第四章指数函数、对数函数与幂函数
[数学文化]——了解数学文化的发展与应用
对数的概念，首先是由苏格兰数学家John Napier(纳皮尔，1550～1617)提出的.那时候天文学是热门学科，可是由于数学的局限性，天文学家不得不花费很大精力去计算那些繁杂的“天文数字”，浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间.Napier也是一位天文爱好者，他感到，“没有什么会比数学的演算更加令人烦恼……诸如一些大数的乘、除、平方、立方、开方……因此我开始考虑……怎样才能排除这些障碍.”经过20年潜心研究大数的计算技术，他终于独立发明了对数，并于1614年出版的名著《奇妙的对数定律说明书》(“Mirifici logarithmorum canonis descriptio”)中阐明了对数原理，后人称为纳皮尔对数(Nap-logX).
[读图探新]——发现现象背后的知识
1.细胞分裂的个数可以用指数函数模型来研究.
2.宇宙射线在大气中能够产生放射性碳14，并能与氧结合形成二氧化碳后进入所有活组织，先被植物吸收，后被动物纳入.只要植物或动物生存着，它们就会持续不断地吸收碳14，在有机体内保持一定的水平.而当有机体死亡后，即会停止呼
吸碳14，其组织内的碳14便开始衰变并逐渐消失.对于任何含碳物质，只要测定剩下的放射性碳14的含量，就可推断其年代，这就是考古学家常用的碳14测年法.
3. 溶液pH值的变化规律可以用对数函数模型来表示.
问题1：你知道生物体内碳14的衰减有着怎样的变化规律吗？
问题2：人们经常用光年来表示距离的遥远，用天文数字来表示数字的庞大.古时候，人们是如何来计算这些“天文数字”的呢？
问题3：你知道同底的指数函数与对数函数有什么关系吗？
链接：对数的发明让天文学家欣喜若狂，对数可以将乘除法变为加减法，把天文数字变为较小的数字，简化了数的运算.
在自然条件下，细胞的分裂、人口的增长、放射性物质的衰减等问题，都可以用指数函数构建数学模型来刻画它们的变化规律.在本章我们将类比二次函数的研究方法，学习指数函数、对数函数和幂函数的概念、图像和性质，并对这几类基本初等函数的变化进行比较，并学会选择合适的函数关系构造函数模型解决上面提出的问题.
4.1 指数与指数函数
4.1.1 实数指数幂及其运算
第一课时 有理数指数幂
课标要求
素养要求
1.理解n次方根、n次根式的概念，能正确运用根式运算性质化简求值.
2.理解有理数指数幂的含义，能正确运用其运算法则进行化简、计算.
.
1.通过学习n次方根、n次根式概念及有理数指数幂含义，提升数学抽象素养.
2.通过根式运算性质、有理数指数幂运算法则的应用，提升数学运算素养
教材知识探究
公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数表示，也不能用分数来表示，希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生.
希帕索斯
问题 若x2＝3，这样的x有几个？它们叫做3的什么？怎么表示？
提示 这样的x有2个，它们都称为3的平方根，记作±.
1.n次方根、n次根式
(1)a的n次方根的定义
一般地，给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得xn＝a，则x称为a的n次方根.
(2)a的n次方根的表示 求解a的n次方根时要注意对n的奇偶性讨论
根据方程xn＝a解的情况不难看出：
①0的任意正整数次方根均为0，记为＝0.
②正数a的偶数次方根有两个，它们互为相反数，其中正的方根称为a的n次算术根，记为，负的方根记为－；负数的偶数次方根在实数范围内不存在，即当a<0且n为偶数时，在实数范围内没有意义.
③任意实数的奇数次方根都有且只有一个，记为.而且正数的奇数次方根是一个正数，负数的奇数次方根是一个负数.
(3)根式
当有意义的时候，称为根式，n称为根指数，a称为被开方数.
2.根式的性质 根式的性质是化简根式的重要依据
(1)()n＝a(n>1且n∈N*).
(2)当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|.
