5.7 三角函数的应用
学习目标 1.会用三角函数解决一些简单的实际问题.2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．
知识点一 三角函数的应用
1．三角函数模型的作用
三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测未来等方面发挥重要作用．
2．用函数模型解决实际问题的一般步骤
收集数据―→画散点图―→选择函数模型―→求解函数模型―→检验．
知识点二 函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义
预习小测 自我检验
1．函数y＝3sin的初相为________．
答案 －
2．某人的血压满足函数式f(t)＝24sin 160πt＋110，其中f(t)为血压(单位：mmHg)，t为时间(单位：min)，则此人每分钟心跳的次数为________．
答案 80
3．电流I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin，则当t＝时，电流为____ A.
答案
4．如图为某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要______ s往返一次．
答案 0.8
解析 观察图象可知，此简谐运动的周期T＝0.8，所以这个简谐运动需要0.8 s往返一次．
一、三角函数在物理中的应用
例1 已知电流I与时间t的关系为I＝Asin(ωt＋φ)．
(1)如图所示的是I＝Asin(ωt＋φ)在一个周期内的图象，根据图中数据求I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；
(2)如果t在任意一段的时间内，电流I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？
解 (1)由题图可知A＝300，设t1＝－，t2＝，
则周期T＝2(t2－t1)＝2＝.
∴ω＝＝150π.
又当t＝时，I＝0，即sin＝0，
而|φ|<，∴φ＝.
故所求的解析式为I＝300sin.
(2)依题意知，周期T≤，即≤(ω>0)，
∴ω≥300π>942，又ω∈N*，
故所求最小正整数ω＝943.
反思感悟 处理物理学问题的策略
(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性．
(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．
跟踪训练1 一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，当小球来回摆动时，离开平衡位置的位移S(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是S＝6sin.
(1)画出它的图象；
(2)回答以下问题：
①小球开始摆动(即t＝0)时，离开平衡位置是多少？
②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？
③小球来回摆动一次需要多少时间？
解 (1)周期T＝＝1(s)．
列表：
t
0
1
2πt＋
π
2π
2π＋
6sin
3
6
0
－6
0
3
描点画图：
(2)①小球开始摆动(即t＝0)时，离开平衡位置为3 cm.
②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6 cm.
③小球来回摆动一次需要1 s(即周期)．
二、三角函数在生活中的应用
例2 通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象．某年2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14 ℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2 ℃.
(1)求出该地区该时段的温度函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<π，x∈[0,24))的表达式；
(2)29日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于10 ℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该开空调吗？
解 (1)由题意知解得
易知＝14－2，所以T＝24，所以ω＝，
易知8sin＋6＝－2，
即sin＝－1，
故×2＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，
又|φ|<π，得φ＝－，
所以y＝8sin＋6(x∈[0,24))．
(2)当x＝9时，y＝8sin＋6
＝8sin ＋6<8sin ＋6＝10.
所以届时学校后勤应该开空调．
反思感悟 解三角函数应用问题的基本步骤
跟踪训练2 已知某地一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin＋20，x∈[4,16]．
(1)求该地这一段时间内温度的最大温差；
(2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌最多能生存多长时间？
解 (1)当x＝14时函数取最大值，此时最高温度为30 ℃，
当x＝6时函数取最小值，此时最低温度为10 ℃，
所以最大温差为30 ℃－10 ℃＝20 ℃.
(2)令10sin＋20＝15，
得sin＝－，
而x∈[4,16]，所以x＝.
令10sin＋20＝25，
得sin＝，
而x∈[4,16]，所以x＝.
当x∈时，x－∈，
所以y在上单调递增．
故该细菌能存活的最长时间为－＝小时．
1.如图所示的是一个单摆，以平衡位置OA为始边、OB为终边的角θ(－π<θ<π)与时间t(s)满足函数关系式θ＝sin，则当t＝0时角θ的大小，及单摆的频率是( )
A.， B．2， C.，π D．2，π
答案 A
解析 当t＝0时，θ＝sin ＝，由函数解析式易知单摆的周期为＝π，故单摆的频率为.
