2．3 二次函数与一元二次方程、不等式
第1课时 二次函数与一元二次方程、不等式
学习目标 1.从函数观点看一元二次方程．了解函数的零点与方程根的关系.2.从函数观点看一元二次不等式．经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．
知识点一 一元二次不等式的概念
定义
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式
一般形式
ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数
知识点二 一元二次函数的零点
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．
知识点三 二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两个不相等的实数根x1，x2(x1
有两个相等的实数根x1＝x2＝－
没有实数根
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集
{x|xx2}
R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
{x|x1?
?
预习小测 自我检验
1．下面所给关于x的几个不等式：①3x＋4<0；②x2＋mx－1>0；③ax2＋4x－7>0；④x2<0.其中一定为一元二次不等式的有________．(填序号)
答案 ②④
解析 一定是一元二次不等式的为②④.
2．不等式x(2－x)>0的解集为________．
答案 {x|0解析 原不等式可化为x(x－2)<0，∴03．不等式4x2－9<0的解集是________．
答案
解析 原不等式可化为x2<，即－4．已知一元二次不等式ax2＋2x－1<0的解集为R，则a的取值范围是________．
答案 {a|a<－1}
解析 由题意知∴∴a<－1.
一、解不含参数的一元二次不等式
例1 解下列不等式：
(1)－x2＋5x－6>0；
(2)3x2＋5x－2≥0；
(3)x2－4x＋5>0.
解 (1)不等式可化为x2－5x＋6<0.
因为Δ＝(－5)2－4×1×6＝1>0，所以方程x2－5x＋6＝0有两个实数根：x1＝2，x2＝3.
由二次函数y＝x2－5x＋6的图象(如图①)，得原不等式的解集为{x|2(2)因为Δ＝25－4×3×(－2)＝49>0，
所以方程3x2＋5x－2＝0的两实根为x1＝－2，x2＝.
由二次函数y＝3x2＋5x－2的图象(图②)，得原不等式的解集为.
(3)方程x2－4x＋5＝0无实数解，函数y＝x2－4x＋5的图象是开口向上的抛物线，与x轴无交点(如图③)．观察图象可得，不等式的解集为R.
反思感悟 解一元二次不等式的一般步骤
第一步：把一元二次不等式化为标准形式(二次项系数为正，右边为0的形式)；第二步：求Δ＝b2－4ac；第三步：若Δ<0，根据二次函数图象直接写出解集；若Δ≥0，求出对应方程的根写出解集．
跟踪训练1 解下列不等式：
(1)4x2－4x＋1>0；
(2)－x2＋6x－10>0.
解 (1)∵方程4x2－4x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝.作出函数y＝4x2－4x＋1的图象如图．由图可得原不等式的解集为.
(2)原不等式可化为x2－6x＋10<0，
∵Δ＝36－40＝－4<0，
∴方程x2－6x＋10＝0无实根，
∴原不等式的解集为?.
二、三个“二次”间的关系及应用
例2 已知二次函数y＝ax2＋(b－8)x－a－ab，且y>0的解集为{x|－3(1)求二次函数的解析式；
(2)当关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为R时，求c的取值范围．
解 (1)因为y>0的解集为{x|－3所以－3,2是方程ax2＋(b－8)x－a－ab＝0的两根，
所以解得
所以y＝－3x2－3x＋18.
(2)因为a＝－3<0，所以二次函数y＝－3x2＋5x＋c的图象开口向下，要使－3x2＋5x＋c≤0的解集为R，只需Δ≤0，即25＋12c≤0，所以c≤－.
所以当c≤－时，－3x2＋5x＋c≤0的解集为R.
反思感悟 三个“二次”之间的关系
(1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究．
(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：
特别提醒：由于忽视二次项系数的符号和不等号的开口易写错不等式的解集形式．
跟踪训练2 已知关于x的不等式ax2＋5x＋c>0的解集为.
(1)求a，c的值；
(2)解关于x的不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0.
解 (1)由题意知，不等式对应的方程ax2＋5x＋c＝0的两个实数根为和，
由根与系数的关系，得
解得a＝－6，c＝－1.
