4.4.2 对数函数的图象和性质(一)
学习目标 1.初步掌握对数函数的图象和性质.2.会类比指数函数研究对数函数的性质.3.掌握对数函数的图象和性质的简单应用．
知识点 对数函数的图象和性质
对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：
y＝logax (a>0，且a≠1)
底数
a>1
0
图象
定义域
(0，＋∞)
值域
R
单调性
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
共点性
图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
函数值特点
x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)；
x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞)
x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)；
x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0]
对称性
函数y＝logax与y＝的图象关于x轴对称
预习小测 自我检验
1．函数y＝log4.3x的值域是________．
答案 R
2．函数y＝lg(x＋1)的图象大致是________．
答案 ③
解析 由底数大于1可排除①，②，y＝lg(x＋1)可看作是y＝lg x的图象向左平移1个单位长度(或令x＝0得y＝0，而且函数为增函数)．
3．已知y＝ax在R上是增函数，则y＝logax在(0，＋∞)上是________函数．(填“增”或“减”)
答案 增
4．函数y＝logax＋1过定点________．
答案 (1,1)
一、对数函数的图象问题
例1 (1)函数y＝x＋a与y＝logax的图象可能是下图中的( )
答案 C
(2)函数y＝loga(x＋2)＋3(a>0且a≠1)的图象过定点________．
答案 (－1,3)
解析 令x＋2＝1，所以x＝－1，y＝3.所以过定点(－1,3)．
(3)已知f(x)＝loga|x|满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象．
解 因为f(－5)＝1，所以loga5＝1，即a＝5，
故f(x)＝log5|x|＝
所以函数y＝log5|x|的图象如图所示．
延伸探究
在本例中，若条件不变，试画出函数g(x)＝loga|x－1|的图象．
解 因为f(x)＝log5|x|，
所以g(x)＝log5|x－1|，
如图，g(x)的图象是由f(x)的图象向右平移1个单位长度得到．
反思感悟 现在画图象很少单纯依靠描点，大多是以常见的函数为原料加工，所以一方面要掌握一些平移、对称变换的结论，另一方面要关注定义域、值域、单调性、关键点．
跟踪训练1 (1)如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则( )
A．0B．0C．a>b>1
D．b>a>1
答案 B
解析 作直线y＝1，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0(2)画出函数y＝|lg(x－1)|的图象．
考点 对数函数的图象
题点 含绝对值的对数函数的图象
解 ①先画出函数y＝lg x的图象(如图)．
②再画出函数y＝lg(x－1)的图象(如图)．
③最后画出函数y＝|lg(x－1)|的图象(如图)．
二、比较大小
例2 比较下列各组数的大小：
(1)log5与log5；
(2)与；
(3)log23与log54.
解 (1)方法一 对数函数y＝log5x在(0，＋∞)上是增函数，而<，所以log5方法二 因为log5<0，log5>0，
所以log5(2)由于＝，＝，
又对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且0<<<1，
所以0>log2>log2，所以<，
所以
(3)取中间值1，因为log23>log22＝1＝log55>log54，所以log23>log54.
反思感悟 比较对数值大小时常用的四种方法
(1)同底数的利用对数函数的单调性．
(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化．
(3)底数和真数都不同，找中间量．
(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．
跟踪训练2 (1)(2019·全国Ⅰ)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则( )
A．a答案 B
解析 ∵a＝log20.2<0，b＝20.2>1，c＝0.20.3∈(0,1)，∴a(2)比较下列各组值的大小：
①②log1.51.6，log1.51.4；
③log0.57，log0.67；④log3π，log20.8.
解 ①因为函数是(0，＋∞)上的减函数，且0.5<0.6，
所以
②因为函数y＝log1.5x是(0，＋∞)上的增函数，且1.6>1.4，
所以log1.51.6>log1.51.4.
③因为0>log70.6>log70.5，所以<，
即log0.67④因为log3π>log31＝0，
log20.8log20.8.
1．当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为( )
答案 C
解析 y＝a－x＝x，∵a>1，∴0<<1，
则y＝a－x在(－∞，＋∞)上是减函数，过定点(0,1)；
对数函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，过定点(1,0)．故选C.
2．函数y＝2＋log2x(x≥1)的值域为( )
A．(2，＋∞) B．(－∞，2) C．[2，＋∞) D．[3，＋∞)
答案 C
解析 当x≥1时，log2x≥0，
所以y＝2＋log2x≥2.
3．已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则( )
A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．c>a>b
答案 B
解析 a＝log23.6>1,1>c＝log43.6>b＝log43.2，故选B.
