5.1.2 弧度制
学习目标 1.了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系.2.理解“1弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数．
知识点一 度量角的两种单位制
1．角度制：
(1)定义：用度作为单位来度量角的单位制．
(2)1度的角：周角的.
2．弧度制：
(1)定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．
(2)1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角．
知识点二 弧度数的计算
思考 比值与所取的圆的半径大小是否有关？
答案 一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关．
知识点三 角度与弧度的互化
角度化弧度
弧度化角度
360°＝2π rad
2π rad＝360°
180°＝π rad
π rad＝180°
1°＝ rad≈0.017 45 rad
1 rad＝°≈57.30°
度数×＝弧度数
弧度数×°＝度数
知识点四 弧度制下的弧长与扇形面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则
(1)弧长公式：l＝αR.
(2)扇形面积公式：S＝lR＝αR2.
思考 扇形的面积公式与哪个平面图形的面积公式类似？对应的图形是否也类似？
答案 扇形的面积公式与三角形的面积公式类似．实际上，扇形可看作是一曲边三角形，弧是底，半径是底上的高．
预习小测 自我检验
1．18°＝________ rad.
答案
2.π＝________.
答案 54°
3．若α＝，则α是第________象限角．
答案 一
4．圆心角为弧度，半径为6的扇形的面积为________．
答案 6π
解析 扇形的面积为×62×＝6π.
一、弧度制的概念
例1 下列说法正确的是( )
A．1弧度的圆心角所对的弧长等于半径
B．大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大
C．所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等
D．用弧度表示的角都是正角
考点 弧度制
题点 弧度制定义
答案 A
解析 对于A，根据弧度的定义知，“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”，故A正确；对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误；对于C，不在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是不等的，故C错误；对于D，用弧度表示的角也可以不是正角，故D错误．
反思感悟 对弧度制定义的三点说明
(1)不管是以弧度还是度为单位的角的大小，都是一个与半径的大小无关的定值．
(2)在弧度制下，“弧度”二字或“rad”可以省略不写，如2 rad可简写为2.
(3)用弧度与度去度量同一个角时，除了零角以外，所得到的数量是不同的．
跟踪训练1 下列各说法中，错误的是( )
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角
C．根据弧度的定义，180°一定等于π弧度
D．不论用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关
答案 D
解析 根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以D是错误的，其他A，B，C正确．
二、角度制与弧度制的互化
例2 把下列角度化成弧度或弧度化成角度：
(1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－.
解 (1)72°＝72×＝；
(2)－300°＝－300×＝－；
(3)2＝2×°＝°；
(4)－＝－°＝－40°.
反思感悟 角度与弧度互化技巧
在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键，由它可以得到：度数×＝弧度数，弧度数×°＝度数．
跟踪训练2 已知α＝15°，β＝，γ＝1，θ＝105°，φ＝，试比较α，β，γ，θ，φ的大小．
解 α<β<γ<θ＝φ.
三、与扇形的弧长、面积有关的计算
例3 已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数．
解 设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l cm，半径为R cm，
依题意有
①代入②得R2－5R＋4＝0，解之得R1＝1，R2＝4.
当R＝1时，l＝8，此时，θ＝8 rad>2π rad舍去．
当R＝4时，l＝2，此时，θ＝＝(rad)．
综上可知，扇形圆心角的弧度数为 rad.
延伸探究
1．已知一扇形的圆心角是72°，半径为20，求扇形的面积．
解 设扇形弧长为l，因为圆心角72°＝72×＝ rad，
所以扇形弧长l＝|α|·r＝×20＝8π，
于是，扇形的面积S＝l·r＝×8π×20＝80π.
2．已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？
解 设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，半径为r，面积为S，
则l＋2r＝4，所以l＝4－2r，
所以S＝l·r＝×(4－2r)×r＝－r2＋2r＝－(r－1)2＋1，
所以当r＝1时，S最大，且Smax＝1，
因此，θ＝＝＝2(rad)．
反思感悟 扇形的弧长和面积的求解策略
(1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是S＝lR＝αR2(其中l是扇形的弧长，R是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π)．
(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．
跟踪训练3 已知扇形的半径为10 cm，圆心角为60°，求扇形的弧长和面积．
解 已知扇形的圆心角α＝60°＝，半径r＝10 cm，
则弧长l＝α·r＝×10＝(cm)，
于是面积S＝lr＝××10＝(cm2)．
1．下列说法中，错误的是( )
A．半圆所对的圆心角是π rad
B．周角的大小等于2π
C．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
答案 D
解析 根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A，B，C均正确，D错误．
2．若α＝－2 rad，则α的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 C
3．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为( )
A.π B．－π
C. π D．－π
答案 B
解析 显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了周，转过的弧度为－×2π＝－π.
