4.1.2 指数函数的性质与图像
第一课时 指数函数的概念、性质与图像
课标要求
素养要求
1.了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念.
2.掌握指数函数的性质与图像.
3.初步学会运用指数函数来解决问题.
1.通过理解指数函数的概念和意义，发展数学抽象素养.
2.通过利用计算机软件作指数函数的图像，发展直观想象素养.
3.通过指数函数的实际应用，提升数学建模素养.
教材知识探究
将一张报纸连续对折，折叠次数x与对应的层数y之间存在什么关系？对折后的面积S(设原面积为1)与折叠的次数有怎样的关系？
折叠次数
对应层数
对折后的面积S
x＝1
y＝2＝21
S＝
x＝2
y＝4＝22
S＝＝
x＝3
y＝8＝23
S＝＝
……
……
……
由上面的对应关系，我们可以归纳出第x次折叠后对应的层数为y＝2x(x∈N*)，对折后的面积S＝(x∈N*).
问题 实例中得到的两个函数解析式有什么共同特征？
提示 (1)幂的形式；(2)幂的底数是一个大于0且不等于1的常数；(3)幂的指数是一个变量.
1.指数函数的概念 注意其特征：系数为1，指数为x，底数a>0且a≠1
一般地，函数y＝ax称为指数函数，其中a是常数，a>0且a≠1.
2.指数函数的图像和性质 结合函数的图像熟记指数函数的性质
a>1
0
图像
性
质
定义域
R
值域
(0，＋∞)，即对任何实数，都有ax>0
过定点
过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
函数值
的变化
当x>0时，y>1；
当x<0时，0当x>0时，0当x<0时，y>1
单调性
在R上是增函数
在R上是减函数
对称性
y＝ax与y＝的图像关于y轴对称
教材拓展补遗
[微判断]
1.函数y＝－2x是指数函数.(×)
提示 因为指数幂2x的系数为－1，所以函数y＝－2x不是指数函数.
2.函数y＝2x＋1是指数函数.(×)
提示 因为指数不是x，所以函数y＝2x＋1不是指数函数.
3.函数y＝(－5)x是指数函数.(×)
提示 因为底数小于0，所以函数y＝(－5)x不是指数函数.
[微训练]
1.函数y＝2－x的图像是( )
解析 y＝2－x＝，故此函数是指数函数，且为减函数，故选B.
答案 B
2.若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝2，则f(x)＝________.
解析 由题意，设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则由f(2)＝a2＝2，得a＝，所以f(x)＝()x.
答案 ()x
3.指数函数y＝2x的定义域是________，值域是________.
解析 由指数函数y＝2x的图像和性质可知定义域为R，值域为(0，＋∞).
答案 R (0，＋∞)
[微思考]
1.为什么规定指数函数的底数a>0且a≠1?
提示 规定y＝ax中a>0，且a≠1的理由：①当a≤0时，ax可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，ax＝1(x∈R)，无研究价值.因此规定y＝ax中a>0，且a≠1.
2.函数y＝abx(其中a，b为常数，a>0且a≠1，b≠0)是指数函数吗？
提示 y＝abx＝(ab)x，∵a>0且a≠1，b≠0，∴ab>0且ab≠1，故此函数是指数函数.
3.在直角坐标系中指数函数图像不可能出现在第几象限？
提示 指数函数的图像只能出现在第一、二象限，不可能出现在第三、四象限.
题型一 指数函数的概念及应用
【例1】 (1)给出下列函数：
①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x；⑥y＝3.其中，指数函数的个数是( )
A.0 B.1
C.2 D.4
(2)已知函数f(x)是指数函数，
且f＝，则f(3)＝________.
解析 (1)①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；④中，y＝x3的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数.⑤中，底数－2<0，不是指数函数；⑥中y＝3＝()x是指数函数.
(2)设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，由f＝a－＝＝5－，得a＝5，故f(x)＝5x，所以f(3)＝53＝125.
答案 (1)C (2)125
规律方法 1.指数函数的解析式必须具有三个特征：
(1)底数a为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x；(3)ax的系数是1.
2.求指数函数的关键是求底数a，并注意a的限制条件.
【训练1】 (1)若函数y＝a2(2－a)x是指数函数，则( )
A.a＝1或－1 B.a＝1
C.a＝－1 D.a>0且a≠1
(2)已知指数函数f(x)的图像过点(3，π)，则函数f(x)的解析式为________.
解析 (1)由条件知解得a＝－1.
(2)设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，将点(3，π)代入，得到f(3)＝π，即a3＝π，解得a＝，于是f(x)＝()x.
答案 (1)C (2)f(x)＝()x
题型二 指数函数的图像和性质
【例2】 (1)函数f(x)＝2ax＋1－3(a>0且a≠1)的图像恒过的定点是________.
(2)若函数f(x)＝2x＋3，x∈[2，3]，则函数f(x)的值域为________.
(3)已知函数y＝3x的图像，怎样变换得到y＝＋2的图像？并画出相应图像.
(1)解析 因为y＝ax(a>0且a≠1)的图像过定点(0，1)，所以令x＋1＝0，即x＝－1，则f(－1)＝－1，故f(x)＝2ax＋1－3的图像过定点(－1，－1).
答案 (－1，－1)
(2)解析 因为y＝2x在R上是增函数，故当x∈[2，3]时，2x∈[4，8]，所以f(x)＝2x＋3的值域为[7，11].
答案 [7，11]
(3)解 y＝＋2＝3－(x＋1)＋2.
作函数y＝3x的图像关于y轴的对称图像得函数y＝3－x的图像，再向左平移1个单位长度就得到函数y＝3－(x＋1)的图像，最后再向上平移2个单位长度就得到函数y＝3－(x＋1)＋2＝＋2的图像，如图所示.
规律方法 处理函数图像问题的策略
(1)抓住特殊点：指数函数的图像过定点(0，1)，求指数型函数图像所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图像所过的定点.
(2)巧用图像变换：函数图像的平移变换(左右平移、上下平移).
(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性.
【训练2】 (1)函数y＝2|x|的图像是( )
(2)函数f(x)＝ax－b的图像如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A.a>1，b<0
B.a>1，b>0
C.00
D.0(3)已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系为________.
