3．1.2 函数的表示法(二)
学习目标 1.会用解析法及图象法表示分段函数.2.给出分段函数，能研究有关性质．
知识点 分段函数
1．一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．
2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．
3．作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象．
1．函数f(x)＝是分段函数．( √ )
2．分段函数尽管在定义域不同的部分有不同的对应关系，但它们是一个函数．( √ )
3．分段函数各段上的函数值集合的交集为?.( × )
4．分段函数的定义域是各段上自变量取值的并集．( √ )
一、分段函数求值
例1 已知函数f(x)＝
试求f(－5)，f(－)，f 的值．
解 由－5∈(－∞，－2]，－∈(－2,2)，－∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，
f(－)＝(－)2＋2(－)＝3－2.
因为f ＝－＋1＝－，
－2<－<2，
所以f ＝f
＝2＋2×
＝－3＝－.
延伸探究
1．本例条件不变，若f(a)＝3，求实数a的值．
解 ①当a≤－2时，f(a)＝a＋1，所以a＋1＝3，
所以a＝2>－2不合题意，舍去．
②当－2
即a2＋2a－3＝0.
所以(a－1)(a＋3)＝0，
所以a＝1或a＝－3.
因为1∈(－2,2)，－3?(－2,2)，
所以a＝1符合题意．
③当a≥2时，2a－1＝3，所以a＝2符合题意．
综合①②③，当f(a)＝3时，a＝1或a＝2.
2．本例条件不变，若f(x)>3，求x的取值范围．
解 ①当x≤－2时，x＋1>3得x>2，
又x≤－2，所以x∈?.
②当－23得x>1或x<－3，
又－2③当x≥2时，2x－1>3，得x>2，
又x≥2，所以x>2，
综上有x的取值范围是12.
反思感悟 (1)求分段函数的函数值的方法
①确定要求值的自变量属于哪一段区间．
②代入该段的解析式求值，当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)求某条件下自变量的值的方法．
先对x的取值范围分类讨论，然后代入不同的解析式，解方程求解，注意需检验所求的值是否在所讨论的区间内．
跟踪训练1 已知f(x)＝
(1)求f(2)，f ；
(2)若f(x)＝，求x的值；
(3)若f(x)≥，求x的取值范围．
考点 分段函数
题点 分段函数与不等式结合
解 (1)f(2)＝1，f ＝2＝，
所以f ＝f ＝.
(2)f(x)＝等价于①或②
解①得x＝±，②的解集为?.
∴当f(x)＝时，x＝±.
(3)∵f(x)≥，
∴或
解得x≥或x≤－，
∴x的取值范围是∪.
二、分段函数的图象及应用
例2 已知函数f(x)＝－x2＋2，g(x)＝x，令φ(x)＝min{f(x)，g(x)}(即f(x)和g(x)中的较小者)．
(1)分别用图象法和解析式表示φ(x)；
(2)求函数φ(x)的定义域，值域．
解 (1)在同一个坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象如图①.
由图①中函数取值的情况，结合函数φ(x)的定义，可得函数φ(x)的图象如图②.
令－x2＋2＝x得x＝－2或x＝1.
结合图②，得出φ(x)的解析式为
φ(x)＝
(2)由图②知，φ(x)的定义域为R，φ(1)＝1，
∴φ(x)的值域为(－∞，1]．
反思感悟 分段函数图象的画法
(1)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作第一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．
(2)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．
跟踪训练2 (1)已知函数f(x)＝则函数f(x)的图象是( )
答案 A
解析 当x＝－1时，y＝0，即图象过点(－1,0)，D错；当x＝0时，y＝1，即图象过点(0,1)，C错；当x＝1时，y＝2，即图象过点(1,2)，B错．故选A.
(2)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是______________．
答案 f(x)＝
解析 由图可知，图象由两条线段(其中一条不含右端点)组成，
当－1≤x<0时，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
将(－1,0)，(0,1)代入解析式，
则∴∴f(x)＝x＋1.
当0≤x≤1时，设f(x)＝kx(k≠0)，
将(1，－1)代入，则k＝－1.∴f(x)＝－x.