4．在半径为10的圆中，的圆心角所对弧长为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 由于r＝10，α＝，所以弧长l＝r·α＝.
5．周长为9，圆心角为1 rad的扇形面积为________．
答案
解析 由题意可知所以
所以S＝lr＝.
1．知识清单：
(1)弧度制的概念．
(2)弧度与角度的相互转化．
(3)扇形的弧长与面积的计算．
2．方法归纳：消元法解方程组．
3．常见误区：弧度与角度混用．
1．－120°化为弧度为( )
A．－π B．－ C．－π D．－π
答案 C
解析 由于1°＝ rad，
所以－120°＝－120×＝－，故选C.
2．若圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则( )
A．扇形的面积不变
B．扇形的圆心角不变
C．扇形的面积增大到原来的2倍
D．扇形的圆心角增大到原来的2倍
答案 B
解析 ∵l＝|α|R，∴|α|＝.
当R，l均变为原来的2倍时，|α|不变．
而S＝|α|R2中，∵α不变，∴S变为原来的4倍．
3．用弧度制表示终边与150°角相同的角的集合为( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 150°＝150×＝，故终边与角150°相同的角的集合为.故选D.
4．圆的半径为r，该圆上长为r的弧所对的圆心角是( )
A. rad B. rad C.π D.π
答案 B
解析 由弧度数公式α＝，得α＝＝，
因此圆弧所对的圆心角是 rad.
5．集合中角所表示的范围(阴影部分)是( )
答案 C
解析 k为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线y＝x左上部分(包含边界)，k为奇数时集合对应的区域为第三象限内直线y＝x的右下部分(包含边界)．故选C.
6. rad＝________度，________ rad＝－480°.
答案 15 －
解析 ＝＝15°，－480°＝－480×＝－.
7．把角－690°化为2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式为________．
答案 －4π＋
解析 方法一 －690°＝－＝－π.
因为－π＝－4π＋，所以－690°＝－4π＋.
方法二 －690°＝－2×360°＋30°，
则－690°＝－4π＋.
8．在扇形中，已知半径为8，弧长为12，则圆心角是______弧度，扇形面积是______．
答案 48
解析 |α|＝＝＝，
S＝l·r＝×12×8＝48.
9．将下列各角化成弧度制下的角，并指出是第几象限角．
(1)－1 725°；(2)－60°＋360°·k(k∈Z)．
解 (1)－1 725°＝75°－5×360°＝－5×2π＋
＝－，是第一象限角．
(2)－60°＋360°·k＝－×60＋2π·k
＝－＋2kπ(k∈Z)，是第四象限角．
10．已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.
(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；
(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.
解 (1)由⊙O的半径r＝10＝AB，
知△AOB是等边三角形，
∴α＝∠AOB＝60°＝.
(2)由(1)可知α＝，r＝10，
∴弧长l＝α·r＝×10＝，
∴S扇形＝lr＝××10＝，
而S△AOB＝·AB·AB＝×10×5＝25，
∴S弓形＝S扇形－S△AOB＝25.
11．下列表示中不正确的是( )
A．终边在x轴上角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}
B．终边在y轴上角的集合是
C．终边在坐标轴上角的集合是
D．终边在直线y＝x上角的集合是
答案 D
解析 对于A，终边在x轴上角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}，故A正确；
对于B，终边在y轴上的角的集合是，故B正确；
对于C，终边在x轴上的角的集合为{α|α＝kπ，k∈Z}，终边在y轴上的角的集合为，其并集为，故C正确；
对于D，终边在直线y＝x上的角的集合是，故D不正确．
12．圆的一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆周角的弧度数为( )
A．1 B.
C.或 D.或
答案 C
解析 设该弦所对的圆周角为α，
则其圆心角为2α或2π－2α，
由于弦长等于半径，
所以可得2α＝或2π－2α＝，解得α＝或α＝.
13．设集合M＝，N＝{α|－π<α<π}，则M∩N＝____________.
答案
解析 由－π<－<π，得－因为k∈Z，所以k＝－1,0,1,2，所以M∩N＝.
14．已知一扇形的弧长为，面积为，则其半径r＝________，圆心角为________．
答案 2
解析 设圆心角度数为α，因为扇形的弧长为，面积为＝××r，
解得r＝2，由于扇形的弧长为＝rα＝2α，解得α＝.
