4．3 对 数
4．3.1 对数的概念
学习目标 1.了解对数的概念.2.会进行对数式与指数式的互化.3.会求简单的对数值．
知识点一 对数的有关概念
对数的概念：
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
常用对数与自然对数：
通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e(e＝2.718 28…)为底的对数称为自然对数，log10N可简记为lg N，logeN简记为ln N.
知识点二 对数与指数的关系
一般地，有对数与指数的关系：
若a>0，且a≠1，则ax＝N?logaN＝x.
对数恒等式：＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1)．
知识点三 对数的性质
1．1的对数为零．
2．底的对数为1.
3．零和负数没有对数．
1．若3x＝2，则x＝log32.( √ )
2．因为a1＝a(a>0且a≠1)，所以logaa＝1.( √ )
3．logaN>0(a>0且a≠1，N>0)．( × )
4．若ln N＝，则N＝e.( × )
一、指数式与对数式的互化
例1 将下列指数式与对数式互化：
(1)2－2＝；(2)102＝100；
(3)ea＝16；(4)＝；
(5)log39＝2；(6)logxy＝z(x>0且x≠1，y>0)．
解 (1)log2＝－2.
(2)log10100＝2，即lg 100＝2.
(3)loge16＝a，即ln 16＝a.
(4)log64＝－.
(5)32＝9.
(6)xz＝y.
反思感悟 指数式与对数式互化的思路
(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．
(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．
跟踪训练1 将下列指数式与对数式互化：
(1)log216＝4；(2)＝－3；
(3)43＝64；(4)－2＝16.
解 (1)由log216＝4，可得24＝16.
(2)由＝－3，可得－3＝27.
(3)由43＝64，可得log464＝3.
(4)由－2＝16，可得＝－2.
二、利用对数式与指数式的关系求值
例2 求下列各式中x的值：
(1)log64x＝－；(2)logx8＝6；(3)lg 100＝x.
考点 对数式与指数式的互化
题点 对数式化为指数式
解 (1)＝4－2＝.
(2)因为x6＝8，所以
(3)10x＝100＝102，于是x＝2.
反思感悟 要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解．
跟踪训练2 (1)计算log927；的值；
(2)求下列各式中x的值：
①log27x＝－；②logx16＝－4.
解 (1)设x＝log927，则9x＝27,32x＝33，
∴2x＝3，x＝.
设，则＝81,＝34，∴＝4，x＝16.
(2)①∵log27x＝－，
∴＝3－2＝.
②∵logx16＝－4，
∴x－4＝16，即x4＝＝4，
∴x＝.
三、利用对数性质及对数恒等式求值
例3 求下列各式中x的值：
(1)log2(log5x)＝0；(2)log3(lg x)＝1；(3)
考点 对数式与指数式的互化
题点 对数式化为指数式
解 (1)∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝20＝1，∴x＝51＝5.
(2)∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3，∴x＝103＝1 000.
(3)
反思感悟 (1)此类题型应利用对数的基本性质从整体入手，由外到内逐层深入来解决问题．logaN＝0?N＝1；logaN＝1?N＝a使用频繁，应在理解的基础上牢记．
(2)符合对数恒等式的，可以直接应用对数恒等式：
跟踪训练3 (1)设，则x＝ .
答案 13
(2)若log2(log3x)＝log3(log4y)＝log4(log2z)＝0，则x＋y＋z的值为( )
A．9 B．8 C．7 D．6
考点 对数式与指数式的互化
题点 对数式化为指数式
答案 A
解析 ∵log2(log3x)＝0，∴log3x＝1.
∴x＝3.同理y＝4，z＝2.∴x＋y＋z＝9.
1．将－2＝9写成对数式，正确的是( )
A．log9＝－2 B．＝－2
C．＝9 D．log9(－2)＝
答案 B
解析 根据对数的定义，得＝－2，故选B.
2．若logax＝1，则( )
A．x＝1 B．a＝1 C．x＝a D．x＝10
考点 对数式与指数式的互化
题点 对数式化为指数式
答案 C
3．方程＝的解是( )
A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝9
考点 对数式与指数式的互化
题点 对数式与指数式的互化
答案 A
解析 ∵＝2－2，∴log3x＝－2，∴x＝3－2＝.
4．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )
A．e0＝1与ln 1＝0
B．＝与log8＝－
C．log39＝2与＝3
D．log77＝1与71＝7
考点 对数式与指数式的互化
题点 对数式与指数式的互化
答案 C
5．已知logx16＝2，则x＝ .
答案 4
解析 logx16＝2化成指数式为x2＝16，所以x＝±4，
又因为x>0且x≠1，所以x＝4.