(2)由a＝－6，c＝－1知不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0可化为－6x2＋8x－2≥0，即3x2－4x＋1≤0，解得≤x≤1，所以不等式的解集为.
三、含参数的一元二次不等式的解法
例3 设a∈R，解关于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2>0.
解 (1)当a＝0时，不等式可化为x－2>0，解得x>2，即原不等式的解集为{x|x>2}．
(2)当a≠0时，方程ax2＋(1－2a)x－2＝0的两根分别为2和－.
①当a<－时，解不等式得－即原不等式的解集为；
②当a＝－时，不等式无解，
即原不等式的解集为?；
③当－即原不等式的解集为；
④当a>0时，
解不等式得x<－或x>2，
即原不等式的解集为.
反思感悟 解含参数的一元二次不等式的步骤
特别提醒：对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算．
跟踪训练3 (1)当a＝时，求关于x的不等式x2－x＋1≤0的解集；
(2)若a>0，求关于x的不等式x2－x＋1≤0的解集．
解 (1)当a＝时，有x2－x＋1≤0，即2x2－5x＋2≤0，解得≤x≤2，
故不等式的解集为.
(2)x2－x＋1≤0?(x－a)≤0，
①当0②当a＝1时，a＝＝1，不等式的解集为{1}；
③当a>1时，a>，不等式的解集为.
综上，当0当a＝1时，不等式的解集为{1}；
当a>1时，不等式的解集为.
1．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是( )
A. B.
C．? D.
答案 D
解析 原不等式可化为(3x＋1)2≤0，
∴3x＋1＝0，∴x＝－.
2．如果关于x的不等式x2A．－81 B．81 C．－64 D．64
答案 B
解析 不等式x2其解集是{x|1那么，由根与系数的关系得
解得a＝4，b＝－3；所以ba＝(－3)4＝81.故选B.
3．不等式x2－2x>0的解集是( )
A．{x|x≥2或x≤0} B．{x|x>2或x<0}
C．{x|0≤x≤2} D．{x|0答案 B
解析 解x2－2x>0，即x(x－2)>0，
得x>2或x<0，故选B.
4．不等式x2－3x－10<0的解集是________．
答案 {x|－2解析 由于x2－3x－10＝0的两根为－2,5，故x2－3x－10<0的解集为{x|－25．若方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数解，则m的取值范围是________________．
答案 {m|m≥9或m≤1}
解析 由方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数解，
∴Δ＝(m－3)2－4m≥0，
即m2－10m＋9≥0，
∴(m－9)(m－1)≥0，
∴m≥9或m≤1.
1．知识清单：解一元二次不等式的常见方法
(1)图象法：
①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)；
②求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象的简图；
③由图象得出不等式的解集．
(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．
2．方法归纳：数形结合，分类讨论．
3．常见误区：当二次项系数小于0时，需两边同乘－1，化为正的．
1．(2019·全国Ⅰ)已知集合M＝{x|－4A．{x|－4C．{x|－2答案 C
解析 ∵N＝{x|－2∴M∩N＝{x|－22．若0A. B.
C. D.
答案 D
解析 ∵01>m，
故原不等式的解集为，故选D.
3．二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2,3，如果a<0，那么ax2＋bx＋c>0的解集为( )
A．{x|x>3或x<－2} B．{x|x>2或x<－3}
C．{x|－2答案 C
解析 由题意知－2＋3＝－，－2×3＝，
∴b＝－a，c＝－6a，
∴不等式ax2＋bx＋c>0可化为ax2－ax－6a>0，
又a<0，∴x2－x－6<0，∴(x－3)(x＋2)<0，
∴－24．若不等式5x2－bx＋c<0的解集为{x|－1A．5 B．－5 C．－25 D．10
答案 B
解析 由题意知－1,3为方程5x2－bx＋c＝0的两根，
∴－1＋3＝，－3＝，
∴b＝10，c＝－15，∴b＋c＝－5.故选B.