4．已知函数y＝loga(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．
答案 (4，－1)
解析 y＝logax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，
令x－3＝1，得x＝4，此时y＝－1.
5．已知f(x)＝log3x.
(1)作出这个函数的图象；
(2)若f(a)解 (1)作出函数y＝log3x的图象如图所示．
(2)由图象知，当0恒有f(a)∴所求a的取值范围为(0,2)．
1．知识清单：
(1)对数函数的图象及性质．
(2)利用对数函数的图象及性质比较大小．
2．方法归纳：图象变换，数形结合法．
3．常见误区：作对数函数图象易忽视底数a>1与01．若0A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 A
解析 ∵y＝loga(x＋5)过定点(－4,0)且单调递减，
∴函数图象不过第一象限，故选A.
2．已知<<0，则( )
A．nC．1答案 D
解析 因为0<<1，<<0，
所以m>n>1，故选D.
3．设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( )
A．c>b>a B．b>c>a
C．a>c>b D．a>b>c
考点 对数值大小比较
题点 对数值大小比较
答案 D
解析 a＝log36＝log32＋1，b＝log52＋1，c＝log72＋1，
在同一坐标系内分别画出y＝log3x，y＝log5x，y＝log7x的图象，
当x＝2时，由图易知log32>log52>log72，
∴a>b>c.
4.如图，曲线是对数函数y＝logax的图象，已知a的取值有，，，，则相应C1，C2，C3，C4的a的值依次是( )
A.，，，
B.，，，
C.，，，
D.，，，
答案 B
5．已知实数a＝log45，b＝0，c＝log30.4，则a，b，c的大小关系为( )
A．bC．c答案 D
解析 由题意知，a＝log45>1，b＝0＝1，
c＝log30.4<0，故c6．比较大小，用不等号连接起来．
(1)log0.81.5________log0.82；
(2)log25________log75；
(3)log34________2；
(4)log35________log64.
答案 (1)> (2)> (3)< (4)>
7．函数y＝loga(x－4)＋2(a>0且a≠1)恒过定点________．
答案 (5,2)
解析 令x－4＝1得x＝5，
此时y＝loga1＋2＝2，
所以函数y＝loga(x－4)＋2恒过定点(5,2)．
8．如果函数f(x)＝(3－a)x与g(x)＝logax的增减性相同，则实数a的取值范围是________．
答案 1解析 若f(x)，g(x)均为增函数，
则即1若f(x)，g(x)均为减函数，则无解．
故19.已知函数y＝loga(x＋b)的图象如图所示．
(1)求实数a与b的值；
(2)函数y＝loga(x＋b)与y＝logax的图象有何关系？
解 (1)由图象可知，函数的图象过(－3,0)点与(0,2)点，
所以得方程0＝loga(－3＋b)与2＝logab，
解得a＝2，b＝4.
(2)由(1)知，y＝log2(x＋4)．函数y＝log2(x＋4)的图象可以由y＝log2x的图象向左平移4个单位长度得到．
10．求下列函数的定义域与值域：
(1)y＝log2(x－2)；
(2)y＝log4(x2＋8)．
解 (1)由x－2>0，得x>2，
所以函数y＝log2(x－2)的定义域是(2，＋∞)，值域是R.
(2)因为对任意实数x，log4(x2＋8)都有意义，
所以函数y＝log4(x2＋8)的定义域是R.
又因为x2＋8≥8，
所以log4(x2＋8)≥log48＝，
即函数y＝log4(x2＋8)的值域是.
11．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为( )
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
答案 A
解析 ∵3x>0，∴3x＋1>1.
∴log2(3x＋1)>0.
∴函数f(x)的值域为(0，＋∞)．
12．若0A．3y<3x B．logx3C．log4x答案 C
解析 因为0所以由函数的单调性得3x<3y，logx3>logy3，log4xy，故选C.
13．若f(x)是对数函数且f(9)＝2，当x∈[1,3]时，f(x)的值域是________．
答案 [0,1]
解析 设f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，
因为loga9＝2，所以a＝3，即f(x)＝log3x.
又因为x∈[1,3]，所以0≤f(x)≤1.
14．已知f(x)＝的值域为R，那么实数a的取值范围是________．
答案
解析 要使函数f(x)的值域为R，则必须满足
即所以－≤a<.
15．若函数f(x)＝loga(x＋b)的图象如图所示，其中a，b为常数，则函数g(x)＝ax＋b的图象大致是( )
考点 对数函数的图象
题点 同一坐标系下的指数函数与对数函数的图象
答案 D
解析 由f(x)的图象可知0∴g(x)的图象应为D.
16．已知函数f(x)＝||.