解析 (1)y＝2|x|＝故选B.
(2)从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有00，即b<0.
(3)∵0<<1，∴函数f(x)＝ax在R上为减函数，又f(m)>f(n)，∴m答案 (1)B (2)D (3)m题型三 指数函数的实际应用
【例3】 某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初始溶液含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少.
(1)写出杂质含量y与过滤次数n的函数关系式；
(2)过滤7次后的杂质含量是多少？过滤8次后的杂质含量是多少？至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？
解 (1)过滤1次后的杂质含量为×＝×；
过滤2次后的杂质含量为×＝×；
过滤3次后的杂质含量为×＝×；
…
过滤n次后的杂质含量为×(n∈N*).
故y与n的函数关系式为y＝×(n∈N*).
(2)由(1)知当n＝7时，y＝×＝>，
当n＝8时，y＝×＝<，
所以至少应过滤8次才能使产品达到市场要求.
规律方法 指数函数在实际问题中的应用
(1)与实际生活有关的问题，求解时应准确读懂题意，从实际问题中提取出模型，转化为数学问题.
(2)在实际问题中，经常会遇到指数函数增长模型：设基数为N，平均增长率为p，则对于经过时间x后的总量y可以用y＝N(1＋p)x来表示，这是非常有用的函数模型.
【训练3】 春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天.
解析 假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y与生长时间x的函数关系为y＝2x－1(x∈N*)，当x＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶覆盖水面一半.
答案 19
一、素养落地
1.通过指数函数的概念和意义的学习，培养数学抽象素养.通过画指数函数的图像找出图像上的特殊点，提升直观想象素养.通过指数函数的实际应用，提升数学建模素养.
2.判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a>0且a≠1)这一结构形式，即ax的系数是1，指数是x且系数为1.
二、素养训练
1.指数函数y＝ax与y＝bx的图
像如图所示，则( )
A.a<0，b<0
B.a<0，b>0
C.01
D.0解析 结合指数函数图像的特点可知01.
答案 C
2.当x∈[－2，2)时，y＝3－x－1的值域是( )
A. B.
C. D.
解析 y＝3－x－1＝－1，x∈[－2，2)是减函数，
∴3－2－1答案 A
3.函数f(x)＝2·ax－1＋1的图像恒过定点________.
解析 令x－1＝0，得x＝1，f(1)＝2×1＋1＝3，所以f(x)的图像恒过定点(1，3).
答案 (1，3)
4.已知f(x)＝ax，其中a>0且a≠1.求证f(x1)f(x2)＝f(x1＋x2).
证明 ∵f(x1)f(x2)＝ax1·ax2＝ax1＋x2，
f(x1＋x2)＝ax1＋x2，∴f(x1)f(x2)＝f(x1＋x2).
基础达标
一、选择题
1.函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，则a的值是( )
A.4 B.1或3
C.3 D.1
解析 由题意得得a＝3，故选C.
答案 C
2.已知0A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析 ∵0y＝ax＋b的图像可看成是把y＝ax的图像向下平移－b(－b>1)个单位得到的，故函数y＝ax＋b的图像经过第二、第三、第四象限，不经过第一象限，故选A.
答案 A
3.函数y＝8－23－x(x≥0)的值域是( )
A.[0，8) B.(0，8)
C.[0，8] D.(0，8]
解析 ∵x≥0，∴－x≤0，∴3－x≤3，∴0<23－x≤23＝8，∴0≤8－23－x<8，∴函数y＝8－23－x的值域为[0，8).
答案 A
4.函数y＝2x＋1的图像是( )
解析 当x＝0时，y＝2，且函数单调递增，故选A.
答案 A
5.已知某种细菌在培养过程中，每20 min繁殖一次，经过一次繁殖1个细菌变成2个，则经过3 h，这种细菌由1个可繁殖成( )
A.511个 B.512个
C.1 023个 D.1 024个
解析 因为3 h＝(9×20)min，所以这种细菌由1个可繁殖成29＝512(个).
答案 B
二、填空题
6.若指数函数f(x)＝(a－1)x是R上的减函数，则a的取值范围是________.
解析 由题意得0答案 (1，2)
7.若函数y＝在[－2，－1]上的最大值为m，最小值为n，则m＋n＝________.
解析 由指数函数y＝的单调性可知在x＝－1处取最小值为2，在x＝－2处取最大值为4.∴m＋n＝6.
答案 6
8.若函数f(x)＝ax－2＋1(其中a>0，且a≠1)的图像经过定点P(m，n)，则＝________.
解析 令x－2＝0，得x＝2，此时f(2)＝a0＋1＝2，所以f(x)恒过定点(2，2)，所以m＝2，n＝2，＝1.
答案 1
三、解答题
9.判断下列函数是否为指数函数：
(1)y＝2·()x；(2)y＝2x－1；
(3)y＝；(4)y＝xx；
(5)y＝3－.
解 (1)不是.系数不等于1.
(2)不是.指数不是x.
(3)是.
(4)不是.底数不是常数a(a>0且a≠1).
(5)不是.指数不是x.
10.已知函数f(x)＝ax(x≥0)的图像经过点，其中a>0且a≠1.
(1)求a的值；
(2)求函数y＝f(x)＋1(x≥0)的值域.
解 (1)因为函数f(x)＝ax(x≥0)的图像经过点，所以a2＝，因为a>0且a≠1，所以a＝.
(2)由(1)得f(x)＝(x≥0)，函数为减函数，
当x＝0时，函数f(x)取最大值1，故f(x)∈(0，1]，
所以函数y＝f(x)＋1＝＋1(x≥0)∈(1，2]，
故函数y＝f(x)＋1(x≥0)的值域为(1，2].
能力提升
11.若函数y＝(k－2)ax＋2＋b(a>0且a≠1)是指数函数，则k＝________，b＝________.
解析 根据指数函数的定义，得解得
答案 3 －2
12.已知f(x)＝ax，其中a>0且a≠1.
求证：[f(x1)＋f(x2)]≥f.