3.分数指数幂 根式与分数指数幂的互化是化简的重要依据
m，n∈N*，n>1，为既约分数，
(1)规定正分数指数幂的意义是：a＝()m＝(有意义).
(2)规定负分数指数幂的意义是：a－＝＝＝(有意义且a≠0).
4.有理数指数幂的运算法则
asat＝as＋t，(as)t＝as__t，(ab)s＝asbs，其中s，t∈Q.
教材拓展补遗
[微判断]
1.实数a的n次方根有且只有一个.(×)
提示 当n为大于1的偶数时，实数a的n次方根有0或1或2个.
2.＝()n.(×)
提示 当n为大于1的偶数，且a为负数时不成立.
3.(－2)＝(－2).(×)
提示 (－2)>0，而(－2)无意义，故错误.
[微训练]
1.a－(a>0)化为根式的形式为________.
解析 a－＝＝.
答案
2.(m>n)表示为分数指数幂的形式为________.
解析 ＝(m－n).
答案 (m－n)
3.化简－得________.
解析 原式＝|x＋3|－(x－3)，
当x≥－3时，原式＝6；当x<－3时，原式＝－2x.
答案 6或－2x
[微思考]
1.根据n次方根的定义，当n为奇数时，是否对任意实数a都存在n次方根？n为偶数呢？
提示 当n为奇数时，对任意实数a，都存在n次方根，可表示为；当n为偶数时，若a<0时，则a没有n次方根；若a＝0，则a的n次方根为0；若a>0，则a有两个n次方根，可表示为±.
2.根式化简开偶次方根时应注意什么问题？
提示 开偶次方根时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值号化简，化简时要结合条件或分类讨论.
3.分数指数幂a可以理解为个a相乘吗？
提示 不可以.事实上，它是根式的一种新写法，a＝.
题型一 由根式的意义与性质求范围
【例1】 求使等式＝(3－a)成立的实数a的取值范围.
解 ＝
＝|a－3|，
要使|a－3|＝(3－a)成立，
需解得－3≤a≤3，即实数a的取值范围为[－3，3].
规律方法 对于，当n为偶数时，要注意两点：(1)只有a≥0时才有意义；
(2)只要有意义，必不为负.
【训练1】 若＝a－1，求实数a的取值范围.
解 ∵＝|a－1|＝a－1，
∴a－1≥0，∴a≥1，即实数a的取值范围为[1，＋∞).
题型二 利用根式的性质化简或求值
探究一 无限制条件的根式化简或求值
【例2－1】 化简下列各式：
(1)；
(2)(a>b)；
(3)()2＋＋.
解 (1)＝|3－π|＝π－3.
(2)＝|a－b|＝a－b(a>b).
(3)由题意知a－1≥0，即a≥1.所以原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.
规律方法 n为奇数时，()n＝＝a，a为任意实数均可；n为偶数时，a≥0时，()n才有意义，且()n＝a，而a为任意实数均有意义，且＝|a|.
【训练2－1】 求下列各式的值：
(1)；
(2)(a≤1)；
(3)＋.
解 (1)＝－2.
(2)＝|3a－3|＝3|a－1|＝3－3a(a≤1).
(3)＋＝a＋|1－a|＝
探究二 有限制条件的根式化简或求值
【例2－2】 设－3
解 原式＝－＝|x－1|－|x＋3|，
∵－3当1≤x<3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4.
∴原式＝
规律方法 当n为偶数时，先化为|a|，再根据a的正负去绝对值符号.
【训练2－2】 已知x∈[1，2]，化简()4＋＝________.
解析 ∵x∈[1，2]，∴x－1≥0，x－2≤0，
∴()4＋
＝x－1＋|x－2|＝x－1－(x－2)＝1.
答案 1
题型三 根式与指数幂的互化
化简的依据是a＝，a－＝
【例3】 将下列根式与分数指数幂进行互化：
(1)a－；(2)(a>0)；(3)a.
解 (1)a－＝.
(2)＝a·a＝a(a>0).
(3)因为－a≥0，所以a≤0，
所以a＝－＝－
＝－(－a).
规律方法 根式与分数指数幂互化的规律
(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算法则解题.