即f(x)＝
三、分段函数的实际应用
例3 A，B两地相距150公里，某汽车以每小时50公里的速度从A地到B地，在B地停留2小时之后，又以每小时60公里的速度返回A地．写出该车离A地的距离s(公里)关于时间t(小时)的函数关系，并画出函数图象．
解 (1)汽车从A地到B地，速度为50公里/小时，
则有s＝50t，到达B地所需时间为＝3(小时)．
(2)汽车在B地停留2小时，则有s＝150.
(3)汽车从B地返回A地，速度为60公里/小时，
则有s＝150－60(t－5)＝450－60t，
从B地到A地用时＝2.5(小时)．
综上可得：该汽车离A地的距离s关于时间t的函数关系为s＝
函数图象如图所示．
反思感悟 分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式．
1．函数f(x)＝|x－1|的图象是( )
答案 B
解析 方法一 函数的解析式可化为y＝
画出此分段函数的图象，故选B.
方法二 由f(－1)＝2，知图象过点(－1,2)，排除A，C，D，故选B.
2．设f(x)＝则f(f(0))等于( )
A．1 B．0 C．2 D．－1
考点 分段函数
题点 分段函数求值
答案 C
3．设函数f(x)＝若f(α)＝4，则实数α等于( )
A．－4或－2 B．－4或2
C．－2或4 D．－2或2
答案 B
4．函数f(x)＝的定义域为______，值域为________．
答案 (－1,1) (－1,1)
解析 定义域为各段的并集，即(0,1)∪{0}∪(－1,0)＝(－1,1)．
值域为各段的并集(0,1)∪{0}∪(－1,0)＝(－1,1)．
5．已知f(n)＝则f(8)＝________.
答案 10
解析 因为8<10，所以f(8)＝f(8＋5)＝f(13)，
又13>10，所以f(13)＝13－3＝10，所以f(8)＝10.
1．知识清单：
(1)分段函数的概念及求值．
(2)分段函数的图象．
2．方法归纳：分类讨论、数形结合法．
3．常见误区：
(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数．
(2)作分段函数图象时要注意衔接点的虚实．
1．函数f(x)＝则f(2)等于( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案 A
2．下列图形是函数y＝x|x|的图象的是( )
答案 D
解析 函数y＝x|x|＝故选D.
3．设f(x)＝若f(x)＝3，则x等于( )
A．1 B．± C. D.
答案 D
解析 若即无解．
若即∴x＝.
若即无解．
故x＝.
4.已知函数f(x)的图象是两条线段(如图所示，不含端点)，则f等于( )
A．－ B.
C．－ D.
答案 C
解析 f(x)＝
∴f ＝－.
5．电讯资费调整后，市话费标准为：通话时间不超过3分钟收费0.2元；超过3分钟后，每增加1分钟收费0.1元，不足1分钟按1分钟计费．通话收费S(元)与通话时间t(分钟)的函数图象可表示为下图中的( )
答案 B
6．函数f(x)＝的定义域是________．
考点 分段函数
题点 分段函数的定义域、值域
答案 [0，＋∞)
解析 定义域为[0,1]∪(1,2)∪[2，＋∞)＝[0，＋∞)．
7．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为________立方米．
考点 分段函数
题点 分段函数应用问题
答案 13
解析 该单位职工每月应缴水费y与实际用水量x满足的关系式为y＝
由y＝16m，可知x>10.
令2mx－10m＝16m，解得x＝13(立方米)．
8．设函数f(x)＝若f(a)>1，则实数a的取值范围是________．
答案 (4，＋∞)
解析 当a≥0时，f(a)＝a－1>1，
解得a>4，符合a≥0；
当a<0时，f(a)＝>1，无解．
故a>4.
9．已知函数f(x)的解析式为f(x)＝
(1)求f ，f ，f(－1)的值；
(2)画出这个函数的图象；
(3)求f(x)的最大值．
解 (1)∵>1，
∴f ＝－2×＋8＝5.
