5.5 三角恒等变换
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第1课时 两角差的余弦公式
学习目标 1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算．
知识点 两角差的余弦公式
公式
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
简记符号
C(α－β)
使用条件
α，β为任意角
思考 两角差的余弦公式有无巧记的方法呢？
答案 公式巧记为：两角差的余弦等于两角的同名三角函数值乘积的和，即余·余＋正·正．
1．cos(60°－30°)＝cos 60°－cos 30°.( × )
2．α，β∈R时，cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β.( × )
3．对于任意实数α，β，cos(α－β)＝cos α－cos β都不成立．( × )
4．cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝0.( √ )
一、给角求值
例1 计算下列各式的值．
(1)cos ；
(2)sin 460°sin(－160°)＋cos 560°cos(－280°)；
(3)cos 105°＋sin 105°.
解 (1)cos ＝cos＝－cos
＝－cos＝－cos
＝－
＝－
＝－.
(2)原式＝－sin 100° sin 160°＋cos 200°cos 280°
＝－sin 100°sin 20°－cos 20°cos 80°
＝－(cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°)
＝－cos 60°＝－.
(3)cos 105°＋sin 105°
＝cos 60°cos 105°＋sin 60°sin 105°
＝cos(60°－105°)＝cos(－45°)＝.
反思感悟 两角差的余弦公式常见题型及解法
(1)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解．
(2)含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差的余弦公式求解．
(3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解．
跟踪训练1 化简下列各式：
(1)cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；
(2)－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°.
解 (1)原式＝cos[θ＋21°－(θ－24°)]
＝cos 45°＝.
(2)原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°)
＝sin 13°sin 43°＋sin 77°sin 47°
＝sin 13°sin 43°＋cos 13°cos 43°
＝cos(13°－43°)＝cos(－30°)＝.
二、给值求值
例2 已知α，β∈，且sin α＝，cos(α＋β)＝－，求cos β的值．
解 因为α，β∈，
所以0<α＋β<π，
由cos(α＋β)＝－，
得sin(α＋β)＝，
又sin α＝，
所以cos α＝，
所以cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝×＋×＝.
延伸探究
若把本例中的“α，β∈”改为“α，β∈”，求cos β的值．
解 因为α，β∈，
所以π<α＋β<2π，
由cos(α＋β)＝－，
得sin(α＋β)＝－，
又sin α＝，
所以cos α＝－，
所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝×＋×＝－.
反思感悟 给值求值的解题策略
(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．
(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：
①α＝(α－β)＋β；
②α＝＋；
③2α＝(α＋β)＋(α－β)；
④2β＝(α＋β)－(α－β)．
跟踪训练2 (1)已知cos α＝，α∈，则cos＝ .
答案
解析 因为cos α＝，α∈，
所以sin α＝－，
所以cos＝cos αcos ＋sin αsin ＝×＋×＝
(2)α，β为锐角，cos(α＋β)＝，cos(2α＋β)＝，求cos α的值．
解 因为α，β为锐角，所以0<α＋β<π.
又因为cos(α＋β)＝，
所以0<α＋β<，所以0<2α＋β<π.
又因为cos(2α＋β)＝，
所以0<2α＋β<，
所以sin(α＋β)＝，sin(2α＋β)＝，
所以cos α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]
＝cos(2α＋β)·cos(α＋β)＋sin(2α＋β)·sin(α＋β)
＝×＋×＝.
三、给值求角
例3 已知α，β均为锐角，且cos α＝，cos β＝，求α－β的值．
解 ∵α，β均为锐角，
∴sin α＝，sin β＝.
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.
又sin α
∴－<α－β<0.
故α－β＝－.
反思感悟 已知三角函数值求角的解题步骤
(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．
(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数．
(3)结合三角函数值及角的范围求角．
提醒：在根据三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案．
跟踪训练3 已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，求β的值．
解 由cos α＝，0<α<，得
sin α＝＝＝.
由0<β<α<，得0<α－β<.
又∵cos(α－β)＝，
∴sin(α－β)＝＝＝.
∵β＝α－(α－β)
∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝×＋×＝.
∵0<β<，∴β＝.
1．cos 47°cos 137°＋sin 47°sin 137°的值等于( )
A．0 B．1 C．－1 D.
答案 A
解析 原式＝cos(47°－137°)＝cos(－90°)＝0.
2．已知cos α＝，α∈，则cos的值为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 因为α∈，所以sin α＝－，
所以cos＝cos αcos?＋sin αsin?＝×＋×＝.
3．已知锐角α，β满足cos α＝，cos(α＋β)＝－，则cos(2π－β)的值为( )
A. B．－ C. D．－
答案 A
解析 因为α，β为锐角，cos α＝，cos(α＋β)＝－，
所以sin α＝，sin(α＋β)＝，
所以cos(2π－β)＝cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)·cos α＋sin(α＋β)·sin α
＝×＋×＝.
4．cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)＝ .
答案
解析 原式＝cos[(α－35°)－(α＋25°)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝.
5．cos 75°－cos 15°的值等于 ．
答案 －
解析 原式＝cos(120°－45°)－cos(45°－30°)
＝cos 120°cos 45°＋sin 120°sin 45°－(cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°)
＝－×＋×－×－×＝－.
1．知识清单：
(1)两角差的余弦公式的推导．
(2)给角求值，给值求值，给值求角．
2．方法归纳：角的构造．
3．常见误区：求角时忽视角的范围．
1．cos 165°等于( )
A. B. C．－ D．－
答案 C
解析 cos 165°＝cos(180°－15°)＝－cos 15°＝－cos(45°－30°)
＝－(cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°)＝－.故选C.
2．满足cos αcos β＝－sin αsin β的一组α，β的值是( )
A．α＝，β＝ B．α＝，β＝
C．α＝，β＝ D．α＝，β＝
答案 B
解析 由已知得cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝，故选B.
3．已知cos α＝－，α∈，sin β＝－，β是第三象限角，则cos(β－α)的值是( )
A．－ B. C. D．－
答案 A
解析 ∵cos α＝－，α∈，
∴sin α＝.
又sin β＝－，β是第三象限角，
∴cos β＝－.
∴cos(β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α
＝－×＋×＝－.
4．已知sin α－sin β＝1－，cos α－cos β＝，则cos(α－β)的值为( )
A. B. C. D．1
答案 B
解析 因为sin α－sin β＝1－，
所以sin2α－2sin αsin β＋sin2β＝－.①
又因为cos α－cos β＝，
所以cos2α－2cos αcos β＋cos2β＝.②
所以①＋②得2cos(α－β)＝，
所以cos(α－β)＝，故选B.