15．扇形圆心角为，半径为a，则扇形内切圆的面积与扇形面积之比为________．
答案 2∶3
解析 如图，设内切圆半径为r，
则r＝，
所以S圆＝π·2＝，
S扇＝a2·＝，
所以＝.
16.如图，动点P，Q从点A(4,0)出发，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求P，Q第一次相遇时所用的时间及P，Q点各自走过的弧长．
解 设P，Q第一次相遇时所用的时间是t 秒，
则t·＋t·＝2π，
所以t＝4 秒，
即P，Q第一次相遇时所用的时间为4 s.
P点走过的弧长为×4＝，
Q点走过的弧长为×4＝.
课件33张PPT。5.1.2 弧度制第五章 5.1 任意角和弧度制学习目标XUEXIMUBIAO1.了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系.
2.理解“1弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数.NEIRONGSUOYIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PART ONE知识点一 度量角的两种单位制1.角度制：
(1)定义：用 作为单位来度量角的单位制.
(2)1度的角：周角的 .
2.弧度制：
(1)定义：以 作为单位来度量角的单位制.
(2)1弧度的角：长度等于 的圆弧所对的圆心角.度弧度半径长知识点二 弧度数的计算正负0思考 比值 与所取的圆的半径大小是否有关？答案 一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关.知识点三 角度与弧度的互化2ππ360°180°知识点四 弧度制下的弧长与扇形面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则
(1)弧长公式：l＝ .αR思考 扇形的面积公式与哪个平面图形的面积公式类似？对应的图形是否也类似？答案 扇形的面积公式与三角形的面积公式类似.实际上，扇形可看作是一曲边三角形，弧是底，半径是底上的高.1.18°＝________ rad.预习小测 自我检验YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN54°一6π2题型探究PART TWO解析 对于A，根据弧度的定义知，“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”，故A正确；
对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误；
对于C，不在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是不等的，故C错误；
对于D，用弧度表示的角也可以不是正角，故D错误.例1 下列说法正确的是
A.1弧度的圆心角所对的弧长等于半径
B.大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大
C.所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等
D.用弧度表示的角都是正角一、弧度制的概念√反思感悟对弧度制定义的三点说明
(1)不管是以弧度还是度为单位的角的大小，都是一个与半径的大小无关的定值.
(2)在弧度制下，“弧度”二字或“rad”可以省略不写，如2 rad可简写为2.
(3)用弧度与度去度量同一个角时，除了零角以外，所得到的数量是不同的.跟踪训练1 下列各说法中，错误的是
A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B.1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角
C.根据弧度的定义，180°一定等于π弧度
D.不论用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关√解析 根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以D是错误的，其他A，B，C正确.二、角度制与弧度制的互化例2 把下列角度化成弧度或弧度化成角度：
(1)72°；(2)－300°；(3)2；反思感悟角度与弧度互化技巧
在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键，由它可以得到：解 α<β<γ<θ＝φ.三、与扇形的弧长、面积有关的计算例3 已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数.解 设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l cm，半径为R cm，①代入②得R2－5R＋4＝0，解之得R1＝1，R2＝4.
当R＝1时，l＝8，此时，θ＝8 rad>2π rad舍去.延伸探究
1.已知一扇形的圆心角是72°，半径为20，求扇形的面积.解 设扇形弧长为l，因为圆心角解 设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，半径为r，面积为S，2.已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？所以当r＝1时，S最大，且Smax＝1，反思感悟扇形的弧长和面积的求解策略
(1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是S＝ lR＝ αR2(其中l是扇形的弧长，R是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π).
(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解.跟踪训练3 已知扇形的半径为10 cm，圆心角为60°，求扇形的弧长和面积.3随堂演练PART THREE123451.下列说法中，错误的是
A.半圆所对的圆心角是π rad
B.周角的大小等于2π
C.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度√解析 根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A，B，C均正确，D错误.123452.若α＝－2 rad，则α的终边在
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限√134523.时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为√解析 显然分针在1点到3点20分这段时间里，13452√134525.周长为9，圆心角为1 rad的扇形面积为________.课堂小结KE TANG XIAO JIE1.知识清单：
(1)弧度制的概念.
(2)弧度与角度的相互转化.
(3)扇形的弧长与面积的计算.
2.方法归纳：消元法解方程组.
3.常见误区：弧度与角度混用.本课结束
