5.2 三角函数的概念
5.2.1 三角函数的概念
学习目标 1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.2.掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号.3.会利用角的终边上的点的坐标求角的正弦、余弦、正切.4.掌握公式并会应用．
知识点一 任意角的三角函数的定义
设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，
点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝y；点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即cos α＝x；把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝(x≠0)．
正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，分别记为：
正弦函数y＝sin x，x∈R；
余弦函数y＝cos x，x∈R；
正切函数y＝tan x，x≠＋kπ(k∈Z)．
思考 三角函数值的大小与点P在角α终边上位置是否有关？
答案 三角函数值是比值，是一个实数，它的大小与点P在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．
知识点二 正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号
1．图示：
2．口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
知识点三 公式一
sin(α＋2kπ)＝sin α，
cos(α＋2kπ)＝cos α，
tan(α＋2kπ)＝tan α，
其中k∈Z.
终边相同的角的同一三角函数的值相等．
思考 同一三角函数值相等时，角是否一定相等或相差周角的整数倍？
答案 不一定，如sin 30°＝sin 150°＝.
1．sin α表示sin 与α的乘积．( × )
2．设角α终边上的点P(x，y)，r＝|OP|≠0，则sin α＝，且y越大，sin α的值越大．( × )
3．终边相同的角的同一三角函数值相等．( √ )
4．终边落在y轴上的角的正切函数值为0.( × )
一、任意角三角函数的定义及应用
例1 (1)已知角α的终边与单位圆的交点为P(y<0)，则tan α＝ .
答案 －
解析 因为点P(y<0)在单位圆上，则＋y2＝1，
所以y＝－，所以tan α＝－.
(2)已知角α的终边落在射线y＝2x(x≥0)上，求sin α，cos α的值．
解 设射线y＝2x(x≥0)上任一点P(x0，y0)，
则|OP|＝r＝，
∵y0＝2x0，∴r＝x0，
∴sin α＝＝，cos α＝＝.
延伸探究
1．若将本例(1)中条件“α的终边与单位圆的交点为P(y<0)”改为“α的终边经过点P(－3，－4)”，求角α的正弦、余弦和正切值．
解 由已知可得|OP|＝＝5.
如图所示，设角α的终边与单位圆交于点P0(x，y)．
分别过点P，P0作x轴的垂线PM，P0M0，
则|MP|＝4，|M0P0|＝－y，
|OM|＝3，|OM0|＝－x，
△OMP∽△OM0P0，
于是，sin α＝y＝＝－＝＝－；
cos α＝x＝＝－＝＝－；
tan α＝＝＝.
2．若将本例(2)中条件“α的终边落在射线y＝2x(x≥0)上”，换为“α的终边落在直线y＝2x上”，其结论又如何呢？
解 (1)若α的终边在第一象限内，
设点P(a,2a)(a>0)是其终边上任意一点，
因为r＝|OP|＝＝a
所以sin α＝＝＝，cos α＝＝＝.
(2)若α的终边在第三象限内，
设点P(a,2a)(a<0)是其终边上任意一点，
因为r＝|OP|＝＝－a(a<0)，
所以sin α＝＝＝－，cos α＝＝＝－.
反思感悟 利用三角函数的定义求值的策略
(1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值．
②注意到角的终边为直线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标(a，b)(a≠0)，则对应角的正弦值sin α＝，余弦值cos α＝，正切值tan α＝.
(2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.
跟踪训练1 已知角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0)，则2sin α＋cos α＝ .
答案 1或－1
解析 因为r＝＝5|a|，
①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限．
sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，
所以2sin α＋cos α＝－＝1.
②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，
sin α＝＝－，cos α＝＝.
所以2sin α＋cos α＝－＋＝－1.
二、三角函数值符号的运用
例2 (1)已知点P(tan α，cos α)在第四象限，则角α的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)下列各式：
①sin(－100°)；②cos(－220°)；③tan(－10)；④cos π.
其中符号为负的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案 (1)C (2)D
解析 (1)因为点P在第四象限，所以有
由此可判断角α的终边在第三象限．
(2)－100°在第三象限，故sin(－100°)<0；－220°在第二象限，故cos(－220°)<0；
－10∈，在第二象限，故tan(－10)<0，cos π＝－1<0.
反思感悟 判断三角函数值正负的两个步骤
(1)定象限：确定角α所在的象限．
(2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断．
跟踪训练2 已知点P(sin α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 C
三、公式一的应用
例3 计算下列各式的值：
(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°；
(2)sin＋costan 4π.
解 (1)原式
＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)
＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°
＝×＋×＝＋＝.
(2)原式＝sin＋costan(4π＋0)＝sin ＋cos ×0＝.
反思感悟 利用诱导公式一求解任意角的三角函数的步骤
跟踪训练3 (1)cos 405°的值是( )
A. B．－ C. D．－
答案 C
解析 cos 405°＝cos(45°＋360°)＝cos 45°＝.