5．若cos(α＋β)＝，sin＝，α，β∈，那么cos的值为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 因为α，β∈，
所以α＋β∈(0，π)，β－∈.
又因为cos(α＋β)＝，sin＝，
所以sin(α＋β)＝＝，
cos＝＝，
所以cos＝cos
＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin
＝×＋×＝.
故选C.
6．化简：sin(α－β)sin(β－γ)＋cos(α－β)cos(γ－β)＝ .
答案 cos(α＋γ－2β)
解析 原式＝sin(α－β)sin(β－γ)＋cos(α－β)cos(β－γ)
＝cos(α－β)cos(β－γ)＋sin(α－β)sin(β－γ)
＝cos[(α－β)－(β－γ)]＝cos(α＋γ－2β)．
7．在△ABC中，sin A＝，cos B＝－，则cos(A－B)＝ .
答案 －
解析 因为cos B＝－，且0所以所以sin B＝＝＝，
且0所以cos A＝＝＝，
所以cos(A－B)＝cos Acos B＋sin Asin B
＝×＋×＝－.
8．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sin α
＝，则cos(α－β)＝ .
答案 －
解析 因为角α与角β均以Ox为始边，终边关于y轴对称，
所以sin β＝sin α＝，cos β＝－cos α，
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝－cos2α＋sin2α
＝－(1－sin2α)＋sin2α
＝2sin2α－1
＝2×2－1＝－.
9．若x∈，且sin x＝，求2cos＋2cos x的值．
解 因为x∈，sin x＝，
所以cos x＝－.
所以2cos＋2cos x
＝2＋2cos x
＝2＋2cos x
＝sin x＋cos x
＝－＝.
10．已知sin＝，且<α<，求cos α的值．
解 因为sin＝，
且<α<，
所以<α＋<π.
所以cos＝－＝－.
所以cos α＝cos
＝coscos ＋sinsin
＝×＋×＝.
11．已知cos＝－，则cos x＋cos的值是( )
A．－ B．± C．－1 D．±1
答案 C
解析 cos x＋cos＝cos x＋cos x＋sin x
＝cos x＋sin x＝＝cos＝－1.
12．函数f(x)＝cos 2xcos －sin 2xsin 的单调递增区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
答案 D
解析 f(x)＝cos 2xcos －sin 2xsin
＝cos 2xcos ＋sin 2xsin ＝cos.
由2kπ－π≤2x－≤2kπ，k∈Z，
得该函数的单调增区间为(k∈Z)．
13．满足sin x＋cos x＝的角x等于 ．
答案 －
解析 sin x＋cos x＝cos xcos ＋sin xsin ＝cos＝，
因为－所以x－＝－，即x＝－.
14．已知△ABC中，sin(A＋B)＝，cos B＝－，则sin B＝ ，cos A＝ .
答案
解析 在△ABC中，
因为cos B＝－<0，所以B为钝角，
则sin B＝，所以A＋B∈，
由sin(A＋B)＝，得cos(A＋B)＝－，
所以cos A＝cos [(A＋B)－B]
＝cos(A＋B)cos B＋sin(A＋B)sin B
＝－×＋×＝.
15．化简：＝ .
答案
解析 原式＝
＝
＝
＝＝.
16．已知函数f(x)＝2cos(其中ω>0，x∈R)的最小正周期为10π.
(1)求ω的值；
(2)设α，β∈，f?＝－，f?＝，求cos(α－β)的值．
解 (1)由于函数f(x)的最小正周期为10π，
所以10π＝，所以ω＝.
(2)因为f?＝－，
所以2cos
＝2cos＝－，
所以sin α＝，
又因为f?＝，
所以2cos＝2cos β＝，
所以cos β＝，
因为α，β∈，
所以cos α＝，sin β＝，
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝×＋×＝.
课件30张PPT。第1课时 两角差的余弦公式第五章 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式学习目标XUEXIMUBIAO1.了解两角差的余弦公式的推导过程.
2.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算.NEIRONGSUOYIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PART ONE知识点 两角差的余弦公式cos αcos β＋sin αsin β思考 两角差的余弦公式有无巧记的方法呢？答案 公式巧记为：两角差的余弦等于两角的同名三角函数值乘积的和，即余·余＋正·正.思考辨析 判断正误SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU1.cos(60°－30°)＝cos 60°－cos 30°.( )
2.α，β∈R时，cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β.( )
3.对于任意实数α，β，cos(α－β)＝cos α－cos β都不成立.( )
4.cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝0.( )×××√2题型探究PART TWO例1 计算下列各式的值.一、给角求值(2)sin 460°sin(－160°)＋cos 560°cos(－280°)；解 原式＝－sin 100° sin 160°＋cos 200°cos 280°
＝－sin 100°sin 20°－cos 20°cos 80°
＝－(cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°)＝cos 60°cos 105°＋sin 60°sin 105°反思感悟两角差的余弦公式常见题型及解法
(1)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解.
(2)含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差的余弦公式求解.
(3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解.跟踪训练1 化简下列各式：
(1)cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；解 原式＝cos[θ＋21°－(θ－24°)](2)－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°.解 原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°)
＝sin 13°sin 43°＋sin 77°sin 47°
＝sin 13°sin 43°＋cos 13°cos 43°二、给值求值所以cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α延伸探究所以cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α反思感悟给值求值的解题策略
(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角.
(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有：
①α＝(α－β)＋β；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；
④2β＝(α＋β)－(α－β).解 因为α，β为锐角，所以0<α＋β<π.所以cos α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]
＝cos(2α＋β)·cos(α＋β)＋sin(2α＋β)·sin(α＋β)三、给值求角解 ∵α，β均为锐角，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β反思感悟已知三角函数值求角的解题步骤
(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围.
(2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数.
(3)结合三角函数值及角的范围求角.
提醒：在根据三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案.∵β＝α－(α－β)∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)3随堂演练PART THREE1.cos 47°cos 137°＋sin 47°sin 137°的值等于
A.0 B.1 C.－1 D.12345√解析 原式＝cos(47°－137°)＝cos(－90°)＝0.12345√13452√所以cos(2π－β)＝cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)·cos α＋sin(α＋β)·sin α134524.cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)＝ .解析 原式＝cos[(α－35°)－(α＋25°)]134525.cos 75°－cos 15°的值等于 .解析 原式＝cos(120°－45°)－cos(45°－30°)
＝cos 120°cos 45°＋sin 120°sin 45°－(cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°)课堂小结KE TANG XIAO JIE1.知识清单：
(1)两角差的余弦公式的推导.
