6.3 平面向量线性运算的应用
课标要求
素养要求
1.能用平面向量线性运算解决平面几何中的问题.
2.熟悉平面向量的线性运算在物理中的应用.
1.通过向量在平面几何中的应用，提升直观想象、逻辑推理素养.
2.通过向量在物理中的应用提升直观想象、数学运算素养.
教材知识探究
如图所示，在细绳l上作用着一个大小为200 N，与水平方向的夹角为45°的力，细绳上挂着一个重物，使细绳的另一端与水平面平行.
问题1 水平方向OA上的拉力多大？
问题2 物重G是多少？
提示1 200×cos 45°＝100(N)，方向向右.
提示2 200×sin 45°＝100(N).
1.向量在平面几何中的应用
在学习向量及其运算时，我们已经看到向量在三角形、平行四边形等平面几何中的应用.实际上，利用平面向量可以很好地描述有关全等、相似、平行等关系，从而可以求解和证明平面几何问题.
证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)?a＝λb?x1y2＝x2y1(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)).
2.向量在物理中的应用
我们在物理中已经学习过，利用向量可以描述物理学中的位移、力、速度、加速度等，因此，在涉及这些量的运算时，我们都可以借助向量来完成.
(1)力、速度、位移的合成就是向量的加法，符合向量加法的三角形法则和平行四边形法则.
(2)力、速度、位移的分解就是向量的减法，符合向量减法的三角形法则和平行四边形法则.
(3)动量mv就是数乘向量，符合数乘向量的运算律.
教材拓展补遗
[微判断]
1.a表示向东走1 km，b表示向南走1 km，则a＋b表示向东南走 km.(√)
2.一条河宽为8 000 m，一船从河岸A出发航行垂直到达河正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为30分钟.(√)
3.用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10 N，则每根绳子的拉力大小为10 N.(√)
[微训练]
若||＝||且＝，则四边形ABCD的形状为( )
A.平行四边形 B.矩形
C.菱形 D.等腰梯形
解析 由＝可知，四边形ABCD为平行四边形.又因为||＝||，所以四边形ABCD为菱形.
答案 C
[微思考]
如图，两人分别从A村出发，其中一人沿北偏东60°方向行走了1 km到达B村，另一人沿北偏西30°方向行走了 km到达C村.问：B，C两村相距多远，B村在C村的什么方向上？
提示 画出平面向量，，则有||＝1，||＝，∠CAB＝90°，则||＝2.又tan∠ACB＝＝，
∴∠ACB＝30°.故B，C两村间的距离为2 km，B村在C村的南偏东60°的方向上.
题型一 用向量解决平面几何问题
【例1】 如图所示，已知△ABC中，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，AF与CE相交于点O.
(1)求AO∶OF与CO∶OE的值；
(2)证明AF，BD，CE交于一点O.
(1)解 因为＝＋＝＋，
又因为E，F都是中点，所以
＋＝＋＝2＋2＝2.
另外，＝＋，所以＋＝2＋2.
设＝s，＝t，
则有s－t＝2＋2，即
(s－2)＝(t－2).
从而由共线向量基本定理可知s＝t＝2，
因此AO∶OF＝CO∶OE＝2∶1.
(2)证明 要证明AF，BD，CE交于一点O，只需证明B，O，D三点共线即可.
由(1)可知，＝＋，
＝＋＝＋＝－
＝－＝(＋)，
又＝(＋)，∴∥，又与有公共点B，
∴B，O，D三点共线，
故AF，BD，CE交于一点.
规律方法 利用向量线性运算解决几何问题的思路：
(1)把几何元素化为向量；
(2)进行向量的线性运算；
(3)把结果翻译成几何问题.
【训练1】 如图，已知△ABC的面积为14 cm2，D，E分别为AB，BC上的点，且AD∶DB＝BE∶EC＝2∶1，求△APC的面积.
解 设＝a，＝b为一组基底.
则＝a＋b，＝a＋b.
因为点A，P，E和D，P，C分别共线，
所以存在λ和μ使＝λ＝λa＋λb，＝μ＝μa＋μb.
又因为＝＋＝a＋μb，
所以解得
所以S△PAB＝S△ABC＝×14＝8 (cm2)，
S△PBC＝S△ABC＝×14＝2 (cm2)，
故S△APC＝14－8－2＝4 (cm2).
题型二 用向量坐标解决平面几何问题
【例2】 如图所示，在正方形ABCD中，P为对角线BD上的一点，PECF是矩形，用向量方法证明PA＝EF.
证明 建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为a，则A(0，a).
设||＝λ(λ>0)，
则F，P，
E.
所以＝，
＝，
因为||2＝＋＝λ2－aλ＋a2，
||2＝＋＝λ2－aλ＋a2，
所以||＝||，即PA＝EF.