5．若关于x的二次不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是( )
A．{m|m≤－2或m≥2} B．{m|－2≤m≤2}
C．{m|m<－2或m>2} D．{m|－2答案 B
解析 ∵x2＋mx＋1≥0的解集为R，
∴Δ＝m2－4≤0，∴－2≤m≤2，故选B.
6．不等式x2－4x＋4≤0的解集是________．
答案 {2}
解析 原不等式可化为(x－2)2≤0，∴x＝2.
7．不等式x2＋3x－4<0的解集为________．
答案 {x|－4解析 易得方程x2＋3x－4＝0的两根为－4,1，所以不等式x2＋3x－4<0的解集为{x|－48．关于x的不等式(mx－1)(x－2)>0，若此不等式的解集为，则m的取值范围是________．
答案 {m|m<0}
解析 ∵不等式(mx－1)(x－2)>0的解集为，
∴方程(mx－1)(x－2)＝0的两个实数根为和2，
且解得m<0，∴m的取值范围是m<0.
9．已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集为B.
(1)求A∩B；
(2)若不等式x2＋ax＋b<0的解集为A∩B，求不等式ax2＋x＋b<0的解集．
解 (1)由x2－2x－3<0，得－1∴A＝{x|－1由x2＋x－6<0，得－3∴B＝{x|－3(2)由题意，得解得
∴－x2＋x－2<0，∴x2－x＋2>0，
∵Δ＝1－8＝－7<0，
∴不等式x2－x＋2>0的解集为R.
10．若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a>0；
(2)b为何值时，ax2＋bx＋3≥0的解集为R?
解 (1)由题意知1－a<0，且－3和1是方程(1－a)x2－4x＋6＝0的两根，
∴解得a＝3.
∴不等式2x2＋(2－a)x－a>0，即为2x2－x－3>0，
解得x<－1或x>.
∴所求不等式的解集为.
(2)ax2＋bx＋3≥0，即为3x2＋bx＋3≥0，
若此不等式解集为R，
则Δ＝b2－4×3×3≤0，∴－6≤b≤6.
11．下列四个不等式：
①－x2＋x＋1≥0；②x2－2x＋>0；③x2＋6x＋10>0；④2x2－3x＋4<1.
其中解集为R的是( )
A．① B．② C．③ D．④
答案 C
解析 ①显然不可能；
②中Δ＝(－2)2－4×>0，解集不为R；
③中Δ＝62－4×10<0.满足条件；
④中不等式可化为2x2－3x＋3<0，所对应的二次函数开口向上，显然不可能．故选C.
12．在R上定义运算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为( )
A．{x|0C．{x|x<－2或x>1} D．{x|－1答案 B
解析 根据给出的定义得，x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，
又x⊙(x－2)<0，则(x＋2)(x－1)<0，
故不等式的解集是{x|－213．若关于x的方程(a－2)x2－2(a－2)x＋1＝0无实数解，则a的取值范围是________．
答案 2≤a<3
解析 若a－2＝0，即a＝2时，原方程为1＝0不合题意，
∴a＝2满足条件，
若a－2≠0，则Δ＝4(a－2)2－4(a－2)<0，
解得2综上有a的取值范围是2≤a<3.
14．已知不等式x2－2x＋5≥a2－3a对?x∈R恒成立，则a的取值范围为________．
答案 {a|－1≤a≤4}
解析 x2－2x＋5＝(x－1)2＋4≥a2－3a恒成立，
∴a2－3a≤4，即a2－3a－4≤0，
∴(a－4)(a＋1)≤0，∴－1≤a≤4.
15．在R上定义运算：＝ad－bc.若不等式≥1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为________．
答案
解析 原不等式等价于x(x－1)－(a－2)(a＋1)≥1，
即x2－x－1≥(a＋1)(a－2)对任意x恒成立，
因为x2－x－1＝2－≥－，
所以－≥a2－a－2，解得－≤a≤.
16．已知不等式ax2＋2ax＋1≥0对任意x∈R恒成立，解关于x的不等式x2－x－a2＋a<0.
解 ∵ax2＋2ax＋1≥0对任意x∈R恒成立．
当a＝0时，1≥0，不等式恒成立；
当a≠0时，则解得0综上，0≤a≤1.