(2)给角求值，给值求值，给值求角.
2.方法归纳：角的构造.
3.常见误区：求角时忽视角的范围.本课结束第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
学习目标 1.能由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式、两角和与差的正弦，了解它们的内在联系.2.掌握两角和与差的正弦、余弦公式，并能灵活运用这些公式进行简单的恒等变换．
知识点一 两角和与差的余弦公式
名称
简记符号
公式
使用条件
两角差的余弦公式
C(α－β)
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
α，β∈R
两角和的余弦公式
C(α＋β)
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
α，β∈R
思考 利用cos(α－β)推导cos(α＋β)的过程中，利用了什么方法？
答案 推导过程中，利用了角的代换的方法．α－β＝α＋(－β)．
知识点二 两角和与差的正弦公式
名称
简记符号
公式
使用条件
两角和的正弦
S(α＋β)
sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
α，β∈R
两角差的正弦
S(α－β)
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
α，β∈R
预习小测 自我检验
1．cos 57°cos 3°－sin 57°sin 3°＝ .
答案
解析 原式＝cos(57°＋3°)＝cos 60°＝.
2．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 15°＝ .
答案
3．若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin＝ .
答案 －
解析 ∵cos α＝－，α是第三象限的角，
∴sin α＝－＝－，
∴sin＝sin α－cos α
＝×－×＝－.
4．已知α是锐角，sin α＝，则cos＝ .
答案
解析 因为α是锐角，sin α＝，
所以cos α＝，
所以cos＝cos cos α－sin sin α＝×－×＝.
一、给角求值
例1 计算：
(1)cos 105°；(2).
解 (1)cos 105°＝cos(60°＋45°)
＝cos 60°cos 45°－sin 60°sin 45°
＝×－×
＝.
(2)
＝
＝
＝＝sin 30°＝.
反思感悟 解决给角求值问题的方法
(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角函数公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．
(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．
跟踪训练1 计算：(1)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°；
(2)sin(54°－x)cos(36°＋x)＋cos(54°－x)sin(36°＋x)．
解 (1)原式＝sin 14°cos 16°＋sin(90°－14°)cos(90°－16°)
＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°
＝sin(14°＋16°)＝sin 30°＝.
(2)原式＝sin[(54°－x)＋(36°＋x)]＝sin 90°＝1.
二、给值求值
例2 已知<β<α<π，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求cos 2α的值．
解 ∵<β<α<π，
∴－π<－β<－.
∴0<α－β<，π<α＋β<π.
∴sin(α－β)＝
＝＝，
cos(α＋β)＝－
＝－＝－.
∴cos 2α＝cos[(α－β)＋(α＋β)]
＝cos(α－β)cos(α＋β)－sin(α－β)sin(α＋β)
＝×－×＝－，
即cos 2α＝－.
延伸探究
1．若本例的条件不变，求sin 2α的值．
解 由本例解析知
sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]
＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)
＝×＋×＝－.
2．若本例条件变为：<β<α<，sin(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin 2β的值．
解 因为<β<α<，
所以0<α－β<，π<α＋β<π.
所以cos(α－β)＝，
cos(α＋β)＝－，
所以sin 2β＝sin[(α＋β)－(α－β)]
＝sin(α＋β)cos(α－β)－cos(α＋β)sin(α－β)
＝×－×＝0.
反思感悟 给值(式)求值的策略
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
跟踪训练2 已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，求的值．
解 ∵sin(α＋β)＝，∴sin αcos β＋cos αsin β＝.①
∵sin(α－β)＝，∴sin αcos β－cos αsin β＝.②
由①，②解得sin αcos β＝，cos αsin β＝，
∴＝＝＝5.
三、给值求角
例3 已知cos α＝，sin(α＋β)＝，0<α<，0<β<，求角β的值．
解 因为0<α<，cos α＝，
所以sin α＝.
又因为0<β<，
所以0<α＋β<π.
因为sin(α＋β)＝所以cos(α＋β)＝－，
所以sin β＝sin[(α＋β)－α]
＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α
＝×－×＝.
又因为0<β<，所以β＝.
延伸探究
若把本例中的“0<β<”改为“<β<π”，求角β的值．
解 因为0<α<，cos α＝，
所以sin α＝.
又因为<β<π，
所以<α＋β<.
因为sin(α＋β)＝，
所以cos(α＋β)＝－，
所以sin β＝sin[(α＋β)－α]
＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α
＝×－×＝.
又因为<β<π，所以β＝.
反思感悟 解决给值(式)求角问题的方法
解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定，当所求角范围是(0，π)或(π，2π)时，选取求余弦值，当所求角范围是或时，选取求正弦值．
跟踪训练3 已知α，β均为锐角，且sin α＝，cos β＝，求α－β的值．
解 因为α，β均为锐角，且sin α＝，cos β＝，
所以cos α＝，sin β＝.
所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
＝×－×＝－.
又因为α，β均为锐角，
所以－<α－β<.故α－β＝－.
1．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°等于( )
A．－ B. C．－ D.
答案 D
解析 sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝.
2．若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin等于( )
A．－ B. C．－ D.
答案 A
3．已知cos＝(α为锐角)，则sin α等于( )
A. B. C. D.
考点 两角和与差的正弦公式
题点 利用和与差的正弦公式求值
答案 D
解析 因为α∈，所以α＋∈.
所以sin＝＝＝.
所以sin α＝sin＝sincos －cossin ＝×－×＝.
4．已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝ .
答案 －
解析 ∵sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，
∴sin2α＋cos2β＋2sin αcos β＝1，①
cos2α＋sin2β＋2cos αsin β＝0，②
①②两式相加可得sin2α＋cos2α＋sin2β＋cos2β＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1，
∴sin(α＋β)＝－.
5．已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β＝ .
答案
解析 ∵α，β为锐角，sin α＝，cos β＝，
∴cos α＝，sin β＝.
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝×－×＝－.
又∵0<α＋β<π，∴α＋β＝.
