4．3.2 对数的运算
学习目标 1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件.2.掌握换底公式及其推论.3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．
知识点一 对数运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；
(2)loga＝logaM－logaN；
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
知识点二 换底公式
1．logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．
2．对数换底公式的重要推论：
(1)logaN＝(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)；
(2)＝logab(a>0，且a≠1，b>0)；
(3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)．
预习小测 自我检验
1．计算log84＋log82＝________.
答案 1
2．计算log510－log52________.
答案 1
3．(1)lg ＝________；
(2)已知ln a＝0.2，则ln ＝________.
答案 (1) (2)0.8
4.＝________.
答案 2
一、对数运算性质的应用
例1 计算下列各式：
(1)log5；(2)log2(32×42)；
(3)log535－2log5＋log57－log5.
解 (1)原式＝log5625＝log554＝.
(2)原式＝log232＋log242＝5＋4＝9.
(3)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5
＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2log55＝2.
反思感悟 对数式化简与求值的基本原则和方法
(1)基本原则
对数式的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．
(2)两种常用的方法
①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．
跟踪训练1 计算下列各式的值：
(1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2；
(2).
解 (1)原式＝(lg 5＋lg 2)(lg 5－lg 2)＋2lg 2
＝lg 10(lg 5－lg 2)＋2lg 2
＝lg 5－lg 2＋2lg 2
＝lg 5＋lg 2＝1.
(2)原式＝
＝
＝.
二、对数换底公式的应用
例2 (1)计算：(log43＋log83)log32＝________.
答案
解析 原式＝log32
＝log32
＝＋＝.
(2)已知log189＝a,18b＝5，求log3645.(用a，b表示)
解 因为18b＝5，所以b＝log185.
所以log3645＝＝
＝
＝＝
＝＝.
延伸探究
若本例(2)条件不变，求log915.(用a，b表示)
解 因为18b＝5，所以log185＝b.
所以log915＝＝
＝＝
＝＝
＝＝.
反思感悟 利用换底公式化简与求值的思路
跟踪训练2 (1)的值是( )
A. B. C．1 D．2
答案 A
解析 方法一 将分子、分母利用换底公式转化为常用对数，
即＝＝·＝.
方法二 将分子利用换底公式转化为以2为底的对数，
即＝＝＝.
(2)计算：.
解 原式＝·
＝－·log32·3log23＝－.
三、对数的综合应用
例3 2018年我国国民生产总值为a亿元，如果平均每年增长8%，估计约经过多少年后国民生产总值是2018年的2倍？(lg 2≈0.301 0，lg 1.08≈0.033 4，精确到1年)
解 设经过x年后国民生产总值为2018年的2倍．
经过1年，国民生产总值为a(1＋8%)，
经过2年，国民生产总值为a(1＋8%)2，
…，
经过x年，国民生产总值为a(1＋8%)x＝2a，
所以1.08x＝2，
所以x＝log1.082＝＝≈9，
故约经过9年后国民生产总值是2018年的2倍．
反思感悟 解决对数应用题的一般步骤
跟踪训练3 在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)，火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)满足ev＝2 000(e为自然对数的底数，ln 3≈1.099)．当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时，求火箭的最大速度(单位：m/s)．
解 因为v＝ln2 000
＝2 000·ln，
所以v＝2 000·ln 3≈2 000×1.099＝2 198(m/s)．
故当燃料质量M为火箭质量m的两倍时，火箭的最大速度为2 198 m/s.
1．计算：log123＋log124等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 A
2．若lg 2＝m，则lg 5等于( )
A．m B. C．1－m D.
答案 C
解析 lg 5＝lg ＝lg 10－lg 2＝1－m.
3．化简log612－2log6的结果为( )
A．6 B．12 C．log6 D.
答案 C
解析 原式＝log6－log62＝log6＝log6.
4．下列各等式正确的为( )
A．log23·log25＝log2(3×5)
B．lg 3＋lg 4＝lg(3＋4)
C．log2＝log2x－log2y
D．lg＝lg m(m>0，n>1，n∈N*)
答案 D
解析 A，B显然错误，C中，当x，y均为负数时，等式右边无意义．
5．计算：log5·log36·log6＝________.
