4．2.2 指数函数的图象和性质(一)
学习目标 1.掌握指数函数的图象和性质.2.学会利用指数函数的图象和性质求函数的定义域、值域．
知识点 指数函数的图象和性质
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：
a>1
0
图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点
过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1
函数值的变化
当x>0时，y>1；
当x<0时，0当x>0时，0当x<0时，y>1
单调性
在R上是增函数
在R上是减函数
预习小测 自我检验
1．函数y＝(－1)x在R上是________函数．(填“增”“减”)
答案 减
2．函数y＝2－x的图象是________．(填序号)
答案 ②
3．函数f(x)＝1－x的定义域为________．
答案 R
4．函数f(x)＝2x＋3的值域为________．
答案 (3，＋∞)
一、指数函数的图象及应用
例1 (1)函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象可能是( )
答案 D
(2)函数f(x)＝1＋ax－2(a>0，且a≠1)恒过定点________．
答案 (2,2)
(3)已知函数y＝3x的图象，怎样变换得到y＝x＋1＋2的图象？并画出相应图象．
解 y＝x＋1＋2＝3－(x＋1)＋2.
作函数y＝3x关于y轴的对称图象得函数y＝3－x的图象，再向左平移1个单位长度就得到函数y＝3－(x＋1)的图象，最后再向上平移2个单位长度就得到函数y＝3－(x＋1)＋2＝x＋1＋2的图象，如图所示．
反思感悟 处理函数图象问题的策略
(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点．
(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．
(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性．
跟踪训练1 (1)已知0A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 A
解析 函数恒过点(0,1＋b)，
因为b<－1，所以点(0,1＋b)在y轴负半轴上．
故图象不经过第一象限．
(2)画出下列函数的图象，并说明它们是由函数f(x)＝2x的图象经过怎样的变换得到的．
①y＝2x＋1；②y＝－2x.
解 如图．
①y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向上平移1个单位长度得到的．
②y＝－2x的图象与y＝2x的图象关于x轴对称．
二、指数型函数的定义域和值域
例2 求下列函数的定义域和值域：
(1)
(2)y＝－|x|；
(3)y＝.
解 (1)x应满足x－4≠0，∴x≠4，
∴定义域为{x|x≠4，x∈R}．
∵≠0，∴≠1，
∴y＝的值域为{y|y>0，且y≠1}．
(2)定义域为R.
∵|x|≥0，∴y＝－|x|＝|x|≥0＝1，
∴此函数的值域为[1，＋∞)．
(3)由题意知1－x≥0，
∴x≤1＝0，
∴x≥0，∴定义域为{x|x≥0，x∈R}．
∵x≥0，∴x≤1.
又∵x>0，∴0<x≤1.
∴0≤1－x<1，
∴0≤y<1，∴此函数的值域为[0,1)．
反思感悟 指数型函数的定义域、值域的求法
(1)求与指数函数有关的函数的定义域时，首先观察函数是y＝ax型还是y＝af(x)型，前者的定义域是R，后者的定义域与f(x)的定义域一致，而求y＝型函数的定义域时，往往转化为解指数不等式(组)．
(2)求与指数函数有关的函数的值域时，在运用前面介绍的求函数值域的方法的前提下，要注意指数函数的值域为(0，＋∞)，切记准确运用指数函数的单调性．
跟踪训练2 (1)求下列函数的定义域、值域：
①
②
解 ①由5x－1≥0，得x≥，
∴所求函数的定义域为.
由≥0，得y≥1，
∴所求函数的值域为[1，＋∞)．
②定义域为R.
∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，
∴≤－4＝16.
又∵>0，
∴函数的值域为(0,16]．
(2)求函数y＝4x－2x＋1的定义域、值域．
解 函数的定义域为R，
y＝(2x)2－2x＋1＝2＋，
∵2x>0，∴当2x＝，即x＝－1时，y取最小值，
同时y可以取一切大于的实数，
∴值域为.
1．函数f(x)＝πx与g(x)＝x的图象关于( )
A．原点对称 B．x轴对称
C．y轴对称 D．直线y＝－x对称
答案 C
解析 设点(x，y)为函数f(x)＝πx的图象上任意一点，则点(－x，y)为g(x)＝π－x＝x的图象上的点．因为点(x，y)与点(－x，y)关于y轴对称，所以函数f(x)＝πx与g(x)＝x的图象关于y轴对称，选C.
2.函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1，b<0
B．a>1，b>0
C．00
D．0答案 D
解析 从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有00，即b<0.