由x2－x－a2＋a<0，得(x－a)[x－(1－a)]<0.
∵0≤a≤1，
∴①当1－a>a，即0≤a<时，a②当1－a＝a，即a＝时，2<0，不等式无解；
③当1－a综上，当0≤a<时，原不等式的解集为{x|a课件38张PPT。第1课时 二次函数与一元二次方程、
不等式第二章 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式学习目标XUEXIMUBIAO1.从函数观点看一元二次方程.了解函数的零点与方程根的关系.
2.从函数观点看一元二次不等式.经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.
3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.NEIRONGSUOYIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PART ONE知识点一 一元二次不等式的概念未知数2知识点二 一元二次函数的零点一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的 .零点知识点三 二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系{x|xx2}{x|x10；③ax2＋4x－7>0；
④x2<0.其中一定为一元二次不等式的有________.(填序号)预习小测 自我检验YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN②④解析 一定是一元二次不等式的为②④.2.不等式x(2－x)>0的解集为_________.{x|0(1)－x2＋5x－6>0；一、解不含参数的一元二次不等式解 不等式可化为x2－5x＋6<0.
因为Δ＝(－5)2－4×1×6＝1>0，
所以方程x2－5x＋6＝0有两个实数根：x1＝2，x2＝3.
由二次函数y＝x2－5x＋6的图象(如图①)，
得原不等式的解集为{x|20，由二次函数y＝3x2＋5x－2的图象(图②)，(3)x2－4x＋5>0.解 方程x2－4x＋5＝0无实数解，
函数y＝x2－4x＋5的图象是开口向上的抛物线，
与x轴无交点(如图③).
观察图象可得，不等式的解集为R.反思感悟解一元二次不等式的一般步骤
第一步：把一元二次不等式化为标准形式(二次项系数为正，右边为0的形式)；第二步：求Δ＝b2－4ac；第三步：若Δ<0，根据二次函数图象直接写出解集；若Δ≥0，求出对应方程的根写出解集.跟踪训练1 解下列不等式：
(1)4x2－4x＋1>0；作出函数y＝4x2－4x＋1的图象如图.(2)－x2＋6x－10>0.解 原不等式可化为x2－6x＋10<0，
∵Δ＝36－40＝－4<0，
∴方程x2－6x＋10＝0无实根，
∴原不等式的解集为?.二、三个“二次”间的关系及应用例2 已知二次函数y＝ax2＋(b－8)x－a－ab，且y>0的解集为{x|－3(1)求二次函数的解析式；解 因为y>0的解集为{x|－3所以－3,2是方程ax2＋(b－8)x－a－ab＝0的两根，所以y＝－3x2－3x＋18.(2)当关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为R时，求c的取值范围.解 因为a＝－3<0，
所以二次函数y＝－3x2＋5x＋c的图象开口向下，
要使－3x2＋5x＋c≤0的解集为R，只需Δ≤0，反思感悟三个“二次”之间的关系
(1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究.
(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：特别提醒：由于忽视二次项系数的符号和不等号的开口易写错不等式的解集形式.(1)求a，c的值；解得a＝－6，c＝－1.(2)解关于x的不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0.解 由a＝－6，c＝－1知不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0可化为－6x2＋8x－2≥0，三、含参数的一元二次不等式的解法例3 设a∈R，解关于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2>0.解 (1)当a＝0时，不等式可化为x－2>0，解得x>2，即原不等式的解集为{x|x>2}.④当a>0时，反思感悟解含参数的一元二次不等式的步骤特别提醒：对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算.当a＝1时，不等式的解集为{1}；3随堂演练PART THREE123451.不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是√解析 原不等式可化为(3x＋1)2≤0，123452.如果关于x的不等式x2A.－81 B.81 C.－64 D.64√解析 不等式x2其解集是{x|10的解集是
A.{x|x≥2或x≤0} B.{x|x>2或x<0}
C.{x|0≤x≤2} D.{x|00，即x(x－2)>0，
得x>2或x<0，故选B.134524.不等式x2－3x－10<0的解集是____________.{x|－2故x2－3x－10<0的解集为{x|－2∴Δ＝(m－3)2－4m≥0，
即m2－10m＋9≥0，
∴(m－9)(m－1)≥0，
∴m≥9或m≤1.课堂小结KE TANG XIAO JIE1.知识清单：解一元二次不等式的常见方法
(1)图象法：
①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)；
②求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象的简图；
③由图象得出不等式的解集.
