运动的速度公式vt＝gt可知，它在1 s末和2 s末的速度大小分别为v1＝9.8 m/s和v2＝19.6 m/s.显然v2＝2v1，并且方向都是竖直向下.
问题 在上述情景中的速度有什么关系？
提示 有倍数关系.
1.数乘向量定义 结果还是向量且与原向量平行
一般地，给定一个实数λ与任意一个向量a，规定它们的乘积是一个向量，记作λa，其中：
(1)当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向如下：
①当λ>0时，与a的方向相同；
②当λ<0时，与a的方向相反.
(2)当λ＝0或a＝0时，λa＝0.
上述实数λ与向量a相乘的运算简称为数乘向量.
2.数乘向量的几何意义
把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小.
3.数乘向量的运算律
λ(μa)＝(λμ)a.
4.向量平行与三点共线
(1)向量平行：如果存在实数λ，使得b＝λa，则b∥a.
(2)三点共线：
一般地，如果存在实数λ，使得＝λ，则与平行且有公共点A，从而A，B，C三点一定共线.
教材拓展补遗
[微判断]
1.－a＝(－1)·a.(√)
2.λa∥a.(√)
3.0·a＝0.(×)
提示 0·a＝0.
4.λ·0＝0.(×)
提示 λ·0＝0.
[微训练]
1.存在两个非零向量a，b，满足b＝－3a，则有( )
A.a与b方向相同 B.a与b方向相反
C.|a|＝|3b| D.|a|＝|b|
解析 ∵－3<0，∴b与a方向相反.
答案 B
2.点C在直线AB上，且＝3，则等于( )
A.－2 B.
C.－ D.2
解析 ∵＝3，∴＝2.
答案 D
3.已知|a|＝4，|b|＝8，若两向量方向同向，则向量a与向量b的关系为b＝________a.
解析 由于|a|＝4，|b|＝8，则|b|＝2|a|，又两向量同向，故b＝2a.
答案 2
[微思考]
1.若λa＝μa，λ一定等于μ吗？
提示 当a＝0时，λ，μ∈R，λ不一定等于μ.
2.若λa＝0，a一定是零向量吗？
提示 不一定.当λa＝0时，有下列三种情况.
①②③
题型一 向量的数乘及其几何意义
【例1】 (1)化简下列各式.
①6×a；②－×4×9a.
(2)任作一向量，再作向量＝2，＝－.
解 (1)①6×a＝－2a，
②－×4×9a＝－2×9a＝－18a.
(2)当＝0时，＝2＝2·0＝0，＝－＝－·0＝0；
当≠0时，如图
延长OA到点B使|OB|＝2||，则＝2，
反向延长AO至C，使|OC|＝|OA|，则＝－.
规律方法 (1)向量的数乘运算注意运用运算律λ·(μa)＝(λμ)a.
(2)给一向量a，作向量ma时，注意运用向量数乘的几何意义.
【训练1】 (1)计算下列各式
①3×；②－3×(－2)×5a.
(2)已知向量e1，e2不共线，求作向量2e1－3e2.
解 (1)①3×＝3×·a＝－a，
②－3×(－2)×5a＝[－3×(－2)×5]×a＝30a.
(2)在e1，e2所在平面内任取一点O，作＝e1，＝e2.延长OA到A′，使|OA′|＝2|OA|，则′＝2e1，
方法一 延长BO至B′，使|OB′|＝3|OB|，则′＝－3e2.
再利用向量加法的平行四边形法则，得到＝′＋′＝2e1＋(－3e2)＝2e1－3e2.
方法二 延长OB到B′，使|OB′|＝3|OB|，则′＝3，
再利用向量减法的三角形法则得到向量＝′－′＝2e1－3e2.
题型二 判定向量平行
【例2】 已知a＝e，b＝－5e，判断a与b是否平行，并求的值.
解 由a＝e得e＝3a，代入b＝－5e，得b＝－5×(3a)＝－15a，∴a∥b，且|b|＝15|a|，即＝15.
规律方法 如果存在实数λ，使得b＝λa，则b∥a，且|b|＝|λ||a|.
【训练2】 (1)已知a＝－e，b＝4a，判断b与e是否共线，并求|b|∶|e|.
(2)已知a＝e1，e1＝3e2，b＝－4e2，判断a与b是否平行，并求|a|∶|b|.
解 (1)∵a＝－e，b＝4a，
∴b＝4×＝－e，
∴b与e共线，且|b|＝|e|，即＝.