规律方法 用坐标表示平面向量可将几何问题转化为代数问题，通过向量的坐标运算使问题得到解决，这是数形结合思想的重要体现.利用向量坐标法选取适当的位置建立坐标系是关键.
【训练2】 证明直角三角形ABC斜边AB上的中线CD等于斜边AB的一半.
证明 建立如图所示的平面直角坐标系.设C(0，0)，A(a，0)，B(0，b).
则AB＝，中点D的坐标为，
即＝，OD＝||＝＝，即CD＝，故CD＝AB.
题型三 平面向量在物理中的应用
【例3】 如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°.求A和B处所受力的大小.(忽略绳子重量)
解 设A，B处所受力分别为f1，f2，10 N的重力用f表示，则f1＋f2＋f＝0.
以重力作用点C为f1，f2的始点，作平行四边形CFWE，使CW为对角线，则＝－f2，＝－f1，＝f.
∠ECW＝180°－150°＝30°，
∠FCW＝180°－120°＝60°，
∠FCE＝90°，
∴四边形CEWF为矩形.
∴||＝||cos 30°＝5，
||＝||cos 60°＝5.
即A处所受力的大小为5 N，B处所受力的大小为5 N.
规律方法 由于力、位移、速度都是向量，对于解决力、位移、速度的大小、方向问题均可利用向量知识解决.
【训练3】 一辆汽车在平直公路上向西行驶，车上装着风速计和风向标，测得风向为东偏南30°，风速为4 m/s，这时气象台报告实际风速为2 m/s.试求风的实际方向和汽车的速度大小.
解 依据物理知识，有三个相对速度：汽车对地的速度为v车地，风对车的速度为v风车，风对地的速度为v风地，风对地的速度可以看成车对地与风对车的速度的合速度，即：v风地＝v风车＋v车地，如图，根据向量加法的平行四边形法则，可知表示向量v风地的有向线段是?ACDB的对角线.因为||＝4 m，∠ACD＝30°，
||＝2，
所以∠ADC＝90°，在Rt△ADC中，
||＝||·cos 30°＝2(m/s).
所以风的实际方向是吹向正南方向；汽车速度的大小为2 m/s.
一、素养落地
1.通过学习平面向量线性运算的应用，培养运算、分析和解决实际问题的能力，提升直观想象、数学运算和逻辑推理素养.
2.对于解决平面几何问题，首先要结合图形的特点，确定能否建立平面直角坐标系是关键.
3.力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加、减运算，运动的叠加也用到向量的合成.
二、素养训练
1.已知作用在点A的三个力f1＝(3，4)，f2＝(2，－5)，f3＝(3，1)，且A(1，1)，则合力f＝f1＋f2＋f3的终点坐标为( )
A.(9，1) B.(1，9)
C.(9，0) D.(0，9)
解析 f＝f1＋f2＋f3＝(3，4)＋(2，－5)＋(3，1)＝(8，0)，
设合力f的终点为P(x，y)，则
＝＋f＝(1，1)＋(8，0)＝(9，1).
答案 A
2.设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且||2＝16，|＋|＝|－|，则||＝( )
A.8 B.4
C.2 D.1
解析 由||2＝16，得||＝4，
|＋|＝|－|＝||＝4，
而|＋|＝2||，故||＝2，故选C.
答案 C
3.若＝(2，2)，＝(－2，3)分别表示力F1，F2，则|F1＋F2|为________.
解析 ∵F1＋F2＝(0，5)，∴|F1＋F2|＝＝5.
答案 5
4.如图，已知点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且＝＝.
求证：点E，O，F在同一直线上.
证明 设＝m，＝n，由＝＝，
知E，F分别是CD，AB的三等分点，
∴＝＋＝＋
＝－m＋(m＋n)＝m＋n，
＝＋＝＋＝(m＋n)－m
＝m＋n.∴＝.
又O为和的公共点，故点E，O，F在同一直线上.
基础达标
一、选择题
1.已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3，2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f4，则f4等于( )
A.(－1，－2) B.(1，－2)
C.(－1，2) D.(1，2)
解析 由题意知f1＋f2＋f3＋f4＝0，
∴f4＝－(f1＋f2＋f3)＝－[(－2，－1)＋(－3，2)＋(4，－3)]＝－(－1，－2)＝(1，2).
答案 D
2.质点P在平面上作匀速直线运动，速度向量ν＝(4，－3)(即点P的运动方向与ν相同，且每秒移动的距离为|ν|个单位).设开始时点P的坐标为(－10，10)，则5秒后点P的坐标为( )
A.(－2，4) B.(－30，25)
C.(10，－5) D.(5，－10)
解析 设(－10，10)为A，设5秒后P点的坐标为A1(x，y)，则＝(x＋10，y－10)，由题意有＝5ν.