(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解.
2.方法归纳：数形结合，分类讨论.
3.常见误区：当二次项系数小于0时，需两边同乘－1，化为正的.本课结束第2课时 一元二次不等式在实际问题中的应用
学习目标 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程．了解一元二次不等式的现实意义.2.能够构建一元二次函数模型，解决实际问题．
知识点 用一元二次不等式解决实际问题的步骤
1．理解题意，搞清量与量之间的关系；
2．建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题．
3．解决这个一元二次不等式，得到实际问题的解．
预习小测 自我检验
1．不等式≥0的解集为________．
答案 {x|－1≤x<1}
解析 原不等式?
∴－1≤x<1.
2．不等式≤1的解集为________．
答案 {x|x≥1或x<0}
解析 ∵≤1，∴≥0，
∴∴x≥1或x<0.
3．若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0答案 150
解析 y－25x＝－0.1x2－5x＋3 000≤0，
即x2＋50x－30 000≥0，
解得x≥150或x≤－200(舍去)．
4．某商品在最近30天内的价格y1与时间t(单位：天)的函数关系是y1＝t＋10(0答案 {t|10≤t≤15，t∈N}
解析 日销售金额＝(t＋10)(－t＋35)，
依题意有(t＋10)(－t＋35)≥500，
解得解集为{t|10≤t≤15，t∈N}．
一、分式不等式的解法
例1 解下列不等式：
(1)<0； (2)≤1.
解 (1)<0?(2x－5)(x＋4)<0?－4∴原不等式的解集为.
(2)∵≤1，∴－1≤0，
∴≤0，即≥0.
此不等式等价于(x－4)≥0且x－≠0，解得x<或x≥4，
∴原不等式的解集为.
反思感悟 分式不等式的解法：先通过移项、通分整理，再化成整式不等式来解．如果能判断出分母的正负，直接去分母即可．
跟踪训练1 解下列不等式：
(1)≥0；(2)>1.
解 (1)原不等式可化为
解得∴x<－或x≥，
∴原不等式的解集为.
(2)方法一 原不等式可化为或
解得或
∴－3∴原不等式的解集为.
方法二 原不等式可化为>0，
化简得>0，即<0，
∴(2x＋1)(x＋3)<0，解得－3∴原不等式的解集为.
二、一元二次不等式的实际应用
例2 某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担．政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x>0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．
(1)写出降税后税收y(万元)与x的关系式；
(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．
解 (1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为200a(1＋2x%)万元．依题意得y＝200a(1＋2x%)(10－x)%＝a(100＋2x)(10－x)(0(2)原计划税收为200a×10%＝20a(万元)．
依题意得a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%，
化简得x2＋40x－84≤0，解得－42≤x≤2.
又因为0即x的取值范围为{x|0反思感悟 解不等式应用题的步骤
跟踪训练2 北京、张家口2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．
(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
(2)为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？此时该商品每件定价多少元？
解 (1)设每件定价为t元，依题意得t≥25×8，
整理得t2－65t＋1 000≤0，解得25≤t≤40.
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．
(2)依题意得当x>25时，不等式ax≥25×8＋50＋(x2－600)＋有解，
等价于当x>25时，a≥＋＋有解．
由于＋≥2＝10，当且仅当＝，即x＝30时等号成立，
所以a≥10.2.