证明 ∵f(x)＝ax>0(a>0且a≠1)，
∴[f(x1)＋f(x2)]＝(ax1＋ax2)≥＝a＝f(当且仅当x1＝x2时等号成立).
创新猜想
13.(多选题)对于函数f(x)＝abx(其中a，b为常数，a>0且a≠1)，下列结论正确的是( )
A.f(x)是指数函数
B.当a>1，b>0时，f(x)是增函数
C.当00时，f(x)是减函数
D.当a>1，b<0时，f(x)是减函数
解析 当b＝0时，f(x)＝abx不是指数函数，A不正确；由于f(x)＝abx＝(ab)x，
∴当a>1，b>0时，ab>1，f(x)是增函数；当a>1，b<0时，0答案 BCD
14.设f(x)＝3x，g(x)＝.
(1)在同一平面直角坐标系中作出f(x)，g(x)的图像；
(2)计算f(1)与g(－1)，f(π)与g(－π)，f(m)与g(－m)的值，从中你能得到什么结论？
解 (1)函数
f(x)，g(x)的图像如图所示：
(2)f(1)＝31＝3，g(－1)＝＝3；
f(π)＝3π，g(－π)＝＝3π；
f(m)＝3m，g(－m)＝＝3m.
从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图像关于y轴对称.
课件33张PPT。4.1.2 指数函数的性质与图像
第一课时 指数函数的概念、性质与图像教材知识探究将一张报纸连续对折，折叠次数x与对应的层数y之间存在什么关系？对折后的面积S(设原面积为1)与折叠的次数有怎样的关系？提示 (1)幂的形式；(2)幂的底数是一个大于0且不等于1的常数；(3)幂的指数是一个变量.1.指数函数的概念一般地，函数 称为指数函数，其中a是常数，a 0且a 1.注意其特征：系数为1，指数为x，底数a>0且a≠1y=ax>≠2.指数函数的图像和性质结合函数的图像熟记指数函数的性质R（0，+∞）（0,1）y>101增函数减函数教材拓展补遗
[微判断]
1.函数y＝－2x是指数函数.( )
提示 因为指数幂2x的系数为－1，所以函数y＝－2x不是指数函数.
2.函数y＝2x＋1是指数函数.( )
提示 因为指数不是x，所以函数y＝2x＋1不是指数函数.
3.函数y＝(－5)x是指数函数.( )
提示 因为底数小于0，所以函数y＝(－5)x不是指数函数.×××[微训练]
1.函数y＝2－x的图像是( )答案 B2.若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝2，则f(x)＝________.3.指数函数y＝2x的定义域是________，值域是________.
解析 由指数函数y＝2x的图像和性质可知定义域为R，值域为(0，＋∞).
答案 R (0，＋∞)[微思考]
1.为什么规定指数函数的底数a>0且a≠1?
提示 规定y＝ax中a>0，且a≠1的理由：①当a≤0时，ax可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，ax＝1(x∈R)，无研究价值.因此规定y＝ax中a>0，且a≠1.2.函数y＝abx(其中a，b为常数，a>0且a≠1，b≠0)是指数函数吗？
提示 y＝abx＝(ab)x，∵a>0且a≠1，b≠0，∴ab>0且ab≠1，故此函数是指数函数.
3.在直角坐标系中指数函数图像不可能出现在第几象限？
提示 指数函数的图像只能出现在第一、二象限，不可能出现在第三、四象限.函数f(x)是指数函数，答案 (1)C (2)125规律方法 1.指数函数的解析式必须具有三个特征：
(1)底数a为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x；(3)ax的系数是1.
2.求指数函数的关键是求底数a，并注意a的限制条件.【训练1】 (1)若函数y＝a2(2－a)x是指数函数，则( )
A.a＝1或－1 B.a＝1
C.a＝－1 D.a>0且a≠1
(2)已知指数函数f(x)的图像过点(3，π)，则函数f(x)的解析式为________.题型二 指数函数的图像和性质
【例2】 (1)函数f(x)＝2ax＋1－3(a>0且a≠1)的图像恒过的定点是________.
(2)若函数f(x)＝2x＋3，x∈[2，3]，则函数f(x)的值域为________.
(3)已知函数y＝3x的图像，(1)解析 因为y＝ax(a>0且a≠1)的图像过定点(0，1)，所以令x＋1＝0，即x＝－1，则f(－1)＝－1，故f(x)＝2ax＋1－3的图像过定点(－1，－1).
答案 (－1，－1)怎样变换(2)解析 因为y＝2x在R上是增函数，故当x∈[2，3]时，2x∈[4，8]，所以f(x)＝2x＋3的值域为[7，11].
答案 [7，11]规律方法 处理函数图像问题的策略
(1)抓住特殊点：指数函数的图像过定点(0，1)，求指数型函数图像所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图像所过的定点.
(2)巧用图像变换：函数图像的平移变换(左右平移、上下平移).
(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性.【训练2】 (1)函数y＝2|x|的图像是( )(2)函数f(x)＝ax－b的图像如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A.a>1，b<0
B.a>1，b>0
C.00
D.00，即b<0.答案 (1)B (2)D (3)m(1)与实际生活有关的问题，求解时应准确读懂题意，从实际问题中提取出模型，转化为数学问题.
(2)在实际问题中，经常会遇到指数函数增长模型：设基数为N，平均增长率为p，则对于经过时间x后的总量y可以用y＝N(1＋p)x来表示，这是非常有用的函数模型.【训练3】 春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天.
解析 假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y与生长时间x的函数关系为y＝2x－1(x∈N*)，当x＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶覆盖水面一半.
答案 19一、素养落地
1.通过指数函数的概念和意义的学习，培养数学抽象素养.通过画指数函数的图像找出图像上的特殊点，提升直观想象素养.通过指数函数的实际应用，提升数学建模素养.
2.判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a>0且a≠1)这一结构形式，即ax的系数是1，指数是x且系数为1.二、素养训练
1.指数函数y＝ax与y＝bx的图像如图所示，则( )
A.a<0，b<0
B.a<0，b>0
C.01
D.0 解析 结合指数函数图像的特点可知01.
答案 C答案 A3.函数f(x)＝2·ax－1＋1的图像恒过定点________.