即(x＋10，y－10)＝(20，－15)，
∴∴
答案 C
3.两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90°时，合力大小为20 N，则当它们夹角为120°时，合力大小为( )
A.40 N B.10 N C.20 N D.10 N
解析 |F1|＝|F2|＝20×cos 45°＝10，
当θ＝ 120°时，由平行四边形法则知：
|F合|＝|F1|＝|F2|＝10 N.
答案 B
4.已知点A(－1，1)，B(0，－2)，C(3，0)，D(2，3)，则四边形ABCD为( )
A.平行四边形 B.矩形
C.菱形 D.正方形
解析 ＝(1，－3)，＝(1，－3)，
∴＝，即AB綊CD，∴四边形ABCD为平行四边形，又AB≠AD，且AB，AC，BC不满足勾股定理，故选A.
答案 A
5.河水的流速为2 m/s，一艘小船想沿垂直于河岸方向以10 m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为( )
A.10 m/s B.2 m/s
C.4 m/s D.12 m/s
解析 ∵v合＝v静＋v水，且v合⊥v水，
∴|v静|＝＝
＝＝2.
答案 B
二、填空题
6.把所有单位向量的起点平移到一点O，则其终点构成的图形是________.
解析 单位向量的模为1，所以其终点轨迹为以O为圆心，半径为1的圆.
答案 以O为圆心，半径为1的圆
7.已知A(7，5)，B(2，3)，C(6，－7)，则△ABC是________三角形.
解析 AB＝＝，
BC＝＝，
AC＝＝.
∵AB2＋BC2＝AC2，∴AB⊥BC，又AB≠BC，
∴△ABC是直角三角形.
答案 直角
8.如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是________(写出正确的所有序号).
①绳子的拉力不断增大；②绳子的拉力不断变小；③船的浮力不断变小；④船的浮力保持不变.
解析 设水的阻力为f，绳的拉力为F，F与水平方向夹角为θ(0<θ<).则|F|cos θ＝|f|，∴|F|＝.
∵θ增大，cos θ减小，∴|F|增大.
∵|F|sin θ增大，∴船的浮力减小.
答案 ①③
三、解答题
9.一架飞机从A地向北偏西60°的方向飞行1 000 km到达B地，然后向C地飞行.设C地恰好在A地的南偏西60°，并且A，C两地相距2 000 km，求飞机从B地到C地的位移.
解 如图，设A在东西基线和南北基线的交点处.依题意，的方向是北偏西60°，||＝1 000 km；的方向是南偏西60°，||＝2 000 km.所以∠BAC＝60°.
过点B作东西基线的垂线，交AC于D，则△ABD为正三角形.
所以BD＝CD＝1 000 km，∠CBD＝∠BCD＝∠BDA＝30°.
所以∠ABC＝90°.BC＝ACsin 60°＝2 000×＝1 000(km)，
||＝1 000 km.所以飞机从B地到C地的位移大小是1 000 km，方向是南偏西30°.
10.在△ABC中，已知＝，＝.用平面向量证明MN∥BC且MN＝BC.
证明 ∵＝，＝，∴＝－＝－＝(－)＝
，∴MN∥BC，且MN＝BC.
能力提升
11.已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则这个三角形重心G的坐标为________.
解析 BC的中点D的坐标为，
＝－(x1，y1)，
＝＝＝，
＝＋＝(x1，y1)＋
＝，
即重心G的坐标为.
答案
12.如图所示，把一个物体放在倾角为30°的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力F1，垂直斜面向上的弹力F2.已知|G|＝50 N，求F1，F2的大小.
解 建立如图所示的平面直角坐标系，则F1＝(－|F1|，0)，F2＝(0，－|F2|).
又由已知可得G＝(50sin 30°，50cos 30°)＝(25，25)，且G＋F1＋F2＝0，所以
(25，25)＋(－|F1|，0)＋(0，－|F2|)＝(0，0)，从而可知|F1|＝25 N，|F2|＝
25 N.
创新猜想
13.(多空题)某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为2a时，感到风从东北方向吹来，则实际风速的大小为________，方向是________风.
解析 如图，设＝－a，＝－2a，
∵＋＝，∴＝v－a，这就是感到由正北方向吹来的风速.
∵＋＝，∴＝v－2a，
于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是，
由题意知∠PBO＝45°，PA⊥BO，BA＝AO，从而△POB为等腰直角三角形.
∴PO＝PB＝a，即|v|＝a，所以实际风速是大小为a的西北风.
答案 a 西北
14.如图所示，四边形ABCD是正方形，BE∥AC，AC＝CE，EC的延长线交BA的延长线于F.求证：AF＝AE.
证明 如图，建立直角坐标系，设正方形的边长为1，则A(－1，1)，B(0，1).
