5.3 诱导公式(一)
学习目标 1.借助圆的对称性推导诱导公式二、三、四.2.记住诱导公式一～四并能运用诱导公式进行求值与化简．
知识点一 公式二
1．角π＋α与角α的终边关于原点对称．如图所示．
2．公式：sin(π＋α)＝－sin α，
cos(π＋α)＝－cos α，
tan(π＋α)＝tan α.
知识点二 公式三
1．角－α与角α的终边关于x轴对称．如图所示．
2．公式：sin(－α)＝－sin α，
cos(－α)＝cos α，
tan(－α)＝－tan α.
知识点三 公式四
1．角π－α与角α的终边关于y轴对称．如图所示．
2．公式：sin(π－α)＝sin α，
cos(π－α)＝－cos α，
tan(π－α)＝－tan α.
思考 诱导公式中角α只能是锐角吗？
答案 诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠kπ＋，k∈Z.
预习小测 自我检验
1．若sin(π＋α)＝，则sin α＝ .
答案 －
解析 sin(π＋α)＝－sin α＝，
∴sin α＝－.
2．若cos(π－α)＝，则cos α＝ .
答案 －
解析 ∵cos(π－α)＝－cos α＝，
∴cos α＝－.
3．已知tan α＝6，则tan(－α)＝ .
答案 －6
4．sin 585°＝ .
答案 －
解析 sin 585°＝sin(360°＋180°＋45°)
＝－sin 45°＝－.
一、给角求值
例1 求值：
(1)cos；
(2)sin 1 320°.
解 (1)cos＝cos＝cos
＝cos＝－cos ＝－.
(2)sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin 240°
＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－.
反思感悟 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
(1)“负化正”：用公式一或三来转化；
(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角；
(3)“小化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角；
(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值．
跟踪训练1 sin ＋tan －cos＝ .
答案 0
解析 原式＝sin＋tan－cos
＝sin ＋tan－cos
＝sin －tan ＋cos ＝－1＋＝0.
二、给值(式)求值
例2 (1)已知cos(π－α)＝－，且α是第一象限角，则sin(－2π－α)的值是( )
A. B．－ C．± D.
答案 B
解析 因为cos(π－α)＝－cos α＝－，
所以cos α＝，
因为α是第一象限角，所以sin α>0，
所以sin α＝＝＝.
所以sin(－2π－α)＝sin(－α)＝－sin α＝－.
(2)已知cos＝，则cos＝ .
答案 －
解析 cos＝cos＝－cos＝－.
延伸探究
1．若本例(2)中的条件不变，如何求cos？
解 cos＝cos＝cos＝cos＝.
2．若本例(2)条件不变，求cos－sin2的值．
解 因为cos＝cos
＝－cos＝－，
sin2＝sin2＝1－cos2
＝1－2＝，
所以cos－sin2＝－－
＝－.
反思感悟 解决条件求值问题的策略
(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
跟踪训练2 若P(－4,3)是角α终边上一点，则的值为 ．
答案 －
解析 由已知得sin α＝，
原式＝＝＝－＝－.
三、化简求值
例3 化简：(1)；
(2).
解 (1)＝
＝＝＝1.
(2)原式＝
＝＝＝－1.
反思感悟 三角函数式化简的常用方法
(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数．
(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数．
(3)注意“1”的代换：1＝sin2α＋cos2α＝tan.
跟踪训练3 化简下列各式：
(1)；
(2).
解 (1)原式＝
＝＝1.
(2)原式＝
＝＝＝.
1.如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P，则cos(π－θ)的值为( )
A．－ B．－
C. D.
答案 C
2．tan 300°＋sin 450°的值是( )
A．－1＋ B．1＋
C．－1－ D．1－
答案 D
解析 原式＝tan(360°－60°)＋sin(360°＋90°)
＝tan(－60°)＋sin 90°＝－tan 60°＋1＝－＋1.
3．已知sin(π＋α)＝，且α是第四象限角，那么cos(α－π)的值是( )
A. B．－ C．± D.
答案 B
解析 因为sin(π＋α)＝－sin α＝，
所以sin α＝－.
又α是第四象限角，
所以cos α＝，
所以cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－.
4.的值等于 ．
答案 －2
解析 原式＝
＝
＝＝＝－2.
5．已知cos(π＋α)＝－，π<α<2π，则sin(α－3π)＋cos(α－π)＝ .
答案
解析 ∵cos(π＋α)＝－cos α＝－，
∴cos α＝，又∵π<α<2π，∴<α<2π，
∴sin α＝－.
∴sin(α－3π)＋cos(α－π)
＝－sin(3π－α)＋cos(π－α)
＝－sin(π－α)＋(－cos α)
＝－sin α－cos α＝－(sin α＋cos α)
＝－＝.
1．知识清单：
(1)特殊关系角的终边对称性；
(2)诱导公式．
2．方法归纳：函数名不变，符号看象限．
3．常见误区：符号的确定．
1．sin 225°等于( )
A．－ B. C. D．－
答案 A
解析 sin 225°＝sin(180°＋45°)＝－sin 45°＝－.
2．已知sin(π－α)＝，则sin(α－2 019π)的值为( )
A. B．－ C. D．－
答案 D
解析 sin(α－2 019π)＝sin(α－π)＝－sin(π－α)＝－.
3．若sin(－110°)＝a，则tan 70°等于( )
A. B．－ C. D．－
答案 B
解析 ∵sin(－110°)＝－sin 110°＝－sin(180°－70°)＝－sin 70°＝a，
∴sin 70°＝－a，
∴cos 70°＝＝，
∴tan 70°＝＝－.
4．设sin 160°＝a，则cos 340°的值是( )
A．1－a2 B.