(1)画出函数y＝f(x)的图象；
(2)写出函数y＝f(x)的单调区间；
(3)当x∈时，函数y＝f(x)的值域为[0,1]，求m的取值范围．
解 (1)先作出y＝的图象，再把y＝的图象x轴下方的部分往上翻折，得到f(x)＝||的图象如图．
(2)f(x)的定义域为(0，＋∞)，由图可知，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
(3)由f(x)＝||的图象可知f?＝f(2)＝1，f(1)＝0，
由题意结合图象知，1≤m≤2.
课件34张PPT。4.4.2 对数函数的图象和性质(一)第四章 4.4 对数函数学习目标XUEXIMUBIAO1.初步掌握对数函数的图象和性质.
2.会类比指数函数研究对数函数的性质.
3.掌握对数函数的图象和性质的简单应用.NEIRONGSUOYIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PART ONE知识点 对数函数的图象和性质对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：(0，＋∞)Rx轴(1,0)(－∞，0)[0，＋∞)(0，＋∞)(－∞，0]1.函数y＝log4.3x的值域是________.预习小测 自我检验YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YANR2.函数y＝lg(x＋1)的图象大致是________.③解析 由底数大于1可排除①，②，y＝lg(x＋1)可看作是y＝lg x的图象向左平移1个单位长度(或令x＝0得y＝0，而且函数为增函数).3.已知y＝ax在R上是增函数，则y＝logax在(0，＋∞)上是____函数.(填“增”或“减”)
4.函数y＝logax＋1过定点________.增(1,1)2题型探究PART TWO例1 (1)函数y＝x＋a与y＝logax的图象可能是下图中的一、对数函数的图象问题√(2)函数y＝loga(x＋2)＋3(a>0且a≠1)的图象过定点________.(－1,3)解析 令x＋2＝1，所以x＝－1，y＝3.
所以过定点(－1,3).(3)已知f(x)＝loga|x|满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象.解 因为f(－5)＝1，所以loga5＝1，即a＝5，所以函数y＝log5|x|的图象如图所示.延伸探究
在本例中，若条件不变，试画出函数g(x)＝loga|x－1|的图象.解 因为f(x)＝log5|x|，
所以g(x)＝log5|x－1|，
如图，g(x)的图象是由f(x)的图象向右平移1个单位长度得到.反思感悟现在画图象很少单纯依靠描点，大多是以常见的函数为原料加工，所以一方面要掌握一些平移、对称变换的结论，另一方面要关注定义域、值域、单调性、关键点.跟踪训练1 (1)如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则
A.0B.0C.a>b>1
D.b>a>1√解析 作直线y＝1，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0②再画出函数y＝lg(x－1)的图象(如图).
③最后画出函数y＝|lg(x－1)|的图象(如图).二、比较大小例2 比较下列各组数的大小：解 方法一 对数函数y＝log5x在(0，＋∞)上是增函数，(2) 与 ；所以(3)log23与log54.解 取中间值1，因为log23>log22＝1＝log55>log54，
所以log23>log54.反思感悟比较对数值大小时常用的四种方法
(1)同底数的利用对数函数的单调性.
(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化.
(3)底数和真数都不同，找中间量.
(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.跟踪训练2 (1)(2019·全国Ⅰ)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则
A.aC.c1，c＝0.20.3∈(0,1)，
∴a1.4，
所以log1.51.6>log1.51.4.③log0.57，log0.67；即log0.67log31＝0，
log20.8log20.8.3随堂演练PART THREE123451.当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为√则y＝a－x在(－∞，＋∞)上是减函数，过定点(0,1)；
对数函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，过定点(1,0).故选C.123452.函数y＝2＋log2x(x≥1)的值域为
A.(2，＋∞) B.(－∞，2)
C.[2，＋∞) D.[3，＋∞)√解析 当x≥1时，log2x≥0，
所以y＝2＋log2x≥2.134523.已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则
A.a>b>c B.a>c>b
C.b>a>c D.c>a>b√解析 a＝log23.6>1,1>c＝log43.6>b＝log43.2，故选B.134524.已知函数y＝loga(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是_________.(4，－1)解析 y＝logax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，
令x－3＝1，得x＝4，此时y＝－1.134525.已知f(x)＝log3x.
(1)作出这个函数的图象；解 作出函数y＝log3x的图象如图所示.13452(2)若f(a)恒有f(a)∴所求a的取值范围为(0,2).课堂小结KE TANG XIAO JIE1.知识清单：
(1)对数函数的图象及性质.
(2)利用对数函数的图象及性质比较大小.
2.方法归纳：图象变换，数形结合法.
3.常见误区：作对数函数图象易忽视底数a>1与0