2．在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动．已知它们在时间t(s)离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由s1＝5sin，s2＝10cos 2t确定，则当t＝ s时，s1与s2的大小关系是( )
A．s1>s2 B．s1C．s1＝s2 D．不能确定
答案 C
解析 当t＝时，s1＝5sin＝5sin ＝－5，
当t＝时，s2＝10cos ＝10×＝－5，
故s1＝s2.
3.如图表示电流强度I与时间t的关系(I＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0))在一个周期内的图象，则该函数解析式可以是( )
A．I＝300sin
B．I＝300sin
C．I＝300sin
D．I＝300sin
答案 C
解析 A＝300，T＝2＝，ω＝＝100π，I＝300sin(100πt＋φ)．
代入点，得100π×＋φ＝0，
取φ＝，∴I＝300sin.
4．如图是一个简谐运动的图象，则下列判断正确的是( )
A．该质点的振动周期为0.7 s
B．该质点的振幅为－5 cm
C．该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大
D．该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零
考点 三角函数模型的应用
题点 三角函数在天文、物理学方面的应用
答案 D
解析 由图象及简谐运动的有关知识知T＝0.8 s，A＝5 cm，当t＝0.1 s及t＝0.5 s时，v＝0，故排除选项A，B，C.
5．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s＝3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l＝________cm.
答案
解析 由已知得＝1，所以＝2π，＝4π2，l＝.
1．知识清单：
(1)三角函数在物理中的应用．
(2)三角函数在生活中的应用．
2．方法归纳：数学建模．
1.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过周期后，乙的位置将移至( )
A．x轴上 B．最低点 C．最高点 D．不确定
答案 C
解析 相邻的最大值与最小值之间间隔半个周期，故乙移至最高点．
2.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )
A．5 B．6 C．8 D．10
答案 C
解析 根据图象得函数的最小值为2，
有－3＋k＝2，k＝5，最大值为3＋k＝8.
3．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin?(t≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的？( )
A．[0,5] B．[5,10] C．[10,15] D．[15,20]
答案 C
解析 由2kπ－≤≤2kπ＋，k∈Z，知函数F(t)的增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.
当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10,15]?[3π，5π]，故选C.
4．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N*)
B．f(x)＝9sin(1≤x≤12，x∈N*)
C．f(x)＝2sin x＋7(1≤x≤12，x∈N*)
D．f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N*)
答案 A
解析 方法一 令x＝3可排除D，令x＝7，可排除B，
由A＝＝2可排除C.
方法二 由题意，可得A＝＝2，b＝7.
周期T＝＝2×(7－3)＝8.
∴ω＝.
∴f(x)＝2sin＋7.
∵当x＝3时，y＝9，∴2sin＋7＝9.
即sin＝1.
∵|φ|<，∴φ＝－.
∴f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N*)．
故选A.
5．稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点，国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响，青岛市某房地产中介对本市一楼盘在今年的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足：y＝500sin(ωx＋φ)＋9 500(ω>0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示：
x
1
2
3
y
10 000
9 500
？
则此楼盘在第三季度的平均单价大约是( )
A．10 000元 B．9 500元
C．9 000元 D．8 500元
答案 C
解析 因为y＝500sin(ωx＋φ)＋9 500(ω>0)，
所以当x＝1时，500sin(ω＋φ)＋9 500＝10 000；
当x＝2时，500sin(2ω＋φ)＋9 500＝9 500，
所以ω可取，φ可取π，
即y＝500sin＋9 500.
当x＝3时，y＝9 000.
6．某城市一年中12个月的平均气温y与月份x的关系可近似地用函数y＝a＋Acos(x＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温为________℃.
答案 20.5
解析 根据题意得
18＝a＋Acos＝a－A，28＝a＋A，
解得a＝23，A＝5，
所以y＝23＋5cos，
令x＝10，
得y＝23＋5cos＝23＋5cos ＝20.5.