1．知识清单：
(1)公式的推导；
(2)给角求值、给值求值、给值求角；
(3)公式的正用、逆用、变形用．
2．方法归纳：公式的构造，角的构造．
3．常见误区：求值或求角时忽视角的范围．
1．化简cos(x＋y)sin y－sin(x＋y)cos y等于( )
A．sin(x＋2y) B．－sin(x＋2y)
C．sin x D．－sin x
答案 D
解析 cos(x＋y)sin y－sin(x＋y)cos y
＝sin[y－(x＋y)]＝－sin x.
2．sin 40°cos 10°－sin 130°sin 10°等于( )
A．－ B. C．－ D.
答案 D
解析 sin 40°cos 10°－sin 130°sin 10°
＝cos 50°cos 10°－sin 50°sin 10°
＝cos(50°＋10°)＝cos 60°＝，故选D.
3．化简sin＋sin等于( )
A．－sin x B．sin x C．－cos x D．cos x
答案 B
解析 sin＋sin
＝sin x＋cos x＋sin x－cos x＝sin x.
4．在△ABC中，若sin(B＋C)＝2sin Bcos C，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
答案 D
解析 因为sin(B＋C)＝2sin Bcos C，
所以sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C，
即sin Bcos C－cos Bsin C＝0，所以sin(B－C)＝0，
所以B＝C.所以△ABC是等腰三角形．
5．已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，那么β等于( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 ∵0<β<α<，
∴0<α－β<，
由cos α＝得sin α＝，
由cos(α－β)＝得sin(α－β)＝，
∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝×－×＝＝，
∴β＝.
6．sin 105°的值为 ．
答案
解析 sin 105°＝sin(45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°
＝×＋×＝.
7．已知sin α－cos β＝，cos α－sin β＝，则sin(α＋β)＝ .
答案
解析 由sin α－cos β＝两边平方得
sin2α－2sin αcos β＋cos2β＝，①
由cos α－sin β＝两边平方得
cos2α－2cos αsin β＋sin2β＝，②
①＋②得(sin2α＋cos2α)－2(sin αcos β＋cos αsin β)＋(cos2β＋sin2β)＝＋，
∴1－2sin(α＋β)＋1＝.
∴sin(α＋β)＝.
8．已知cos＝，则cos α＝ .
答案
解析 由于0<α－<，cos＝，
所以sin＝.
所以cos α＝cos＝coscos －sinsin
＝×－×＝.
9．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝，β是第三象限角，求sin的值．
解 ∵sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α
＝sin(α－β－α)＝sin(－β)＝－sin β＝，
∴sin β＝－，
又β是第三象限角，
∴cos β＝－＝－，
∴sin＝sin βcos?＋cos βsin ＝×＋×＝－.
10．已知函数f(x)＝Asin，x∈R，且f?＝.
(1)求A的值；
(2)若f(θ)－f(－θ)＝，θ∈，求f?.
考点 两角和与差的正弦公式
题点 两角和与差的正弦公式的综合应用
解 (1)由f?＝Asin
＝Asin ＝A＝，可得A＝3.
(2)由(1)知，f(x)＝3sin，
又f(θ)－f(－θ)＝，
则3sin－3sin＝，
即3－3＝，
故sin θ＝.
因为θ∈，所以cos θ＝，
所以f?＝3sin
＝3sin＝3cos θ＝.
11．在△ABC中，已知sin C＝2sin(B＋C)cos B，则△ABC一定是( )
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
考点 两角和与差的正弦公式
题点 利用两角和与差的正弦公式求角
答案 B
解析 由sin C＝2sin(B＋C)cos B得sin(A＋B)＝2sin Acos B，
所以sin Acos B －cos Asin B＝0，
所以sin(A－B)＝0，即A＝B，
所以△ABC为等腰三角形．
12．形如的式子叫做行列式，其运算法则为＝ad－bc，则行列式 的值是 ．
答案 0
解析 ＝cos cos －sin sin ＝cos＝cos ＝0.
13．若sin＝－，sin＝，其中<α<，<β<，则角α＋β的值为 ．
答案
解析 ∵<α<，<β<，
∴－<－α<0，<＋β<.
∴cos＝＝，
cos＝－＝－，
∴cos(α＋β)＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝－，
又<α＋β<π，∴α＋β＝.
14．函数y＝cos x＋cos的最小值是 ，最大值是 ．
答案 －
解析 方法一 y＝cos x＋cos xcos －sin xsin
＝cos x－sin x＝＝cos，
当cos＝－1时，ymin＝－.
当cos＝1时，ymax＝.
方法二 y＝cos＋cos
＝cos·cos ＋sinsin ＋cos
＝cos＋sin
＝
＝cos＝cos，
所以－≤y≤.
15．在△ABC中，3sin A＋4cos B＝6,3cos A＋4sin B＝1，则C的大小为( )
A. B.π
C.或π D.或π
答案 A
解析 由题意知
①2＋②2得9＋16＋24sin(A＋B)＝37.
则sin(A＋B)＝.
∴在△ABC中，sin C＝，
∴C＝或C＝π.
若C＝π，则A＋B＝，
∴1－3cos A＝4sin B>0.
∴cos A<.
又<，∴A>.
此时A＋C>π，不符合题意，
∴C≠π，∴C＝.
16．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求ω和φ的值；
(2)若f?＝，求cos的值．
解 (1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，
所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.
又因为f(x)的图象关于直线x＝对称，
所以2·＋φ＝kπ＋，k∈Z，
由－≤φ<，得k＝0，
所以φ＝－＝－.
(2)由(1)得f?＝sin＝，
所以sin＝.
由<α<得0<α－<，
所以cos＝
＝＝.
因此cos＝sin α
＝sin
＝sincos ＋cossin
＝×＋×＝.
课件36张PPT。第2课时 两角和与差的正弦、余弦、
正切公式(一)第五章 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式学习目标XUEXIMUBIAO1.能由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式、两角和与差的正弦，了解它们的内在联系.
2.掌握两角和与差的正弦、余弦公式，并能灵活运用这些公式进行简单的恒等变换.NEIRONGSUOYIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PART ONE知识点一 两角和与差的余弦公式思考 利用cos(α－β)推导cos(α＋β)的过程中，利用了什么方法？答案 推导过程中，利用了角的代换的方法.α－β＝α＋(－β).知识点二 两角和与差的正弦公式sin αcos β＋cos αsin βsin αcos β－cos αsin β1.cos 57°cos 3°－sin 57°sin 3°＝ .预习小测 自我检验YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN2.sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 15°＝ .2题型探究PART TWO例1 计算：
(1)cos 105°；一、给角求值解 cos 105°＝cos(60°＋45°)
＝cos 60°cos 45°－sin 60°sin 45°反思感悟解决给角求值问题的方法
(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角函数公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形.