若设E(x，y)，则＝(x，y－1)，＝(1，－1).
又∵∥，∴x·(－1)－1×(y－1)＝0，
∴x＋y－1＝0.又∵||＝||，∴x2＋y2－2＝0.
由得或(舍).
即E.
又设F(x′，1)，由＝(x′，1)和＝共线得：x′－＝0，得x′＝－2－，
∴F(－2－，1)，∴＝(－1－，0)，
＝，
∴||＝ ＝1＋＝||，∴AF＝AE.
课件27张PPT。6.3 平面向量线性运算的应用教材知识探究如图所示，在细绳l上作用着一个大小为200 N，与水平方向的夹角为45°的力，细绳上挂着一个重物，使细绳的另一端与水平面平行.问题1 水平方向OA上的拉力多大？
问题2 物重G是多少？1.向量在平面几何中的应用
在学习向量及其运算时，我们已经看到向量在三角形、平行四边形等平面几何中的应用.实际上，利用平面向量可以很好地描述有关全等、相似、平行等关系，从而可以求解和证明平面几何问题.
证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)? ?_________________________________.a＝λbx1y2＝x2y1(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))2.向量在物理中的应用
我们在物理中已经学习过，利用向量可以描述物理学中的位移、力、速度、加速度等，因此，在涉及这些量的运算时，我们都可以借助向量来完成.
(1)力、速度、位移的合成就是向量的 ，符合向量加法的三角形法则和平行四边形法则.
(2)力、速度、位移的分解就是向量的 ，符合向量减法的三角形法则和平行四边形法则.
(3)动量mv就是 ，符合 向量的运算律.加法减法数乘向量数乘√√√答案 C题型一 用向量解决平面几何问题
【例1】 如图所示，已知△ABC中，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，AF与CE相交于点O.
(1)求AO∶OF与CO∶OE的值；
(2)证明AF，BD，CE交于一点O.又因为E，F都是中点，所以从而由共线向量基本定理可知s＝t＝2，
因此AO∶OF＝CO∶OE＝2∶1.
(2)证明 要证明AF，BD，CE交于一点O，只需证明B，O，D三点共线即可.∴B，O，D三点共线，
故AF，BD，CE交于一点.规律方法 利用向量线性运算解决几何问题的思路：
(1)把几何元素化为向量；
(2)进行向量的线性运算；
(3)把结果翻译成几何问题.【训练1】 如图，已知△ABC的面积为14 cm2，D，E分别为AB，BC上的点，且AD∶DB＝BE∶EC＝2∶1，求△APC的面积.故S△APC＝14－8－2＝4 (cm2).题型二 用向量坐标解决平面几何问题
【例2】 如图所示，在正方形ABCD中，P为对角线BD上的一点，PECF是矩形，用向量方法证明PA＝EF.证明 建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为a，则A(0，a).规律方法 用坐标表示平面向量可将几何问题转化为代数问题，通过向量的坐标运算使问题得到解决，这是数形结合思想的重要体现.利用向量坐标法选取适当的位置建立坐标系是关键.【训练2】 证明直角三角形ABC斜边AB上的中线CD等于斜边AB的一半.
证明 建立如图所示的平面直角坐标系.设C(0，0)，A(a，0)，B(0，b).题型三 平面向量在物理中的应用
【例3】 如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°.求A和B处所受力的大小.(忽略绳子重量)解 设A，B处所受力分别为f1，f2，10 N的重力用f表示，则f1＋f2＋f＝0.∠ECW＝180°－150°＝30°，
∠FCW＝180°－120°＝60°，
∠FCE＝90°，
∴四边形CEWF为矩形.规律方法 由于力、位移、速度都是向量，对于解决力、位移、速度的大小、方向问题均可利用向量知识解决.【训练3】 一辆汽车在平直公路上向西行驶，车上装着风速计和风向标，测得风向为东偏南30°，风速为4 m/s，这时气象台报告实际风速为2 m/s.试求风的实际方向和汽车的速度大小.一、素养落地
1.通过学习平面向量线性运算的应用，培养运算、分析和解决实际问题的能力，提升直观想象、数学运算和逻辑推理素养.
2.对于解决平面几何问题，首先要结合图形的特点，确定能否建立平面直角坐标系是关键.
3.力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加、减运算，运动的叠加也用到向量的合成.二、素养训练
1.已知作用在点A的三个力f1＝(3，4)，f2＝(2，－5)，f3＝(3，1)，且A(1，1)，则合力f＝f1＋f2＋f3的终点坐标为( )
A.(9，1) B.(1，9)
C.(9，0) D.(0，9)解析 f＝f1＋f2＋f3＝(3，4)＋(2，－5)＋(3，1)＝(8，0)，
设合力f的终点为P(x，y)，则答案 A答案 C答案 5
