章末复习课
[网络构建]
[核心归纳]
1.关于抽样方法
(1)用随机数表法抽样时，对个体所编号码位数要相同，当问题所给位数不同时，以位数较多的为准，在位数较少的数前面添“0”，凑齐位数.
(2)两种抽样方法的异同点
2.关于用样本估计总体
(1)用样本频率分布估计总体频率分布时，通常要对给定的一组数据进行列表、作图处理，作频率分布表与频率分布直方图时要注意其方法步骤.
(2)平均数反映了样本数据的平均水平，而标准差反映了样本数据的波动程度.
3.频率与概率
频率是概率的近似值，是随机的，随着试验的不同而变化；概率是多次的试验中频率的稳定值，是一个常数，不要用一次或少数次试验中的频率来估计概率.
4.求较复杂概率的常用方法
(1)将所求事件转化为彼此互斥的事件的和；
(2)先求其对立事件的概率，然后再应用公式P(A)＝1－P()求解.
5.古典概型概率的计算
关键要分清样本点的总数n与事件A包含的样本点的个数m，再利用公式P(A)＝求解.有时需要用列举法把样本点一一列举出来，在列举时必须按某一顺序做到不重不漏.
6.独立事件概率的计算
事件的相互独立性：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立.如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立.
要点一 抽样方法的应用
1.抽样方法有：简单随机抽样、分层随机抽样.
2.两种抽样方法比较
【例1】 (1)一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人.为了解职工收入情况，决定采用分层随机抽样的方法从中抽取容量为40的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是( )
A.12，24，15，9 B.9，12，12，7
C.8，15，12，5 D.8，16，10，6
(2)一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量(单位：辆)如下表：
轿车A
轿车B
轿车C
舒适型
100
150
z
标准型
300
450
600
按类用分层随机抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中A类轿车有10辆.
①求z的值；
②用分层随机抽样的方法从C类轿车中抽取一个容量为5的样本，则舒适型、标准型的轿车应分别抽取多少辆？
(1)解析 因为＝，
故各层中依次抽取的人数分别是＝8，＝16，＝10，＝6.
答案 D
(2)解 ①设该厂本月生产轿车n辆，由题意得＝，所以n＝2 000，则z＝2 000－100－300－150－450－600＝400.
②设所抽取的样本中有m辆舒适型轿车，因为用分层随机抽样的方法从C类轿车中抽取一个容量为5的样本，所以由①知＝，解得m＝2，则在C类轿车中抽取2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车.
【训练1】 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层随机抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生.
解析 ×300＝60(名).
答案 60
要点二 用样本估计总体
1.用样本数据的数字特估计总体数字特征.
2.用样本数据的频率分布估计总体的频率分布.
3.用样本频率估计概率.
【例2】 某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.
y的分组
[－0.20，0)
[0，0.20)
[0.20，0.40)
[0.40，0.60)
[0.60，0.80)
企业数
2
24
53
14
7
(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；
(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01)
附：≈8.602.
解 (1)根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为＝0.21＝21%.
产值负增长的企业频率为＝0.02＝2%.
用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%.
(2)＝×(－0.10×2＋0.10×24＋0.30×53＋0.50×14＋0.70×7)＝0.30，
s2＝ni(yi－)2
＝×[(－0.40)2×2＋(－0.20)2×24＋02×53＋0.202×14＋0.402×7]
＝0.029 6，
s＝＝0.02×≈0.17.
所以这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为0.30，0.17.
【训练2】 为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：
记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.
(1)求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；
(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).
解 (1)由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，故a＝0.35.
b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.
(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为
2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05，
乙离子残留百分比的平均值的估计值为
3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.
要点三 古典概型 注意样本空间中样本点个数的计算
古典概型及其解法
1.古典概型是一种最基本的概率模型，也是学习其他概率模型的基础，在高考题中，经常出现此种概率模型的题目.解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特点，即有限性和等可能性.
2.在求古典概型问题的概率时，往往需要我们将所有样本点一一列举出来，以便确定样本点总数及事件所包含的样本点数.这就是我们常说的穷举法.在列举时应注意按一定的规律、标准，不重不漏.
【例3】 2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.
(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.
员工
项目
A
B
C
D
E
F
子女教育
○
○
×
○
×
○
继续教育
×
×
○
×
○
○
大病医疗
×
×
×
○
×
×
住房贷款利息
○
○
×
×
○
○
住房租金
×
×
○
×
×
×
赡养老人
○
○
×
×
×
○
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
②设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率.
解 (1)由已知得老、中、青员工人数之比为6∶9∶10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人、9人、10人.
(2)①从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}，共15种.
②由表格知，符合题意的所有结果为{A，B}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，E}，{C，F}，{D，F}，{E，F}，共11种.
所以事件M发生的概率P(M)＝.
【训练3】 (1)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( )
A. B.
C. D.
(2)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是( )
A. B. C. D.
解析 (1)设5只兔子中测量过某项指标的3只为a1，a2，a3，未测量过这项指标的2只为b1，b2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10种可能.其中恰有2只测量过该指标的情况为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6种可能.
故恰有2只测量过该指标的概率为＝.故选B.
