5.6 函数y＝Asin(ωx＋φ)(一)
学习目标 1.理解y＝Asin(ωx＋φ)中ω，φ，A对图象的影响.2.掌握y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤．
知识点 A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响
1．φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R图象的影响
2．ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)图象的影响
3．A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响
1．将函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝cos x的图象．( √ )
2．将函数y＝sin x图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，便得到函数y＝2sin x的图象．( √ )
3．把函数y＝cos x的图象上点的横坐标伸长到原来的3倍就得到函数y＝cos 3x的图象．( × )
一、平移变换
例1 函数y＝sin的图象可以看作是由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到的？
解 函数y＝sin的图象，可以看作是把曲线y＝sin x上所有的点向右平移个单位长度而得到的．
反思感悟 对平移变换应先观察函数名是否相同，若函数名不同则先化为同名函数．再观察x前系数，当x前系数不为1时，应提取系数确定平移的单位和方向，方向遵循左加右减，且从ωx→ωx＋φ的平移量为个单位．
跟踪训练1 要得到函数y＝sin的图象，只要将函数y＝sin 2x的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
答案 C
解析 因为y＝sin＝sin，
所以将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，
就可得到函数y＝sin＝sin的图象．
二、伸缩变换
例2 将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
答案 C
解析 将y＝sin x的图象向右平移个单位长度得到y＝sin的图象，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到y＝sin的图象．
反思感悟 先平移后伸缩和先伸缩后平移中，平移的量是不同的，在应用中一定要区分清楚，以免混乱而导致错误．弄清平移对象是减少错误的好方法．
跟踪训练2 函数y＝3sin的图象，可由函数y＝sin x的图象经过下述哪项变换而得到( )
A．向右平移个单位长度，横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的3倍
B．向左平移个单位长度，横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的3倍
C．向右平移个单位长度，横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标缩短到原来的
D．向左平移个单位长度，横坐标缩短到原来的，纵坐标缩短到原来的
答案 B
解析 y＝sin x的图象
y＝sin的图象
y＝sin的图象
y＝3sin的图象．
三、图象的综合变换
例3 已知函数y＝sin，x∈R.
(1)用五点法作出它在一个周期内的简图；
(2)该函数的图象可由y＝sin x(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
解 (1)列表：
2x＋
0
π
2π
x
－
y＝sin
0
0
－
0
描点、连线，如图所示．
(2)函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，再保持纵坐标不变，把横坐标缩短为原来的倍，得到函数y＝sin的图象，再保持横坐标不变，把纵坐标缩短为原来的倍，得到函数y＝sin的图象．
反思感悟 由函数y＝sin x的图象通过变换得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的步骤
跟踪训练3 说明y＝－2sin＋1的图象是由y＝sin x的图象经过怎样变换得到的．
解 方法一 先伸缩后平移
y＝sin x的图象
y＝－2sin x的图象
y＝－2sin 2x的图象
y＝－2sin的图象
y＝－2sin＋1的图象．
方法二 先平移后伸缩
y＝sin x的图象
y＝－2sin x的图象
y＝－2sin的图象
y＝－2sin的图象
y＝－2sin＋1的图象．
1．函数y＝cos x(x∈R)的图象向左平移个单位长度后，得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)的解析式应为( )
A．g(x)＝－sin x B．g(x)＝sin x
C．g(x)＝－cos x D．g(x)＝cos x
答案 A
解析 将y＝cos x向左平移个单位长度得y＝cos＝－sin x.
2．要得到函数y＝sin的图象，只要将函数y＝sin x的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
答案 A
解析 将函数y＝sin x的图象上所有点向左平移个单位长度，就可得到函数y＝sin的图象．
3．将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为( )
A．y＝2sin B．y＝2sin
C．y＝2sin D．y＝2sin
答案 D
解析 函数y＝2sin的最小正周期为π，所以将函数y＝2sin的图象向右平移个单位长度后，得到函数y＝2sin＝2sin的图象．
4．函数y＝cos x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝cos ωx，则ω的值为________．
答案
解析 函数y＝cos x
y＝cos x，所以ω＝.
