3．2 函数的基本性质
3．2.1 单调性与最大(小)值
第1课时 函数的单调性
学习目标 1.了解函数的单调区间、单调性等概念.2.会划分函数的单调区间，判断单调性.3.会用定义证明函数的单调性．
知识点一 增函数与减函数的定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D?I：
(1)如果?x1，x2∈D，当x1
(2)如果?x1，x2∈D，当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数．
思考 (1)所有的函数在定义域上都具有单调性吗？
(2)在增函数和减函数定义中，能否把“任意x1，x2∈D”改为“存在x1，x2∈D”？
答案 (1)不是；(2)不能．
知识点二 函数的单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
特别提醒：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．
(2)单调区间D?定义域I.
(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大．
1．如果f(x)在区间[a，b]和(b，c]上都是增函数，则f(x)在区间[a，c]上是增函数．( × )
2．函数f(x)为R上的减函数，则f(－3)>f(3)．( √ )
3．若函数y＝f(x)在定义域上有f(1)4．若函数y＝f(x)在区间D上是增函数，则函数y＝－f(x)在区间D上是减函数．( √ )
一、函数单调性的判定与证明
例1 根据定义，研究函数f(x)＝在x∈(－1,1)上的单调性．
解 当a＝0时，f(x)＝0，在(－1,1)上不具有单调性，
当a≠0时，设x1，x2为(－1,1)上的任意两个数，且x1所以f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝
因为x1，x2∈(－1,1)且x1所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，
所以>0，
当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以f(x)在(－1,1)上单调递减，
当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)所以f(x)在(－1,1)上单调递增．
综上，当a＝0时，f(x)在(－1,1)上不具有单调性；
当a>0时，f(x)在(－1,1)上单调递减；
当a<0时，f(x)在(－1,1)上单调递增．
反思感悟 利用定义判断或证明函数单调性的步骤
跟踪训练1 求证：函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数．
证明 对于任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x1f(x1)－f(x2)＝－＝＝.
∵x1∴x2－x1>0，x1＋x2<0，xx>0.
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴函数f(x)＝在(－∞，0)上是增函数．
对于任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1f(x1)－f(x2)＝.
∵00，x2＋x1>0，xx>0.
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
∴函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数．
二、求单调区间并判断单调性
例2 (1)如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
考点 求函数的单调区间
题点 求函数的单调区间
解 y＝f(x)的单调区间有[－5，－2)，[－2,1)，[1,3)，[3,5]，其中y＝f(x)在区间[－5，－2)，[1,3)上是减函数，在区间[－2,1)，[3,5]上是增函数．
(2)作出函数f(x)＝的图象，并指出函数f(x)的单调区间．
解 f(x)＝的图象如图所示，
由图可知，函数f(x)＝的单调递减区间为(－∞，1]和(1,2)，单调递增区间为[2，＋∞)．
反思感悟 (1)函数单调区间的两种求法
①图象法．即先画出图象，根据图象求单调区间．
②定义法．即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解．
(2)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有．
跟踪训练2 (1)函数y＝的单调递减区间是________．
答案 (－∞，1)，(1，＋∞)
解析 方法一 y＝的图象可由y＝的图象向右平移一个单位得到，如图，
所以单调减区间是(－∞，1)，(1，＋∞)．
方法二 函数f(x)＝的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，
设x1，x2∈(－∞，1)，且x1f(x1)－f(x2)＝－
＝.
因为x1所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，
所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
所以函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，同理函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减．
综上，函数f(x)的单调递减区间是(－∞，1)，(1，＋∞)．
(2)函数y＝|x2－2x－3|的图象如图所示，试写出它的单调区间，并指出单调性．
考点 求函数的单调区间
题点 求函数的单调区间
解 y＝|x2－2x－3|的单调区间有(－∞，－1]，[－1,1]，[1,3]，[3，＋∞)，其中单调递减区间是(－∞，－1]，[1,3]；单调递增区间是[－1,1]，[3，＋∞)．
三、单调性的应用
例3 (1)已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围为________．
答案 (－∞，－3]
解析 f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的开口方向向上，对称轴为x＝1－a，
∵f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，
∴4≤1－a，
∴a≤－3，
∴a的取值范围是(－∞，－3]．
(2)若函数y＝f(x)的定义域为R，且为增函数，f(1－a)答案
解析 因为y＝f(x)的定义域为R，且为增函数，
f(1－a)，
所以所求a的取值范围是.