(2)sin ＋tan＝ .
答案 ＋1
解析 sin ＋tan＝sin＋tan＝sin ＋tan ＝＋1.
1．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于( )
A. B. C．－ D．－
答案 D
2．sin(－315°)的值是( )
A．－ B．－ C. D.
答案 C
解析 sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin 45°＝.
3．若sin θ·cos θ>0，则θ在( )
A．第一或第四象限 B．第一或第三象限
C．第一或第二象限 D．第二或第四象限
答案 B
解析 因为sin θ·cos θ>0，
所以sin θ<0，cos θ<0或sin θ>0，cos θ>0，
所以θ在第一象限或第三象限．
4．tan＝ .
答案
解析 tan＝tan＝tan ＝.
5．y＝sin x＋tan x的定义域为 ．
答案
解析 要使函数有意义，需满足
∴函数的定义域为.
1．知识清单：
(1)三角函数的定义及求法；
(2)三角函数在各象限内的符号；
(3)公式一．
2．方法归纳：负角化为正角、大角化为小角的化归思想；角的终边位置上点的不确定引起的分类讨论思想．
3．常见误区：三角函数值的大小只与角的大小有关，与终边上的点无关；正切函数的定义域为.
1．已知角α的终边与单位圆交于点，则sin α的值为( )
A．－ B．－ C. D.
答案 B
2．若cos α＝－，且角α的终边经过点P(x,2)，则P点的横坐标x是( )
A．2 B．±2 C．－2 D．－2
答案 D
解析 因为cos α＝－<0，所以x<0，
又r＝，由题意得＝－，
所以x＝－2.故选D.
3．有下列命题，其中正确的个数是( )
①终边相同的角的同名三角函数值相等；
②同名三角函数值相等的角也相等；
③终边不相同，它们的同名三角函数值一定不相等；
④不相等的角，同名三角函数值也不相等．
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 对于①，由诱导公式一可得正确；
对于②，由sin 30°＝sin 150°＝，
但30°≠150°，所以②错误；
对于③，如α＝60°，β＝120°的终边不相同，
但sin 60°＝sin 120°＝，所以③错误；
对于④，由③中的例子可知④错误．
4．代数式sin(－330°)cos 390°的值为( )
A．－ B. C．－ D.
答案 B
解析 由诱导公式可得，
sin(－330°)cos 390°＝sin 30°×cos 30°
＝×＝，故选B.
5．函数y＝＋的定义域是( )
A．(2kπ，2kπ＋π)，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D．[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z
答案 B
解析 由sin x≥0，－cos x≥0，
得x为第二象限角或y轴正半轴上的角或x轴负半轴上的角，
所以2kπ＋≤x≤2kπ＋π，k∈Z.
6．若420°角的终边所在直线上有一点(－4，a)，则a的值为 ．
答案 －4
解析 由三角函数定义知，tan 420°＝－，
又tan 420°＝tan(360°＋60°)＝tan 60°＝，
∴－＝，∴a＝－4.
7．点P(tan 2 019°，cos 2 019°)位于第 象限．
答案 四
解析 因为2 019°＝5×360°＋219°，
所以2 019°与219°终边相同，是第三象限角，
所以tan 2 019°>0，cos 2 019°<0，
所以点P位于第四象限．
8．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是 ．
考点 三角函数值在各象限的符号
题点 三角函数值在各象限的符号
答案 (－2,3]
解析 由cos α≤0，sin α>0可知，角α的终边落在第二象限内或y轴的正半轴上，所以解得－2
9．已知角α的终边过点P(12，a)，且tan α＝，求sin α＋cos α的值．
解 根据三角函数的定义，tan α＝＝，
所以a＝5，所以P(12,5)．这时r＝13，
所以sin α＝，cos α＝，从而sin α＋cos α＝.
10．化简下列各式：
(1)sin π＋cos π＋cos(－5π)＋tan ；
(2)a2sin 810°－b2cos 900°＋2abtan 1 125°.
解 (1)原式＝sin π＋cos ＋cos π＋1
＝－1＋0－1＋1＝－1.
(2)原式＝a2sin 90°－b2cos 180°＋2abtan 45°
＝a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2.
11．如果点P(sin θ＋cos θ，sin θcos θ)位于第二象限，那么角θ所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 C
解析 ∵P点位于第二象限，∴
则有sin θ<0且cos θ<0，
∴角θ位于第三象限．
12．某点从点(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1按逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 由三角函数定义可得Q，
cos ＝－，sin ＝.
13．如果cos x＝|cos x|，那么角x的取值范围是 ．
答案 ，k∈Z
解析 因为cos x＝|cos x|，所以cos x≥0，所以角x的终边落在y轴或其右侧，从而角x的取值范围是，k∈Z.
14．已知角α的顶点为坐标原点，以x轴的非负半轴为始边，它的终边过点，则sin α＝ ，cos α＝ .