【训练3】 用分数指数幂表示下列各式：
(1)(a>0，b>0)；
(2)(a>0，b>0).
解 (1)＝＝a－.
(2)＝＝＝＝a－b.
题型四 有理数指数幂运算法则的应用
【例4】 化简：(1)··
(其中x>0，y>0)；
(2)0.064－－＋＋16－0.75.
解 (1)原式＝x－＋(－1)＋·y＋－＝x－y.
(2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3
＝－1＋＋＝.
规律方法 1.有理数指数幂运算的常用技巧
(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算.
(2)负指数幂化为正指数幂的倒数.
(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用有理数指数幂的运算法则.
2.根式化简的步骤
(1)将根式化成分数指数幂的形式.
(2)运用分数指数幂的运算法则求解.
3.对于化简或求值结果的要求
对化简或求值的结果，一般保留为分数指数幂的形式；在进行指数幂运算时，通常是化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时要兼顾运算的顺序.
【训练4】 计算下列各式：
(1)＋2－2×－0.010.5；
(2)＋0.1－2＋－3π0＋；
(3)－＋＋－π0.
解 (1)原式＝1＋×－＝.
(2)原式＝＋(10－1)－2＋－3＋＝＋100＋－3＋＝100.
(3)原式＝－＋＋－1＝－＋＋－1＝3.
一、素养落地
1.通过学习n次方根、n次根式的概念及分数指数幂的含义，提升数学抽象素养；通过正确运用根式运算性质、根式与分数指数幂的互化及运用有理数指数幂的运算法则，培养数学运算素养.
2.一个数有没有n次方根，一定先考虑被开方数是正数还是负数，还要分n为奇数或偶数这两种情况.
3.根式一般先转化成分数指数幂，然后运用有理数指数幂的运算性质进行运算.在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换的方法，然后运用运算性质准确求解.
二、素养训练
1.m是实数，则下列式子中可能没有意义的是( )
A. B.
C. D.
答案 C
2.已知x5＝6，则x等于( )
A. B.
C.－ D.±
答案 B
3.()4运算的结果是( )
A.2 B.－2
C.±2 D.不确定
答案 A
4.＋的值是________.
解析 ＋＝|a－b|＋(a－b)＝
答案 0或2(a－b)
5.化简下列各式(式中字母均为正数)：
(1)；
(2)4x÷(结果化为分数指数幂形式).
解 (1)＝＝＝a.
(2)4x÷＝[4×(－3)÷
(－6)]x＋＋·y－＋＝2xy.
基础达标
一、选择题
1.化简的值是( )
A. B.－
C.± D.－
解析 ＝＝－.
答案 B
2.若(1－2x)－有意义，则x的取值范围是( )
A.R B.∪
C. D.
解析 将分数指数幂化为根式，可知需满足1－2x>0，解得x<.
答案 D
3.若2A.5－2a B.2a－5
C.1 D.－1
解析 ∵20，
∴＋＝|2－a|＋|3－a|
＝a－2＋3－a＝1.
答案 C
4.化简()4·()4的结果是( )
A.a16 B.a8
C.a4 D.a2
解析 原式＝·＝·＝a2·a2＝a4.
答案 C
5.＋＋＝( )
A.1－ B.－1
C. D.0
解析 原式＝＋1－＋|1－|
＝|1－|＋1－＋－1＝－1.
答案 B
二、填空题
6.已知3a＝2，3b＝5，则32a－b＝________.
解析 32a－b＝＝.
答案
7.把a根号外的a移到根号内等于________.
解析 要使有意义，需a<0.
∴a＝－|a|
＝－＝－.
答案 －
8.化简：(＋)2 019·(－)2 019＝________.
解析 (＋)2 019·(－)2 019
＝[(＋)(－)]2 019＝12 019＝1.
答案 1
三、解答题
9.化简：
(1)(x<π，n∈N*)；
(2).
解 (1)因为x<π，所以x－π<0，
当n为偶数时，＝|x－π|＝π－x；
当n为奇数时，＝x－π.
综上，＝
(2)因为a≤，所以1－2a≥0.
