5.2.2 同角三角函数的基本关系
学习目标 1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用.2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．
知识点 同角三角函数的基本关系
1．平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，即sin2α＋cos2α＝1.
2．商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切，即＝tan α其中α≠kπ＋(k∈Z)．
思考 同角三角函数基本关系中，角α是否是任意角？
答案 平方关系中的角α是任意角，商数关系中的角α并非任意角，α≠kπ＋，k∈Z.
预习小测 自我检验
1．已知α是第四象限角，cos α＝，则sin α＝ .
答案 －
解析 由条件知sin α＝－
＝－＝－.
2．sin2＋cos2＝ .
答案 1
3．已知3sin α＋cos α＝0，则tan α＝ .
答案 －
解析 由题意得3sin α＝－cos α≠0，
∴tan α＝－.
4．若cos α＝，且α为第四象限角，则tan α＝ .
答案 －
解析 因为α为第四象限角，且cos α＝，
所以sin α＝－＝－＝－，
所以tan α＝＝－.
一、已知一个三角函数值求另两个三角函数值
例1 (1)已知α∈，tan α＝2，则cos α＝ .
答案 －
解析 由已知得
由①得sin α＝2cos α代入②得4cos2α＋cos2α＝1，
所以cos2α＝，
又α∈，所以cos α<0，
所以cos α＝－.
(2)已知cos α＝－，求sin α，tan α的值．
解 ∵cos α＝－<0，
∴α是第二或第三象限的角．
如果α是第二象限角，那么
sin α＝＝＝，
tan α＝＝＝－.
如果α是第三象限角，同理可得
sin α＝－＝－，tan α＝.
反思感悟 已知一个三角函数值求其他三角函数值的方法
(1)若已知sin α＝m，可以先应用公式cos α＝±，求得cos α的值，再由公式tan α＝求得tan α的值．
(2)若已知cos α＝m，可以先应用公式sin α＝±，求得sin α的值，再由公式tan α＝求得tan α的值．
(3)若已知tan α＝m，可以应用公式tan α＝＝m?sin α＝mcos α及sin2α＋cos2α＝1，求得cos α＝±，sin α＝±的值．
跟踪训练1 已知sin α＋3cos α＝0，求sin α，cos α的值．
解 ∵sin α＋3cos α＝0，
∴sin α＝－3cos α.
又sin2α＋cos2α＝1，
∴(－3cos α)2＋cos2α＝1，即10cos2α＝1，
∴cos α＝±.
又由sin α＝－3cos α，可知sin α与cos α异号，
∴角α的终边在第二或第四象限．
当角α的终边在第二象限时，
cos α＝－，sin α＝；
当角α的终边在第四象限时，
cos α＝，sin α＝－.
二、化简求值与恒等式的证明
例2 (1)化简：tan α，其中α是第二象限角；
(2)化简：·.
解 (1)因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0.
故tan α＝tan α＝tan α
＝·＝·＝－1.
(2)原式＝·＝·
＝·＝·＝±1.
反思感悟 同角三角函数关系化简常用方法
(1)化切为弦，减少函数名称；
(2)对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，再去掉根号；
(3)对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以降幂化简．
跟踪训练2 求证：·＝1.
证明 ·＝·＝·＝＝＝1.
三、sin θ±cos θ型求值问题
例3 已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，
求：(1)tan θ；(2)sin θ－cos θ.
解 (1)由sin θ＋cos θ＝，
得cos θ＝－sin θ.
又sin2θ＋cos2θ＝1，代入得sin2θ＋2＝1，
整理得sin2θ－sin θ－＝0，
即＝0，
解得sin θ＝－或sin θ＝.
又θ∈(0，π)，所以sin θ>0，故sin θ＝.
所以cos θ＝－sin θ＝－＝－，
故tan θ＝＝－.
(2)方法一 由(1)可知，sin θ－cos θ＝－＝.
方法二 因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，
又sin θ＋cos θ＝，两边平方，
整理得sin θcos θ＝－<0，所以cos θ<0.
又(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1＋＝，
∴sin θ－cos θ＝.