答案 2
解析 原式＝··
＝··＝2.
1．知识清单：
(1)对数的运算性质．
(2)换底公式．
(3)对数的实际应用．
2．方法归纳：
(1)利用对数的运算性质，可以把乘、除、乘方运算转化为加、减、乘的运算，加快计算速度．
(2)利用结论logab·logba＝1，＝logab化简求值更方便．
3．常见误区：要注意对数的运算性质(1)(2)的结构形式，易混淆．
1．lg 8＋3lg 5的值为( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
答案 D
解析 lg 8＋3lg 5＝3lg 2＋3lg 5＝3(lg 2＋lg 5)＝3.
2．如果lg x＝lg a＋3lg b－5lg c，那么( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝a＋3b－5c D．x＝a＋b3－c3
考点 对数的运算
题点 对数的运算性质
答案 A
解析 lg a＋3lg b－5lg c＝lg a＋lg b3－lg c5＝lg，
由lg x＝lg，可得x＝.
3．设a＝log32，则log38－2log36用a表示的形式是( )
A．a－2 B．3a－(1＋a)2
C．5a－2 D．－a2＋3a－1
答案 A
解析 ∵a＝log32，
∴log38－2log36＝3log32－2(log32＋1)＝3a－2(a＋1)＝a－2.
4．计算log225·log32·log59的结果为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 D
解析 原式＝··
＝··＝6.
5．若lg x－lg y＝t，则lg3－lg3等于( )
A．3t B.t C．t D.
答案 A
解析 lg3－lg3＝3lg －3lg
＝3lg ＝3(lg x－lg y)＝3t.
6．lg ＋lg 的值是________．
答案 1
解析 lg＋lg＝lg＝lg 10＝1.
7．(lg 5)2＋lg 2·lg 50＝________.
考点 对数的运算
题点 利用lg 2＋lg 5＝1化简求解对数值
答案 1
解析 (lg 5)2＋lg 2·lg 50＝(lg 5)2＋lg 2(lg 5＋lg 10)
＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2
＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2
＝lg 5＋lg 2＝1.
8．若lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，则＝________.
答案 4
解析 因为lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，
所以
由xy＝(x－2y)2，知x2－5xy＋4y2＝0，
所以x＝y或x＝4y.
又x>0，y>0且x－2y>0，
所以舍去x＝y，故x＝4y，则＝4.
9．用lg x，lg y，lg z表示下列各式：
(1)lg(xyz)；(2)lg ；
(3)lg ；(4)lg .
解 (1)lg(xyz)＝lg x＋lg y＋lg z.
(2)lg ＝lg(xy2)－lg z＝lg x＋2lg y－lg z.
(3)lg ＝lg(xy3)－lg ＝lg x＋3lg y－lg z.
(4)lg ＝lg －lg(y2z)＝lg x－2lg y－lg z.
10．计算下列各式的值：
(1)log535＋2－log5－log514；
(2)[(1－log63)2＋log62·log618]÷log64；
(3)(log43＋log83)(log32＋log92)．
解 (1)原式＝log535＋log550－log514＋2
＝log5＋
＝log553－1＝2.
(2)原式＝[(log66－log63)2＋log62·log6(2×32)]÷log64
＝÷log622
＝[(log62)2＋(log62)2＋2log62·log63]÷2log62
＝log62＋log63＝log6(2×3)＝1.
(3)(log43＋log83)(log32＋log92)
＝
＝
＝×＝.
11．方程log3(x2－10)＝1＋log3x的解是( )
A．－2 B．－2或5 C．5 D．3
答案 C
解析 原方程可化为log3(x2－10)＝log3(3x)，
所以x2－10＝3x，
解得x＝－2，或x＝5.经检验知x＝5.
12．若lg x－lg y＝a，则lg 3－lg 3等于( )
A．3a B.a C．a D.
答案 A
解析 由对数的运算性质知，原式＝3(lg x－lg 2)－3(lg y－lg 2)＝3(lg x－lg y)＝3a.
13．若3x＝4y＝36，则＋＝________.
