4.4.2 对数函数的图象和性质(二)
学习目标 1.掌握对数型复合函数单调区间的求法及单调性的判定方法.2.会解简单的对数不等式.3.了解反函数的概念及它们的图象特点．
知识点一 不同底的对数函数图象的相对位置
一般地，对于底数a>1的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越大越靠近x轴；对于底数0
知识点二 反函数的概念
一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．
(1)y＝ax的定义域R就是y＝logax的值域；而y＝ax的值域(0，＋∞)就是y＝logax的定义域．
(2)互为反函数的两个函数y＝ax(a>0，且a≠1)与y＝logax(a>0，且a≠1)的图象关于直线y＝x对称．
(3)互为反函数的两个函数y＝ax(a>0，且a≠1)与y＝logax(a>0，且a≠1)的单调性相同．但单调区间不一定相同．
预习小测 自我检验
1．已知f(x)＝log2x，若f(x)<0，则x的取值范围是________．
答案 (0,1)
2．关于函数的单调性叙述正确的是________．(填序号)
①在R上单调递减；
②在(1，＋∞)上单调递增；
③在(1，＋∞)上单调递减；
④在(0，＋∞)上单调递减．
答案 ③
3．函数y＝x的反函数为________．
答案
4．函数f(x)＝logax在[2,4]上的最大值与最小值的和为6，则a的值为________．
答案
解析 依题意得
所以3loga2＝6，即loga2＝2，
所以a2＝2，所以a＝(舍－)．
一、反函数
例1 函数f(x)与g(x)互为反函数，若f(x)＝(x<0)．求函数g(x)的解析式，定义域、值域．
解 (x<0)是增函数，
所以0<<100，
所以0<<1，
故f(x)＝的定义域为(－∞，0)，值域为(0,1)，
所以g(x)＝2 019lg x，定义域为(0,1)，值域为(－∞，0)．
反思感悟 互为反函数的常用结论
(1)同底的指数函数、对数函数互为反函数．
(2)若f(x)与g(x)互为反函数，则f(x)的定义域、值域分别为g(x)的值域、定义域．
(3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称．
跟踪训练1 (1)已知函数y＝ax与y＝logax，其中a>0且a≠1，下列说法不正确的是( )
A．两者的图象关于直线y＝x对称
B．前者的定义域、值域分别是后者的值域、定义域
C．两函数在各自的定义域内增减性相同
D．y＝ax的图象经过平行移动可得到y＝logax的图象
答案 D
(2)函数y＝f(x)是的反函数，则f(2)＝________.
答案
解析 f(x)＝x，f(2)＝2＝.
二、解对数不等式
例2 解下列关于x的不等式：
(1)
(2)loga(2x－5)>loga(x－1)．
解 (1)由题意可得解得0所以原不等式的解集为{x|0(2)当a>1时，原不等式等价于解得x>4.
当0解得综上所述，当a>1时，原不等式的解集为{x|x>4}；
当0反思感悟 对数不等式的三种考查类型及解法
(1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0(2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的单调性求解．
(3)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解．
跟踪训练2 (1)求满足不等式log3x<1的x的取值集合；
(2)若loga<1(a>0，且a≠1)，求实数a的取值范围．
解 (1)因为log3x<1＝log33，
所以x满足的条件为即0所以x的取值集合为{x|0(2)loga<1，即loga当a>1时，函数y＝logax在定义域内是增函数，
所以loga当0由loga所以实数a的取值范围为∪(1，＋∞)．
三、对数型复合函数的单调性
例3 求函数的单调区间．
解 要使有意义，则1－x2>0，
所以x2<1，所以－1因此函数的定义域为(－1,1)．
令t＝1－x2，x∈(－1,1)．
当x∈(－1,0]时，当x增大时，t增大，减小．
所以当x∈(－1,0]时，是减函数；
同理可知，当x∈[0,1)时，是增函数．
即函数的单调递减区间是(－1,0]，
单调递增区间为[0,1)．
反思感悟 求形如y＝logaf(x)的函数的单调区间的步骤
(1)求出函数的定义域．
(2)研究函数t＝f(x)和函数y＝logat在定义域上的单调性．
(3)判断出函数的增减性求出单调区间．
跟踪训练3 已知函数f(x)＝log2.
(1)判断函数的奇偶性；
(2)求函数的单调区间．
解 (1)要使函数有意义，
则有或
解得x>1或x<－1.
