5.6 函数y＝Asin(ωx＋φ)(二)
学习目标 1.掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质，并能解决有关问题.2.能够利用函数y＝Asin(ωx＋φ)解决实际问题．
一、由图象求三角函数的解析式
例1 如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，求此函数的解析式．
解 方法一 逐一定参法
由图象知A＝3，
T＝－＝π，
∴ω＝＝2，
∴y＝3sin(2x＋φ)．
∵点在函数图象上，
∴0＝3sin.
∴－×2＋φ＝kπ，k∈Z，得φ＝＋kπ(k∈Z)．
∵|φ|<，∴φ＝.
∴y＝3sin.
方法二 待定系数法
由图象知A＝3.∵图象过点和，
∴解得
∴y＝3sin.
方法三 图象变换法
由A＝3，T＝π，点在图象上，
可知函数图象由y＝3sin 2x向左平移个单位长度而得，
∴y＝3sin，即y＝3sin.
反思感悟 给出y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法
(1)逐一定参法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ或选取最值点代入公式ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z，求φ.
(2)待定系数法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．
(3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asin ωx，再根据图象平移、伸缩规律确定相关的参数．
跟踪训练1 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象与x轴的交点中，相邻两个交点的距离为，且图象上一个最低点为M?，求f(x)的解析式．
解 由最低点M?，得A＝2.
在x轴上两相邻交点之间的距离为，
故＝，即T＝π，ω＝＝＝2.
由点M?在图象上得
2sin＝－2，即sin＝－1，
故＋φ＝2kπ－(k∈Z)，
∴φ＝2kπ－(k∈Z)．
又φ∈，
∴φ＝.故f(x)＝2sin.
二、三角函数性质的综合问题
例2 (1)若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )
A．x＝－(k∈Z) B．x＝＋(k∈Z)
C．x＝－(k∈Z) D．x＝＋(k∈Z)
答案 B
解析 将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，所得到的图象对应函数的解析式为y＝2sin 2＝2sin，由2x＋＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋kπ，k∈Z.
(2)将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )
A. B. C．0 D．－
答案 B
解析 将函数y＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后，得到y＝sin的图象，因为它是偶函数，所以φ＋＝＋kπ，k∈Z，即φ＝＋kπ，k∈Z，当k＝0时，φ＝.
反思感悟 (1)正弦、余弦型函数奇偶性的判断方法
正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)和余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)不一定具备奇偶性．对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数；对于函数y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数．
(2)与正弦、余弦型函数有关的单调区间的求解技巧
①结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．
②确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数，再求单调区间．
跟踪训练2 已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0≤φ<π)是R上的偶函数，其图象关于点M?对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值．
解 由f(x)是偶函数，得f(－x)＝f(x)，
即函数f(x)的图象关于y轴对称，
∴f(x)在x＝0时取得最值，即sin φ＝1或－1.
依题设0≤φ<π，∴φ＝.
由f(x)的图象关于点M对称，可知sin＝0，即ω＋＝kπ，k∈Z，
解得ω＝－，k∈Z.
又f(x)在上是单调函数，
∴T≥π，即≥π.
∴ω≤2，又ω>0，
∴k＝1时，ω＝；k＝2时，ω＝2.
故φ＝，ω＝2或.
三、三角函数的实际应用
例3 已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数，其中0≤t≤24，记y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5
经长期观测，y＝f(t)的图象可近似地看成是函数y＝Acos ωt＋b的图象．
(1)根据以上数据，求其最小正周期和函数解析式；
(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？
解 (1)由表中数据可知，T＝12，∴ω＝.
又t＝0时，y＝1.5，∴A＋b＝1.5；
t＝3时，y＝1.0，得b＝1.0，
∴A＝，
函数解析式为y＝cos t＋1(0≤t≤24)．
(2)∵y>1时，才对冲浪爱好者开放，
∴y＝cos t＋1>1，cos t>0，2kπ－即12k－3又0≤t≤24，∴0≤t<3或9∴在规定时间内只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动，即9反思感悟 解三角函数应用问题的基本步骤
跟踪训练3 如图，某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．
(1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式(其中t以年初以来的月为计量单位)；
(2)估计当年3月1日动物种群数量．
解 (1)设种群数量y关于t的解析式为y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0)，
则
解得A＝100，b＝800.