延伸探究
在本例(2)中，若将定义域R改为(－1,1)，其他条件不变，则a的范围又是什么？
解 由题意可知
解得0因为f(x)在(－1,1)上是增函数，
且f(1－a)所以1－a<2a－1，
即a>.②
由①②可知，即所求a的取值范围是.
反思感悟 函数单调性的应用
(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围．
(2)若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的．
跟踪训练3 已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上具有单调性，求实数a的取值范围．
解 函数f(x)＝x2－2ax－3的图象开口向上，
对称轴为直线x＝a，画出草图如图所示．
由图象可知函数在(－∞，a]和[a，＋∞)上都具有单调性，
因此要使函数f(x)在区间[1,2]上具有单调性，只需a≤1或a≥2，
从而a∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．
1．函数y＝的减区间是( )
A．[0，＋∞) B．(－∞，0]
C．(－∞，0)，(0，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
答案 C
2．函数f(x)在R上是减函数，则有( )
A．f(3)C．f(3)>f(5) D．f(3)≥f(5)
答案 C
解析 因为函数f(x)在R上是减函数，3<5，所以f(3)>f(5)．
3．函数y＝|x＋2|在区间[－3,0]上( )
A．递减 B．递增
C．先减后增 D．先增后减
答案 C
解析 因为y＝|x＋2|＝
作出y＝|x＋2|的图象，如图所示，
易知函数在[－3，－2)上为减函数，在[－2，0]上为增函数．
4．若f(x)＝x2＋2(a－2)x＋2的单调增区间为[3，＋∞)，则a的值是________．
答案 －1
解析 ∵f(x)＝x2＋2(a－2)x＋2的单调增区间为[2－a，＋∞)，
∴2－a＝3，∴a＝－1.
5．已知函数f(x)为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f(x)答案
解析 由题设得
解得－1≤x<.
1．知识清单：
(1)增函数、减函数的定义．
(2)函数的单调区间．
2．方法归纳：数形结合法．
3．常见误区：函数的单调区间不能用并集．
1．如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法错误的是( )
A．函数在区间[－5，－3]上单调递增
B．函数在区间[1,4]上单调递增
C．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减
D．函数在区间[－5,5]上没有单调性
答案 C
解析 单调区间不能用“∪”连接．
2．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是( )
A．y＝3－x B．y＝x2＋1
C．y＝ D．y＝－|x＋1|
答案 B
解析 y＝x2＋1在(0,2)上是增函数．
3．若y＝(2k－1)x＋b是R上的减函数，则有( )
A．k> B．k>－
C．k< D．k<－
答案 C
4．若函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上是减函数，则下列关系式一定成立的是( )
A．f(a)>f(2a) B．f(a2)C．f(a2＋a)答案 D
解析 因为f(x)是区间(－∞，＋∞)上的减函数，
且a2＋1>a2，
所以f(a2＋1)5．已知函数y＝ax和y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f(x)＝bx＋a在R上是( )
A．减函数且f(0)<0 B．增函数且f(0)<0
C．减函数且f(0)>0 D．增函数且f(0)>0
答案 A
解析 因为y＝ax和y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，
所以a<0，b<0，f(x)＝bx＋a为减函数且f(0)＝a<0，故选A.
6．已知函数f(x)＝则f(x)的单调递减区间是________．
答案 (－∞，1)
解析 当x≥1时，f(x)是增函数，当x<1时，f(x)是减函数，
所以f(x)的单调递减区间为(－∞，1)．
7．如果二次函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5在区间上是增函数，则实数a的取值范围为________．
答案 (－∞，2]
解析 因为二次函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5的图象的对称轴为直线x＝，又函数f(x)在区间上是增函数，所以≤，解得a≤2.
8．已知f(x)是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f(x－2)考点 函数单调性的应用
题点 利用单调性解抽象函数不等式
答案
解析 由题意，得解得1≤x<，
故满足条件的x的取值范围是.
9．已知函数f(x)＝，证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为减函数．
证明 任取x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝－
＝.