C．－ D．±
答案 B
解析 因为sin 160°＝a，
所以sin(180°－20°)＝sin 20°＝a，
而cos 340°＝cos(360°－20°)＝cos 20°＝.
5．已知tan＝，则tan等于( )
A. B．－ C. D．－
答案 B
解析 因为tan＝tan＝－tan，
所以tan＝－.
6．化简：sin(－α)cos(π＋α)tan(2π＋α)＝ .
答案 sin2α
解析 原式＝(－sin α)(－cos α)tan α
＝sin αcos α＝sin2α.
7．求值：(1)cos ＝ ；(2)tan(－855°)＝ .
答案 (1)－ (2)1
解析 (1)cos ＝cos＝cos
＝cos＝－cos ＝－.
(2)tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°)
＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝tan 45°＝1.
8．已知cos(508°－α)＝，则cos(212°＋α)＝ .
答案
解析 由于cos(508°－α)＝cos(360°＋148°－α)
＝cos(148°－α)＝，
所以cos(212°＋α)＝cos(360°＋α－148°)
＝cos(α－148°)
＝cos(148°－α)
＝.
9．化简：(1)；
(2).
解 (1)
＝
＝＝－cos2α.
(2)＝＝－cos α.
10．已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若α是第三象限角，且sin(α－π)＝，求f(α)的值；
(3)若α＝－，求f(α)的值．
解 (1)f(α)＝－＝－cos α.
(2)∵sin(α－π)＝－sin α＝，
∴sin α＝－.
又α是第三象限角，
∴cos α＝－，∴f(α)＝.
(3)∵－＝－6×2π＋，
∴f?＝－cos＝－cos ＝－cos ＝－.
11．已知sin＝，则sin的值为( )
A. B．－ C. D．－
答案 C
解析 sin＝sin＝sin＝.
12．化简：得( )
A．sin 2＋cos 2 B．cos 2－sin 2
C．sin 2－cos 2 D．±(cos 2－sin 2)
答案 C
解析 ＝＝＝|sin 2－cos 2|，
因2弧度在第二象限，故sin 2>0>cos 2，
所以原式＝sin 2－cos 2.
13．设tan(5π＋α)＝m(α≠kπ＋，k∈Z)，则的值为( )
A. B. C．－1 D．1
答案 A
解析 ∵tan(5π＋α)＝m，∴tan α＝m.
原式＝＝＝＝.
14．已知f(x)＝则f?＋f?的值为 ．
答案 －2
解析 因为f?＝sin
＝sin＝sin ＝；
f?＝f?－1＝f?－2
＝sin－2＝－－2＝－.
所以f?＋f?＝－2.
15．设函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零实数，且满足f(2 019)＝－1，则f(2 020)的值为 ．
答案 1
解析 ∵f(2 019)＝asin(2 019π＋α)＋bcos(2 019π＋β)＝－1，
∴f(2 020)＝asin(2 020π＋α)＋bcos(2 020π＋β)
＝asin[π＋(2 019π＋α)]＋bcos[π＋(2 019π＋β)]
＝－[asin(2 019π＋α)＋bcos(2 019π＋β)]＝1.
16．已知＝3＋2，
求：[cos2(π－θ)＋sin(π＋θ)cos(π－θ)＋2sin2(θ－π)]·的值．
解 由＝3＋2，
得(4＋2)tan θ＝2＋2，
所以tan θ＝＝，
故[cos2(π－θ)＋sin(π＋θ)cos(π－θ)＋2sin2(θ－π)]·
＝(cos2θ＋sin θcos θ＋2sin2θ)·
＝1＋tan θ＋2tan2θ
＝1＋＋2×2＝2＋.
课件36张PPT。5.3 诱导公式(一)第五章 三角函数学习目标XUEXIMUBIAO1.借助圆的对称性推导诱导公式二、三、四.
2.记住诱导公式一～四并能运用诱导公式进行求值与化简.NEIRONGSUOYIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PART ONE知识点一 公式二1.角π＋α与角α的终边关于 对称.如图所示.原点2.公式：sin(π＋α)＝ ，
cos(π＋α)＝ ，
tan(π＋α)＝ .－sin α－cos αtan α知识点二 公式三1.角－α与角α的终边关于 轴对称.如图所示.x2.公式：sin(－α)＝ ，
cos(－α)＝ ，
tan(－α)＝ .－sin αcos α－tan α知识点三 公式四1.角π－α与角α的终边关于 轴对称.如图所示.y2.公式：sin(π－α)＝ ，
cos(π－α)＝ ，
tan(π－α)＝ .sin α－cos α－tan α思考 诱导公式中角α只能是锐角吗？预习小测 自我检验YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN3.已知tan α＝6，则tan(－α)＝ .－64.sin 585°＝ .解析 sin 585°＝sin(360°＋180°＋45°)2题型探究PART TWO例1 求值：一、给角求值(2)sin 1 320°.解 sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin 240°利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
(1)“负化正”：用公式一或三来转化；
(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角；
(3)“小化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角；
(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值.0二、给值(式)求值√因为α是第一象限角，所以sin α>0，延伸探究解决条件求值问题的策略
(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化.三、化简求值跟踪训练3 化简下列各式：3随堂演练PART THREE12345√123452.tan 300°＋sin 450°的值是√解析 原式＝tan(360°－60°)＋sin(360°＋90°)√又α是第四象限角，134521345213452∴sin(α－3π)＋cos(α－π)＝－sin(3π－α)＋cos(π－α)
＝－sin(π－α)＋(－cos α)
＝－sin α－cos α＝－(sin α＋cos α)课堂小结KE TANG XIAO JIE1.知识清单：
(1)特殊关系角的终边对称性；
(2)诱导公式.
2.方法归纳：函数名不变，符号看象限.
3.常见误区：符号的确定.本课结束