反思感悟 (1)sin θ＋cos θ，sin θcos θ，sin θ－cos θ三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”．
(2)求sin θ＋cos θ或sin θ－cos θ的值，要注意判断它们的符号．
跟踪训练3 若sin θ－cos θ＝，则tan θ＋＝ .
答案 －2
解析 由已知得(sin θ－cos θ)2＝2，
∴sin θcos θ＝－.
∴tan θ＋＝＋＝＝－2.
化切求值的方法技巧
典例 已知tan α＝3，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)sin2α＋cos2α.
解 (1)原式＝＝＝.
(2)原式＝＝＝－.
(3)原式＝＝＝＝.
[素养提升] (1)已知tan α＝m，可以求或的值，将分子分母同除以cos α或cos2α，化成关于tan α的式子，从而达到求值的目的．
(2)对于asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α的求值，可看成分母是1，利用1＝sin2α＋cos2α进行代替后分子分母同时除以cos2α，得到关于tan α的式子，从而可以求值．
(3)齐次式的化切求值问题，体现了数学运算的核心素养．
1．如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是( )
A．tan α＝－ B．cos α＝－
C．sin α＝－ D．tan α＝
答案 B
解析 由商数关系可知A，D均不正确．当α为第二象限角时，cos α<0，sin α>0，故B正确．
2．若cos α＝－，且α是第二象限角，则tan α的值等于( )
A. B．－ C. D．－
答案 B
解析 由题意可得sin α＝＝，
∴tan α＝＝－.
3．已知sin α＝，tan α＝－，则cos α等于( )
A．－ B. C．－ D.
答案 A
解析 由sin α＝>0，tan α＝－<0，可知α是第二象限角，
∴cos α＝－＝－.
4．已知cos α－sin α＝－，则sin αcos α的值为 ．
答案
5．已知tan α＝－，则＝ .
答案
解析 因为tan α＝－，
所以＝＝＝.
1．知识清单：
(1)同角三角函数基本关系式；
(2)三角恒等式的化简与证明；
(3)sin α±cos α型求值问题；
(4)齐次式的化切求值．
2．方法归纳：sin α±cos α型求值问题中的整体代换法．
3．常见误区：求值时注意α的范围，如果无法确定一定要对α所在的象限进行分类讨论．
1．已知α∈，且sin α＝，则tan α等于( )
A. B．－ C. D．－
答案 B
解析 由sin α＝，α∈得cos α＝－＝－，所以tan α＝＝－，
故选B.
2．化简sin2α＋cos4α＋sin2αcos2α的结果是( )
A. B. C．1 D.
答案 C
解析 原式＝sin2α＋cos2α(cos2α＋sin2α)
＝sin2α＋cos2α＝1.
3．若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝，则此三角形是( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
答案 A
解析 将sin α＋cos α＝两边平方，
得1＋2sin αcos α＝，即2sin α·cos α＝－.
又α是三角形的内角，所以sin α>0，cos α<0，
所以α为钝角．
4．化简－得( )
A．－ B. C．－ D.
答案 A
解析 －＝＝＝－.
5．已知sin θ＋cos θ＝，则sin θ－cos θ等于( )
A. B．－ C. D．－
答案 B
解析 由(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，
得2sin θcos θ＝，
则(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，
由0<θ<，知sin θ－cos θ<0，
所以sin θ－cos θ＝－.
6．已知sin α＝，且α为第二象限角，则tan α的值为 ．
答案 －
解析 ∵α是第二象限角，sin α＝，
∴cos α＝－.
于是tan α＝－.
7．已知cos α＝－，且tan α>0，则＝ .
答案 －
解析 由cos α<0，tan α>0知α是第三象限角，且sin α＝－，
故原式＝＝
＝sin α(1＋sin α)＝×＝－.
8．已知tan α＝2，则4sin2α－3sin αcos α－5cos2α＝ .
答案 1
解析 4sin2α－3sin αcos α－5cos2α＝
＝＝＝＝1.
9．已知tan α＝，求下列各式的值：
(1)＋；
(2).
解 (1)＋＝＋
＝＋＝.
(2)＝＝＝.
10．化简：(1)；
(2).
解 (1)原式＝
＝
＝
＝＝1.
(2)原式＝＝＝cos θ.