(2)∵a＝e1，e1＝3e2，b＝－4e2，∴e1＝2a，e2＝e1，
b＝－4×＝－4××2a＝－a，
∴a与b平行，且|b|＝|a|，即＝.
题型三 判定三点共线
【例3】 已知＝2e，＝－e，判断A，B，C三点是否共线，如果共线，求出AB∶BC.
解 ∵＝2e，∴e＝，
∴＝－e＝－×＝－，
∴∥.
又，有公共点B，
∴A，B，C三点共线，且||＝4||，
即AB∶BC＝4.
规律方法 三点共线与向量共线的区别是还需两共线向量有公共点.
【训练3】 已知＝e，＝－e，A，B，C三点一定共线吗？
解 ＝e，＝－e，∴∥，但由于，不一定有公共点，∴A，B，C三点不一定共线.
一、素养落地
1.通过学习数乘向量，培养学生的数学抽象、直观想象、数学运算和逻辑推理素养.
2.实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加、减运算，例如λ＋a，λ－a是没有意义的.
3.λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍.
4.向量的数乘注意运用运算律λ·(μa)＝(λμ)a，注意判定向量平行(共线)与判定三点共线的差别.
二、素养训练
1.如图所示，D是△ABC的边AB的中点，则向量等于( )
A.＋
B.－＋
C.－－
D.－
解析 ＝－＝－.
答案 B
2.下列算式中不正确的是( )
A.＋＋＝0 B.－＝
C.0·＝0 D.λ(μa)＝(λμ)a
解析 －＝，而不是，故B错误.
答案 B
3.若|a|＝3，b与a反向，|b|＝2，则b＝________a.
解析 令b＝λa(λ<0)，则|b|＝|λ||a|，∴2＝3|λ|，|λ|＝，又λ<0，∴λ＝－.
答案 －
4.(1)命题|λa|＝λ|a|为真命题的条件是什么？
(2)若向量a表示小船沿东北方向行驶了2 km，则向量3a和－a的意义是什么？
解 (1)当λ≥0或a＝0时，|λa|＝λ|a|是真命题.
(2)3a表示小船沿东北方向行驶了6 km，－a表示小船沿西南方向行驶了1 km.
基础达标
一、选择题
1.下列各式中不表示向量的是( )
A.0·a B.a＋3b
C.|3a| D.e(x，y∈R，且x≠y)
解析 |3a|是向量3a的模，是实数而不是向量.
答案 C
2.下列命题中真命题的个数为( )
①对于实数λ与向量a，λ＋a与λ－a的和是向量
②对于非零向量a，向量－3a与向量a方向相反.
③对于非零向量a，向量－6a的模是向量3a的模的2倍
④若b与a共线，则存在实数λ，使得b＝λa.
A.1 B.2
C.3 D.4
解析 λ＋a与λ－a均无意义，①是假命题；因为－3<0，故②为真命题；|－6a|＝6|a|＝2|3a|，③是真命题；若a＝0，b≠0，命题不成立，④是假命题.
答案 B
3.设a是非零向量，λ是非零实数，则以下结论正确的是( )
①a与－λa的方向相反；②|－λa|≥|a|；③a与λ2a方向相同；④|－2λa|＝2|λ|·|a|.
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
解析 ①②不正确，③④正确.
答案 B
4.已知点O为线段AB的中点，则下列结论错误的是( )
A.＝2 B.＝
C.＝ D.＝
解析 A，B，C正确；＝－，故D错误.
答案 D
5.已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m的值为( )
A.2 B.3
C.4 D.5
解析 ∵＋＋＝0，∴点M是△ABC的重心.
∴＋＝3，∴m＝3.
答案 B
二、填空题
6.已知|a|＝6，b与a的方向相反，且|b|＝3，a＝mb，则实数m＝________.
解析 ＝＝2，所以|a|＝2|b|.又a与b的方向相反，所以a＝－2b，所以m＝－2.
答案 －2
7.在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________.
解析 因为四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，
所以＋＝，又O为AC的中点，
所以＝2，所以＋＝2.
因为＋＝λ，所以λ＝2.
答案 2
8.点C在线段AB上，且＝，则＝________，＝________.
解析 因为C在线段AB上，且＝，
所以与方向相同，与方向相反，且＝，＝，所以＝，＝－.
答案 －
三、解答题
9.分别指出以下各题中A，B，C三点是否一定共线.如果共线，指出线段AB与BC之间的长度之比.
(1)＝－2；(2)＝.