因为x2>x1>－1，
所以x2－x1>0，(x1＋1)(x2＋1)>0，
因此f(x1)－f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)，
所以f(x)在(－1，＋∞)上为减函数．
10．画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的图象并写出函数的单调区间．
解 y＝
即y＝的图象如图所示，
单调增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调减区间为(－1,0)和(1，＋∞)．
11．若函数f(x)在区间(a，b)上是增函数，在区间(b，c)上也是增函数，则函数f(x)在区间(a，b)∪(b，c)上( )
A．必是增函数 B．必是减函数
C．是增函数或减函数 D．无法确定单调性
答案 D
解析 函数在区间(a，b)∪(b，c)上无法确定单调性．如y＝－在(0，＋∞)上是增函数，
在(－∞，0)上也是增函数，但在(－∞，0)∪(0，＋∞)上并不具有单调性．
12．定义在R上的函数f(x)，对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，有<0，则( )
A．f(3)C．f(2)答案 A
解析 对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，
有<0，
则x2－x1与f(x2)－f(x1)异号，
则f(x)在R上是减函数．
又3>2>1，则f(3)13．已知函数f(x)＝若f(x)是R上的增函数，则实数a的取值范围为________．
答案 [4,8)
解 因为f(x)是R上的增函数，所以
解得4≤a<8.
14．函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在(－1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是________．
答案 [－3,0]
解析 ①a＝0时，f(x)＝－3x＋1在R上单调递减，
∴a＝0满足条件；
②a≠0时，f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1，
对称轴为x＝－，∴解得－3≤a<0.
由①②得－3≤a≤0，故a的取值范围是[－3,0]．
15．已知函数f(x)＝若f(4－a)>f(a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(－∞，－2) D．(－2，＋∞)
答案 A
解析 画出f(x)的图象(图略)可判断f(x)在R上单调递增，故f(4－a)>f(a)?4－a>a，解得a<2.
16．已知函数f(x)＝x－＋在(1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．
解 设11.
因为函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数，
所以f(x1)－f(x2)＝x1－＋－
＝(x1－x2)<0.
因为x1－x2<0，所以1＋>0，即a>－x1x2.
因为11，
所以－x1x2<－1，所以a≥－1.
所以a的取值范围是[－1，＋∞)．
课件36张PPT。第1课时 函数的单调性第三章 3.2.1 单调性与最大(小)值学习目标XUEXIMUBIAO1.了解函数的单调区间、单调性等概念.
2.会划分函数的单调区间，判断单调性.
3.会用定义证明函数的单调性.NEIRONGSUOYIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PART ONE知识点一 增函数与减函数的定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D?I：
(1)如果?x1，x2∈D，当x1 ，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是 .
(2)如果?x1，x2∈D，当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上_____
，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是 .单调递增增函数单调递减减函数思考 (1)所有的函数在定义域上都具有单调性吗？答案 不是(2)在增函数和减函数定义中，能否把“任意x1，x2∈D”改为“存在x1，x2∈D”？答案 不能.知识点二 函数的单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的) ，区间D叫做y＝f(x)的 .
特别提醒：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开.
(2)单调区间D?定义域I.
(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大.单调性单调区间思考辨析 判断正误SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU1.如果f(x)在区间[a，b]和(b，c]上都是增函数，则f(x)在区间[a，c]上是增函数.( )
2.函数f(x)为R上的减函数，则f(－3)>f(3).( )
3.若函数y＝f(x)在定义域上有f(1)4.若函数y＝f(x)在区间D上是增函数，则函数y＝－f(x)在区间D上是减函数.( )×√×√2题型探究PART TWO一、函数单调性的判定与证明解 当a＝0时，f(x)＝0，在(－1,1)上不具有单调性，
当a≠0时，设x1，x2为(－1,1)上的任意两个数，且x1所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以f(x)在(－1,1)上单调递减，当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)所以f(x)在(－1,1)上单调递增.
综上，当a＝0时，f(x)在(－1,1)上不具有单调性；
当a>0时，f(x)在(－1,1)上单调递减；
当a<0时，f(x)在(－1,1)上单调递增.反思感悟利用定义判断或证明函数单调性的步骤证明 对于任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x10，即f(x1)>f(x2).二、求单调区间并判断单调性例2 (1)如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？解 y＝f(x)的单调区间有[－5，－2)，[－2,1)，[1,3)，[3,5]，
其中y＝f(x)在区间[－5，－2)，[1,3)上是减函数，
在区间[－2,1)，[3,5]上是增函数.单调递增区间为[2，＋∞).反思感悟(1)函数单调区间的两种求法
①图象法.即先画出图象，根据图象求单调区间.
②定义法.即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解.
(2)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有.(－∞，1)，(1，＋∞)所以单调减区间是(－∞，1)，(1，＋∞).设x1，x2∈(－∞，1)，且x1所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，
所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2).
所以函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，同理函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减.