11．若θ是△ABC的一个内角，且sin θcos θ＝－，则sin θ－cos θ的值为( )
A．－ B. C．－ D.
答案 D
解析 由题意知θ∈，所以sin θ－cos θ>0，
sin θ－cos θ＝
＝＝，故选D.
12.的值为( )
A．1 B．－1
C．sin 10° D．cos 10°
答案 B
解析
＝＝
＝＝－1.
13．化简：(1－cos α)＝ .
答案 sin α
解析 原式＝(1－cos α)
＝(1－cos α)
＝＝＝sin α.
14．若α是第三象限角且cos α＝－，则sin α＝ ，tan α＝ .
答案 －
解析 ∵α是第三象限角且cos α＝－，
∴sin α＝－＝－；
∴tan α＝＝.
15．在△ABC中，sin A＝，则角A等于( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由题意知cos A>0，即A为锐角．
将sin A＝两边平方得2sin2A＝3cos A，
∴2cos2A＋3cos A－2＝0，
解得cos A＝或cos A＝－2(舍去)．
∴A＝.
16．证明：sin α(1＋tan α)＋cos α＝＋.
证明 左边＝sin α＋cos α
＝sin α＋＋cos α＋
＝＋＝＋＝右边．
即原等式成立．
课件36张PPT。5.2.2 同角三角函数的基本关系第五章 5.2 三角函数的概念学习目标XUEXIMUBIAO1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用.
2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明.NEIRONGSUOYIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PART ONE知识点 同角三角函数的基本关系1.平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于 ，即sin2α＋cos2α＝ .
2.商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的 ，即 ＝ 其中α≠kπ＋ (k∈Z).11正切tan α思考 同角三角函数基本关系中，角α是否是任意角？预习小测 自我检验YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN13.已知3sin α＋cos α＝0，则tan α＝ .解析 由题意得3sin α＝－cos α≠0，2题型探究PART TWO一、已知一个三角函数值求另两个三角函数值由①得sin α＝2cos α代入②得4cos2α＋cos2α＝1，∴α是第二或第三象限的角.
如果α是第二象限角，那么如果α是第三象限角，同理可得已知一个三角函数值求其他三角函数值的方法跟踪训练1 已知sin α＋3cos α＝0，求sin α，cos α的值.解 ∵sin α＋3cos α＝0，∴sin α＝－3cos α.
又sin2α＋cos2α＝1，∴(－3cos α)2＋cos2α＝1，即10cos2α＝1，又由sin α＝－3cos α，可知sin α与cos α异号，
∴角α的终边在第二或第四象限.
当角α的终边在第二象限时，当角α的终边在第四象限时，二、化简求值与恒等式的证明解 因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0.同角三角函数关系化简常用方法
(1)化切为弦，减少函数名称；
(2)对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，再去掉根号；
(3)对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以降幂化简.三、sin θ±cos θ型求值问题求：(1)tan θ；(2)sin θ－cos θ.方法二 因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，(1)sin θ＋cos θ，sin θcos θ，sin θ－cos θ三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”.
(2)求sin θ＋cos θ或sin θ－cos θ的值，要注意判断它们的符号.－2解析 由已知得(sin θ－cos θ)2＝2，典例 已知tan α＝3，求下列各式的值：化切求值的方法技巧核心素养之数学运算HE XIN SU YANG ZHI SHU XUE YUN SUAN(2)对于asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α的求值，可看成分母是1，利用1＝sin2α＋cos2α进行代替后分子分母同时除以cos2α，得到关于tan α的式子，从而可以求值.
(3)齐次式的化切求值问题，体现了数学运算的核心素养.3随堂演练PART THREE123451.如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是√解析 由商数关系可知A，D均不正确.
当α为第二象限角时，cos α<0，sin α>0，故B正确.12345√13452√1345213452课堂小结KE TANG XIAO JIE1.知识清单：
(1)同角三角函数基本关系式；
(2)三角恒等式的化简与证明；
(3)sin α±cos α型求值问题；
(4)齐次式的化切求值.
2.方法归纳：sin α±cos α型求值问题中的整体代换法.
3.常见误区：求值时注意α的范围，如果无法确定一定要对α所在的象限进行分类讨论.本课结束
