(新教材)高中数学人教A版必修第一册 4.3.2 对数的运算(30张PPT课件+学案)

文档属性

名称 (新教材)高中数学人教A版必修第一册 4.3.2 对数的运算(30张PPT课件+学案)
格式 zip
文件大小 2.1MB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2019-12-10 13:25:21

文档简介

4.3.2 对数的运算
学习目标 1.掌握积、商、幂的对数运算性质,理解其推导过程和成立条件.2.掌握换底公式及其推论.3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值.
知识点一 对数运算性质
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么:
(1)loga(M·N)=logaM+logaN;
(2)loga=logaM-logaN;
(3)logaMn=nlogaM(n∈R).
知识点二 换底公式
1.logab=(a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;b>0).
2.对数换底公式的重要推论:
(1)logaN=(N>0,且N≠1;a>0,且a≠1);
(2)=logab(a>0,且a≠1,b>0);
(3)logab·logbc·logcd=logad(a>0,b>0,c>0,d>0,且a≠1,b≠1,c≠1).
预习小测 自我检验
1.计算log84+log82=________.
答案 1
2.计算log510-log52________.
答案 1
3.(1)lg =________;
(2)已知ln a=0.2,则ln =________.
答案 (1) (2)0.8
4.=________.
答案 2

一、对数运算性质的应用
例1 计算下列各式:
(1)log5;(2)log2(32×42);
(3)log535-2log5+log57-log5.
解 (1)原式=log5625=log554=.
(2)原式=log232+log242=5+4=9.
(3)原式=log5(5×7)-2(log57-log53)+log57-log5
=log55+log57-2log57+2log53+log57-2log53+log55=2log55=2.
反思感悟 对数式化简与求值的基本原则和方法
(1)基本原则
对数式的化简求值一般是正用或逆用公式,对真数进行处理,选哪种策略化简,取决于问题的实际情况,一般本着便于真数化简的原则进行.
(2)两种常用的方法
①“收”,将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数;
②“拆”,将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差).
跟踪训练1 计算下列各式的值:
(1)(lg 5)2+2lg 2-(lg 2)2;
(2).
解 (1)原式=(lg 5+lg 2)(lg 5-lg 2)+2lg 2
=lg 10(lg 5-lg 2)+2lg 2
=lg 5-lg 2+2lg 2
=lg 5+lg 2=1.
(2)原式=
=
=.
二、对数换底公式的应用
例2 (1)计算:(log43+log83)log32=________.
答案 
解析 原式=log32
=log32
=+=.
(2)已知log189=a,18b=5,求log3645.(用a,b表示)
解 因为18b=5,所以b=log185.
所以log3645==
=
==
==.
延伸探究
若本例(2)条件不变,求log915.(用a,b表示)
解 因为18b=5,所以log185=b.
所以log915==
==
==
==.
反思感悟 利用换底公式化简与求值的思路
跟踪训练2 (1)的值是(  )
A. B. C.1 D.2
答案 A
解析 方法一 将分子、分母利用换底公式转化为常用对数,
即==·=.
方法二 将分子利用换底公式转化为以2为底的对数,
即===.
(2)计算:.
解 原式=·
=-·log32·3log23=-.
三、对数的综合应用
例3 2018年我国国民生产总值为a亿元,如果平均每年增长8%,估计约经过多少年后国民生产总值是2018年的2倍?(lg 2≈0.301 0,lg 1.08≈0.033 4,精确到1年)
解 设经过x年后国民生产总值为2018年的2倍.
经过1年,国民生产总值为a(1+8%),
经过2年,国民生产总值为a(1+8%)2,
…,
经过x年,国民生产总值为a(1+8%)x=2a,
所以1.08x=2,
所以x=log1.082==≈9,
故约经过9年后国民生产总值是2018年的2倍.
反思感悟 解决对数应用题的一般步骤
跟踪训练3 在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度v(单位:m/s)和燃料的质量M(单位:kg),火箭(除燃料外)的质量m(单位:kg)满足ev=2 000(e为自然对数的底数,ln 3≈1.099).当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时,求火箭的最大速度(单位:m/s).
解 因为v=ln2 000