5．由y＝3sin x的图象变换得到y＝3sin的图象主要有两个过程：先平移后伸缩和先伸缩后平移，前者需向左平移________个单位长度，后者需向左平移________个单位长度．
答案
解析 y＝3sin x
y＝3sin
y＝3sin，
y＝3sin x
y＝3sin
y＝3sin＝3sin.
1．知识清单：
(1)平移变换．
(2)伸缩变换．
(3)图象的变换．
2．常见误区：先平移和先伸缩作图时平移的量不一样．
1．为了得到函数y＝sin(x＋1)的图象，只需把函数y＝sin x的图象上所有的点( )
A．向左平行移动1个单位长度
B．向右平行移动1个单位长度
C．向左平行移动π个单位长度
D．向右平行移动π个单位长度
答案 A
解析 只需把函数y＝sin x的图象上所有的点向左平行移动1个单位长度，便得函数y＝sin(x＋1)的图象，故选A.
2．为了得到函数y＝sin的图象，可以将函数y＝sin 2x的图象( )
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
答案 B
解析 y＝sin＝sin 2，故将函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，可得y＝sin的图象．
3．函数f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象向左平移个单位长度，所得图象经过点，则ω的最小值是( )
A. B．2 C．1 D.
答案 C
解析 依题意得，函数f?＝sin(ω>0)的图象过点，
于是有f?＝sin＝sin ωπ＝0(ω>0)，
所以ωπ＝kπ，k∈N*，即ω＝k，k∈N*，
因此正数ω的最小值是1，故选C.
4．将函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
答案 A
解析 y＝sin 2x
y＝sin＝sin＝－sin(π－2x)＝－sin 2x.
由于－sin(－2x)＝sin 2x，所以是奇函数．
5．函数y＝cos x的图象上的每一点的纵坐标保持不变，将横坐标变为原来的，然后将图象沿x轴负方向平移个单位长度，得到的图象对应的解析式为( )
A．y＝sin 2x B．y＝－sin 2x
C．y＝cos D．y＝cos
答案 B
解析 y＝cos x的图象上每一点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)得到y＝cos 2x的图象；再把y＝cos 2x的图象沿x轴负方向平移个单位长度，就得到y＝cos＝cos＝－sin 2x的图象．
6．将函数y＝sin 4x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝sin(4x＋φ)(0<φ<π)的图象，则φ的值为________．
答案
解析 将函数y＝sin 4x的图象向左平移个单位长度，
得y＝sin＝sin，
所以φ的值为.
7．函数y＝sin图象上各点的纵坐标不变，将横坐标伸长为原来的5倍，可得到函数____________的图象．
答案 y＝sin
解析 y＝sin的图象y＝sin的图象．
8．函数y＝sin图象上所有点的横坐标保持不变，将纵坐标________(填“伸长”或“缩短”)为原来的________倍，将会得到函数y＝3sin的图象．
答案 伸长 3
解析 A＝3>1，故函数y＝sin图象上所有点的横坐标保持不变，将纵坐标伸长为原来的3倍即可得到函数y＝3sin的图象．
9．函数f(x)＝5sin－3的图象是由y＝sin x的图象经过怎样的变换得到的？
解 先把函数y＝sin x的图象向右平移个单位长度，得y＝sin的图象；再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得y＝sin的图象；然后把所得函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变)得函数y＝5sin的图象，最后将所得函数图象向下平移3个单位长度，得函数y＝5sin－3的图象．
10．已知函数f(x)＝sin.
(1)请用“五点法”画出函数f(x)在一个周期的闭区间上的简图；
(2)求函数f(x)的单调增区间；
(3)试问f(x)是由g(x)＝sin x经过怎样变换得到？
解 (1)列表如下：
2x－
0
π
2π
x
f(x)
0
1
0
－1
0
描点连线，图象如图所示．
(2)令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调增区间是，k∈Z.
(3)先将g(x)向右平移个单位长度，再将所得函数图象的横坐标缩短为原来的，即可得到f(x)的图象．
11．将函数f(x)＝sin的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，则所得图象对应的函数解析式为( )
A．y＝sin x B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
答案 B
解析 将函数f(x)＝sin的图象向左平移个单位长度后，得到函数y＝sin＝sin的图象，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y＝sin的图象，故选B.
12．要得到y＝cos的图象，只要将y＝sin 2x的图象( )
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
答案 A
解析 y＝sin 2x＝cos＝cos＝cos＝cos.