所以＝＝|2a－1|＝1－2a.
10.将下列根式化为分数指数幂的形式：
(1)(a>0)；(2)；
(3)()－(b>0).
解 (1)原式＝＝＝＝a.
(2)原式＝＝＝＝＝＝x－.
(3)原式＝[(b－)]－＝b－××(－)＝b.
能力提升
11.若＝，则实数a的取值范围是________.
解析 因为＝|3a－1|，＝1－3a，所以|3a－1|＝1－3a，故3a－1≤0，所以a≤.
答案
12.计算下列各式：
(1)2××；
(2)·(＋1)＋(－)0；
(3).
解 (1)原式＝2×3××(3×4)＝21＋(－)＋×3＋＋＝2×3＝6.
(2)原式＝·(＋1)＋1
＝·(＋1)＋1
＝(－1)·(＋1)＋1
＝(3－1)＋1＝1＋1＝2.
(3)原式＝＝6×a＋－×b＋－＝6ab－.
创新猜想
13.(多选题)下列运算结果中，正确的是( )
A.a2·a3＝a5
B.(－a2)3＝(－a3)2
C.(－a2)3＝a6
D.()m＝(m，n∈N*，n>1，为既约分数，有意义)
解析 对A：a2·a3＝a2＋3＝a5，正确；
对B：(－a2)3＝(－1)3·a6＝－a6，(－a3)2＝(－1)2a6＝a6，不正确；
对C：(－a2)3＝－a6，不正确；
对D：当有意义时，a＝()m＝，正确.
答案 AD
14.计算：(1)－＋＋；
(2)已知函数f(x)＝求f(3－)－f(5＋3－)的值.
解 (1)原式＝＝＋1－1＋＋－＝2.
(2)因为3－＝<1，5＋3－>1，
所以f(3－)－f(5＋3－)＝×3－－(5＋3－－5)2＋3＝3－－3－＋3＝3.
课件36张PPT。第四章 指数函数、对数函数与幂函数 [数学文化]——了解数学文化的发展与应用
对数的概念，首先是由苏格兰数学家John Napier(纳皮尔，1550～1617)提出的.那时候天文学是热门学科，可是由于数学的局限性，天文学家不得不花费很大精力去计算那些繁杂的“天文数字”，浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间.Napier也是一位天文爱好者，他感到，“没有什么会比数学的演算更加令人烦恼……诸如一些大
数的乘、除、平方、立方、开方……因此我开始考虑……怎样才能排除这
些障碍.”经过20年潜心研究大数的计算技术，他终于独立发明了对数，
并于1614年出版的名著《奇妙的对数定律说明书》(“Mirifici logarithmorum
canonis descriptio”)中阐明了对数原理，后人称为纳皮尔对数(Nap-logX).[读图探新]——发现现象背后的知识
1.细胞分裂的个数可以用指数函数模型来研究.
2.宇宙射线在大气中能够产生放射性碳14，并能与氧结合形成
氧化碳后进入所有活组织，先被植物吸收，后被动物纳入.只要
植物或动物生存着，它们就会持续不断地吸收碳14，在有机体内
保持一定的水平.而当有机体死亡后，即会停止呼
吸碳14，其组织内的碳14便开始衰变并逐渐消失.对于任何含碳
物质，只要测定剩下的放射性碳14的含量，就可推断其年代，这
就是考古学家常用的碳14测年法. 3. 溶液pH值的变化规律可以用对数函数模型来表示.
问题1：你知道生物体内碳14的衰减有着怎样的变化规律吗？
问题2：人们经常用光年来表示距离的遥远，用天文数字来
表示数字的庞大.古时候，人们是如何来计算这些“天文数字”的
呢？
问题3：你知道同底的指数函数与对数函数有什么关系吗？
链接：对数的发明让天文学家欣喜若狂，对数可以将乘除法变为加减法，把天文数字变为较小的数字，简化了数的运算.