故当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．
不等式恒成立问题
典例 (1)若对?x∈R不等式x2＋mx>4x＋m－4恒成立，求实数m的取值范围；
(2)若x2>4x＋m－4在R上恒成立，求m的取值范围．
解 (1)原不等式可化为x2＋(m－4)x＋4－m>0，
∴Δ＝(m－4)2－4(4－m)＝m2－4m<0，
∴0∴m的取值范围为{m|0(2)原不等式可化为x2－4x＋4＝(x－2)2>m恒成立，
∴m<0，
∴m的取值范围为{m|m<0}．
[素养提升] 一元二次不等式恒成立的情况：
ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立?
ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立?
1．不等式≥0的解集为( )
A．{x|1≤x≤2} B．{x|x≤1或x≥2}
C．{x|1≤x<2} D．{x|x>2或x≤1}
答案 D
解析 由题意可知，不等式等价于
∴x>2或x≤1.故选D.
2．不等式≥1的解集是( )
A．{x|x<－1或－1B．{x|－1≤x≤2}
C．{x|x≤2}
D．{x|－1答案 D
解析 ∵≥1，∴－1≥0，∴≥0，
即≤0，等价于(x－2)(x＋1)<0或x－2＝0，
故－13．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件售价提高1元，销售量就会减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，售价每件应定为( )
A．12元 B．16元
C．12元到16元之间 D．10元到14元之间
答案 C
解析 设售价定为每件x元，利润为y，
则y＝(x－8)[100－10(x－10)]，
依题意有(x－8)[100－10(x－10)]>320，
即x2－28x＋192<0，解得12所以每件售价应定为12元到16元之间．
4．若实数a，b满足a＋b<0，则不等式<0的解集为__________．
答案 {x|x>－a或x解析 原不等式等价于
(x＋a)(b－x)<0?(x－b)(x＋a)>0.
又a＋b<0，所以b<－a.
所以原不等式的解集为{x|x>－a或x5．某地每年销售木材约20万m3，每立方米的价格为2 400元．为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少t万m3，为了既减少了木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是________．
答案 {t|3≤t≤5}
解析 设按销售收入的t%征收木材税时，税金收入为y 万元，
则y＝2 400×t%＝60(8t－t2)．
令y≥900，即60(8t－t2)≥900，解得3≤t≤5.
1．知识清单：
(1)简单的分式不等式的解法
(2)利用不等式解决实际问题的一般步骤如下：
①选取合适的字母表示题目中的未知数；
②由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)；
③求解所列出的不等式(组)；
④结合题目的实际意义确定答案．
2．方法归纳：转化、恒等变形．
3．常见误区：利用一元二次不等式解决实际问题时，应注意实际意义．
1．不等式≥1的解集是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 不等式≥1，移项得－1≥0，
即≤0，可化为或
解得≤x<2，则原不等式的解集为，
故选B.
2．与不等式≥0同解的不等式是( )
A．(x－3)(2－x)≥0 B．0C.≥0 D．(x－3)(2－x)>0
答案 B
解析 解不等式≥0，得2A．不等式(x－3)(2－x)≥0的解是2≤x≤3，故不正确．
B．不等式0C．不等式≥0的解是2≤x<3，故不正确．
D．不等式(x－3)(2－x)>0的解是23．若关于x的不等式ax－b>0的解集为{x|x>1}，则关于x的不等式>0的解集为( )
A．{x|x>1或x<－2} B．{x|1C．{x|x>2或x<－1} D．{x|－1答案 C
解析 x＝1为ax－b＝0的根，∴a－b＝0，即a＝b，
∵ax－b>0的解集为{x|x>1}，
∴a>0，
故＝>0，
等价为(x＋1)(x－2)>0.
∴x>2或x<－1.
4．已知不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值范围为( )
A．{a|－1≤a≤4} B．{a|－1C．{a|a≥4或a≤－1} D．{a|－4≤a≤1}
答案 A
解析 由题意知，原不等式可化为－(x－2)2＋4≥a2－3a在R上有解，
∴a2－3a≤4，即(a－4)(a＋1)≤0，
∴－1≤a≤4，故选A.