7．如图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(米)在某天0～24时的变化情况，则水面高度h关于时间t的函数关系式为________．
答案 h＝－6sin t(0≤t≤24)
解析 设h＝Asin(ωt＋φ)，
由图象知A＝6，T＝12，
∴＝12，得ω＝＝.
点(6,0)为五点法作图中的第一点，
故×6＋φ＝0，得φ＝－π，
∴h＝6sin＝－6sin t(0≤t≤24)．
8．如图是电流强度I(单位：安)随时间t(单位：秒)变化的函数I＝Asin(A>0，ω>0)的图象，则当t＝秒时，电流强度是________安．
答案 5
解析 由图象可知，A＝10，
周期T＝2×＝，
所以ω＝＝100π，
所以I＝10sin.
当t＝秒时，I＝10sin＝5(安)．
9．交流电的电压E(单位：伏)与时间t(单位：秒)的关系可用E＝220sin来表示，求：
(1)开始时的电压；
(2)电压的最大值和第一次获得这个最大值的时间．
解 (1)当t＝0时，E＝220sin ＝110(伏)，
即开始时的电压为110 伏．
(2)电压的最大值为220 伏，
当100πt＋＝，即t＝ 秒时第一次取得这个最大值．
10．如图所示，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径为40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：
(1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分钟)的函数关系式；
(2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？
考点 三角函数模型的应用
题点 三角函数在日常生活中的应用
解 (1)由已知可设y＝40.5－40cos ωt，t≥0，
由周期为12分钟可知，当t＝6时，摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值，
所以6ω＝π，即ω＝，
所以y＝40.5－40cos t(t≥0)．
(2)设转第1圈时，第t0分钟时距离地面60.5米．
由60.5＝40.5－40cos t0，得cos t0＝－，
所以t0＝或t0＝，
解得t0＝4或t0＝8，
所以t＝8(分钟)时，第2次距地面60.5米，
故第4次距离地面60.5米时，用了12＋8＝20(分钟)．
11.如图是一个半径为3米的水轮，水轮的圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(米)与时间t(秒)满足关系式y＝Asin(ωt＋φ)＋2，则( )
A．ω＝，A＝3 B．ω＝，A＝3
C．ω＝，A＝5 D．ω＝，A＝5
答案 B
解析 由题意知A＝3，ω＝＝.
12．有一冲击波，其波形为函数y＝－sin 的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰，则正整数t的最小值是( )
A．5 B．6 C．7 D．8
答案 C
13.如图所示，有一广告气球，直径为6 m，放在公司大楼上空，当行人仰望气球中心的仰角∠BAC＝30°时，测得气球的视角为2°(若β(弧度)很小时，可取sin β≈β)，试估算该气球的高BC的值约为( )
A．70 m B．86 m C．102 m D．118 m
答案 B
解析 在Rt△ADC中，CD＝3 m，sin∠CAD＝，
∴AC＝.①
∵∠CAD很小，1°＝ rad，
∴sin∠CAD＝ rad.②
在Rt△ABC中，sin ∠CAB＝sin 30°＝，③
∴由①②③得BC≈86 m.
14．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，若将A，B两点的距离d(cm)表示成时间t(s)的函数，则d＝________，其中t∈[0,60]．
答案 10sin
解析 秒针1 s转弧度，t s后秒针转了t弧度，如图所示，sin ＝，
所以d＝10sin .
15．国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P＝Asin＋60(美元)(A>0，ω>0)，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t＝150(天)时达到最低油价，则ω的最小值为________．
答案
解析 因为国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P＝Asin＋60，最高油价80美元，
所以A＝20.
当t＝150(天)时达到最低油价，
即sin＝－1，
此时150ωπ＋＝2kπ－，k∈Z，
因为ω>0，所以令k＝1，
得150ωπ＋＝2π－，
解得ω＝.
故ω的最小值为.