解析 令x－1＝0，得x＝1，f(1)＝2×1＋1＝3，所以f(x)的图像恒过定点(1，3).
答案 (1，3)4.已知f(x)＝ax，其中a>0且a≠1.求证f(x1)f(x2)＝f(x1＋x2).
证明 ∵f(x1)f(x2)＝ax1·ax2＝ax1＋x2，
f(x1＋x2)＝ax1＋x2，∴f(x1)f(x2)＝f(x1＋x2).第二课时 指数函数及性质的应用
课标要求
素养要求
1.进一步熟练掌握指数函数的图像、性质.
2.会求指数型函数的定义域、值域、最值，以及能判断与证明单调性.
3.能够利用指数函数的图像和性质比较数的大小、解不等式.
1.通过例题进一步深入理解指数函数的单调性及其应用，提升学生的逻辑推理素养.
2.借助指数函数的性质，研究指数型函数的相关问题，提升学生的数学运算及数学抽象素养.
教材知识探究
电视剧《西游记》中的孙悟空，是我们老幼观众都喜爱的除妖英雄，他的如意金箍棒更是神奇无比，说大就大，说小就小.假设他手中的金箍棒长1.8米，他喊一声变，就将金箍棒变为原来的2倍，那么孙悟空喊多少声“变”能将金箍棒变得比珠穆朗玛峰还高？
问题 (1)你能写出金箍棒长度y与孙悟空喊的次数x之间的函数关系吗？
(2)若喊一声“变”，就将金箍棒变为原来的3倍呢？与第一种情况相比，哪种情况金箍棒增长的更快？
提示 (1)y＝1.8×2x(x∈N*).
(2)y＝1.8×3x(x∈N*).
通过画出y＝1.8×2x与y＝1.8×3x的图像可观察得出y＝1.8×3x增长的更快.
1.底数与指数函数图像的关系 记忆口诀：y轴右侧，底大图高
(1)由指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图像与直线x＝1相交于点(1，a)可知，在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大.
(2)由指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图像与直线x＝－1相交于点可知，在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小.
如图所示，指数函数底数的大小关系为02.解指数型不等式
(1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax(a>0且a≠1)的单调性求解；
(2)形如af(x)>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax(a>0且a≠1)的单调性求解；
(3)形如ax>bx的不等式，可借助两函数y＝ax(a>0且a≠1)，y＝bx(b>0且b≠1)的图像求解.
3.与指数函数复合的函数单调性
一般地，形如y＝af(x)(a>0且a≠1)函数的性质有：
(1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域.
(2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0教材拓展补遗
[微判断]
1.y＝21－x是R上的增函数.(×)
提示 函数y＝21－x＝是R上的减函数.
2.若0.1a>0.1b，则a>b.(×)
提示 因为0<0.1<1，∴y＝0.1x为减函数，∴由0.1a>0.1b得a3.由于y＝ax(a>0且a≠1)既非奇函数，也非偶函数，所以指数函数与其他函数也组不成具有奇偶性的函数.(×)
提示 函数y＝ax＋a－x(a>0且a≠1)是偶函数.
[微训练]
1.函数y＝2的定义域为________，值域为________.
解析 由x－1≥0得x≥1，因为≥0，所以y≥1.
答案 [1，＋∞) [1，＋∞)
2.若2x＋1<1，则x的取值范围是________.
解析 ∵2x＋1<1＝20，且y＝2x是增函数，∴x＋1<0，∴x<－1.
答案 (－∞，－1)
3.已知0.3m>0.3n，则m，n的大小关系为________.
解析 因为函数y＝0.3x是R上的减函数，且0.3m>0.3n，所以m答案 m[微思考]
1.指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的单调性取决于哪个量？
提示 指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的单调性与其底数a有关，当a>1时，y＝ax(a>0且a≠1)在定义域上是增函数，当00且a≠1)在定义域上是减函数.
2.如何判断形如y＝f(ax)(a>0且a≠1)的函数的单调性？
提示 (1)定义法，即“取值－作差－变形－定号”.其中，在定号过程中需要用到指数函数的单调性；(2)利用复合函数的单调性“同增异减”的规律.
题型一 指数函数图像的辨识
【例1】 如图所示是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图像，则a，b，c，d与1的大小关系是( )
A.aB.bC.1D.a解析 在y轴的右侧，指数函数的图像由下到上底数依次增大.由指数函数图像的升降，知c>d>1，b答案 B
规律方法 解决指数函数图像问题的注意点
(1)熟记当底数a>1和0(2)在y轴右侧，指数函数的图像底大图高.
【训练1】 已知1>n>m>0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图像为( )
解析 由于0答案 C
题型二 与指数函数有关函数的定义域、值域问题
【例2】 (1)函数f(x)＝＋的定义域为( )
A.(－3，0] B.(－3，1]
C.(－∞，－3)∪(－3，0] D.(－∞，－3)∪(－3，1]
(2)函数f(x)＝－1，x∈[1，2]的值域为________.
(3)函数y＝4x＋2x＋1＋1的值域为________.
解析 (1)由题意得自变量x应满足解得－3(2)∵1≤x≤2，∴－1≤x2－2≤2，∴≤≤3，
∴－≤－1≤2，∴值域为.
(3)函数的定义域为R，又y＝4x＋2x＋1＋1＝(2x)2＋2·2x＋1＝(2x＋1)2，易知2x>0，故y>1，即函数的值域为(1，＋∞).
答案 (1)A (2) (3)(1，＋∞)
规律方法 指数型函数y＝af(x)的定义域、值域的求法
(1)定义域：函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同.
(2)值域：①换元，t＝f(x).
②求t＝f(x)的定义域D.
③求t＝f(x)的值域M.
④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域，即为所求值域.
【训练2】 求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝2；(2)y＝；
(3)y＝；(4)y＝5.
解 (1)由x－4≠0，得x≠4，
故y＝2的定义域为{x|x∈R，且x≠4}.
又≠0，即2≠1.
故y＝2的值域为{y|y>0，且y≠1}.
(2)由1－2x≥0，得2x≤1，∴x≤0，
∴y＝的定义域为(－∞，0].