1．知识清单：
(1)对数的概念．
(2)自然对数、常用对数．
(3)指数式与对数式的互化．
(4)对数的性质．
2．方法归纳：
(1)根据对数的概念进行指数式与对数式的互化．
(2)利用对数的性质及对数恒等式进行对数的化简与求值．
3．常见误区：易忽视对数式中底数与真数的范围．
1．有下列说法：
①零和负数没有对数；
②任何一个指数式都可以化成对数式；
③以10为底的对数叫做常用对数；
④以e为底的对数叫做自然对数．
其中正确说法的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
考点 对数的概念
题点 对数的概念
答案 C
解析 ①③④正确，②不正确，只有a>0，且a≠1时，ax＝N才能化为对数式．
2．已知－ln e2＝x，则x等于( )
A．－1 B．－2 C．1 D．2
答案 B
解析 因为－ln e2＝x，
所以ln e2＝－x，e2＝e－x，x＝－2.
3．若loga＝c，则下列等式正确的是( )
A．b5＝ac B．b＝a5c C．b＝5ac D．b＝c5a
答案 B
解析 由loga＝c，得ac＝，
所以b＝a5c.
4．下列四个等式：
①lg(lg 10)＝0；②lg(ln e)＝0；③若lg x＝10，则x＝10；④若ln x＝e，则x＝e2.
其中正确的是( )
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
考点 对数式与指数式的互化
题点 对数式化为指数式
答案 C
解析 ①lg(lg 10)＝lg 1＝0；②lg(ln e)＝lg 1＝0；
③若lg x＝10，则x＝1010；④若ln x＝e，则x＝ee.
故只有①②正确．
5．若loga3＝m，loga5＝n，则a2m＋n的值是( )
A．15 B．75 C．45 D．225
考点 对数式与指数式的互化
题点 对数式化为指数式
答案 C
解析 由loga3＝m，得am＝3，由loga5＝n，得an＝5，
∴a2m＋n＝(am)2·an＝32×5＝45.
6．＝ .
考点 对数式与指数式的互化
题点 对数式化为指数式
答案 8
解析 设＝t，则()t＝81,＝34，＝4，t＝8.
7．已知log7[log3(log2x)]＝0，那么＝ .
考点 对数式与指数式的互化
题点 对数式化为指数式
答案
解析 ∵log7[log3(log2x)]＝0，∴log3(log2x)＝1，
∴log2x＝3，∴23＝x，
∴＝＝＝＝.
8．若对数log(x－1)(2x－3)有意义，则x的取值范围是 ．
答案 ∪(2，＋∞)
解析 由得
得x>且x≠2.
9．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．
(1)53＝125；
(2)4－2＝；
(3)＝－3；
(4)log3＝－3.
解 (1)∵53＝125，∴log5125＝3.
(2)∵4－2＝，∴log4＝－2.
(3)∵＝－3，∴－3＝8.
(4)∵log3＝－3，∴3－3＝.
10．(1)先将下列式子改写成指数式，再求各式中x的值．
①log2x＝－；②logx3＝－.
(2)已知6a＝8，试用a表示下列各式．
①log68；②log62；③log26.
考点 对数式与指数式的互化
题点 对数式化为指数式
解 (1)①因为log2x＝－，所以x＝＝.
②因为logx3＝－，所以＝3，所以x＝3－3＝.
(2)①log68＝a.
②由6a＝8得6a＝23，即＝2，所以log62＝.
③由＝2得＝6，所以log26＝.
11．方程lg(x2－1)＝lg(2x＋2)的根为( )
A．－3 B．3
C．－1或3 D．1或－3
答案 B
解析 由lg(x2－1)＝lg(2x＋2)，
得x2－1＝2x＋2，即x2－2x－3＝0，
解得x＝－1或x＝3.
经检验x＝－1是增根，所以原方程的根为x＝3.
12.的值为( )
A．6 B. C．8 D.
答案 C
解析 ＝－1·＝2×4＝8.
13．若log(1－x)(1＋x)2＝1，则x＝ .
答案 －3
解析 由log(1－x)(1＋x)2＝1，得(1＋x)2＝1－x，
∴x2＋3x＝0，
∴x＝0或x＝－3.
注意到∴x＝－3.
14．若x满足(log2x)2－2log2x－3＝0，则x＝ .
答案 8或
解析 设t＝log2x，则原方程可化为t2－2t－3＝0，
解得t＝3或t＝－1，
所以log2x＝3或log2x＝－1，
所以x＝23＝8或x＝2－1＝.