(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式.解 原式＝sin 14°cos 16°＋sin(90°－14°)cos(90°－16°)
＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°跟踪训练1 计算：(1)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°；(2)sin(54°－x)cos(36°＋x)＋cos(54°－x)sin(36°＋x).解 原式＝sin[(54°－x)＋(36°＋x)]＝sin 90°＝1.二、给值求值∴cos 2α＝cos[(α－β)＋(α＋β)]
＝cos(α－β)cos(α＋β)－sin(α－β)sin(α＋β)延伸探究
1.若本例的条件不变，求sin 2α的值.解 由本例解析知
sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]
＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)所以sin 2β＝sin[(α＋β)－(α－β)]
＝sin(α＋β)cos(α－β)－cos(α＋β)sin(α－β)反思感悟给值(式)求值的策略
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.三、给值求角所以sin β＝sin[(α＋β)－α]
＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α延伸探究所以sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α反思感悟解决给值(式)求角问题的方法
解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定，当所求角范围是(0，π)或(π，2π)时，
选取求余弦值，当所求角范围是 或 时，选取求正弦值.所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β又因为α，β均为锐角，3随堂演练PART THREE123451.sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°等于√解析 sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°
＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°12345√√13452134524.已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝ .解析 ∵sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，
∴sin2α＋cos2β＋2sin αcos β＝1， ①
cos2α＋sin2β＋2cos αsin β＝0， ②
①②两式相加可得sin2α＋cos2α＋sin2β＋cos2β＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β13452课堂小结KE TANG XIAO JIE1.知识清单：
(1)公式的推导；
(2)给角求值、给值求值、给值求角；
(3)公式的正用、逆用、变形用.
2.方法归纳：公式的构造，角的构造.
3.常见误区：求值或求角时忽视角的范围.本课结束第3课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
学习目标 1.能利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．
知识点 两角和与差的正切公式
名称
公式
简记符号
条件
两角和的正切
tan(α＋β) ＝
T(α＋β)
α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)
两角差的正切
tan(α－β) ＝
T(α－β)
α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)
预习小测 自我检验
1．若tan α＝3，tan β＝，则tan(α－β)＝________.
答案
解析 tan(α－β)＝＝＝.
2．已知tan α＝2，则tan＝________.
答案 －3
解析 tan＝＝＝－3.
3.＝________.
答案
解析 原式＝tan(75°－15°)＝tan 60°＝.
4.＝______.
答案
一、化简求值
例1 计算：
(1)tan(－75°)；
(2)；
(3)tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°.
解 (1)∵tan 75°＝tan(45°＋30°)＝
＝＝＝＝2＋，
∴tan(－75°)＝－tan 75°＝－2－.
(2)原式＝tan(74°＋76°)＝tan 150°＝－.
(3)∵tan 60°＝＝，
∴tan 23°＋tan 37°＝－tan 23°tan 37°，
∴tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°＝.
反思感悟 利用公式T(α±β)化简求值的两点说明
(1)分析式子结构，正确选用公式形式：
T(α±β)是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换．
(2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：
当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”，“”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1＝tan?”，“＝tan?”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值．
跟踪训练1 求值：
(1)；
(2)tan 10°＋tan 35°＋tan 10°tan 35°.
解 (1)＝＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝.
(2)由tan(α＋β)＝的变形
tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)得
tan 10°＋tan 35°＝tan 45°(1－tan 10°tan 35°)＝1－tan 10°tan 35°，
所以tan 10°＋tan 35°＋tan 10°tan 35°＝1.
二、给值求值(角)
例2 已知tan(α－β)＝，tan β＝－，α，β∈(0，π)，求2α－β的值．
解 ∵tan β＝－，tan(α－β)＝，
∴tan α＝tan[(α－β)＋β]
＝
＝＝，
tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]
＝
＝＝1.
∵tan α＝>0，tan β＝－<0，
∴α∈，β∈，∴α－β∈(－π，0)．
又∵tan(α－β)＝>0，
∴α－β∈，2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)．
而tan(2α－β)＝1，∴2α－β＝－π.
反思感悟 (1)关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式求解．
(2)关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小．
跟踪训练2 已知tan α＝，tan β＝－2，且0<α<<β<π，
求：(1)tan(α－β)的值；
(2)角α＋β的值．
解 (1)tan(α－β)＝＝＝7.
(2)∵tan(α＋β)＝＝＝－1，
又0<α<，<β<π，
∴<α＋β<π，
∴α＋β＝π.
三、两角和与差的正切公式的综合应用
例3 (1)已知A，B是三角形ABC的两个内角，且tan A，tan B是方程3x2＋8x－1＝0的两个实根，则tan C＝________.
答案 2
解析 由题意可知
由两角和的正切公式得
tan(A＋B)＝＝＝－2，
又A＋B＋C＝π，
所以tan C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝2.
(2)在△ABC中，tan B＋tan C＋tan Btan C＝，tan A＋tan B＋1＝tan Atan B，试判断△ABC的形状．
解 由tan B＋tan C＋tan Btan C＝得
tan(B＋C)＝＝＝，
又0又由tan A＋tan B＋1＝tan Atan B得
tan(A＋B)＝＝＝－.
又0∴A＋B＝π，②
由①②及A＋B＋C＝π解得B＝，C＝，A＝π.
所以△ABC为等腰三角形．
反思感悟 (1)整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．
(2)熟知变形：两角和的正切公式的常见四种变形：
①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；
②1－tan αtan β＝；
③tan α＋tan β＋tan α·tan β·tan(α＋β)＝tan(α＋β)；
④tan α·tan β＝1－.
提醒：当一个式子中出现两角正切的和或差时，常考虑使用两角和或差的正切公式．
跟踪训练3 已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且－<α<，－<β<，则α＋β的值为( )
A. B．－
C．－或 D．无法确定
答案 B
解析 由已知得
所以tan(α＋β)＝＝＝，
又由①②可知tan α<0，tan β<0.
∴－<α<0，－<β<0，∴－π<α＋β<0，
∴α＋β＝－π.故选B.
1．若tan β＝3，tan(α－β)＝－2，则tan α等于( )
A. B．－ C．1 D．－1
答案 A
解析 tan α＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝.
2．设sin α＝，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为( )
A．－ B．－ C．－ D．－
答案 C
解析 ∵sin α＝，
∴tan α＝－.