答案 －
解析 由三角函数的定义得r＝＝＝1，
则sin α＝＝－，cos α＝.
15．α是第三象限角，且＝－cos ，则所在象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 B
解析 因为α是第三象限角，
所以2kπ＋π<α<2kπ＋，k∈Z.
所以kπ＋<所以在第二、四象限．
又因为＝－cos ，
所以cos <0.
所以在第二象限．
16．已知＝－，且lg(cos α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点是M?，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值．
解 (1)由＝－，可知sin α<0，
由lg(cos α)有意义可知cos α>0，
所以角α是第四象限角．
(2)∵|OM|＝1，∴2＋m2＝1，
解得m＝±.
又α是第四象限角，故m<0，从而m＝－.
由正弦函数的定义可知sin α＝＝＝＝－.
课件37张PPT。5.2.1 三角函数的概念第五章 5.2 三角函数的概念学习目标XUEXIMUBIAO1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
2.掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号.
3.会利用角的终边上的点的坐标求角的正弦、余弦、正切.
4.掌握公式并会应用.NEIRONGSUOYIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PART ONE知识点一 任意角的三角函数的定义yyxx思考 三角函数值的大小与点P在角α终边上位置是否有关？答案 三角函数值是比值，是一个实数，它的大小与点P在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关.知识点二 正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号1.图示：2.口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.知识点三 公式一sin(α＋2kπ)＝ ，
cos(α＋2kπ)＝ ，
tan(α＋2kπ)＝ ，
其中k∈Z.
终边相同的角的同一三角函数的值 .sin αcos αtan α相等思考 同一三角函数值相等时，角是否一定相等或相差周角的整数倍？思考辨析 判断正误SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU1.sin α表示sin 与α的乘积.( )
2.设角α终边上的点P(x，y)，r＝|OP|≠0，则sin α＝ ，且y越大，sin α的值越大.( )
3.终边相同的角的同一三角函数值相等.( )
4.终边落在y轴上的角的正切函数值为0.( )××√×2题型探究PART TWO一、任意角三角函数的定义及应用(2)已知角α的终边落在射线y＝2x(x≥0)上，求sin α，cos α的值.解 设射线y＝2x(x≥0)上任一点P(x0，y0)，延伸探究如图所示，设角α的终边与单位圆交于点P0(x，y).分别过点P，P0作x轴的垂线PM，P0M0，
则|MP|＝4，|M0P0|＝－y，|OM|＝3，|OM0|＝－x，
△OMP∽△OM0P0，2.若将本例(2)中条件“α的终边落在射线y＝2x(x≥0)上”，换为“α的终边落在直线y＝2x上”，其结论又如何呢？解 (1)若α的终边在第一象限内，
设点P(a,2a)(a>0)是其终边上任意一点，(2)若α的终边在第三象限内，
设点P(a,2a)(a<0)是其终边上任意一点，利用三角函数的定义求值的策略
(1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值.
②注意到角的终边为直线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点
坐标(a，b)(a≠0)，则对应角的正弦值sin α＝ ，余弦值cos α＝(2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.跟踪训练1 已知角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0)，则2sin α＋cos α＝ .1或－1①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限.②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，二、三角函数值符号的运用例2 (1)已知点P(tan α，cos α)在第四象限，则角α的终边在
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限√由此可判断角α的终边在第三象限.(2)下列各式：
①sin(－100°)；②cos(－220°)；③tan(－10)；④cos π.
其中符号为负的有
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个√解析 －100°在第三象限，故sin(－100°)<0；
－220°在第二象限，故cos(－220°)<0；判断三角函数值正负的两个步骤
(1)定象限：确定角α所在的象限.
(2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断.跟踪训练2 已知点P(sin α，cos α)在第三象限，则角α的终边在
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限√三、公式一的应用例3 计算下列各式的值：
(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°；解 原式
＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)
＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°利用诱导公式一求解任意角的三角函数的步骤跟踪训练3 (1)cos 405°的值是√3随堂演练PART THREE123451.已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于√123452.sin(－315°)的值是√134523.若sin θ·cos θ>0，则θ在
A.第一或第四象限 B.第一或第三象限
C.第一或第二象限 D.第二或第四象限√解析 因为sin θ·cos θ>0，
所以sin θ<0，cos θ<0或sin θ>0，cos θ>0，
所以θ在第一象限或第三象限.13452134525.y＝sin x＋tan x的定义域为 .课堂小结KE TANG XIAO JIE1.知识清单：
(1)三角函数的定义及求法；
(2)三角函数在各象限内的符号；
(3)公式一.
2.方法归纳：负角化为正角、大角化为小角的化归思想；角的终边位置上点的不确定引起的分类讨论思想.
3.常见误区：三角函数值的大小只与角的大小有关，与终边上的点无关；正切函数
的定义域为 .本课结束