在自然条件下，细胞的分裂、人口的增长、放射性物质的衰减等问题，都可以用指数函数构建数学模型来刻画它们的变化规律.在本章我们将类比二次函数的研究方法，学习指数函数、对数函数和幂函数的概念、图像和性质，并对这几类基本初等函数的变化进行比较，并学会选择合适的函数关系构造函数模型解决上面提出的问题.4.1 指数与指数函数
4.1.1 实数指数幂及其运算
第一课时 有理数指数幂教材知识探究问题 若x2＝3，这样的x有几个？它们叫做3的什么？怎么表示？希帕索斯1.n次方根、n次根式
(1)a的n次方根的定义
一般地，给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得 ，则x称为a的n次方根.(2)a的n次方根的表示求解a的n次方根时要注意对n的奇偶性讨论xn＝a0两个不存在正数负数根指数2.根式的性质根式的性质是化简根式的重要依据aa|a|3.分数指数幂根式与分数指数幂的互化是化简的重要依据as＋tas＋tas＋t教材拓展补遗
[微判断]
1.实数a的n次方根有且只有一个.( )
提示 当n为大于1的偶数时，实数a的n次方根有0或1或2个.提示 当n为大于1的偶数，且a为负数时不成立.×××解析 原式＝|x＋3|－(x－3)，
当x≥－3时，原式＝6；当x<－3时，原式＝－2x.
答案 6或－2x[微思考]
1.根据n次方根的定义，当n为奇数时，是否对任意实数a都存在n次方根？n为偶数呢？2.根式化简开偶次方根时应注意什么问题？
提示 开偶次方根时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值号化简，化简时要结合条件或分类讨论.题型一 由根式的意义与性质求范围题型二 利用根式的性质化简或求值探究一 无限制条件的根式化简或求值(3)由题意知a－1≥0，即a≥1.所以原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.探究二 有限制条件的根式化简或求值∵－3当1≤x<3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4.答案 1题型三 根式与指数幂的互化规律方法 根式与分数指数幂互化的规律(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算法则解题.规律方法 1.有理数指数幂运算的常用技巧
(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算.
(2)负指数幂化为正指数幂的倒数.
(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用有理数指数幂的运算法则.
2.根式化简的步骤
(1)将根式化成分数指数幂的形式.
(2)运用分数指数幂的运算法则求解.
3.对于化简或求值结果的要求
对化简或求值的结果，一般保留为分数指数幂的形式；在进行指数幂运算时，通常是化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时要兼顾运算的顺序.一、素养落地
1.通过学习n次方根、n次根式的概念及分数指数幂的含义，提升数学抽象素养；通过正确运用根式运算性质、根式与分数指数幂的互化及运用有理数指数幂的运算法则，培养数学运算素养.
2.一个数有没有n次方根，一定先考虑被开方数是正数还是负数，还要分n为奇数或偶数这两种情况.
3.根式一般先转化成分数指数幂，然后运用有理数指数幂的运算性质进行运算.在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换的方法，然后运用运算性质准确求解.答案 C答案 B答案 A答案 0或2(a－b)第二课时 实数指数幂
课标要求
素养要求
1.理解无理数指数幂，了解指数幂的拓展过程.
2.掌握实数指数幂的运算法则.
1.通过学习无理数指数幂，了解无限逼近思想，提升数学抽象素养.
2.通过实数指数幂运算法则的应用，提升数学运算素养.
教材知识探究
牛顿(Newton 1643～1727)是大家所熟悉的物理学家，可是你知道他在数学史上的贡献吗？
牛顿
他在1676年6月13日写给莱布尼茨的信里说：“因为数学家将aa，aaa，aaaa，…写成a2，a3，a4，…所以可将，，，…写成a，a，a，…，将，，，…写成a－1，a－2，a－3，…”，于是幂指数就扩展为有理数.很容易猜想：若幂指数是无理数会怎么样呢？
问题 2 是一个确定的实数吗？
提示 2 是一个确定的实数.
1.无理数指数幂 无理数指数幂是一个确定的实数
一般地，当a>0且t是无理数时，at都是一个确定的实数.因此，当a>0，t为任意实数时，可以认为实数指数幂at都有意义.