16．某商品一年内出厂价格在6元的基础上按月份随正弦曲线波动，已知3月份达到最高价格8元，7月份价格最低为4元，该商品在商店内的销售价格在8元基础上按月份随正弦曲线波动，5月份销售价格最高为10元，9月份销售价格最低为6元，假设商店每月购进这种商品m件，且当月销售完，你估计哪个月份盈利最大？
解 设出厂价波动函数为y1＝6＋Asin(ω1x＋φ1)，
易知A＝2，T1＝8，ω1＝，＋φ1＝?φ1＝－，
所以y1＝6＋2sin.
设销售价波动函数为y2＝8＋Bsin(ω2x＋φ2)，
易知B＝2，T2＝8，ω2＝，
＋φ2＝?φ2＝－，
所以y2＝8＋2sin.
每件盈利y＝y2－y1
＝－
＝2－2sin x，
当sin x＝－1，即x＝2kπ－(k∈Z)，
x＝8k－2(k∈Z)时，
y取最大值．
当k＝1，即x＝6时，y最大．
所以估计6月份盈利最大．
课件30张PPT。5.7 三角函数的应用第五章 三角函数学习目标XUEXIMUBIAO1.会用三角函数解决一些简单的实际问题.
2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.NEIRONGSUOYIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PART ONE知识点一 三角函数的应用1.三角函数模型的作用
三角函数作为描述现实世界中 的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画 规律、预测未来等方面发挥重要作用.
2.用函数模型解决实际问题的一般步骤
收集数据―→画散点图―→选择函数模型―→求解函数模型―→检验.周期现象周期变化知识点二 函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义Aωx+φφ2.某人的血压满足函数式f(t)＝24sin 160πt＋110，其中f(t)为血压(单位：mmHg)，t为时间(单位：min)，则此人每分钟心跳的次数为_____.预习小测 自我检验YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN804.如图为某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要______ s往返一次.0.8解析 观察图象可知，此简谐运动的周期T＝0.8，
所以这个简谐运动需要0.8 s往返一次.2题型探究PART TWO例1 已知电流I与时间t的关系为I＝Asin(ωt＋φ).一、三角函数在物理中的应用∴ω≥300π>942，又ω∈N*，
故所求最小正整数ω＝943.处理物理学问题的策略
(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性.
(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题.(1)画出它的图象；列表：描点画图：(2)回答以下问题：
①小球开始摆动(即t＝0)时，离开平衡位置是多少？解 小球开始摆动(即t＝0)时，离开平衡位置为3 cm.②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？解 小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6 cm.③小球来回摆动一次需要多少时间？解 小球来回摆动一次需要1 s(即周期).二、三角函数在生活中的应用例2 通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象.某年2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14 ℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2 ℃.
(1)求出该地区该时段的温度函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<π，x∈[0,24))的表达式；(2)29日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于10 ℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该开空调吗？所以届时学校后勤应该开空调.解三角函数应用问题的基本步骤(1)求该地这一段时间内温度的最大温差；解 当x＝14时函数取最大值，此时最高温度为30 ℃，
当x＝6时函数取最小值，此时最低温度为10 ℃，
所以最大温差为30 ℃－10 ℃＝20 ℃.(2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌最多能生存多长时间？3随堂演练PART THREE√12345故s1＝s2.A.s1>s2 B.s10，ω>0))在一个周期内的图象，则该函数解析式可以是√I＝300sin(100πt＋φ).13452134524.如图是一个简谐运动的图象，则下列判断正确的是
A.该质点的振动周期为0.7 s
B.该质点的振幅为－5 cm
C.该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大
D.该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零√解析 由图象及简谐运动的有关知识知T＝0.8 s，A＝5 cm，当t＝0.1 s及t＝0.5 s时，v＝0，故排除选项A，B，C.13452课堂小结KE TANG XIAO JIE1.知识清单：
(1)三角函数在物理中的应用.
(2)三角函数在生活中的应用.
2.方法归纳：数学建模.本课结束