由0<2x≤1，得－1≤－2x<0，∴0≤1－2x<1，
∴y＝的值域为[0，1).
(3)y＝的定义域为R.
∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，
∴≤＝16.
又∵>0，
故函数y＝的值域为(0，16].
(4)由2x－4>0，得x>2，故函数的定义域为{x|x>2}，
因为>0，所以y＝5>1，故函数的值域为(1，＋∞).
题型三 指数函数单调性的应用
方向1 比较两数的大小 利用指数函数的单调性求解
【例3－1】 (1)下列大小关系正确的是( )
A.0.43<30.4<π0 B.0.43<π0<30.4
C.30.4<0.43<π0 D.π0<30.4<0.43
(2)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是( )
A.aC.b解析 (1)0.43<0.40＝1＝π0＝30<30.4，故选B.
(2)∵1.50.6>1.50＝1，0.60.6<0.60＝1，故1.50.6>0.60.6，又函数y＝0.6x在(－∞，
＋∞)上是减函数，且1.5>0.6，所以0.61.5<0.60.6，故0.61.5<0.60.6<1.50.6，选C.
答案 (1)B (2)C
方向2 解简单的指数不等式
【例3－2】 (1)不等式≤2的解集为________.
(2)已知a－5x>ax＋7(a>0，且a≠1)，求x的取值范围.
(1)解析 ∵2＝，
∴原不等式可化为≤.∵函数y＝在R上是减函数，∴3x－1≥－1，∴x≥0，故原不等式的解集是{x|x≥0}.
答案 {x|x≥0}
(2)解 当a>1时，
∵a－5x>ax＋7，∴－5x>x＋7，解得x<－；
当0∵a－5x>ax＋7，∴－5x－.
综上所述，当a>1时，x的取值范围为；
当0方向3 指数型函数的单调性
【例3－3】 求f(x)＝的单调区间，并求其值域.
解 令u＝x2－2x，则原函数变为y＝.
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，
又∵y＝在(－∞，＋∞)上递减，
∴y＝在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减.
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
∴0<≤＝3，
∴原函数的值域为(0，3].
规律方法 1.比较幂值大小的三种类型及处理方法
2.解指数不等式的类型及应注意的问题
(1)形如ax>ab的不等式，借助于函数y＝ax(a>0且a≠1)的单调性求解，如果a的取值不确定，要对a分为01两种情况分类讨论.
(2)形如ax>b的不等式，注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助于函数y＝ax(a>0且a≠1)的单调性求解.
3.函数y＝af(x)(a>0且a≠1)的单调性的处理技巧
当a>1时，y＝af(x)与y＝f(x)的单调性相同，当0【训练3】 (1)比较下列各组数的大小：
①与；②与1；③0.8－2与.
(2)不等式3x2－2x－1≤的解集为________.
(3)函数y＝2－x2＋2x的单调减区间为________.
(1)解 ①考查函数y＝.
∵0<<1，
∴函数y＝在(－∞，＋∞)上是减函数.
又－0.24>－，∴<.
②考查函数y＝.
∵0<<1，
∴函数y＝在(－∞，＋∞)上是减函数，
又－π<0，∴>＝1.
③0.8－2＝＝.
∵函数y＝在(－∞，＋∞) 上是增函数，
∴<，即<0.8－2.
(2)解析 不等式3x2－2x－1≤可化为3x2－2x－1≤3－1.
∵函数y＝3x在R上为增函数，
∴x2－2x－1≤－1，∴0≤x≤2.
故原不等式的解集为[0，2].
答案 [0，2]
(3)解析 令u＝－x2＋2x，则y＝2u.
∵u＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减，
又∵y＝2u在R上递增，∴y＝2－x2＋2x的单调减区间为[1，＋∞).
答案 [1，＋∞)
题型四 指数函数性质的综合应用
【例4】 已知定义在R上的函数f(x)＝a＋是奇函数.
(1)求a的值；
(2)判断f(x)的单调性(不需要写出理由)；
(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求实数k的取值范围.
解 (1)∵f(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数，
∴f(0)＝0，即a＋＝0，∴a＝－，
此时，f(x)＝－＋，
满足f(－x)＋f(x)＝0，即f(x)是奇函数，∴a＝－.
(2)由(1)知f(x)＝－＋，
故f(x)在R上为减函数.
(3)∵f(x)为奇函数，
∴f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0可化为f(t2－2t)由(2)知f(x)在R上单调递减，∴t2－2t>k－2t2，
即3t2－2t－k>0对于一切t∈R恒成立，
∴Δ＝4＋12k<0，得k<－，
∴k的取值范围是.
规律方法 解决指数函数性质的综合问题的注意点
(1)注意代数式的变形，如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变形技巧.
(2)解答函数问题注意应在函数定义域内进行.
(3)由于指数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需要讨论.
【训练4】 已知函数f(x)＝x3.
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的奇偶性；
(3)证明：f(x)>0.
(1)解 由题意得2x－1≠0，即x≠0，
∴f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).
(2)解 由(1)知，f(x)的定义域关于原点对称.
令g(x)＝＋＝，φ(x)＝x3，则f(x)＝g(x)·φ(x).
∵g(－x)＝＝＝－g(x)，φ(－x)＝(－x)3＝－x3＝－φ(x)，
∴f(－x)＝g(－x)·φ(－x)＝[－g(x)]·[－φ(x)]＝g(x)·φ(x)＝f(x)，
∴f(x)＝x3为偶函数.
(3)证明 当x>0时，2x>1，
∴2x－1>0，∴＋>0.又x3>0，
∴x3>0，即f(x)>0.
由偶函数的图像关于y轴对称，知当x<0时，f(x)>0也成立.故对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，恒有f(x)>0.
一、素养落地
1.通过进一步深入理解指数函数的单调性及其应用提升逻辑推理素养，通过指数函数的性质研究指数函数的相关问题，培养数学运算及数学抽象素养.
2.比较两个指数式值大小的主要方法
(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的单调性.
(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若amc且c>bn，则am>bn.
3.解简单指数不等式问题的关键是利用指数函数的单调性转化为一般不等式，有时需要对底数进行讨论，有时需借助图像求解.