5．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是( )
A．{x|10≤x<16} B．{x|12≤x<18}
C．{x|15答案 C
解析 设这批台灯的销售单价为x元，
则[30－(x－15)×2]x>400，
即x2－30x＋200<0，∴10又∵x>15，∴156．若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－1bx的解集为________．
答案 {x|x<0}
解析 由题意知，－1,2为ax2＋bx＋c＝0的两根，
∴且a<0，
∴不等式＋c>bx可化为－2a>－ax，
∵a<0，即－2<－x，即<0，
∴x<0.
7．现有含盐7%的食盐水200克，生产含盐5%以上、6%以下的食盐水，设需要加入含盐4%的食盐水为x克，则x的取值范围是________．
答案 {x|100解析 5%<<6%，
解得x的取值范围是{x|1008．某种汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)s m和汽车车速x km/h有如下关系：s＝x＋x2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于40 m，那么这辆汽车刹车前的车速不低于________ km/h.
答案 80
解析 根据题意，得x＋x2≥40.
移项整理，得x2＋10x－7 200≥0.
显然Δ>0，x2＋10x－7 200＝0有两个实数根，
即x1＝80，x2＝－90，
然后，根据二次函数y＝x2＋10x－7 200的图象(图略)，
得不等式的解集为{x|x≤－90或x≥80}．
在这个实际问题中，x>0，所以这辆汽车刹车前的车速不低于80 km/h.
9．解关于x的不等式>0(a∈R)．
解 原不等式可化为<0，
即(x＋1)(x－a)<0，
①当a＝－1时，x∈?；
②当a>－1时，{x|－1③当a<－1时，{x|a综上，a＝－1时，不等式的解集为?，
a>－1时，不等式的解集为{x|－1a<－1时，不等式的解集为{x|a10．某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？
解 (1)由题意得
y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10 000×(1＋0.6x)(0整理得y＝－6 000x2＋2 000x＋20 000(0(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，
必须有
即
解得0所以投入成本增加的比例x应在011．不等式>0的解集为( )
A．{x|x>－1且x≠2} B．{x|x>－1}
C．{x|－12}
答案 A
解析 原不等式可化为>0?∴x>－1且x≠2.故选A.
12．若a>0，b>0，则不等式－b<A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 原不等式可化为即
可得
故不等式的解集为.
13．不等式<2的解集为( )
A．{x|x≠－2} B．R
C．? D．{x|x<－2或x>2}
答案 A
解析 ∵x2＋x＋1>0恒成立，
∴原不等式?x2－2x－2<2x2＋2x＋2?x2＋4x＋4>0?(x＋2)2>0，
∴x≠－2.∴不等式的解集为{x|x≠－2}．
14．在一个限速40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m．又知甲、乙两种车型的刹车距离s m与车速x km/h之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.这次事故的主要责任方为________．
答案 乙车
解析 由题意列出不等式s甲＝0.1x＋0.01x2>12，
s乙＝0.05x＋0.005x2>10.
分别求解，得
x甲<－40或x甲>30.
x乙<－50或x乙>40.
由于x>0，从而得x甲>30 km/h，x乙>40 km/h.
经比较知乙车超过限速，应负主要责任．
15．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，六月份的销售额为500万元，七月份的销售额比六月份增加x%，八月份的销售额比七月份增加x%，九、十月份的销售总额与七、八月份的销售总额相等，若一月份至十月份的销售总额至少为7 000万元，则x的最小值为________．
答案 20
解析 由题意得七月份的销售额为500(1＋x%)万元，八月份的销售额为500(1＋x%)2万元，记一月份至十月份的销售总额为y万元，
则y＝3 860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]≥7 000，
解得1＋x%≤－(舍去)或1＋x%≥，即x%≥20%，所以xmin＝20.
16．某工厂生产商品M，若每件定价80元，则每年可销售80万件，税务部门对市场销售的商品要征收附加税．为了既增加国家收入，又有利于市场活跃，必须合理确定征收的税率．据市场调查，若政府对商品M征收的税率为P%(即每百元征收P元)时，每年的销售量减少10P万件，据此，问：
(1)若税务部门对商品M每年所收税金不少于96万元，求P的取值范围；
(2)在所收税金不少于96万元的前提下，要让厂家获得最大的销售金额，应如何确定P值；
(3)若仅考虑每年税收金额最高，又应如何确定P值．
解 税率为P%时，销售量为(80－10P)万件，
即销售额为y1＝80(80－10P)，
税金为y2＝80(80－10P)·P%，
其中0(1)由
解得2≤P≤6.