所以此函数的定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
所以函数的定义域关于原点对称．
f(－x)＝log2＝log2
＝－log2＝－f(x)．
所以f(x)为奇函数．
(2)设x1，x2∈(1，＋∞)，且x1则－
＝<0，
所以<，
所以log2所以f(x)在(1，＋∞)上为减函数．
同理，f(x)在(－∞，－1)上也是减函数．
故f(x)＝log2的单调递减区间是(－∞，－1)和(1，＋∞)．
求与对数函数有关的复合函数的值域或最值
典例 求函数f(x)＝log2(4x)·，x∈的值域．
解 f(x)＝log2(4x)·
＝(log2x＋2)·
＝－[(log2x)2＋log2x－2]．
设log2x＝t.
∵x∈，∴t∈[－1,2]，
则有y＝－(t2＋t－2)，t∈[－1,2]，
因此二次函数图象的对称轴为t＝－，
∴函数y＝－(t2＋t－2)在上是增函数，在上是减函数，
∴当t＝－时，有最大值，且ymax＝.
当t＝2时，有最小值，且ymin＝－2.
∴f(x)的值域为.
[素养提升] 利用数学抽象把原函数看成关于log2x的一个二次函数，再通过数学运算计算出二次函数的最值．
1．不等式log2(x－1)>－1的解集是( )
A. B．{x|x>2} C．{x|x>1} D.
答案 D
解析 ∵log2(x－1)>－1＝log2，
∴x－1>，即x>.
2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)等于( )
A．log2x B. C． D．2x－2
答案 A
解析 函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数是f(x)＝logax，
又f(2)＝1，即loga2＝1，所以a＝2.
故f(x)＝log2x.
3．若loga<1，则实数a的取值范围是( )
A.∪(1，＋∞) B.
C. D.
答案 A
解析 当a>1时，满足条件；当0综上，a∈∪(1，＋∞)．
4．函数f(x)＝ln(1－2x)的单调减区间为____________．
考点 对数函数的单调性
题点 对数型复合函数的单调区间
答案
5．已知函数y＝logax(a>0，且a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，求a的值．
解 (1)当a>1时，函数y＝logax在[2,4]上是增函数，
所以loga4－loga2＝1，
即loga2＝1，所以a＝2.
(2)当0所以loga2－loga4＝1，
即loga＝1，所以a＝.
由(1)(2)知a＝2或.
1．知识清单：
(1)利用单调性解不等式．
(2)求简单对数型复合函数的单调性及值域问题．
2．方法归纳：换元法．
3．常见误区：求对数型复合函数的单调性易忽视定义域．
1．函数y＝的定义域为( )
A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)
C. D.
考点 对数不等式
题点 解对数不等式
答案 A
解析 要使函数有意义，需满足
∴ ∴x≥1，∴函数y＝的定义域为[1，＋∞)．
2．若loga2A．0C．a>b>1 D．b>a>1
答案 B
解析 因为loga2<0，logb2<0，
所以0又loga2所以a>b，
故03．函数f(x)与函数g(x)互为反函数，若f(x)＝x且x∈(0，＋∞)，则函数g(x)的定义域为( )
A．(0，＋∞) B．R
C．(0,1) D．(1，＋∞)
答案 C
解析 ∵当x∈(0，＋∞)时，x∈(0,1)，
∴函数f(x)＝x，x∈(0，＋∞)的值域为(0,1)，
又f(x)与g(x)互为反函数，
故g(x)的定义域为(0,1)，故选C.
4．已知loga<2，那么a的取值范围是( )
A．0
C.1
考点 对数不等式
题点 解对数不等式
答案 D
解析 当a>1时，由loga，故a>1；
当0综上可知，a的取值范围是01.
5．函数y＝的单调递增区间是( )
A．(－∞，2) B．(2，＋∞) C．(1,2) D．(2,3)
答案 D
解析 由－3＋4x－x2>0，得x2－4x＋3<0，得1设t＝－3＋4x－x2，其图象的对称轴为x＝2.
∵函数y＝为减函数，
∴要求函数y＝的单调递增区间，
即求函数t＝－3＋4x－x2,1∵函数t＝－3＋4x－x2,1∴函数y＝的单调递增区间为(2,3)，故选D.
6．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，其图象经过点，则a＝________.