二、素养训练
1.f(x)＝，x∈R，那么f(x)是( )
A.奇函数且在(0，＋∞)上是增函数
B.偶函数且在(0，＋∞)上是增函数
C.奇函数且在(0，＋∞)上是减函数
D.偶函数且在(0，＋∞)上是减函数
解析 由x∈R且f(－x)＝f(x)知f(x)是偶函数，
当x>0时，f(x)＝是减函数.
答案 D
2.函数y＝的单调递增区间为( )
A.(－∞，＋∞) B.(0，＋∞)
C.(1，＋∞) D.(0，1)
解析 定义域为R.
设u＝1－x，则y＝.
∵u＝1－x在(－∞，＋∞)上为减函数，
y＝在(－∞，＋∞)上为减函数，
∴y＝在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴选A.
答案 A
3.不等式23－2x<0.53x－4的解集为________.
解析 原不等式可化为23－2x<24－3x，因为函数y＝2x是R上的增函数，所以3－2x<4－3x，解得x<1，则解集为{x|x<1}.
答案 {x|x<1}
4.比较下列各组值的大小：
(1)1.8－0.1，1.8－0.2；
(2)1.90.3，0.73.1；
(3)a1.3，a2.5(a>0且a≠1).
解 (1)因为函数y＝1.8x是R上的增函数，且－0.1>－0.2，所以1.8－0.1>1.8－0.2.
(2)因为1.90.3>1.90＝1，0.73.1<0.70＝1，所以1.90.3>0.73.1.
(3)当a>1时，函数y＝ax是R上的增函数，又1.3<2.5，故a1.3当0a2.5.
三、审题答题
示范(一) 指数函数的综合应用
【典型示例】 (12分)已知函数f(x)＝是奇函数①.
(1)求实数a的值；
(2)用定义证明函数f(x)在R上的单调性②；
(3)若对任意的x∈R，不等式f(x2－x)＋f(2x2－k)>0恒成立③，求实数k的取值范围.
审题答题
看到①想到函数奇偶性的定义，可根据定义域关于原点对称，且f(－x)＋f(x)＝0解出a.
看到②想到函数单调性的定义，利用定义通过作差判断符号，得到函数的单调性.
看到③想到恒成立问题转化为求解最值问题，可利用二次不等式恒成立求参数范围.
满分示范
(1)解 ∵函数f(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，
∴f(0)＝0，解得a＝1，此时f(x)＝2x－2－x，满足f(－x)＝－f(x)，即f(x)是奇函数.∴a＝1.3分
(2)证明 由(1)知，f(x)＝2x－2－x.任取x1，x2∈(－∞，＋∞)，且x1则2x1<2x2，>，4分
于是f(x1)－f(x2)＝2x1－－2x2＋＝2x1－2x2＋－<0，
即f(x1)(3)解 ∵f(x2－x)＋f(2x2－k)>0，
∴f(x2－x)>－f(2x2－k).
∵f(x)是奇函数，∴f(x2－x)>f(k－2x2).9分
又由f(x)在R上是增函数，
得x2－x>k－2x2，
即k<3x2－x对任意的x∈R恒成立.10分
∵当x＝时，3x2－x取得最小值－，
∴k<－，即k的取值范围为.12分
满分心得
(1)解决本题的关键是求出a的值.
(2)解决恒成立问题往往是转化为求解最值问题，通常采用分离参数法求解.
基础达标
一、选择题
1.函数f(x)＝3的定义域为( )
A.(－∞，1) B.(－∞，1]
C.[1，＋∞) D.(1，＋∞)
解析 由x－1≥0可得x≥1，所以函数f(x)＝3的定义域为[1，＋∞).
答案 C
2.若<，则实数a的取值范围是( )
A. B.(1，＋∞)
C.(－∞，1) D.
解析 因为函数y＝在R上为减函数，所以2a＋1>8－2a，所以a>.故选A.
答案 A
3.同一直角坐标系中函数y＝，y＝，y＝3x，y＝2x的图像如图所示，则上述函数分别对应的图像是( )
A.①②③④ B.②①③④
C.④③②① D.③④②①
解析 由指数函数的图像在y轴右侧“底大图高”的特点知，选A.
答案 A
4.，34，的大小关系为( )
A.34>> B.>34>
C.34>> D.>>34
解析 因为y＝是R上的减函数，所以<＝1，又34＝81，＝
(3－1)－2＝9，所以34>>.
答案 A
5.若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0且a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是( )
A.(－∞，2] B.[2，＋∞)
C.[－2，＋∞) D.(－∞，－2]
解析 由f(1)＝，得a2＝，解得a＝或a＝－(舍去)，即f(x)＝.由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减.
答案 B
二、填空题
6.已知函数f(x)＝为奇函数，则n的值为________.
解析 f(x)的定义域为R，且为奇函数，故f(0)＝＝0，解得n＝2，当n＝2时，f(x)＝，易证其是奇函数.
答案 2
7.函数y＝2－x2＋ax在(－∞，1)内单调递增，则a的取值范围是________.
解析 由复合函数的单调性知，y＝－x2＋ax的对称轴x＝≥1，即a≥2.
答案 [2，＋∞)
8.设函数y＝，若函数在(－∞，1]上有意义，则实数a的取值范围是________.
解析 设t＝2x，∵x∈(－∞，1]，∴0则原函数在(－∞，1]上有意义等价于1＋t＋at2≥0在t∈(0，2]上恒成立，∴a≥.设f(t)＝－，0∵0∴f(t)≤f＝－，∴a≥－.
答案
三、解答题
9.设0≤x≤2，y＝4x－－3·2x＋5，试求该函数的最值.
解 令t＝2x，0≤x≤2，∴1≤t≤4.
则y＝22x－1－3·2x＋5＝t2－3t＋5，t∈[1，4].
配方得y＝(t－3)2＋，t∈[1，4]，
∴y＝(t－3)2＋在t∈[1，3]上是减函数，在t∈[3，4]上是增函数，
∴当t＝3时，ymin＝；当t＝1时，ymax＝.
故函数的最大值为，最小值为.
10.已知函数f(x)＝.