∵0<<1，∴f ＝＋5＝.
∵－1<0，∴f(－1)＝－3＋5＝2.
(2)这个函数的图象如图．
在函数y＝3x＋5的图象上截取x≤0的部分，
在函数y＝x＋5的图象上截取0在函数y＝－2x＋8的图象上截取x>1的部分．
图中实线组成的图形就是函数f(x)的图象．
(3)由函数图象可知，当x＝1时，f(x)取最大值6.
10．已知函数f(x)＝1＋(－2(1)用分段函数的形式表示函数f(x)；
(2)画出函数f(x)的图象；
(3)写出函数f(x)的值域．
解 (1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋＝1，
当－2所以f(x)＝
(2)函数f(x)的图象如图所示．
(3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．
11．设函数f(x)＝若f(a)＋f(－1)＝2，则a等于( )
A．－3 B．±3 C．－1 D．±1
考点 分段函数
题点 分段函数求值
答案 D
解析 f(－1)＝＝1.
∴f(a)＋f(－1)＝f(a)＋1＝2.
∴f(a)＝1，即
① 或②
解①得a＝1，解②得a＝－1.
∴a＝±1.
12．若定义运算a⊙b＝则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域为________．
答案 (－∞，1]
解析 由题意得f(x)＝
画出函数f(x)的图象得值域是(－∞，1]．
13．设函数f(x)＝若f ＝4，则b＝________.
答案
解析 f ＝3×－b＝－b，∴f ＝4，
①无解；
②解得b＝.
综上，b＝.
14.某工厂八年来产品累积产量C(即前t年年产量之和)与时间t(年)的函数如图，下列四种说法中正确的是________．
①前三年中，产量增长的速度越来越快；
②前三年中，产量增长的速度越来越慢；
③第三年后，这种产品停止生产；
④第三年后，年产量保持不变．
答案 ②③
解析 由于纵坐标表示八年来前t年产品生产总量，②③正确．
15．已知函数f(x)＝若f(1－x)＝2，则x的取值范围是( )
A．? B．[0,2]
C．[－2,0] D．{－1}∪[0,2]
考点 分段函数
题点 分段函数求值
答案 D
解析 当－1≤1－x≤1，即0≤x≤2时，f(1－x)＝2，满足条件，
所以0≤x≤2，
当1－x<－1或1－x>1即x<0或x>2时，f(1－x)＝4－(1－x)＝x＋3＝2，解得x＝－1，满足条件，
综上有0≤x≤2或x＝－1.
16．如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系．骑车者9时离开家，15时回家．根据这个曲线图，请你回答下列问题：
(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？
(2)何时开始第一次休息？休息多长时间？
(3)第一次休息时，离家多远？
(4)11∶00到12∶00他骑了多少千米？
(5)他在9∶00～10∶00和10∶00～10∶30的平均速度分别是多少？
(6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？
解 (1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30 千米．
(2)10∶30开始第一次休息，休息了半小时．
(3)第一次休息时，离家17 千米．
(4)11∶00至12∶00他骑了13 千米．
(5)9∶00～10∶00的平均速度是10 千米/时；10∶00～10∶30的平均速度是14 千米/时．
(6)从12时到13时停止前进，并休息用午餐较为符合实际情形．
课件34张PPT。3.1.2 函数的表示法(二)第三章 3.1 函数的概念及其表示学习目标XUEXIMUBIAO1.会用解析法及图象法表示分段函数.
2.给出分段函数，能研究有关性质.NEIRONGSUOYIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PART ONE知识点 分段函数1.一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的 的函数.
2.分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的 ；各段函数的定义域的交集是 .
3.作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象.对应关系并集空集思考辨析 判断正误SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU1.函数f(x)＝ 是分段函数.( )√2.分段函数尽管在定义域不同的部分有不同的对应关系，但它们是一个函数.( )
3.分段函数各段上的函数值集合的交集为?.( )
4.分段函数的定义域是各段上自变量取值的并集.( )√×√2题型探究PART TWO一、分段函数求值知f(－5)＝－5＋1＝－4，延伸探究
1.本例条件不变，若f(a)＝3，求实数a的值.解 ①当a≤－2时，f(a)＝a＋1，所以a＋1＝3，
所以a＝2>－2不合题意，舍去.