2.实数指数幂的运算法则
(1)asat＝as＋t
(as)t＝ast
(ab)s＝asbs
(2)拓展：＝as－t，＝
其中a>0，b>0，s，t∈R.
教材拓展补遗
[微判断]
1.[(－2)×(－3)]＝(－2)(－3).(×)
提示 左侧＝，右侧无意义.
2.当a>0时，(ar)s＝(as)r.(√)
3.π∈R.(√)
[微训练]
1.＝________.
解析 ＝()×＝.
答案
2.21＋×16－＝________.
解析 21＋×16－＝21＋×2－1－＝20＝1.
答案 1
[微思考]
1.若a0＝1，a的取值范围是什么？
提示 非零实数.
2.若as＝1，对s∈R恒成立，则实数a的值是多少？
提示 a的值是1.
3.若s是无理数，as一定是无理数吗？
提示 as不一定是无理数，如2是无理数，1是有理数1.
题型一 实数指数幂运算法则的应用
【例1】 计算下列各式的值： 要关注幂底数的正负
(1)32＋×27－；
(2)(1＋)[(－－1)－2()]＋()1－×()1＋.
解 (1)32＋×27－＝32＋×(33)－＝32＋×3－＝32＋－＝32＝9.
(2)(1＋)[(－－1)－2()]＋()1－×()1＋
＝(1＋)[(＋1)－2·()]＋()1－＋1＋
＝(1＋)[(＋1)－2×()×]＋()2
＝(1＋)·[(＋1)－1·()]＋2
＝()＋2＝2＋2.
规律方法 对有理数指数幂as，若a<0，则当s＝，－(m，n互质且均为奇数)时as为负，否则as为正或无意义.
【训练1】 化简：(1－a)[(a－1)－2(－a)]＋[(－a)－1]＋1.
解 使(－a)及(a－1)－2有意义，需－a≥0且a－1≠0，即a≤0，∴1－a>0，a－1<0，
∴原式＝(1－a)[(1－a)－2(－a)]＋(－a)(－1)(＋1)
＝(1－a)(1－a)－2×(－a)×－a
＝(1－a)0(－a)－a＝(－a)－a.
题型二 整体代换的应用
【例2】 (1)若x＝2，则(x＋3)＝________.
(2)若x－x－＝1，则x＋x－1＝________；
x2＋x－2＝________.
解析 (1)因为x＝2，则＝23，得x2＝23，解得x＝±2，所以(x＋3)＝(3±2)＝[(±1)2]＝±1.
(2)将x－x－＝1，两边平方得x＋x－1－2＝1，则x＋x－1＝3.
x＋x－1＝3两边平方得x2＋x－2＋2＝9，所以x2＋x－2＝7.
答案 (1)±1 (2)3 7
规律方法 利用整体代换法求分数指数幂
(1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键.
(2)利用整体代换法解决计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式.
x2＋x－2＝(x±x－1)2?2，x＋x－1＝(x±x－)2?2，x＋x－＝(x±x－)2?2.
【训练2】 (1)已知x＋x－＝，则x2＋x－2＝________.
(2)已知x＋x－1＝7，求值：①x＋x－；②x2－x－2.
(1)解析 将x＋x－＝，两边平方得x＋x－1＋2＝5，则x＋x－1＝3，两边再平方得x2＋x－2＋2＝9，所以x2＋x－2＝7.
答案 7
(2)解 ①设m＝x＋x－，两边平方得m2＝x＋x－1＋2＝7＋2＝9，因为m>0，所以m＝3，即x＋x－＝3.
②设n＝x－x－，两边平方得n2＝x＋x－1－2＝7－2＝5，因为n∈R，所以n＝±，即x－x－＝±.所以x－x－1＝(x＋x－)(x－x－)＝±3，x2－x－2＝(x＋x－1)(x－x－1)＝±21.
题型三 指数幂的综合应用
【例3】 解下列关于x的方程：
(1)81×32x＝；
(2)22x＋2＋3×2x－1＝0.
解 (1)∵81×32x＝，
∴32x＋4＝3－2(x＋2)，
即2x＋4＝－2(x＋2)，解得x＝－2.