解 (1)∵＝－2，∴∥.
又，有公共点C，
∴A，B，C共线.又易知＝－3，
∴AB∶BC＝3.
(2)∵＝，∴∥，又，有公共点A，
∴A，B，C共线.又易知＝－2，∴AB∶BC＝2.
10.如图，ABCD为一个四边形，E，F，G，H分别为BD，AB，AC和CD的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形.
证明 ∵F，G分别是AB，AC的中点，∴＝.
同理，＝.∴＝.∴FG∥EH且FG＝EH.
∴四边形EFGH为平行四边形.
能力提升
11.如图，?ABCD中，E是BC的中点，若＝a，＝b，则＝( )
A.a－b
B.a＋b
C.a＋b
D.a－b
解析 因为E是BC的中点，所以＝＝－＝－b，所以＝＋＝＋＝a－b.
答案 D
12.已知四边形ABCD为平行四边形，AC与BD相交于O，设＝a，＝b，试用a，b表示，.
解 由题意知＝a＋b，＝a－b，∴＝＝(a＋b)，＝＝(a－b).
创新猜想
13.(多空题)已知x，y是实数，向量a，b不共线，若(x＋y－1)a＋(x－y)b＝0，则x＝________，y＝________.
解析 由已知得解得x＝y＝.
答案
14.在△ABC的内部有一点O满足＋＋3＝0，求的值.
解 设AC的中点为D，则＋＝2，∴2＋3＝0，
即＝－，
∴＝＝×＝.
课件24张PPT。6.1.4 数乘向量教材知识探究在急风骤雨、雷电交加的夜晚，为什么我们总是先看到闪电，后听到雷声？这是因为在同一方向上光速远远大于声速.经测量，光速大小约为声速的8.7×105倍.
一重物由高空自由落下，由自由落体运动的速度公式vt＝gt可知，它在1 s末和2 s末的速度大小分别为v1＝9.8 m/s和v2＝19.6 m/s.显然v2＝2v1，并且方向都是竖直向下.问题 在上述情景中的速度有什么关系？
提示 有倍数关系.1. 定义一般地，给定一个实数λ与任意一个向量a，规定它们的乘积是一个向量，记作 ，其中：
(1)当λ≠0且a≠0时，λa的模为 ，而且λa的方向如下：
①当λ>0时，与a的方向 ；
②当λ<0时，与a的方向 .
(2)当λ＝0或a＝0时，λa＝ .
上述实数λ与向量a相乘的运算简称为数乘向量.数乘向量结果还是向量且与原向量平行λa|λ||a|相同相反0(λμ)a∥共线教材拓展补遗
[微判断]
1.－a＝(－1)·a.( )
2.λa∥a.( )
3.0·a＝0.( )
提示 0·a＝0.
4.λ·0＝0.( )
提示 λ·0＝0.√√×[微训练]
1.存在两个非零向量a，b，满足b＝－3a，则有( )
A.a与b方向相同 B.a与b方向相反
C.|a|＝|3b| D.|a|＝|b|
解析 ∵－3<0，∴b与a方向相反.
答案 B答案 D3.已知|a|＝4，|b|＝8，若两向量方向同向，则向量a与向量b的关系为b＝________a.
解析 由于|a|＝4，|b|＝8，则|b|＝2|a|，又两向量同向，故b＝2a.
答案 2[微思考]
1.若λa＝μa，λ一定等于μ吗？
提示 当a＝0时，λ，μ∈R，λ不一定等于μ.
2.若λa＝0，a一定是零向量吗？
提示 不一定.当λa＝0时，有下列三种情况.规律方法 (1)向量的数乘运算注意运用运算律λ·(μa)＝(λμ)a.
(2)给一向量a，作向量ma时，注意运用向量数乘的几何意义.规律方法 如果存在实数λ，使得b＝λa，则b∥a，且|b|＝|λ||a|.规律方法 三点共线与向量共线的区别是还需两共线向量有公共点.一、素养落地
1.通过学习数乘向量，培养学生的数学抽象、直观想象、数学运算和逻辑推理素养.
2.实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加、减运算，例如λ＋a，λ－a是没有意义的.
3.λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍.
4.向量的数乘注意运用运算律λ·(μa)＝(λμ)a，注意判定向量平行(共线)与判定三点共线的差别.答案 B答案 B3.若|a|＝3，b与a反向，|b|＝2，则b＝________a.解 (1)当λ≥0或a＝0时，|λa|＝λ|a|是真命题.