∵tan(π－β)＝，∴tan β＝－.
∴tan(α－β)＝＝－.
3．与相等的是( )
A．tan 66° B．tan 24° C．tan 42° D．tan 21°
答案 B
解析 原式＝＝tan(45°－21°)
＝tan 24°.
4．若tan 28°·tan 32°＝m，则tan 28°＋tan 32°等于( )
A.m B.(1－m) C.(m－1) D.(m＋1)
答案 B
解析 ∵28°＋32°＝60°，
∴tan 60°＝tan(28°＋32°)＝＝，
∴tan 28°＋tan 32°＝(1－m)．
5．求值：tan ＝________.
答案 －2＋
解析 tan ＝－tan ＝－tan
＝－＝－＝－2＋.
1．知识清单：
(1)两角和与差的正切公式的推导；
(2)公式的正用、逆用、变形用．
2．方法归纳：整体思想．
3．常见误区：公式中加减符号易记错．
1．(2019·全国Ⅰ)tan 255°等于( )
A．－2－ B．－2＋
C．2－ D．2＋
答案 D
解析 tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan 75°
＝tan(45°＋30°)＝＝＝2＋.
2.的值等于( )
A．tan 42° B．tan 3°
C．1 D．tan 24°
答案 A
解析 ∵tan 60°＝，
∴原式＝＝tan(60°－18°)＝tan 42°.
3．若tan(180°－α)＝－，则tan(α＋405°)等于( )
A. B．7 C．－ D．－7
答案 D
解析 ∵tan(180°－α)＝－tan α＝－，
∴tan α＝，∴tan(α＋405°)＝tan(α＋45°)＝＝＝－7.
4．在△ABC中，∠C＝120°，tan A＋tan B＝，则tan Atan B的值为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 ∵∠C＝120°，∴∠A＋∠B＝60°，
∴tan(A＋B)＝＝，
∴tan A＋tan B＝(1－tan Atan B)＝，
解得tan A·tan B＝.故选B.
5．已知A＋B＝45°，则(1＋tan A)(1＋tan B)的值为( )
A．1 B．2 C．－2 D．不确定
答案 B
解析 (1＋tan A)(1＋tan B)
＝1＋(tan A＋tan B)＋tan Atan B
＝1＋tan(A＋B)(1－tan Atan B)＋tan Atan B
＝1＋1－tan Atan B＋tan Atan B＝2.
6．已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝，则tan β的值为________．
答案 3
解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝
＝＝3.
7．已知tan＝，tan＝－，则tan ＝________.
答案
解析 tan ＝tan＝＝.
8．已知A，B都是锐角，且tan A＝，sin B＝，则A＋B＝________.
答案
解析 ∵B为锐角，sin B＝，
∴cos B＝，∴tan B＝，
∴tan(A＋B)＝＝＝1.
∵09．已知tan＝2，tan β＝.
(1)求tan α的值；
(2)求的值．
解 (1)∵tan＝2，
∴＝2，
∴＝2，解得tan α＝.
(2)原式＝
＝＝
＝tan(β－α)＝
＝＝.
10.如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.
求：(1)tan(α＋β)的值；
(2)α＋2β的大小．
解 (1)由条件得cos α＝，cos β＝.
∵α，β为锐角，∴sin α＝＝，
sin β＝＝.
因此tan α＝＝7，
tan β＝＝.
∴tan(α＋β)＝＝＝－3.
(2)∵tan 2β＝tan(β＋β)＝＝＝，
∴tan(α＋2β)＝＝＝－1.
∵α，β为锐角，
∴0<α＋2β<，∴α＋2β＝.
11．已知sin α＝，且α为锐角，tan β＝－3，且β为钝角，则角α＋β的值为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 sin α＝，且α为锐角，
则cos α＝，tan α＝，
所以tan(α＋β)＝＝＝－1.
又α＋β∈，故α＋β＝.
12．tan 15°＋tan 105°等于( )
A．－2 B．2＋ C．4 D.
答案 A
解析 tan 15°＋tan 105°＝tan(45°－30°)＋tan(45°＋60°)
＝＋＝－2，
故选A.
13．化简：tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于________．
答案 1
解析 原式＝tan 10°tan 20°＋tan 60°(tan 20°＋tan 10°)
＝tan 10°tan 20°＋tan(20°＋10°)(1－tan 20°tan 10°)
＝tan 10°tan 20°＋1－tan 20°tan 10°＝1.
14．设tan θ＝2，则tan＝________，＝________.
答案 －3
解析 由tan θ＝2，得tan＝＝－3，＝＝.
15．(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°)的值为( )
A．16 B．8 C．4 D．2
答案 C
解析 由于21°＋24°＝45°，23°＋22°＝45°，
利用两角和的正切公式及其变形可得
(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝2，
(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)＝2，
故(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°)＝4.
16．是否存在锐角α，β，使得(1)α＋2β＝，(2)tan tan β＝2－同时成立？若存在，求出锐角α，β的值；若不存在，说明理由．
解 假设存在锐角α，β使得(1)α＋2β＝，
(2)tan tan β＝2－同时成立．
由(1)得＋β＝，
所以tan＝＝.
又tan tan β＝2－，
所以tan ＋tan β＝3－，
因此tan ，tan β可以看成是方程x2－(3－)x＋2－＝0的两个根，
解得x1＝1，x2＝2－.
若tan ＝1，则α＝，这与α为锐角矛盾，
所以tan ＝2－，tan β＝1，
所以α＝，β＝，
所以满足条件的α，β存在，且α＝，β＝.
课件36张PPT。第3课时 两角和与差的正弦、余弦、
正切公式(二)第五章 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式学习目标XUEXIMUBIAO1.能利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.
2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.
3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用.NEIRONGSUOYIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PART ONE知识点 两角和与差的正切公式预习小测 自我检验YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN－32题型探究PART TWO例1 计算：
(1)tan(－75°)；一、化简求值 反思感悟利用公式T(α±β)化简求值的两点说明
(1)分析式子结构，正确选用公式形式：
T(α±β)是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换.
(2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：
当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”，“ ”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1＝ ”，“
＝ ”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值.跟踪训练1 求值：(2)tan 10°＋tan 35°＋tan 10°tan 35°.tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)得
tan 10°＋tan 35°＝tan 45°(1－tan 10°tan 35°)
＝1－tan 10°tan 35°，
所以tan 10°＋tan 35°＋tan 10°tan 35°＝1.二、给值求值(角)反思感悟(1)关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式求解.