(2)∵22x＋2＋3×2x－1＝0，∴4×(2x)2＋3×2x－1＝0.
令t＝2x，则方程可化为4t2＋3t－1＝0，
解得t＝或t＝－1.
得2x＝或2x＝－1(舍去)，
解得x＝－2.
规律方法 (1)利用指数幂的运算法则，两端化为同底数的幂，从而利用指数相等解方程.
(2)把未知数为指数的幂看作一个新未知数，用换元法求解.
【训练3】 解方程：4x＋2x－2＝0.
解 原方程可化为(2x)2＋2x－2＝0，
则2x＝1或2x＝－2(舍去)，∴x＝0.
一、素养落地
1.通过幂指数的扩展(整数——分数——无理数)，提升数学抽象素养；通过实数指数幂的运算法则，提升数学运算素养.
2.指数幂的几个常见结论
(1)当a>0时，ab>0；
(2)当a≠0时，a0＝1；而当a＝0时，a0无意义；
(3)若ar＝as(a≠0且a≠1)，则r＝s；
(4)乘法公式仍适用于分数指数幂，如：
(a＋b)(a－b)＝(a)2－(b)2＝a－b(a>0，b>0).
3.在条件求值(或化简)中，注意整体代入法的应用；求解指数方程，常化为同底数的幂、或者换元求解.
二、素养训练
1.化简[]的结果为( )
A.5 B.
C.－ D.25
解析 []＝()＝5×＝5＝25.
答案 D
2.若102x＝25，则10－x等于( )
A.－ B.
C. D.
解析 102x＝(10x)2＝25，10x>0，
∴10x＝5，10－x＝＝.
答案 B
3.计算4－＋[()]2＝________.
解析 原式＝22×－2－1×(－1)＋＝2－2＋π×2＝π.
答案 π
4.已知a>1，b>0，ab＋a－b＝2，求ab－a－b的值.
解 ∵a>1，b>0，∴ab－a－b>0.
∵ab＋a－b＝2，∴(ab－a－b)2＝(ab＋a－b)2－4＝(2)2－4＝8－4＝4，
故ab－a－b＝2.
基础达标
一、选择题
1.＋(－1)－1÷0.75－2＋＝( )
A. B.
C.－ D.－
解析 原式＝－1÷＋＝－1÷＋＝－＋＝.
答案 A
2.已知am＝4，an＝3，则的值为( )
A. B.6
C. D.2
解析 因为am＝4，an＝3，所以am－2n＝＝，所以＝＝.
答案 A
3.如果x>y>0，则＝( )
A.(x－y) B.(x－y)
C. D.
解析 ＝·＝·＝.
答案 C
4.已知x－2＋x2＝2且x>1，则x2－x－2＝( )
A.2或－2 B.－2
C. D.2
解析 将x－2＋x2＝2两边平方得x－4＋x4＋2＝8，所以x－4＋x4＝6，所以x－4＋x4－2＝4，即(x2－x－2)2＝4.又x>1，故x2>x－2，所以x2－x－2＝2.
答案 D
5.设a－a－＝m，则＝( )
A.m2－2 B.2－m2
C.m2＋2 D.m2
解析 将a－a－＝m两边平方得＝m2，即a－2＋a－1＝m2，所以a＋a－1＝m2＋2，即a＋＝＝m2＋2.
答案 C
二、填空题
6.0.064－－π×π－＋[(－2)3]－＋16－＋0.01＝________.
解析 原式＝－π0＋＋＋0.1＝－1＋＋＋＝.
答案
7.已知a－a－＝，则a＋a－＝________.
解析 因为＝a＋a－1＋2＝＋4＝5＋4＝9，又因为a＋a－>0，所以a＋a－＝3.
答案 3
8.已知f(x)＝2x＋2－x，若f(a)＝3，则f(2a)等于________.
解析 因为f(x)＝2x＋2－x，所以f(a)＝2a＋2－a＝3，则f(2a)＝22a＋2－2a＝(2a＋2－a)2－2＝7.
答案 7
三、解答题
9.计算下列各式：
(1)；
(2)0.000 1－＋27－＋.