=2 000·ln,
所以v=2 000·ln 3≈2 000×1.099=2 198(m/s).
故当燃料质量M为火箭质量m的两倍时,火箭的最大速度为2 198 m/s.
1.计算:log123+log124等于(  )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 A
2.若lg 2=m,则lg 5等于(  )
A.m B. C.1-m D.
答案 C
解析 lg 5=lg =lg 10-lg 2=1-m.
3.化简log612-2log6的结果为(  )
A.6 B.12 C.log6 D.
答案 C
解析 原式=log6-log62=log6=log6.
4.下列各等式正确的为(  )
A.log23·log25=log2(3×5)
B.lg 3+lg 4=lg(3+4)
C.log2=log2x-log2y
D.lg=lg m(m>0,n>1,n∈N*)
答案 D
解析 A,B显然错误,C中,当x,y均为负数时,等式右边无意义.
5.计算:log5·log36·log6=________.
答案 2
解析 原式=··
=··=2.
1.知识清单:
(1)对数的运算性质.
(2)换底公式.
(3)对数的实际应用.
2.方法归纳:
(1)利用对数的运算性质,可以把乘、除、乘方运算转化为加、减、乘的运算,加快计算速度.
(2)利用结论logab·logba=1,=logab化简求值更方便.
3.常见误区:要注意对数的运算性质(1)(2)的结构形式,易混淆.
1.lg 8+3lg 5的值为(  )
A.-3 B.-1 C.1 D.3
答案 D
解析 lg 8+3lg 5=3lg 2+3lg 5=3(lg 2+lg 5)=3.
2.如果lg x=lg a+3lg b-5lg c,那么(  )
A.x= B.x=
C.x=a+3b-5c D.x=a+b3-c3
考点 对数的运算
题点 对数的运算性质
答案 A
解析 lg a+3lg b-5lg c=lg a+lg b3-lg c5=lg,
由lg x=lg,可得x=.
3.设a=log32,则log38-2log36用a表示的形式是(  )
A.a-2 B.3a-(1+a)2
C.5a-2 D.-a2+3a-1
答案 A
解析 ∵a=log32,
∴log38-2log36=3log32-2(log32+1)=3a-2(a+1)=a-2.
4.计算log225·log32·log59的结果为(  )
A.3 B.4 C.5 D.6
答案 D
解析 原式=··
=··=6.
5.若lg x-lg y=t,则lg3-lg3等于(  )
A.3t B.t C.t D.
答案 A
解析 lg3-lg3=3lg -3lg 
=3lg =3(lg x-lg y)=3t.
6.lg +lg 的值是________.
答案 1
解析 lg+lg=lg=lg 10=1.
7.(lg 5)2+lg 2·lg 50=________.
考点 对数的运算
题点 利用lg 2+lg 5=1化简求解对数值
答案 1
解析 (lg 5)2+lg 2·lg 50=(lg 5)2+lg 2(lg 5+lg 10)
=(lg 5)2+lg 2·lg 5+lg 2
=lg 5(lg 5+lg 2)+lg 2
=lg 5+lg 2=1.
8.若lg x+lg y=2lg(x-2y),则=________.
答案 4
解析 因为lg x+lg y=2lg(x-2y),
所以
由xy=(x-2y)2,知x2-5xy+4y2=0,
所以x=y或x=4y.
又x>0,y>0且x-2y>0,
所以舍去x=y,故x=4y,则=4.
9.用lg x,lg y,lg z表示下列各式:
(1)lg(xyz);(2)lg ;
(3)lg ;(4)lg .
解 (1)lg(xyz)=lg x+lg y+lg z.
(2)lg =lg(xy2)-lg z=lg x+2lg y-lg z.
(3)lg =lg(xy3)-lg =lg x+3lg y-lg z.
(4)lg =lg -lg(y2z)=lg x-2lg y-lg z.
10.计算下列各式的值:
(1)log535+2-log5-log514;
(2)[(1-log63)2+log62·log618]÷log64;
(3)(log43+log83)(log32+log92).
解 (1)原式=log535+log550-log514+2
=log5+
=log553-1=2.
(2)原式=[(log66-log63)2+log62·log6(2×32)]÷log64
=÷log622
=[(log62)2+(log62)2+2log62·log63]÷2log62
=log62+log63=log6(2×3)=1.
(3)(log43+log83)(log32+log92)
=
=
=×=.
11.方程log3(x2-10)=1+log3x的解是(  )
A.-2 B.-2或5 C.5 D.3
答案 C
解析 原方程可化为log3(x2-10)=log3(3x),
所以x2-10=3x,
解得x=-2,或x=5.经检验知x=5.
12.若lg x-lg y=a,则lg 3-lg 3等于(  )
A.3a B.a C.a D.
答案 A
解析 由对数的运算性质知,原式=3(lg x-lg 2)-3(lg y-lg 2)=3(lg x-lg y)=3a.