15．若a>0，＝，则等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 B
解析 因为＝，a>0，
所以a＝＝3，
设＝x，所以x＝a.
所以x＝3.
16．若＝m，＝m＋2，求的值．
解 因为＝m，
所以m＝x，x2＝2m.
因为＝m＋2，
所以m＋2＝y，y＝2m＋4.
所以＝＝2m－(2m＋4)＝－4＝16.
课件33张PPT。4.3.1 对数的概念第四章 4.3 对 数学习目标XUEXIMUBIAO1.了解对数的概念.
2.会进行对数式与指数式的互化.
3.会求简单的对数值.NEIRONGSUOYIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PART ONE知识点一 对数的有关概念对数的概念：
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做 ，记作 ，其中a叫做对数的 ，N叫做 .
常用对数与自然对数：
通常将以10为底的对数叫做 ，以e(e＝2.718 28…)为底的对数称为 ，log10N可简记为 ，logeN简记为 .以a为底N的对数底数真数x＝logaN常用对数自然对数lg Nln N一般地，有对数与指数的关系：
若a>0，且a≠1，则ax＝N?logaN＝ .
对数恒等式： ＝ ；logaax＝ (a>0，且a≠1).知识点二 对数与指数的关系xNx知识点三 对数的性质1.1的对数为 .
2.底的对数为 .
3.零和负数 .零1没有对数思考辨析 判断正误SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU1.若3x＝2，则x＝log32.( )
2.因为a1＝a(a>0且a≠1)，所以logaa＝1.( )
3.logaN>0(a>0且a≠1，N>0).( )√√××2题型探究PART TWO例1 将下列指数式与对数式互化：一、指数式与对数式的互化(2)102＝100；解 log10100＝2，即lg 100＝2.(3)ea＝16；解 loge16＝a，即ln 16＝a.(5)log39＝2；解 32＝9.(6)logxy＝z(x>0且x≠1，y>0).解 xz＝y.反思感悟指数式与对数式互化的思路
(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式.
(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式.跟踪训练1 将下列指数式与对数式互化：
(1)log216＝4；解 由log216＝4，可得24＝16.(2) ＝－3；(3)43＝64；解 由43＝64，可得log464＝3.二、利用对数式与指数式的关系求值例2 求下列各式中x的值：解 (2)logx8＝6；解 因为x6＝8，所以(3)lg 100＝x.解 10x＝100＝102，于是x＝2.反思感悟要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解.跟踪训练2 (1)计算log927； 的值；解 设x＝log927，则9x＝27,32x＝33，设 ，则 ＝81, ＝34，(2)求下列各式中x的值：②logx16＝－4.解 ∵logx16＝－4，三、利用对数性质及对数恒等式求值例3 求下列各式中x的值：
(1)log2(log5x)＝0；解 ∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝20＝1，
∴x＝51＝5.(2)log3(lg x)＝1；解 ∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3，
∴x＝103＝1 000.(3)解 反思感悟(1)此类题型应利用对数的基本性质从整体入手，由外到内逐层深入来解决问题.logaN＝0?N＝1；logaN＝1?N＝a使用频繁，应在理解的基础上牢记.
(2)符合对数恒等式的，可以直接应用对数恒等式：跟踪训练3 (1)设 ，则x＝ .13(2)若log2(log3x)＝log3(log4y)＝log4(log2z)＝0，则x＋y＋z的值为
A.9 B.8 C.7 D.6解析 ∵log2(log3x)＝0，∴log3x＝1.
∴x＝3.
同理y＝4，z＝2.
∴x＋y＋z＝9.√3随堂演练PART THREE12345√解析 根据对数的定义，得 ＝－2，故选B.123452.若logax＝1，则
A.x＝1 B.a＝1 C.x＝a D.x＝10√13452√解析 ∵ ＝2－2，∴log3x＝－2，134524.下列指数式与对数式互化不正确的一组是
A.e0＝1与ln 1＝0C.log39＝2与 ＝3
D.log77＝1与71＝7√134525.已知logx16＝2，则x＝ .4解析 logx16＝2化成指数式为x2＝16，
所以x＝±4，
又因为x>0且x≠1，所以x＝4.课堂小结KE TANG XIAO JIE1.知识清单：
(1)对数的概念.
(2)自然对数、常用对数.
(3)指数式与对数式的互化.
(4)对数的性质.
2.方法归纳：
(1)根据对数的概念进行指数式与对数式的互化.
(2)利用对数的性质及对数恒等式进行对数的化简与求值.
3.常见误区：易忽视对数式中底数与真数的范围.本课结束