又周期T＝2×(6－0)＝12，
∴ω＝＝，
∴y＝100sin＋800.
又当t＝6时，y＝900，
∴900＝100sin＋800，
∴sin(π＋φ)＝1，
∴sin φ＝－1，
取φ＝－，
∴y＝100sin＋800.
(2)当t＝2时，
y＝100sin＋800＝750，
即当年3月1日动物种群数量约是750.
1．若函数f(x)＝2sin是偶函数，则φ的值可以是( )
A. B. C. D．－
答案 A
解析 令x＝0得f(0)＝2sin＝±2，
∴sin＝±1，把φ＝代入，符合上式．故选A.
2．同时具有性质“(1)最小正周期是π；(2)图象关于直线x＝对称；(3)在上单调递增”的一个函数是( )
A．y＝sin B．y＝cos C．y＝sin D．y＝cos
答案 C
解析 由(1)知T＝π＝，ω＝2，排除A.
由(2)(3)知x＝时，f(x)取最大值，
验证知只有C符合要求．
3．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的一部分图象如图所示，若A>0，ω>0，|φ|<，则( )
A．B＝4 B．φ＝ C．ω＝1 D．A＝4
答案 B
解析 由函数图象可知f(x)min＝0，f(x)max＝4.
所以A＝＝2，B＝＝2.
由周期T＝＝4知ω＝2.
由f?＝4得2sin＋2＝4，sin＝1，
又|φ|<，故φ＝.
4．下列函数中，图象的一部分如图所示的是( )
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝cos
D．y＝cos
答案 D
解析 由题图知T＝4×＝π，
∴ω＝＝2.
又x＝时，y＝1，
经验证，只有D项解析式符合题目要求．
5．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)图象的一条对称轴是直线x＝，则φ的值为_____．
答案 －π
解析 由题意知2×＋φ＝＋kπ，k∈Z，
所以φ＝＋kπ，k∈Z，
又－π<φ<0，
所以φ＝－π.
1．知识清单：
(1)由图象求函数的解析式．
(2)三角函数的性质的综合问题．
(3)三角函数的实际应用．
2．方法归纳：特殊点法，数形结合法．
3．常见误区：求φ值时递增区间上的零点和递减区间上零点的区别．
1．点P是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋m图象的一个对称中心，且点P到该图象的对称轴的距离的最小值为，则( )
A．f(x)的最小正周期是π
B．f(x)的值域为[0,4]
C．f(x)图象的对称轴为＋kπ，k∈Z
D．f(x)在上单调递增
答案 D
解析 由题意，得
且函数的最小正周期为T＝4×＝2π，
故ω＝＝1.
代入①式得φ＝kπ＋(k∈Z)，
又|φ|<，所以φ＝.
所以f(x)＝sin＋2.
故函数f(x)的值域为[1,3]，图象的对称轴为＋kπ，k∈Z，
排除A，B，C项，故选D.
2．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象如图所示，为了得到g(x)＝sin 2x的图象，则只要将f(x)的图象( )
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
答案 A
解析 很明显，A＝1，T＝4＝π，
∴T＝＝π，∴ω＝2.
∴f(x)＝sin(2x＋φ)．
又f?＝0，∴sin＝0.
又|φ|<，
∴<π＋φ<π，
∴π＋φ＝π，
∴φ＝，∴f(x)＝sin，
∴g(x)＝sin 2x＝sin＝f?，
即将f(x)的图象向右平移个单位长度得到g(x)的图象．
3．已知函数f(x)＝cos(ω>0)的相邻两个零点的距离为，要得到y＝f(x)的图象，只需把y＝cos ωx的图象( )
A．向右平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
答案 A
解析 由已知得＝2×，故ω＝2.
y＝cos 2x向右平移个单位长度可得
y＝cos 2＝cos的图象．
4．已知ω>0，函数f(x)＝cos的一条对称轴为x＝，一个对称中心为，则ω有( )
A．最小值2 B．最大值2
C．最小值1 D．最大值1
答案 A
解析 由题意知－≥，故T＝≤π，ω≥2.