解 (1)原式＝[34×(3)]
＝(34＋)＝(3)＝3＝3.
(2)原式＝(0.14)－＋(33)－＋
＝0.1－1＋32－＋＝10＋9－＋27＝.
10.化简下列各式：
(1)－＋＋－(＋)π＋1×(－)π；
(2)÷×.
解 (1)原式＝－＋＋－(＋)[(＋)(－)]π
＝－＋＋－(＋)＝4－－.
(2)原式＝÷·a
＝··a
＝a·a·a＝a.
能力提升
11.若S＝(1＋2－)(1＋2－)(1＋2－)(1＋2－)(1＋2－)，则S等于( )
A.(1－2－)－1 B.(1－2－)1
C.1－2－ D.(1－2－)
解析 把2－看成一个整体a，则S＝(1＋a)(1＋a2)·(1＋a4)(1＋a8)(1＋a16).因为1－a≠0，所以(1－a)S＝(1－a)(1＋a)(1＋a2)(1＋a4)(1＋a8)(1＋a16)＝…＝1－a32＝1－2－1＝，∴S＝(1－2－)－1.
答案 A
12.(1)已知2x＋2－x＝a(常数)，求16x＋16－x的值；
(2)已知x＋y＝12，xy＝9且x解 (1)∵4x＋4－x＝(2x)2＋(2－x)2
＝(2x＋2－x)2－2·2x·2－x＝a2－2，
∴(4x＋4－x)2＝16x＋16－x＋2＝(a2－2)2＝a4－4a2＋4，∴16x＋16－x＝a4－4a2＋2.
(2)＝
＝.①
∵x＋y＝12，xy＝9，②
∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝122－4×9＝108.
又∵x将②③代入①，
得＝＝－.
创新猜想
13.(多空题)设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________.
解析 由根与系数的关系得∴2α·2β＝2α＋β＝2－2＝，(2α)β＝2αβ＝2.
答案 2
14.已知x>0，0≤r≤5且r∈N*，问r取哪些值时，式子()5－r表示一个常数？
解 ()5－r＝(－3)rxx－＝(－3)rx.若式子表示常数，则10－5r＝0，即r＝2.
∴当r＝2时，式子()5－r表示常数9.
课件25张PPT。第二课时 实数指数幂教材知识探究牛顿1.无理数指数幂一般地，当a>0且t是无理数时，at都是一个确定的 .因此，当a>0，t为任意实数时，可以认为实数指数幂at都有意义.2.实数指数幂的运算法则无理数指数幂是一个确定的实数记忆口诀：同底数幂乘除，指数加减；幂的乘方，指数相乘；积商的幂等于幂的积商实数2.当a>0时，(ar)s＝(as)r.( )
3.π ∈R.( )×√√答案 1[微思考]
1.若a0＝1，a的取值范围是什么？
提示 非零实数.
2.若as＝1，对s∈R恒成立，则实数a的值是多少？
提示 a的值是1.
3.若s是无理数，as一定是无理数吗？题型一 实数指数幂运算法则的应用
【例1】 计算下列各式的值：要关注幂底数的正负题型二 整体代换的应用整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法x＋x－1＝3两边平方得x2＋x－2＋2＝9，所以x2＋x－2＝7.答案 7题型三 指数幂的综合应用
【例3】 即2x＋4＝－2(x＋2)，解得x＝－2.解下列关于x的方程：注意分析方程特点，何时化为同底，何时换元(2)∵22x＋2＋3×2x－1＝0，∴4×(2x)2＋3×2x－1＝0.
令t＝2x，则方程可化为4t2＋3t－1＝0，规律方法 (1)利用指数幂的运算法则，两端化为同底数的幂，从而利用指数相等解方程.
(2)把未知数为指数的幂看作一个新未知数，用换元法求解.【训练3】 解方程：4x＋2x－2＝0.
解 原方程可化为(2x)2＋2x－2＝0，
则2x＝1或2x＝－2(舍去)，∴x＝0.答案 D答案 B解 ∵a>1，b>0，∴ab－a－b>0.故ab－a－b＝2.