(1)若a＝－1时，求函数f(x)的单调增区间；
(2)如果函数f(x)有最大值3，求实数a的值.
解 (1)当a＝－1时，f(x)＝，
令g(x)＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7，
由于g(x)的单调减区间为(－2，＋∞)，y＝在R上是减函数，∴f(x)的单调增区间是(－2，＋∞).
(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，则f(x)＝.
由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1.
因此必有解得a＝1，
即当f(x)有最大值3时，实数a的值为1.
能力提升
11.若定义运算a*b＝则函数f(3x*3－x)的值域是( )
A.(0，1] B.[1，＋∞)
C.(0，＋∞) D.(－∞，＋∞)
解析 当x≥0时，3x≥3－x，∴f(3x*3－x)＝3－x∈(0，1]；
当x<0时，3x<3－x，∴f(3x*3－x)＝3x∈(0，1]，
∴f(3x*3－x)的值域为(0，1].
答案 A
12.已知函数g(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a>0)在区间[2，3]上有最大值4和最小值1.设f(x)＝.
(1)求a，b的值；
(2)若不等式f(2x)－k·2x≥0在x∈[－1，1]上有解，求实数k的取值范围.
解 (1)g(x)＝a(x－1)2＋1＋b－a，
因为a>0，所以g(x)在区间[2，3]上是增函数，故解得
(2)由(1)可得f(x)＝x＋－2，
所以f(2x)－k·2x≥0可化为2x＋－2≥k·2x，
化为1＋－2·≥k.令t＝，则k≤t2－2t＋1.
因x∈[－1，1]，故t∈.
记h(t)＝t2－2t＋1，因为t∈，
故h(t)max＝h(2)＝1，
所以实数k的取值范围是(－∞，1].
创新猜想
13.(多空题)已知f(x)＝其中a>0且a≠1.若f(x)在R上是增函数，则实数a的取值范围是________；若f(x)在R上不单调，则实数a的取值范围是________.
解析 若f(x)在R上是增函数，则需
解得4≤a<8.
若f(x)在R上是减函数，
则需解得a∈?.
∴若f(x)在R上不单调，则a的取值范围是(0，1)∪(1，4)∪[8，＋∞).
答案 [4，8) (0，1)∪(1，4)∪[8，＋∞)
14.若定义域为R的函数f(x)＝是奇函数.
(1)求a，b的值；
(2)用定义证明f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数；
(3)若对于任意t∈R，不等式f(2t2－t)(1)解 因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)＝0，得b＝1.
又f(－1)＝－f(1)，得a＝1.
此时f(x)＝，满足f(－x)＝－f(x)，
即f(x)是奇函数，∴a＝1，b＝1.
(2)证明 由(1)知，f(x)＝.
任取x1，x2∈R，且x1f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝.
因为x10，又(2x1＋1)(2x2＋1)>0，故f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2).
所以f(x)为R上的减函数.
(3)解 因为t∈R，不等式f(2t2－t)又f(x)为R上的减函数，所以2t2－t>－t2＋t＋k，即k<3t2－2t恒成立，而3t2－2t＝3－≥－，所以k<－，即k的取值范围是.
课件47张PPT。第二课时 指数函数及性质的应用教材知识探究电视剧《西游记》中的孙悟空，是我们老幼观众都喜爱的除妖英雄，他的如意金箍棒更是神奇无比，说大就大，说小就小.假设他手中的金箍棒长1.8米，他喊一声变，就将金箍棒变为原来的2倍，那么孙悟空喊多少声“变”能将金箍棒变得比珠穆朗玛峰还高？问题 (1)你能写出金箍棒长度y与孙悟空喊的次数x之间的函数关系吗？
(2)若喊一声“变”，就将金箍棒变为原来的3倍呢？与第一种情况相比，哪种情况金箍棒增长的更快？
提示 (1)y＝1.8×2x(x∈N*).
(2)y＝1.8×3x(x∈N*).
通过画出y＝1.8×2x与y＝1.8×3x的图像可观察得出y＝1.8×3x增长的更快.1.底数与指数函数图像的关系记忆口诀：y轴右侧，底大图高下上大变小2.解指数型不等式
(1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax(a>0且a≠1)的 求解；
(2)形如af(x)>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax(a>0且a≠1)的 求解；
(3)形如ax>bx的不等式，可借助两函数y＝ax(a>0且a≠1)，y＝bx(b>0且b≠1)的图像求解.单调性单调性3.与指数函数复合的函数单调性
一般地，形如y＝af(x)(a>0且a≠1)函数的性质有：
(1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有 的定义域.
(2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有 的单调性；当0[微判断]
1.y＝21－x是R上的增函数.( )2.若0.1a>0.1b，则a>b.( )
提示 因为0<0.1<1，∴y＝0.1x为减函数，∴由0.1a>0.1b得a3.由于y＝ax(a>0且a≠1)既非奇函数，也非偶函数，所以指数函数与其他函数也组不成具有奇偶性的函数.( )
提示 函数y＝ax＋a－x(a>0且a≠1)是偶函数.×××答案 [1，＋∞) [1，＋∞)2.若2x＋1<1，则x的取值范围是________.
解析 ∵2x＋1<1＝20，且y＝2x是增函数，∴x＋1<0，∴x<－1.
答案 (－∞，－1)3.已知0.3m>0.3n，则m，n的大小关系为________.
解析 因为函数y＝0.3x是R上的减函数，且0.3m>0.3n，所以m 答案 m1.指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的单调性取决于哪个量？
提示 指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的单调性与其底数a有关，当a>1时，y＝ax(a>0且a≠1)在定义域上是增函数，当00且a≠1)在定义域上是减函数.