考点 函数的反函数
题点 反函数的图象与性质
答案
解析 因为点在y＝f(x)的图象上，
所以点在y＝ax的图象上，则有＝，
即a2＝2，又因为a>0，所以a＝.
7．函数y＝的值域为________．
答案 (0，＋∞)
解析 因为3x>0，所以－3x<0，
所以0<1－3x<1.
又y＝(t＝1－3x)是关于t的减函数，
所以y＝>＝0.
∴y>0
8．若函数f(x)＝logax(其中a为常数，且a>0，a≠1)满足f(2)>f(3)，则f(2x－1)答案 {x|1解析 ∵f(2)>f(3)，
∴f(x)＝logax是减函数，
由f(2x－1)∴19．已知f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(a>0且a≠1)．
(1)求函数f(x)的定义域，值域；
(2)若函数f(x)有最小值为－2，求a的值．
解 (1)由得定义域为{x|－3f(x)＝loga(－x2－2x＋3)，
令t＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，
因为x∈(－3,1)，所以t∈(0,4]．
所以f(t)＝logat，t∈(0,4]．
当0当a>1时，值域为(－∞，loga4]．
(2)ymin＝－2，由(1)及题意得得a＝.
10．已知函数f(x－1)＝lg.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)判断f(x)的奇偶性；
(3)解关于x的不等式f(x)≥lg(3x＋1)．
解 (1)令t＝x－1，则x＝t＋1，
由题意知>0，即0则－1所以f(t)＝lg ＝lg ，
故f(x)＝lg (－1(2)由(1)知，f(x)＝lg (－1所以f(－x)＝lg ＝lg ＝lg－1＝－lg ＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
(3)原不等式可化为lg ≥lg(3x＋1)，－1即≥3x＋1>0，－1故原不等式的解集为∪.
11．若函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为( )
A. B. C．2 D．4
答案 B
解析 当a>1时，a＋loga2＋1＝a，loga2＝－1，a＝，与a>1矛盾；
当012．设偶函数f(x)＝loga|x－b|在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(b＋2)的大小关系是( )
A．f(a＋1)C．f(a＋1)≥f(b＋2) D．f(a＋1)>f(b＋2)
答案 D
解析 由于此函数是偶函数，函数f(x)＝loga|x－b|中b＝0，又函数在(－∞，0)上单调递增，所以在(0，＋∞)上单调递减，则0f(b＋2)．
13．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，f?＝0，则不等式f()
>0的解集为________．
答案 ∪(2，＋∞)
解析 ∵f(x)是R上的偶函数，
∴它的图象关于y轴对称．
∵f(x)在[0，＋∞)上为增函数，
∴f(x)在(－∞，0]上为减函数，
作出函数图象如图所示．
由f?＝0，得f?＝0.
若f()>0，则<－或>，
解得x>2或0∴x∈∪(2，＋∞)．
14．已知函数f(x)＝直线y＝a与函数f(x)的图象恒有两个不同的交点，则a的取值范围是________．
答案 (0,1]
解析 函数f(x)的图象如图所示，
要使y＝a与f(x)有两个不同交点，则015．若函数f(x)＝loga(6－ax)在[0,2]上为减函数，则a的取值范围是( )
A．(0,1) B．(1,3) C．(1,3] D．[3，＋∞)
考点 对数函数的单调性
题点 由对数型复合函数的单调性求参数的取值范围
答案 B
解析 函数由y＝logau，u＝6－ax复合而成，因为a>0，所以u＝6－ax是减函数，那么函数y＝logau就是增函数，所以a>1，因为[0,2]为定义域的子集，所以当x＝2时，u＝6－ax取得最小值，所以6－2a>0，解得a<3，所以116．已知f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]，求函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值及此时x的值．
解 y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(2＋log3x)2＋log3x2＋2＝(log3x)2＋6log3x＋6＝(log3x＋3)2－3.
∵f(x)的定义域为[1,9]，
∴y＝[f(x)]2＋f(x2)中，x必须满足
∴1≤x≤3，∴0≤log3x≤1，∴6≤y≤13.
∴当x＝3时，y取得最大值，为13.
课件35张PPT。4.4.2 对数函数的图象和性质(二)第四章 4.4 对数函数学习目标XUEXIMUBIAO1.掌握对数型复合函数单调区间的求法及单调性的判定方法.
2.会解简单的对数不等式.