13.若3x=4y=36,则+=________.
考点 对数的运算
题点 用代数式表示对数
答案 1
解析 3x=4y=36,两边取以6为底的对数,得
xlog63=ylog64=2,
∴=log63,=log64,即=log62,
故+=log63+log62=1.
14.若xlog32=1,则4x+4-x=________.
答案 
解析 因为x==log23,
所以4x+4-x=22x+2-2x=+=+=9+=.
15.若ab>0,给出下列四个等式:
①lg(ab)=lg a+lg b;
②lg=lg a-lg b;
③lg2=lg;
④lg(ab)=.
其中一定成立的等式的序号是(  )
A.①②③④ B.①②
C.③④ D.③
答案 D
解析 ∵ab>0,∴a>0,b>0或a<0,b<0,
∴①②中的等式不一定成立;
∵ab>0,∴>0,lg2=×2lg =lg ,
∴③中等式成立;
当ab=1时,lg(ab)=0,但logab10无意义,
∴④中等式不成立.故选D.
16.已知log23=a,log37=b,用a,b表示log4256.
考点 对数的运算
题点 用代数式表示对数
解 ∵log23=a,则=log32,又∵log37=b,
∴log4256===.
课件30张PPT。4.3.2 对数的运算第四章 4.3 对 数学习目标XUEXIMUBIAO1.掌握积、商、幂的对数运算性质,理解其推导过程和成立条件.
2.掌握换底公式及其推论.
3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值.NEIRONGSUOYIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PART ONE知识点一 对数运算性质如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么:
(1)loga(M·N)= ;
(2) = ;
(3)logaMn= (n∈R).logaM+logaNlogaM-logaNnlogaM知识点二 换底公式1.计算log84+log82=________.
2.计算log510-log52________.预习小测 自我检验YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN110.822题型探究PART TWO例1 计算下列各式:一、对数运算性质的应用(2)log2(32×42);解 原式=log232+log242=5+4=9.=log55+log57-2log57+2log53+log57-2log53+log55
=2log55=2.对数式化简与求值的基本原则和方法
(1)基本原则
对数式的化简求值一般是正用或逆用公式,对真数进行处理,选哪种策略化简,取决于问题的实际情况,一般本着便于真数化简的原则进行.
(2)两种常用的方法
①“收”,将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数;
②“拆”,将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差).跟踪训练1 计算下列各式的值:
(1)(lg 5)2+2lg 2-(lg 2)2;解 原式=(lg 5+lg 2)(lg 5-lg 2)+2lg 2
=lg 10(lg 5-lg 2)+2lg 2
=lg 5-lg 2+2lg 2
=lg 5+lg 2=1.二、对数换底公式的应用例2 (1)计算:(log43+log83)log32=________.(2)已知log189=a,18b=5,求log3645.(用a,b表示)解 因为18b=5,所以b=log185.延伸探究
若本例(2)条件不变,求log915.(用a,b表示)解 因为18b=5,所以log185=b.利用换底公式化简与求值的思路√解析 方法一 将分子、分母利用换底公式转化为常用对数,方法二 将分子利用换底公式转化为以2为底的对数,三、对数的综合应用例3 2018年我国国民生产总值为a亿元,如果平均每年增长8%,估计约经过多少年后国民生产总值是2018年的2倍?(lg 2≈0.301 0,lg 1.08≈0.033 4,精确到1年)解 设经过x年后国民生产总值为2018年的2倍.
经过1年,国民生产总值为a(1+8%),
经过2年,国民生产总值为a(1+8%)2,
…,
经过x年,国民生产总值为a(1+8%)x=2a,
所以1.08x=2,故约经过9年后国民生产总值是2018年的2倍.解决对数应用题的一般步骤所以v=2 000·ln 3≈2 000×1.099=2 198(m/s).
故当燃料质量M为火箭质量m的两倍时,火箭的最大速度为2 198 m/s.3随堂演练PART THREE123451.计算:log123+log124等于
A.1 B.2 C.3 D.4√123452.若lg 2=m,则lg 5等于√13452√134524.下列各等式正确的为
A.log23·log25=log2(3×5)
B.lg 3+lg 4=lg(3+4)√解析 A,B显然错误,C中,当x,y均为负数时,等式右边无意义.134522课堂小结KE TANG XIAO JIE本课结束