5．若函数f(x)＝sin的图象向右平移个单位长度后与原图象关于x轴对称，则ω的最小正值是( )
A. B．1 C．2 D．3
答案 D
解析 函数f(x)＝sin的图象向右平移个单位长度得y＝sin＝sin的图象，由题意知－＝(2k＋1)π(k∈Z)，所以ω＝－6k－3(k∈Z)，所以ω的最小正值是3.故选D.
6．函数f(x)＝sin的图象的对称轴方程是______．
答案 x＝＋kπ，k∈Z
解析 令x－＝＋kπ，k∈Z，解得x＝＋kπ，k∈Z，
即f(x)的图象的对称轴方程是x＝＋kπ，k∈Z.
7．已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π≤φ<π)的图象如图所示，则φ＝________.
答案
解析 由图象知函数y＝sin(ωx＋φ)的周期为2＝，
∴＝，∴ω＝.
∵当x＝时，y有最小值－1，
∴×＋φ＝2kπ－(k∈Z)．
∵－π≤φ<π，∴φ＝.
8．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则f?＝________.
答案 0
解析 由图象知T＝π，∴T＝，A＝2，
又∵T＝，∴ω＝3，将点代入y＝2sin(3x＋φ)得sin＝0，取φ＝－π.
∴f(x)＝2sin，
∴f?＝2sin＝2sin π＝0.
9．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)一个周期的图象如图所示．
(1)求函数f(x)的最小正周期T及最大值、最小值；
(2)求函数f(x)的解析式及单调递增区间．
解 (1)由题图知T＝－＝，
∴T＝π，最大值为1，最小值为－1.
(2)由(1)知ω＝＝2.
又2×＋φ＝2kπ，k∈Z，
解得φ＝2kπ＋，k∈Z，
又－<φ<，φ＝，A＝1.
则f(x)＝sin，
由题图知f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．
10．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的一段图象如图所示．
(1)求f(x)的解析式；
(2)把f(x)的图象向左至少平移多少个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？
解 (1)由题意知A＝3，T＝＝＝5π，
所以ω＝.
由f(x)＝3sin的图象过点，
得sin＝0，
又|φ|<，所以φ＝－，
所以f(x)＝3sin.
(2)由f(x＋m)＝3sin＝3sin为偶函数(m>0)，
知－＝kπ＋(k∈Z)，
即m＝kπ＋(k∈Z)．
因为m>0，所以mmin＝.
故至少把f(x)的图象向左平移个单位长度，才能使得到的图象对应的函数是偶函数．
11．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋m的最大值是4，最小值是0，最小正周期是，直线x＝是其图象的一条对称轴，则下面各解析式符合条件的是( )
A．y＝4sin＋2
B．y＝2sin＋2
C．y＝2sin＋2
D．y＝2sin＋2
答案 D
解析 因为最大值是4，故选项A不符合题意．
又因为T＝＝，所以ω＝4，故排除选项B.
令4x＋＝＋kπ，k∈Z?4x＝＋kπ，k∈Z?x＝＋，k∈Z，
令＋＝，得k＝?Z，排除选项C，故选D.
12．已知函数f(x)＝sin(ω>0)，f?＝f?，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则ω＝________.
答案
解析 依题意知f(x)＝sin(ω>0)，f?＝f?，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，∴f(x)图象关于直线x＝对称，
即关于直线x＝对称，且－∴·ω＋＝＋2kπ，k∈Z，且0<ω<12，∴ω＝.
13．函数y＝2sin πx－(x∈[－2,1)∪(1,4])的所有零点之和为________．
答案 8
解析 函数y＝2sin πx－(x∈[－2,1)∪(1,4])的零点即
方程2sin πx＝的根，
作函数y＝2sin πx与y＝的图象如图所示：
由图可知共有8个公共点，所以原函数有8个零点．
y＝2sin πx－＝2sin π(1－x)－，
令t＝1－x，则y＝2sin πt－，t∈[－3,0)∪(0,3]，
该函数是奇函数，故零点之和为0.所以原函数的零点之和为8.