②当－2即a2＋2a－3＝0.
所以(a－1)(a＋3)＝0，
所以a＝1或a＝－3.
因为1∈(－2,2)，－3?(－2,2)，
所以a＝1符合题意.
③当a≥2时，2a－1＝3，所以a＝2符合题意.
综合①②③，当f(a)＝3时，a＝1或a＝2.2.本例条件不变，若f(x)>3，求x的取值范围.解 ①当x≤－2时，x＋1>3得x>2，
又x≤－2，所以x∈?.
②当－23得x>1或x<－3，
又－2③当x≥2时，2x－1>3，得x>2，
又x≥2，所以x>2，
综上有x的取值范围是12.(1)求分段函数的函数值的方法
①确定要求值的自变量属于哪一段区间.
②代入该段的解析式求值，当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值.
(2)求某条件下自变量的值的方法.
先对x的取值范围分类讨论，然后代入不同的解析式，解方程求解，注意需检验所求的值是否在所讨论的区间内.二、分段函数的图象及应用例2 已知函数f(x)＝－x2＋2，g(x)＝x，令φ(x)＝min{f(x)，g(x)}(即f(x)和g(x)中的较小者).
(1)分别用图象法和解析式表示φ(x)；解 在同一个坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象如图①.
由图①中函数取值的情况，结合函数φ(x)的定义，
可得函数φ(x)的图象如图②.
令－x2＋2＝x得x＝－2或x＝1.
结合图②，得出φ(x)的解析式为(2)求函数φ(x)的定义域，值域.解 由图②知，φ(x)的定义域为R，φ(1)＝1，
∴φ(x)的值域为(－∞，1].分段函数图象的画法
(1)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作第一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏.
(2)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象.解析 当x＝－1时，y＝0，即图象过点(－1,0)，D错；
当x＝0时，y＝1，即图象过点(0,1)，C错；
当x＝1时，y＝2，即图象过点(1,2)，B错.
故选A.√(2)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是_______________________.解析 由图可知，图象由两条线段(其中一条不含右端点)组成，
当－1≤x<0时，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
将(－1,0)，(0,1)代入解析式，当0≤x≤1时，设f(x)＝kx(k≠0)，
将(1，－1)代入，则k＝－1.∴f(x)＝－x.三、分段函数的实际应用例3 A，B两地相距150公里，某汽车以每小时50公里的速度从A地到B地，在B地停留2小时之后，又以每小时60公里的速度返回A地.写出该车离A地的距离s(公里)关于时间t(小时)的函数关系，并画出函数图象.解 (1)汽车从A地到B地，速度为50公里/小时，(2)汽车在B地停留2小时，则有s＝150.
(3)汽车从B地返回A地，速度为60公里/小时，
则有s＝150－60(t－5)＝450－60t，函数图象如图所示.分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式.3随堂演练PART THREE123451.函数f(x)＝|x－1|的图象是√画出此分段函数的图象，故选B.
方法二 由f(－1)＝2，知图象过点(－1,2)，排除A，C，D，故选B.12345A.1 B.0 C.2 D.－1√13452A.－4或－2 B.－4或2
C.－2或4 D.－2或2√13452(－1,1)(－1,1)解析 定义域为各段的并集，即(0,1)∪{0}∪(－1,0)＝(－1,1).
值域为各段的并集(0,1)∪{0}∪(－1,0)＝(－1,1).13452解析 因为8<10，所以f(8)＝f(8＋5)＝f(13)，
又13>10，所以f(13)＝13－3＝10，所以f(8)＝10.10课堂小结KE TANG XIAO JIE1.知识清单：
(1)分段函数的概念及求值.
(2)分段函数的图象.
2.方法归纳：分类讨论、数形结合法.
3.常见误区：
(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数.
(2)作分段函数图象时要注意衔接点的虚实.本课结束