2.如何判断形如y＝f(ax)(a>0且a≠1)的函数的单调性？
提示 (1)定义法，即“取值－作差－变形－定号”.其中，在定号过程中需要用到指数函数的单调性；(2)利用复合函数的单调性“同增异减”的规律.题型一 指数函数图像的辨识
【例1】 如图所示是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图像，则a，b，c，d与1的大小关系是( )
A.a B.b C.1 D.ad>1，b答案 B
规律方法 解决指数函数图像问题的注意点
(1)熟记当底数a>1和0(2)在y轴右侧，指数函数的图像底大图高.【训练1】 已知1>n>m>0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图像为( )解析 由于0答案 C题型二 与指数函数有关函数的 、值域问题定义域定义域是指使函数解析式有意义的x的取值范围(3)函数的定义域为R，又y＝4x＋2x＋1＋1＝(2x)2＋2·2x＋1＝(2x＋1)2，易知2x>0，故y>1，即函数的值域为(1，＋∞).规律方法 指数型函数y＝af(x)的定义域、值域的求法
(1)定义域：函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同.
(2)值域：①换元，t＝f(x).
②求t＝f(x)的定义域D.
③求t＝f(x)的值域M.
④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域，即为所求值域.解 (1)由x－4≠0，得x≠4，(2)由1－2x≥0，得2x≤1，∴x≤0，由0<2x≤1，得－1≤－2x<0，∴0≤1－2x<1，(4)由2x－4>0，得x>2，故函数的定义域为{x|x>2}，题型三 指数函数单调性的应用
方向1 【例3－1】 (1)下列大小关系正确的是( )
A.0.43<30.4<π0 B.0.43<π0<30.4
C.30.4<0.43<π0 D.π0<30.4<0.43
(2)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是( )
A.a C.b(2)∵1.50.6>1.50＝1，0.60.6<0.60＝1，故1.50.6>0.60.6，又函数y＝0.6x在(－∞，＋∞)上是减函数，且1.5>0.6，所以0.61.5<0.60.6，故0.61.5<0.60.6<1.50.6，选C.
答案 (1)B (2)Ca－5x>ax＋7(a>0，且a≠1)，求x的取值范围.当底数为字母时，通常分为a>1和01时，方向3 指数型函数的单调性
【例3－3】 求的单调区间，并求其值域.∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，规律方法 1.比较幂值大小的三种类型及处理方法2.解指数不等式的类型及应注意的问题
(1)形如ax>ab的不等式，借助于函数y＝ax(a>0且a≠1)的单调性求解，如果a的取值不确定，要对a分为01两种情况分类讨论.
(2)形如ax>b的不等式，注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助于函数y＝ax(a>0且a≠1)的单调性求解.
3.函数y＝af(x)(a>0且a≠1)的单调性的处理技巧
当a>1时，y＝af(x)与y＝f(x)的单调性相同，当0∴x2－2x－1≤－1，∴0≤x≤2.
故原不等式的解集为[0，2].
答案 [0，2](3)解析 令u＝－x2＋2x，则y＝2u.
∵u＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减，
又∵y＝2u在R上递增，∴y＝2－x2＋2x的单调减区间为[1，＋∞).
答案 [1，＋∞)求实数k的取值范围.解 (1)∵f(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数，恒成立，转化为二次不等式恒成立问题，即利用判别式求解满足f(－x)＋f(x)＝0，即f(x)是奇函数，故f(x)在R上为减函数.(3)∵f(x)为奇函数，∴f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0可化为f(t2－2t)由(2)知f(x)在R上单调递减，∴t2－2t>k－2t2，
即3t2－2t－k>0对于一切t∈R恒成立，规律方法 解决指数函数性质的综合问题的注意点
(1)注意代数式的变形，如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变形技巧.
(2)解答函数问题注意应在函数定义域内进行.
(3)由于指数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需要讨论.(1)解 由题意得2x－1≠0，即x≠0，
∴f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).
(2)解 由(1)知，f(x)的定义域关于原点对称.由偶函数的图像关于y轴对称，知当x<0时，f(x)>0也成立.故对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，恒有f(x)>0.一、素养落地
1.通过进一步深入理解指数函数的单调性及其应用提升逻辑推理素养，通过指数函数的性质研究指数函数的相关问题，培养数学运算及数学抽象素养.
2.比较两个指数式值大小的主要方法
(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的单调性.
(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若amc且c>bn，则am>bn.
3.解简单指数不等式问题的关键是利用指数函数的单调性转化为一般不等式，有时需要对底数进行讨论，有时需借助图像求解.答案 D解析 定义域为R.答案 A3.不等式23－2x<0.53x－4的解集为________.
解析 原不等式可化为23－2x<24－3x，因为函数y＝2x是R上的增函数，所以3－2x<4－3x，解得x<1，则解集为{x|x<1}.
答案 {x|x<1}4.比较下列各组值的大小：
(1)1.8－0.1，1.8－0.2；
(2)1.90.3，0.73.1；
(3)a1.3，a2.5(a>0且a≠1).
解 (1)因为函数y＝1.8x是R上的增函数，且－0.1>－0.2，所以1.8－0.1>1.8－0.2.
(2)因为1.90.3>1.90＝1，0.73.1<0.70＝1，所以1.90.3>0.73.1.
(3)当a>1时，函数y＝ax是R上的增函数，又1.3<2.5，故a1.3 当0a2.5.(1)求实数a的值；
(2)用定义证明函数f(x)在R上的(3)若对任意的x∈R，不等式f(x2－x)＋f(2x2－k)>0奇函数①.单调性②；恒成立③，求实数k的取值范围.审题答题
看到①想到函数奇偶性的定义，可根据定义域关于原点对称，且f(－x)＋f(x)＝0解出a.看到②想到函数单调性的定义，利用定义通过作差判断符号，得到函数的单调性.看到③想到恒成立问题转化为求解最值问题，可利用二次不等式恒成立求参数范围.满分示范
(1)解 ∵函数f(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，
∴f(0)＝0，解得a＝1，此时f(x)＝2x－2－x，满足f(－x)＝－f(x)，即f(x)是奇函数.∴a＝1.3分
(2)证明 由(1)知，f(x)＝2x－2－x.任取x1，x2∈(－∞，＋∞)，且x10，
∴f(x2－x)>－f(2x2－k).
∵f(x)是奇函数，∴f(x2－x)>f(k－2x2).9分
又由f(x)在R上是增函数，
得x2－x>k－2x2，
即k<3x2－x对任意的x∈R恒成立.10分满分心得
(1)解决本题的关键是求出a的值.
(2)解决恒成立问题往往是转化为求解最值问题，通常采用分离参数法求解.