(2)关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小.求：(1)tan(α－β)的值；(2)角α＋β的值.三、两角和与差的正切公式的综合应用例3 (1)已知A，B是三角形ABC的两个内角，且tan A，tan B是方程3x2＋8x－1＝0的两个实根，则tan C＝____.2由两角和的正切公式得又A＋B＋C＝π，
所以tan C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝2.所以△ABC为等腰三角形.反思感悟(1)整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式.
(2)熟知变形：两角和的正切公式的常见四种变形：
①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；③tan α＋tan β＋tan α·tan β·tan(α＋β)＝tan(α＋β)；提醒：当一个式子中出现两角正切的和或差时，常考虑使用两角和或差的正切公式.√解析 由已知得又由①②可知tan α<0，tan β<0.∴－π<α＋β<0，3随堂演练PART THREE123451.若tan β＝3，tan(α－β)＝－2，则tan α等于√12345√A.tan 66° B.tan 24° C.tan 42° D.tan 21°13452√134524.若tan 28°·tan 32°＝m，则tan 28°＋tan 32°等于√解析 ∵28°＋32°＝60°，13452课堂小结KE TANG XIAO JIE1.知识清单：
(1)两角和与差的正切公式的推导；
(2)公式的正用、逆用、变形用.
2.方法归纳：整体思想.
3.常见误区：公式中加减符号易记错.本课结束第4课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
学习目标 1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.
2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用．
知识点 二倍角公式
思考 倍角公式中的“倍角”仅是指α与2α吗？
答案 倍角公式不仅可运用于2α是α的二倍的情况，还可运用于4α作为2α的二倍，α作为的二倍，3α作为的二倍，α＋β作为的二倍等情况．
预习小测 自我检验
1．已知sin α＝，cos α＝，则sin 2α＝________.
答案
2．已知cos α＝，则cos 2α＝________.
答案 －
3．cos245°－sin245°＝________.
答案 0
4．已知tan α＝，则tan 2α＝________.
答案 －
一、给角求值
例1 求下列各式的值：
(1)2cos2－1；(2)；(3)cos 20°cos 40°cos 80°.
解 (1)原式＝cos ＝cos＝cos ＝.
(2)原式＝＝2×＝2×＝2.
(3)原式＝＝
＝＝＝＝.
反思感悟 对于给角求值问题，一般有两类：
(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角．
(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．
跟踪训练1 求下列各式的值：
(1)sin cos ；
(2)cos2－sin2；
(3).
解 (1)原式＝×2sin cos ＝sin ＝.
(2)原式＝cos ＝.
(3)原式＝tan 30°＝.
二、给值求值
例2 已知cos＝，≤α<，求cos
的值．
解 ∵≤α<，∴≤α＋<.
∵cos>0，∴<α＋<.
∴sin＝－＝－＝－.
∴cos 2α＝sin＝2sincos
＝2××＝－，
sin 2α＝－cos＝1－2cos2
＝1－2×2＝.
∴cos＝cos 2α－sin 2α
＝×
＝－.
延伸探究
1．若本例条件不变，求的值．
解 原式＝＝(cos α－sin α)＝2cos＝.
2．若本例条件变为：若x∈，sin＝，求sin的值．
解 由sin＝，
得sin xcos －cos xsin ＝，
两边平方，
得sin2x＋－sin 2x＝，
∴·＋－sin 2x＝，
即sin 2x·＋cos 2x·＝，
∴sin＝.
反思感悟 解决给值求值问题的方法
给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：
(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；
(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．
(3)注意几种公式的灵活应用，如：
①sin 2x＝cos＝cos
＝2cos2－1＝1－2sin2；
②cos 2x＝sin＝sin
＝2sincos.
跟踪训练2 已知sin＝，0解 原式＝＝＝2sin.
∵sin＝cos＝，且0∴＋x∈，
∴sin＝＝，
∴原式＝2×＝.
三、化简与证明
例3 (1)化简：.
(2)求证：＝tan4A.
(1)解 ＝
＝·＝sin x·＝tan x.
(2)证明 因为左边＝
＝2＝2＝(tan2A)2
＝tan4A＝右边，
所以＝tan4A.
反思感悟 证明问题的原则及一般步骤
(1)观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想．
(2)证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”、“异名化同名”、“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的．
跟踪训练3 (1)化简：－tan θtan 2θ.
(2)求证：sin3αsin 3α＋cos3αcos 3α＝cos32α.
(1)解 －tan θtan 2θ＝－
＝＝＝＝1.
(2)证明 左边＝sin2αsin αsin 3α＋cos2αcos αcos 3α
＝sin αsin 3α＋cos αcos 3α
＝(sin αsin 3α＋cos αcos 3α)＋cos 2α(－sin αsin 3α＋cos αcos 3α)
＝cos(α－3α)＋cos 2αcos(3α＋α)
＝cos 2α＋cos 2αcos 4α
＝cos 2α(1＋cos 4α)
＝cos 2α·2cos22α＝cos32α＝右边．
1．下列各式中，值为的是( )
A．2sin 15°cos 15° B．cos215°－sin215°
C．2sin215° D．sin215°＋cos215°
答案 B
解析 2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝；
cos215°－sin215°＝cos 30°＝；
2sin215°＝1－cos 30°＝1－；
sin215°＋cos215°＝1，故选B.
2．若sin ＝，则cos α等于( )
A．－ B．－ C. D.
答案 C
解析 因为sin ＝，
所以cos α＝1－2sin2＝1－2×2＝.
3．sin4－cos4等于( )
A．－ B．－ C. D.
答案 B
解析 原式＝·
＝－
＝－cos ＝－.
4．cos275°＋cos215°＋cos 75°cos 15°的值等于( )
A. B. C. D．1＋
答案 C
解析 原式＝sin215°＋cos215°＋sin 15°cos 15°
＝1＋sin 30°＝1＋＝.
5．sin 22.5°cos 202.5°＝________.
答案 －
解析 sin 22.5°cos 202.5°＝sin 22.5°·(－cos 22.5°)
＝－sin 45°＝－.
1．知识清单：
(1)二倍角公式的推导；
(2)利用二倍角公式的正用、逆用进行化简和求值．
2．方法归纳：换元思想，整体思想．
1．sin 15°sin 75°的值为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 原式＝sin 15°cos 15°＝(2sin 15°cos 15°)
＝sin 30°＝.
2.的值为( )
A．－ B．－ C. D.