考点 对数的运算
题点 用代数式表示对数
答案 1
解析 3x＝4y＝36，两边取以6为底的对数，得
xlog63＝ylog64＝2，
∴＝log63，＝log64，即＝log62，
故＋＝log63＋log62＝1.
14．若xlog32＝1，则4x＋4－x＝________.
答案
解析 因为x＝＝log23，
所以4x＋4－x＝22x＋2－2x＝＋＝＋＝9＋＝.
15．若ab>0，给出下列四个等式：
①lg(ab)＝lg a＋lg b；
②lg＝lg a－lg b；
③lg2＝lg；
④lg(ab)＝.
其中一定成立的等式的序号是( )
A．①②③④ B．①②
C．③④ D．③
答案 D
解析 ∵ab>0，∴a>0，b>0或a<0，b<0，
∴①②中的等式不一定成立；
∵ab>0，∴>0，lg2＝×2lg ＝lg ，
∴③中等式成立；
当ab＝1时，lg(ab)＝0，但logab10无意义，
∴④中等式不成立．故选D.
16．已知log23＝a，log37＝b，用a，b表示log4256.
考点 对数的运算
题点 用代数式表示对数
解 ∵log23＝a，则＝log32，又∵log37＝b，
∴log4256＝＝＝.
课件30张PPT。4.3.2 对数的运算第四章 4.3 对 数学习目标XUEXIMUBIAO1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件.
2.掌握换底公式及其推论.
3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值.NEIRONGSUOYIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PART ONE知识点一 对数运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(M·N)＝ ；
(2) ＝ ；
(3)logaMn＝ (n∈R).logaM＋logaNlogaM－logaNnlogaM知识点二 换底公式1.计算log84＋log82＝________.
2.计算log510－log52________.预习小测 自我检验YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN110.822题型探究PART TWO例1 计算下列各式：一、对数运算性质的应用(2)log2(32×42)；解 原式＝log232＋log242＝5＋4＝9.＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55
＝2log55＝2.对数式化简与求值的基本原则和方法
(1)基本原则
对数式的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行.
(2)两种常用的方法
①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差).跟踪训练1 计算下列各式的值：
(1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2；解 原式＝(lg 5＋lg 2)(lg 5－lg 2)＋2lg 2
＝lg 10(lg 5－lg 2)＋2lg 2
＝lg 5－lg 2＋2lg 2
＝lg 5＋lg 2＝1.二、对数换底公式的应用例2 (1)计算：(log43＋log83)log32＝________.(2)已知log189＝a,18b＝5，求log3645.(用a，b表示)解 因为18b＝5，所以b＝log185.延伸探究
若本例(2)条件不变，求log915.(用a，b表示)解 因为18b＝5，所以log185＝b.利用换底公式化简与求值的思路√解析 方法一 将分子、分母利用换底公式转化为常用对数，方法二 将分子利用换底公式转化为以2为底的对数，三、对数的综合应用例3 2018年我国国民生产总值为a亿元，如果平均每年增长8%，估计约经过多少年后国民生产总值是2018年的2倍？(lg 2≈0.301 0，lg 1.08≈0.033 4，精确到1年)解 设经过x年后国民生产总值为2018年的2倍.
经过1年，国民生产总值为a(1＋8%)，
经过2年，国民生产总值为a(1＋8%)2，
…，
经过x年，国民生产总值为a(1＋8%)x＝2a，
所以1.08x＝2，故约经过9年后国民生产总值是2018年的2倍.解决对数应用题的一般步骤所以v＝2 000·ln 3≈2 000×1.099＝2 198(m/s).
故当燃料质量M为火箭质量m的两倍时，火箭的最大速度为2 198 m/s.3随堂演练PART THREE123451.计算：log123＋log124等于
A.1 B.2 C.3 D.4√123452.若lg 2＝m，则lg 5等于√13452√134524.下列各等式正确的为
A.log23·log25＝log2(3×5)
B.lg 3＋lg 4＝lg(3＋4)√解析 A，B显然错误，C中，当x，y均为负数时，等式右边无意义.134522课堂小结KE TANG XIAO JIE本课结束
