课件16张PPT。章末复习课[网络构建][核心归纳]
1.平面向量的基本概念
主要应掌握向量的概念、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念，这些概念是考试的热点，一般都是以选择题或填空题出现，尤其是单位向量常与向量的平行的坐标形式结合考查，一些学生往往只求出一个而遗漏另一个.
2.向量的线性运算
主要应掌握向量加法的三角形法则与平行四边形法则，甚至推广到向量加法的多边形法则；掌握向量减法的三角形法则；数乘向量运算的性质和法则及运算律.同时要灵活运用这些知识解决三点共线、两线段相等及两直线平行等问题.3.向量的坐标运算
主要应掌握向量坐标运算的法则、公式进行向量加、减与数乘运算；能用向量共线的坐标表示证明两向量平行或证明三点共线；能用平面向量基本定理和基底表示平面内任意一个向量.
4.平面向量的应用
一是要掌握平面几何中的向量方法，能用向量证明一些平面几何问题；二是能用向量解决一些物理问题，如力、位移、速度等.解 如图，连接AM并延长交BC于点D.
∵M是△ABC的重心，【训练1】 设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：a，b可以作为一组基底；
(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；
(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值.(1)证明 设a＝λb(λ∈R)，
则e1－2e2＝λ(e1＋3e2).
由e1，e2不共线得∴c＝2a＋b.∴λ不存在，故a与b不共线，即可以作为一组基底.
(2)解 设c＝ma＋nb(m，n∈R)，得
3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)
＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.(3)解 由4e1－3e2＝λa＋μb，得
4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)
＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.故λ，μ的值分别为3和1.要点二 向量的共线问题
运用向量平行(共线)证明常用的结论有：(1)向量a，b(a≠0)共线?存在唯一实数λ，使b＝λa；(2)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线?x1y2＝x2y1；(3)向量a与b共线?存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0.
判断两向量所在的直线共线时，除满足定理的要求外，还应说明此两直线有公共点.要点三 平面直角坐标系内的距离问题
向量模的计算公式、两点之间的距离公式及中点坐标公式，不但用于距离的计算、确定点的坐标还能用于平面几何图形的判定等.
【例3】 已知△ABC的顶点A，B，C的坐标分别是(2，－1)，(4，1)，(6，－3).证明：△ABC是等腰三角形.【训练3】 证明A(2，－1)，B(4，1)，C(6，－3)不共线.章末复习课
[网络构建]
[核心归纳]
1.平面向量的基本概念
主要应掌握向量的概念、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念，这些概念是考试的热点，一般都是以选择题或填空题出现，尤其是单位向量常与向量的平行的坐标形式结合考查，一些学生往往只求出一个而遗漏另一个.
2.向量的线性运算
主要应掌握向量加法的三角形法则与平行四边形法则，甚至推广到向量加法的多边形法则；掌握向量减法的三角形法则；数乘向量运算的性质和法则及运算律.同时要灵活运用这些知识解决三点共线、两线段相等及两直线平行等问题.
3.向量的坐标运算
主要应掌握向量坐标运算的法则、公式进行向量加、减与数乘运算；能用向量共线的坐标表示证明两向量平行或证明三点共线；能用平面向量基本定理和基底表示平面内任意一个向量.
4.平面向量的应用
一是要掌握平面几何中的向量方法，能用向量证明一些平面几何问题；二是能用向量解决一些物理问题，如力、位移、速度等.
要点一 基底向量表示其它向量
一组不共线向量可以充当平面向量的基底，平面内的任一向量均可写成它的线性表达式，且表达式是唯一的.
【例1】 如图，设△ABC的重心为M，O为平面上任一点，＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示.
解 如图，连接AM并延长交BC于点D.
∵M是△ABC的重心，
∴D是BC的中点，且AM＝AD.
∴＝＝(＋)＝＋
＝＋＝＋＝(－)＋(－)
＝(b－a)＋(c－b)＝－a＋b＋c.
∴＝＋＝a＋＝(a＋b＋c).
【训练1】 设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：a，b可以作为一组基底；
(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；
(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值.
(1)证明 设a＝λb(λ∈R)，
则e1－2e2＝λ(e1＋3e2).
由e1，e2不共线得
?
∴λ不存在，故a与b不共线，即可以作为一组基底.
(2)解 设c＝ma＋nb(m，n∈R)，得
3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)
＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.
∴∴
∴c＝2a＋b.
(3)解 由4e1－3e2＝λa＋μb，得
4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)
＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.
∴∴
故λ，μ的值分别为3和1.
要点二 向量的共线问题
运用向量平行(共线)证明常用的结论有：(1)向量a，b(a≠0)共线?存在唯一实数λ，使b＝λa；(2)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线?x1y2＝x2y1；(3)向量a与b共线?存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0.
判断两向量所在的直线共线时，除满足定理的要求外，还应说明此两直线有公共点.
【例2】 设坐标平面上有三点A，B，C，i，j分别是坐标平面上x轴、y轴正方向的单位向量，若向量＝i－2j，＝i＋mj，那么是否存在实数m，使A，B，C三点共线？
解 方法一 假设满足条件的m存在.由A，B，C三点共线，即∥，∴存在实数λ，使＝λ，即i－2j＝λ(i＋mj)，∴∴m＝－2，∴当m＝－2时，A，B，C三点共线.
方法二 假设满足条件的m存在.根据题意可知：i＝(1，0)，j＝(0，1)，∴＝(1，0)－2(0，1)＝(1，－2)，＝(1，0)＋m(0，1)＝(1，m).由A，B，C三点共线，即∥，故1·m－1·(－2)＝0，解得m＝－2，∴当m＝－2时，A，B，C三点共线.
【训练2】 如图所示，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________.
解析 设＝λ，
则＝＋＝－＋m＋
＝(m－1)＋.
＝＋＝－＋.
∵与共线，
∴(m－1)＋＝0，∴m＝.
答案
要点三 平面直角坐标系内的距离问题
向量模的计算公式、两点之间的距离公式及中点坐标公式，不但用于距离的计算、确定点的坐标还能用于平面几何图形的判定等.
【例3】 已知△ABC的顶点A，B，C的坐标分别是(2，－1)，(4，1)，(6，
－3).证明：△ABC是等腰三角形.
证明 由题意可得||＝＝＝2，
||＝＝＝2，
||＝＝＝2，
∴||＝||≠||.∴△ABC是等腰三角形.
【训练3】 证明A(2，－1)，B(4，1)，C(6，－3)不共线.
证明 方法一 ＝(4，1)－(2，－1)＝(2，2)，＝(6，－3)－(4，1)＝(2，
－4)，
∵2×(－4)≠2×2，∴，不平行，∴A，B，C不共线.
方法二 假设A，B，C共线，则存在λ∈R，
使＝k，即(2，2)＝k(2，－4)，
∴k不存在，
∴A，B，C不共线.
方法三 ∵|AB|＝2，|BC|＝2，|AC|＝2，
∴AB，BC，AC能构成三角形，故A，B，C不共线.