3.了解反函数的概念及它们的图象特点.NEIRONGSUOYIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PART ONE知识点一 不同底的对数函数图象的相对位置一般地，对于底数a>1的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越大越靠近x轴；对于底数00，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数.
(1)y＝ax的定义域R就是y＝logax的值域；而y＝ax的值域(0，＋∞)就是y＝logax的定义域.
(2)互为反函数的两个函数y＝ax(a>0，且a≠1)与y＝logax(a>0，且a≠1)的图象关于直线y＝x对称.
(3)互为反函数的两个函数y＝ax(a>0，且a≠1)与y＝logax(a>0，且a≠1)的单调性相同.但单调区间不一定相同.1.已知f(x)＝log2x，若f(x)<0，则x的取值范围是________.预习小测 自我检验YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN(0,1)2.关于函数 的单调性叙述正确的是______.(填序号)
①在R上单调递减；
②在(1，＋∞)上单调递增；
③在(1，＋∞)上单调递减；
④在(0，＋∞)上单调递减.③4.函数f(x)＝logax在[2,4]上的最大值与最小值的和为6，则a的值为________.所以3loga2＝6，即loga2＝2，2题型探究PART TWO例1 函数f(x)与g(x)互为反函数，若f(x)＝ (x<0).求函数g(x)的解析式，定义域、值域.一、反函数所以g(x)＝2 019lg x，定义域为(0,1)，值域为(－∞，0).互为反函数的常用结论
(1)同底的指数函数、对数函数互为反函数.
(2)若f(x)与g(x)互为反函数，则f(x)的定义域、值域分别为g(x)的值域、定义域.
(3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称.跟踪训练1 (1)已知函数y＝ax与y＝logax，其中a>0且a≠1，下列说法不正确的是
A.两者的图象关于直线y＝x对称
B.前者的定义域、值域分别是后者的值域、定义域
C.两函数在各自的定义域内增减性相同
D.y＝ax的图象经过平行移动可得到y＝logax的图象√二、解对数不等式例2 解下列关于x的不等式：所以原不等式的解集为{x|0loga(x－1).综上所述，当a>1时，原不等式的解集为{x|x>4}；对数不等式的三种考查类型及解法
(1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0(2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的单调性求解.
(3)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解.跟踪训练2 (1)求满足不等式log3x<1的x的取值集合；解 因为log3x<1＝log33，所以x的取值集合为{x|01时，函数y＝logax在定义域内是增函数，当0因此函数的定义域为(－1,1).
令t＝1－x2，x∈(－1,1).求形如y＝logaf(x)的函数的单调区间的步骤
(1)求出函数的定义域.
(2)研究函数t＝f(x)和函数y＝logat在定义域上的单调性.
(3)判断出函数的增减性求出单调区间.(1)判断函数的奇偶性；解 要使函数有意义，解得x>1或x<－1.
所以此函数的定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞).
所以函数的定义域关于原点对称.所以f(x)为奇函数.(2)求函数的单调区间.解 设x1，x2∈(1，＋∞)，且x1同理，f(x)在(－∞，－1)上也是减函数.求与对数函数有关的复合函数的值域或最值核心素养之数学运算与数学抽象HE XIN SU YANG ZHI SHU XUE YUN SUAN YU SHU XUE CHOU XIANG设log2x＝t.当t＝2时，有最小值，且ymin＝－2.利用数学抽象把原函数看成关于log2x的一个二次函数，再通过数学运算计算出二次函数的最值.3随堂演练PART THREE123451.不等式log2(x－1)>－1的解集是√123452.若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)等于√解析 函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数是f(x)＝logax，
又f(2)＝1，即loga2＝1，所以a＝2.
故f(x)＝log2x.解析 当a>1时，满足条件；√13452134524.函数f(x)＝ln(1－2x)的单调减区间为____________.5.已知函数y＝logax(a>0，且a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，求a的值.解 (1)当a>1时，函数y＝logax在[2,4]上是增函数，
所以loga4－loga2＝1，
即loga2＝1，所以a＝2.
(2)当0所以loga2－loga4＝1，13452课堂小结KE TANG XIAO JIE1.知识清单：
(1)利用单调性解不等式.
(2)求简单对数型复合函数的单调性及值域问题.
2.方法归纳：换元法.
3.常见误区：求对数型复合函数的单调性易忽视定义域.本课结束