3．函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点______．
答案 (3,4)
解析 因为指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，
所以在函数y＝ax－3＋3中，令x－3＝0，得x＝3，此时y＝1＋3＝4，即函数y＝ax－3＋3的图象过定点(3,4)．
4．函数f(x)＝＋的定义域为________．
考点 指数函数的定义域
题点 指数型复合函数的定义域
答案 (－3,0]
解析 由题意，自变量x应满足
解得－35．已知函数f(x)＝|x|，则f(x)的值域为________．
答案 (0,1]
解析 因为f(x)＝|x|＝
所以其图象由y＝x(x≥0)和y＝2x(x<0)的图象合并而成，如图．
1．知识清单：
(1)指数函数的图象．
(2)指数函数的性质：定义域、值域、单调性及过定点．
2．方法归纳：数形结合法，换元法．
3．常见误区：在求值域时易忽视指数函数隐含的条件ax>0.
1．函数y＝的定义域是( )
A．(－∞，0) B．(－∞，0]
C．[0，＋∞) D．(0，＋∞)
答案 C
解析 由2x－1≥0，得2x≥20，∴x≥0.
2．已知函数f(x)＝4＋ax＋1的图象经过定点P，则点P的坐标是( )
A．(－1,5) B．(－1,4) C．(0,4) D．(4,0)
答案 A
解析 当x＋1＝0，即x＝－1时，ax＋1＝a0＝1，为常数，
此时f(x)＝4＋1＝5.即点P的坐标为(－1,5)．
3．函数y＝a|x|(a>1)的图象是( )
考点 指数函数的图象与性质
题点 指数函数图象的应用
答案 B
解析 函数y＝a|x|是偶函数，当x>0时，y＝ax.由已知a>1，故选B.
4．函数y＝的值域是( )
A．[0，＋∞) B．[0,4]
C．[0,4) D．(0,4)
答案 C
解析 要使函数式有意义，则16－4x≥0.
又因为4x>0，∴0≤16－4x<16，
即函数y＝的值域为[0,4)．
5．函数f(x)＝ax与g(x)＝－x＋a的图象大致是( )
答案 A
6.已知f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)的图象如图，则f(3)＝________.
答案 3－3
解析 由题意知，
f(x)的图象过点(0，－2)和(2,0)，
所以
所以
所以f(x)＝()x－3，
所以f(3)＝()3－3＝3－3.
7．若函数f(x)＝则函数f(x)的值域是________．
答案 (－1,0)∪(0,1)
解析 由x<0，得0<2x<1；
由x>0，∴－x<0,0<2－x<1，
∴－1<－2－x<0，
∴函数f(x)的值域为(－1,0)∪(0,1)．
8．已知f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为6，则a＝________.
答案 2
解析 ∵f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为6，
∴a＋a2＝6，即a2＋a－6＝0，
∴a＝2或a＝－3(舍)．
9．求函数f(x)＝的定义域、值域．
解 要使函数有意义，
则x应满足x2－2x≥0，
即x≥2或x≤0，
所以所求函数的定义域为(－∞，0]∪[2，＋∞)，
令t＝－1，
所以t≥－1，
又y＝t为减函数，
所以0<t≤－1，
即0<t≤3，
所以f(x)的值域为(0,3]．
10．已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点，其中a>0且a≠1.
(1)求a的值；
(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．
解 (1)函数图象经过点，
所以a2－1＝，则a＝.
(2)由(1)知函数为f(x)＝x－1(x≥0)，
由x≥0，得x－1≥－1.
于是0<x－1≤－1＝2，
所以函数的值域为(0,2]．
11．函数y＝－1的定义域、值域分别是( )
A．R，(0，＋∞)
B．{x|x≠0}，{y|y>－1}
C．{x|x≠0}，{y|y>－1，且y≠1}
D．{x|x≠0}，{y|y>－1，且y≠0}
答案 C
解析 要使y＝－1有意义，
只需有意义，即x≠0.
若令u＝＝1－，
则可知u≠1，∴y≠21－1＝1.
又∵y＝－1>0－1＝－1，
∴函数y＝－1的定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y>－1，且y≠1}．
12．若函数y＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有( )
A．00 B．a>1，且b>0
C．01，且b<0
答案 C
解析 函数y＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的图象是由函数y＝ax的图象经过向上或向下平移而得到的，因其图象不经过第一象限，所以a∈(0,1)．若经过第二、三、四象限，则需将函数y＝ax(013．函数y＝4x＋2x＋1＋1的值域是________．
答案 (1，＋∞)
解析 令2x＝t(t>0)，
则函数y＝4x＋2x＋1＋1可化为y＝t2＋2t＋1＝(t＋1)2，
该函数在t∈(0，＋∞)上递增，所以y>1，
即原函数的值域为(1，＋∞)．
14．已知方程|2x－1|＝a有唯一实数解，则a的取值范围是________．
答案 [1，＋∞)∪{0}
解析 作出y＝|2x－1|的图象，如图，
要使直线y＝a与y＝|2x－1|的图象的交点只有一个，
∴a≥1或a＝0.