答案 D
解析 原式＝cos2－sin2＝cos ＝.
3．已知α是第二象限角，sin α＋cos α＝，则cos 2α等于( )
A．－ B．－ C. D.
答案 A
解析 由sin α＋cos α＝，
平方得1＋2sin αcos α＝＝，
∴2sin αcos α＝－.
∴(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝.
∵α是第二象限角，∴sin α>0，cos α<0.
∴cos α－sin α＝－，
∴cos 2α＝cos2α－sin2α＝(cos α＋sin α)·(cos α－sin α)＝－.
4．若＝，则tan 2α等于( )
A．－ B. C．－ D.
答案 B
解析 因为＝，
整理得tan α＝－3，
所以tan 2α＝＝＝.
5．若α∈，且sin2α＋cos 2α＝，则tan α的值等于( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 ∵sin2α＋cos 2α＝，
∴sin2α＋cos2α－sin2α＝cos2α＝.
∴cos α＝±.
又α∈，∴cos α＝，sin α＝.
∴tan α＝.
6．已知tan＝3，则sin 2θ－2cos2θ＝________.
答案 －
解析 由已知，得＝3，解得tan θ＝.
所以sin 2θ－2cos2θ＝
＝＝＝－.
7．化简：＝________.
答案 －1
解析 原式＝＝－
＝＝－1.
8．已知sin＝，则sin 2x的值等于________．
答案
解析 方法一 因为sin＝，
所以cos＝1－2sin2
＝1－2×2＝，
所以sin 2x＝cos＝.
方法二 由sin＝，
得(sin x－cos x)＝－，
所以sin x－cos x＝－，两边平方得
1－sin 2x＝，
所以sin 2x＝.
9．已知tan α＝，tan β＝，且α，β均为锐角，求α＋2β的值．
解 tan 2β＝＝，
tan(α＋2β)＝＝1.
因为α，β均为锐角，且tan α＝<1，tan β＝<1，
所以α，β∈，
所以α＋2β∈，
所以α＋2β＝.
10．已知cos x＝，且x∈，求cos＋sin2x的值．
解 ∵cos x＝，x∈，
∴sin x＝－＝－，
∴sin 2x＝2sin xcos x＝－，
∴cos＋sin2x
＝＋
＝－sin 2x＝－×＝.
11．设sin α＝，2π<α<3π，则sin ＋cos 等于( )
A．－ B. C. D．－
答案 A
解析 ∵sin α＝，
∴2＝1＋sin α＝.
又2π<α<3π，∴π<<，
∴sin ＋cos ＝－.
12．已知函数f(x)＝，则( )
A．函数f(x)的最大值为，无最小值
B．函数f(x)的最小值为－，最大值为0
C．函数f(x)的最大值为，无最小值
D．函数f(x)的最小值为－，无最大值
答案 D
解析 因为f(x)＝＝
＝＝－tan x,0所以函数f(x)的最小值为－，无最大值，故选D.
13．设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α的值是______．
答案
解析 ∵sin 2α＝－sin α，
∴2sin αcos α＝－sin α.
由α∈知sin α≠0，
∴cos α＝－，∴α＝，
∴tan 2α＝tan ＝tan ＝.
14．(2019·全国Ⅰ)函数f(x)＝sin－3cos x的最小值为________．
答案 －4
解析 ∵f(x)＝sin－3cos x
＝－cos 2x－3cos x
＝－2cos2x－3cos x＋1，
令t＝cos x，则t∈[－1,1]，
∴f(t)＝－2t2－3t＋1.
又函数f(t)图象的对称轴t＝－∈[－1,1]，且开口向下，
∴当t＝1时，f(t)有最小值－4.
综上，f(x)的最小值为－4.
15．等腰三角形一个底角的余弦值为，那么这个三角形顶角的正弦值为________．
答案
解析 设A，B分别是等腰△ABC的顶角和底角，
则cos B＝，
sin B＝＝＝.
所以sin A＝sin(180°－2B)＝sin 2B＝2sin Bcos B＝2××＝.
16．已知α为锐角且tan＝3.
(1)求tan α的值；
(2)求的值．
解 (1)因为tan＝3，所以＝3，
即＝3，解得tan α＝.
(2)
＝
＝
＝＝cos α＋sin α.
因为α为锐角且tan α＝，
所以cos α＝2sin α.
由sin2α＋cos2α＝1，得sin2α＝，
所以sin α＝，cos α＝，
可得cos α＋sin α＝.即原式＝.
课件32张PPT。第4课时 二倍角的正弦、余弦、
正切公式第五章 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式学习目标XUEXIMUBIAO1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.
2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用.NEIRONGSUOYIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PART ONE知识点 二倍角公式2sin αcos αcos2αsin2α2cos2α-11-2sin2α思考 倍角公式中的“倍角”仅是指α与2α吗？答案 倍角公式不仅可运用于2α是α的二倍的情况，还可运用于4α作为2α的二倍，α作为 的二倍，3α作为 的二倍，α＋β作为 的二倍等情况.3.cos245°－sin245°＝________.预习小测 自我检验YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN02题型探究PART TWO例1 求下列各式的值：一、给角求值(3)cos 20°cos 40°cos 80°.反思感悟对于给角求值问题，一般有两类：
(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角.
(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.跟踪训练1 求下列各式的值：二、给值求值延伸探究两边平方，反思感悟解决给值求值问题的方法
给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：
(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；
(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系.
(3)注意几种公式的灵活应用，如：三、化简与证明＝tan4A＝右边，反思感悟证明问题的原则及一般步骤
(1)观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想.
(2)证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”、“异名化同名”、“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的.(2)求证：sin3αsin 3α＋cos3αcos 3α＝cos32α.证明 左边＝sin2αsin αsin 3α＋cos2αcos αcos 3α3随堂演练PART THREEsin215°＋cos215°＝1，故选B.A.2sin 15°cos 15° B.cos215°－sin215°
C.2sin215° D.sin215°＋cos215°√1234512345√13452√134524.cos275°＋cos215°＋cos 75°cos 15°的值等于√解析 原式＝sin215°＋cos215°＋sin 15°cos 15°134525.sin 22.5°cos 202.5°＝________.解析 sin 22.5°cos 202.5°＝sin 22.5°·(－cos 22.5°)课堂小结KE TANG XIAO JIE1.知识清单：
(1)二倍角公式的推导；
(2)利用二倍角公式的正用、逆用进行化简和求值.
2.方法归纳：换元思想，整体思想.本课结束