(2)∵y1＝80(80－10P)(2≤P≤6)，
∴当P＝2时，y1取最大值，为4 800万元．
(3)∵0y2＝80(80－10P)·P%＝－8(P－4)2＋128，
∴当P＝4时，国家所得税收金额最高为128万元．
课件34张PPT。第2课时 一元二次不等式在实际
问题中的应用第二章 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式学习目标XUEXIMUBIAO1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程.了解一元二次不等式的现实意义.
2.能够构建一元二次函数模型，解决实际问题.NEIRONGSUOYIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PART ONE知识点 用一元二次不等式解决实际问题的步骤1.理解题意，搞清量与量之间的关系；
2.建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题.
3.解决这个一元二次不等式，得到实际问题的解.预习小测 自我检验YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN{x|－1≤x<1}∴－1≤x<1.{x|x≥1或x<0}3.若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0即x2＋50x－30 000≥0，
解得x≥150或x≤－200(舍去).4.某商品在最近30天内的价格y1与时间t(单位：天)的函数关系是y1＝t＋10(0依题意有(t＋10)(－t＋35)≥500，
解得解集为{t|10≤t≤15，t∈N}.2题型探究PART TWO例1 解下列不等式：一、分式不等式的解法反思感悟分式不等式的解法：先通过移项、通分整理，再化成整式不等式来解.如果能判断出分母的正负，直接去分母即可.跟踪训练1 解下列不等式：二、一元二次不等式的实际应用例2 某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担.政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x>0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点.
(1)写出降税后税收y(万元)与x的关系式；解 降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为200a(1＋2x%)万元.(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围.解 原计划税收为200a×10%＝20a(万元).化简得x2＋40x－84≤0，解得－42≤x≤2.
又因为0即x的取值范围为{x|0(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？整理得t2－65t＋1 000≤0，解得25≤t≤40.
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元.所以a≥10.2.
故当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元.典例 (1)若对?x∈R不等式x2＋mx>4x＋m－4恒成立，求实数m的取值范围；不等式恒成立问题核心素养之逻辑推理HE XIN SU YANG ZHI LUO JI TUI LI解 原不等式可化为x2＋(m－4)x＋4－m>0，
∴Δ＝(m－4)2－4(4－m)＝m2－4m<0，
∴0∴m的取值范围为{m|04x＋m－4在R上恒成立，求m的取值范围.解 原不等式可化为x2－4x＋4＝(x－2)2>m恒成立，
∴m<0，
∴m的取值范围为{m|m<0}.素养
提升一元二次不等式恒成立的情况：3随堂演练PART THREE12345A.{x|1≤x≤2} B.{x|x≤1或x≥2}
C.{x|1≤x<2} D.{x|x>2或x≤1}√∴x>2或x≤1.故选D.12345A.{x|x<－1或－1C.{x|x≤2} D.{x|－1则y＝(x－8)[100－10(x－10)]，
依题意有(x－8)[100－10(x－10)]>320，
即x2－28x＋192<0，解得12所以每件售价应定为12元到16元之间.134523.某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润.已知这种商品每件售价提高1元，销售量就会减少10件.那么要保证每天所赚的利润在320元以上，售价每件应定为
A.12元 B.16元
C.12元到16元之间 D.10元到14元之间√13452{x|x>－a或x(x＋a)(b－x)<0?(x－b)(x＋a)>0.
又a＋b<0，所以b<－a.
所以原不等式的解集为{x|x>－a或x(1)简单的分式不等式的解法(2)利用不等式解决实际问题的一般步骤如下：
①选取合适的字母表示题目中的未知数；
②由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)；
③求解所列出的不等式(组)；
④结合题目的实际意义确定答案.
2.方法归纳：转化、恒等变形.
3.常见误区：利用一元二次不等式解决实际问题时，应注意实际意义.本课结束