15．已知1>n>m>0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为( )
答案 C
解析 由于016．已知函数f(x)＝|x|－1.
(1)作出f(x)的简图；
(2)求f(x)的单调区间；
(3)若关于x的方程f(x)＝3m有两个解，求m的取值范围．
解 (1)f(x)＝如图所示，
(2)由图知，f(x)的单调增区间为(－∞，0)，单调减区间为(0，＋∞)．
(3)作出直线y＝3m，
当－1<3m<0，即－函数y＝f(x)与y＝3m有两个交点，
即关于x的方程f(x)＝3m有两个解时，m的取值范围为.
课件29张PPT。4.2.2 指数函数的图象和性质(一)第四章 4.2 指数函数学习目标XUEXIMUBIAO1.掌握指数函数的图象和性质.
2.学会利用指数函数的图象和性质求函数的定义域、值域.NEIRONGSUOYIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PART ONE知识点 指数函数的图象和性质指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：(0，＋∞)R(0,1)01y>101增函数减函数预习小测 自我检验YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN减2.函数y＝2－x的图象是________.(填序号)②R4.函数f(x)＝2x＋3的值域为__________.(3，＋∞)2题型探究PART TWO一、指数函数的图象及应用√(2)函数f(x)＝1＋ax－2(a>0，且a≠1)恒过定点________.(2,2)作函数y＝3x关于y轴的对称图象得函数y＝3－x的图象，
再向左平移1个单位长度就得到函数y＝3－(x＋1)的图象，如图所示.反思感悟处理函数图象问题的策略
(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点.
(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移).
(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性.跟踪训练1 (1)已知0A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限√解析 函数恒过点(0,1＋b)，
因为b<－1，所以点(0,1＋b)在y轴负半轴上.
故图象不经过第一象限.(2)画出下列函数的图象，并说明它们是由函数f(x)＝2x的图象经过怎样的变换得到的.
①y＝2x＋1；②y＝－2x.解 如图.①y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向上平移1个单位长度得到的.
②y＝－2x的图象与y＝2x的图象关于x轴对称.二、指数型函数的定义域和值域例2 求下列函数的定义域和值域：(1)解 x应满足x－4≠0，∴x≠4，
∴定义域为{x|x≠4，x∈R}.∴y＝ 的值域为{y|y>0，且y≠1}.解 定义域为R.∴此函数的值域为[1，＋∞).∴x≥0，∴定义域为{x|x≥0，x∈R}.∴0≤y<1，∴此函数的值域为[0,1).反思感悟指数型函数的定义域、值域的求法
(1)求与指数函数有关的函数的定义域时，首先观察函数是y＝ax型还是y＝af(x)型，前者的定义域是R，后者的定义域与f(x)的定义域一致，而求y＝ 型函数的定义域时，往往转化为解指数不等式(组).
(2)求与指数函数有关的函数的值域时，在运用前面介绍的求函数值域的方法的前提下，要注意指数函数的值域为(0，＋∞)，切记准确运用指数函数的单调性.跟踪训练2 (1)求下列函数的定义域、值域：
①∴所求函数的值域为[1，＋∞).②解 定义域为R.
∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，又∵ >0，∴函数 的值域为(0,16].(2)求函数y＝4x－2x＋1的定义域、值域.解 函数的定义域为R，3随堂演练PART THREEA.原点对称 B.x轴对称
C.y轴对称 D.直线y＝－x对称12345√解析 设点(x，y)为函数f(x)＝πx的图象上任意一点，因为点(x，y)与点(－x，y)关于y轴对称，123452.函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是
A.a>1，b<0
B.a>1，b>0
C.00
D.0从曲线位置看，是由函数y＝ax(0所以－b>0，即b<0.134523.函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点______.(3,4)解析 因为指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，
所以在函数y＝ax－3＋3中，令x－3＝0，得x＝3，此时y＝1＋3＝4，
即函数y＝ax－3＋3的图象过定点(3,4).13452(－3,0]解得－3(1)指数函数的图象.
(2)指数函数的性质：定义域、值域、单调性及过定点.
2.方法归纳：数形结合法，换元法.
3.常见误区：在求值域时易忽视指数函数隐含的条件ax>0.本课结束