若设f(x)＝sin 2x＝cos，
则f?＝cos，
所以向左平移个单位长度．
13．函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ<π)的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝sin的图象重合，则φ＝________.
答案
解析 将y＝sin的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin＝sin＝cos.由题意知y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ<π)与y＝cos重合，故φ＝.
14．将最小正周期为的函数g(x)＝sin(ω>0，|φ|<2π)的图象向左平移个单位长度，得到偶函数图象，则满足题意的φ的一个可能值为________．
答案 ，，－，－填一个即可
解析 ∵T＝＝，
∴ω＝4，
∴g(x)＝sin向左平移个单位长度得到
f(x)＝sin＝sin＝－sin，
又f(x)为偶函数，∴φ＋＝kπ＋，∴φ＝kπ＋(k∈Z)，
∵|φ|<2π，∴φ＝，，－，－.
15．要得到y＝sin的图象，需将函数y＝cos 的图象上所有的点至少向左平移____个单位长度．
答案
解析 cos ＝sin，将y＝sin的图象上所有的点向左平移φ(φ>0)个单位长度得y＝sin的图象．令＋＝2kπ＋，k∈Z，
∴φ＝4kπ－，k∈Z.
∴当k＝1时，φ＝是φ的最小正值．
16．已知函数f(x)＝2sin ωx，其中常数ω>0.
(1)若y＝f(x)在上单调递增，求ω的取值范围；
(2)令ω＝2，将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，区间[a，b](a，b∈R且a解 (1)因为ω>0，根据题意有
解得0<ω≤.
所以ω的取值范围是.
(2)由f(x)＝2sin 2x可得，
g(x)＝2sin＋1＝2sin＋1，
g(x)＝0?sin＝－?x＝kπ－或x＝kπ－π，k∈Z，
即g(x)的零点相邻间隔依次为和，
故若y＝g(x)在[a，b]上至少含有30个零点，
则b－a的最小值为14×＋15×＝.
课件30张PPT。5.6 函数y＝Asin(ωx＋φ)(一)第五章 三角函数学习目标XUEXIMUBIAO1.理解y＝Asin(ωx＋φ)中ω，φ，A对图象的影响.
2.掌握y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤.NEIRONGSUOYIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PART ONE知识点 A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响1.φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R图象的影响左右2.ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)图象的影响缩短伸长3.A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响缩短伸长1.将函数y＝sin x的图象向左平移 个单位长度，得到函数y＝cos x的图象.( )
2.将函数y＝sin x图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，便得到函数y＝2sin x的图象.( )
3.把函数y＝cos x的图象上点的横坐标伸长到原来的3倍就得到函数y＝cos 3x的图象.( )思考辨析 判断正误SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU√√×2题型探究PART TWO一、平移变换反思感悟对平移变换应先观察函数名是否相同，若函数名不同则先化为同名函数.再观察x前系数，当x前系数不为1时，应提取系数确定平移的单位和方向，方向遵循左加右减，且从ωx→ωx＋φ的平移量为 个单位.√二、伸缩变换√反思感悟先平移后伸缩和先伸缩后平移中，平移的量是不同的，在应用中一定要区分清楚，以免混乱而导致错误.弄清平移对象是减少错误的好方法.√三、图象的综合变换(1)用五点法作出它在一个周期内的简图；解 列表：描点、连线，如图所示.(2)该函数的图象可由y＝sin x(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？反思感悟由函数y＝sin x的图象通过变换得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的步骤跟踪训练3 说明y＝－2 ＋1的图象是由y＝sin x的图象经过怎样变换得到的.解 方法一 先伸缩后平移方法二 先平移后伸缩3随堂演练PART THREE1.函数y＝cos x(x∈R)的图象向左平移 个单位长度后，得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)的解析式应为
A.g(x)＝－sin x B.g(x)＝sin x
C.g(x)＝－cos x D.g(x)＝cos x12345√12345√13452√134524.函数y＝cos x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝cos ωx，则ω的值为______.13452课堂小结KE TANG XIAO JIE1.知识清单：
(1)平移变换.
(2)伸缩变换.
(3)图象的变换.
2.常见误区：先平移和先伸缩作图时平移的量不一样.本课结束