14．将函数f(x)＝2sin x的图象的每一个点横坐标缩短为原来的一半，再向左平移个单位长度得到g(x)的图象，则g(x)＝________；若函数g(x)在区间，上单调递增，则实数a的取值范围是________．
答案 2sin
解析 将函数f(x)＝2sin x的图象的每一个点横坐标缩短为原来的一半，可得y＝2sin 2x的图象；再向左平移个单位长度得到g(x)＝2sin的图象．
若函数g(x)在区间，上单调递增，
则求得≤a≤，
则实数a的取值范围是.
15．如果函数y＝sin 2x＋acos 2x的图象关于直线x＝－对称，那么a的值为( )
A. B．－ C．1 D．－1
答案 D
解析 根据对称轴的定义，因为函数y＝f(x)＝sin 2x＋acos 2x的图象以直线x＝－为对称轴，那么到x＝－距离相等的x值对应的函数值应相等，
所以f?＝f?对任意x成立．
令x＝，得f?＝f(0)＝sin 0＋acos 0＝a，
f?＝f?＝sin＋acos＝－1，
所以a＝－1.
16．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求方程f(x)－lg x＝0的解的个数．
解 (1)由题图，知A＝2，
由函数图象过点(0,1)，得f(0)＝1，即sin φ＝，
又|φ|<，所以φ＝.
易知点是五点作图法中的第五点，
所以ω＋＝2π，所以ω＝2.
因此所求函数的解析式为f(x)＝2sin.
(2)在同一平面直角坐标系中作函数y＝f(x)和函数y＝lg x的图象如图所示．
因为f(x)的最大值为2，
令lg x＝2，得x＝100，
令＋kπ<100(k∈Z)，
得k≤30(k∈Z)．
而＋31π>100，
且＋30π＋<100，
所以在区间(0,100]内有31个形如(k∈Z,0≤k≤30)的区间．
在每个区间上y＝f(x)与y＝lg x的图象都有两个交点，故这两个函数的图象在上有2×31＝62(个)交点．
另外，两函数的图象在上还有一个交点，
所以方程f(x)－lg x＝0共有63个实数解．
课件34张PPT。5.6 函数y＝Asin(ωx＋φ)(二)第五章 三角函数学习目标XUEXIMUBIAO1.掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质，并能解决有关问题.
2.能够利用函数y＝Asin(ωx＋φ)解决实际问题.NEIRONGSUOYIN内容索引题型探究随堂演练1题型探究PART ONE一、由图象求三角函数的解析式解 方法一 逐一定参法
由图象知A＝3，∴y＝3sin(2x＋φ).方法二 待定系数法方法三 图象变换法二、三角函数性质的综合问题√√解 由f(x)是偶函数，得f(－x)＝f(x)，
即函数f(x)的图象关于y轴对称，
∴f(x)在x＝0时取得最值，即sin φ＝1或－1.由f(x)的图象关于点M对称，可知∴ω≤2，又ω>0，三、三角函数的实际应用例3 已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数，其中0≤t≤24，记y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：经长期观测，y＝f(t)的图象可近似地看成是函数y＝Acos ωt＋b的图象.
(1)根据以上数据，求其最小正周期和函数解析式；又t＝0时，y＝1.5，∴A＋b＝1.5；
t＝3时，y＝1.0，得b＝1.0，(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？解 ∵y>1时，才对冲浪爱好者开放，即12k－3又0≤t≤24，∴0≤t<3或9∴在规定时间内只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动，即90，ω>0)，解得A＝100，b＝800.
又周期T＝2×(6－0)＝12，又当t＝6时，y＝900，∴sin(π＋φ)＝1，
∴sin φ＝－1，(2)估计当年3月1日动物种群数量.解 当t＝2时，即当年3月1日动物种群数量约是750.2随堂演练PART TWO12345√√验证知只有C符合要求.1234513452√解析 由函数图象可知f(x)min＝0，f(x)max＝4.13452经验证，只有D项解析式符合题目要求.134524.下列函数中，图象的一部分如图所示的是√13452又－π<φ<0，课堂小结KE TANG XIAO JIE1.知识清单：
(1)由图象求函数的解析式.
(2)三角函数的性质的综合问题.
(3)三角函数的实际应用.
2.方法归纳：特殊点法，数形结合法.
3.常见误区：求φ值时递增区间上的零点和递减区间上零点的区别.本课结束