(2)设两位男同学分别为A，B，两位女同学分别为a，b，则用“树形图”表示四位同学排成一列所有可能的结果如图所示.
由图知，共有24种等可能的结果，其中两位女同学相邻的结果(画“√”的情况)共有12种，故所求概率为＝.故选D.
答案 (1)B (2)D
要点四 互斥事件(对立事件)、独立事件的概率
1.若事件A1，A2，…，An彼此互斥，则P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)；特别地，设事件A的对立事件是，则P(A)＝1－P().
2.事件A，B相互独立?P(AB)＝P(A)P(B).
【例4】 某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为，乙当选的概率为，丙当选的概率为.
(1)求三人中恰有一名同学当选的概率；
(2)求三人中至多有两人当选的概率.
解 设甲、乙、丙当选的事件分别为A，B，C，
则有P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
(1)因为事件A，B，C相互独立，
所以恰有一名同学当选的概率为
P(A )＋P(B)＋P( C)
＝P(A)P()P()＋P()P(B)P()＋P()P()P(C)
＝××＋××＋××＝.
(2)至多有两人当选的概率为
1－P(ABC)＝1－P(A)P(B)P(C)
＝1－××＝.
【训练4】 (1)两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )
A. B.
C. D.
(2)设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)是( )
A. B.
C. D.
解析 (1)设事件A：甲实习生加工的零件为一等品；
事件B：乙实习生加工的零件为一等品，且A，B相互独立，
则P(A)＝，P(B)＝，
所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为
P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)
＝×＋×＝.
(2)由题意，P()·P()＝，
P()·P(B)＝P(A)·P().
设P(A)＝x，P(B)＝y，
则 即
∴x2－2x＋1＝，
∴x－1＝－，或x－1＝(舍去)，∴x＝.
答案 (1)B (2)D
课件32张PPT。章末复习课[网络构建][核心归纳]
1.关于抽样方法
(1)用随机数表法抽样时，对个体所编号码位数要相同，当问题所给位数不同时，以位数较多的为准，在位数较少的数前面添“0”，凑齐位数.(2)两种抽样方法的异同点2.关于用样本估计总体
(1)用样本频率分布估计总体频率分布时，通常要对给定的一组数据进行列表、作图处理，作频率分布表与频率分布直方图时要注意其方法步骤.
(2)平均数反映了样本数据的平均水平，而标准差反映了样本数据的波动程度.
3.频率与概率
频率是概率的近似值，是随机的，随着试验的不同而变化；概率是多次的试验中频率的稳定值，是一个常数，不要用一次或少数次试验中的频率来估计概率.要点一 抽样方法的应用
1.抽样方法有：简单随机抽样、分层随机抽样.
2.两种抽样方法比较【例1】 (1)一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人.为了解职工收入情况，决定采用分层随机抽样的方法从中抽取容量为40的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是( )
A.12，24，15，9 B.9，12，12，7
C.8，15，12，5 D.8，16，10，6(2)一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量(单位：辆)如下表：按类用分层随机抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中A类轿车有10辆.
①求z的值；
②用分层随机抽样的方法从C类轿车中抽取一个容量为5的样本，则舒适型、标准型的轿车应分别抽取多少辆？答案 D【训练1】 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层随机抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生.答案 60要点二 用样本估计总体
1.用样本数据的数字特估计总体数字特征.
2.用样本数据的频率分布估计总体的频率分布.
3.用样本频率估计概率.【例2】 某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%.＝0.029 6，所以这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为0.30，0.17.【训练2】 为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.
(1)求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；
(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).解 (1)由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，故a＝0.35.
b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.
(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为
2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05，
乙离子残留百分比的平均值的估计值为
3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.要点三 古典概型及其解法
1.古典概型是一种最基本的概率模型，也是学习其他概率模型的基础，在高考题中，经常出现此种概率模型的题目.解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特点，即有限性和等可能性.
2.在求古典概型问题的概率时，往往需要我们将所有样本点一一列举出来，以便确定样本点总数及事件所包含的样本点数.这就是我们常说的穷举法.在列举时应注意按一定的规律、标准，不重不漏.古典概型注意样本空间中样本点个数的计算【例3】 2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.
(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
②设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率.解 (1)由已知得老、中、青员工人数之比为6∶9∶10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人、9人、10人.
(2)①从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}，共15种.
②由表格知，符合题意的所有结果为{A，B}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，E}，{C，F}，{D，F}，{E，F}，共11种.解析 (1)设5只兔子中测量过某项指标的3只为a1，a2，a3，未测量过这项指标的2只为b1，b2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10种可能.其中恰有2只测量过该指标的情况为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6种可能.(2)设两位男同学分别为A，B，两位女同学分别为a，b，则用“树形图”表示四位同学排成一列所有可能的结果如图所示.答案 (1)B (2)D要点四 互斥事件(对立事件)、独立事件的概率(1)因为事件A，B，C相互独立，
所以恰有一名同学当选的概率为解 设甲、乙、丙当选的事件分别为A，B，C，(2)至多有两人当选的概率为1－P(ABC)＝1－P(A)P(B)P(C)解析 (1)设事件A：甲实习生加工的零件为一等品；
事件B：乙实习生加工的零件为一等品，且A，B相互独立，所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为答案 (1)B (2)D