综上，函数f(x)的单调递减区间是(－∞，1)，(1，＋∞).(2)函数y＝|x2－2x－3|的图象如图所示，试写出它的单调区间，并指出单调性.解 y＝|x2－2x－3|的单调区间有(－∞，－1]，[－1,1]，[1,3]，[3，＋∞)，
其中单调递减区间是(－∞，－1]，[1,3]；
单调递增区间是[－1,1]，[3，＋∞).三、单调性的应用例3 (1)已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围为____________.(－∞，－3]解析 f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的开口方向向上，对称轴为x＝1－a，
∵f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，
∴4≤1－a，
∴a≤－3，
∴a的取值范围是(－∞，－3].(2)若函数y＝f(x)的定义域为R，且为增函数，f(1－a)在本例(2)中，若将定义域R改为(－1,1)，其他条件不变，则a的范围又是什么？解得0因为f(x)在(－1,1)上是增函数，
且f(1－a)所以1－a<2a－1，反思感悟函数单调性的应用
(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围.
(2)若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的.跟踪训练3 已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上具有单调性，求实数a的取值范围.解 函数f(x)＝x2－2ax－3的图象开口向上，
对称轴为直线x＝a，画出草图如图所示.
由图象可知函数在(－∞，a]和[a，＋∞)上都具有单调性，
因此要使函数f(x)在区间[1,2]上具有单调性，只需a≤1或a≥2，
从而a∈(－∞，1]∪[2，＋∞).3随堂演练PART THREEA.[0，＋∞) B.(－∞，0]
C.(－∞，0)，(0，＋∞) D.(－∞，0)∪(0，＋∞)12345√123452.函数f(x)在R上是减函数，则有
A.f(3)C.f(3)>f(5) D.f(3)≥f(5)√解析 因为函数f(x)在R上是减函数，3<5，所以f(3)>f(5).易知函数在[－3，－2)上为减函数，在[－2，0]上为增函数.134523.函数y＝|x＋2|在区间[－3,0]上
A.递减 B.递增
C.先减后增 D.先增后减√作出y＝|x＋2|的图象，如图所示，134524.若f(x)＝x2＋2(a－2)x＋2的单调增区间为[3，＋∞)，则a的值是______.－1解析 ∵f(x)＝x2＋2(a－2)x＋2的单调增区间为[2－a，＋∞)，
∴2－a＝3，∴a＝－1.13452课堂小结KE TANG XIAO JIE1.知识清单：
(1)增函数、减函数的定义.
(2)函数的单调区间.
2.方法归纳：数形结合法.
3.常见误区：函数的单调区间不能用并集.本课结束第2课时 函数的最大(小)值
学习目标 1.了解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.会借助单调性求最值.3.掌握求二次函数在闭区间上的最值的方法．
知识点一 函数的最大(小)值及其几何意义
最值
条件
几何意义
最大值
①对于?x∈I，都有f(x)≤M，②?x0∈I，使得f(x0)＝M
函数y＝f(x)图象上最高点的纵坐标
最小值
①对于?x∈I，都有f(x)≥M，②?x0∈I，使得f(x0)＝M
函数y＝f(x)图象上最低点的纵坐标
思考 函数f(x)＝x2＋1≥－1总成立，f(x)的最小值是－1吗？
答案 f(x)的最小值不是－1，因为f(x)取不到－1.
知识点二 求函数最值的常用方法
1．图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值．
2．运用已学函数的值域．
3．运用函数的单调性：
(1)若y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数，则ymax＝f(b)，ymin＝f(a)．
(2)若y＝f(x)在区间[a，b]上是减函数，则ymax＝f(a)，ymin＝f(b)．
4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个．
预习小测 自我检验
1.函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值为________，最大值为________．
答案 －1 2
2．函数y＝－x＋1在区间上的最大值为________．
答案
3．函数y＝2x2＋2，x∈R的最小值是________．
答案 2
4．函数y＝在[2,4]上的最大值与最小值之和等于________．
答案
一、图象法求函数的最值
例1 已知函数f(x)＝求f(x)的最大值、最小值．
解 作出函数f(x)的图象(如图)．
由图象可知，当x＝±1时，f(x)取最大值为f(1)＝f(－1)＝1.
当x＝0时，f(x)取最小值为f(0)＝0，
故f(x)的最大值为1，最小值为0.
反思感悟 图象法求函数最值的一般步骤
跟踪训练1 已知函数y＝－|x－1|＋2，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域．
解 y＝－|x－1|＋2＝
图象如图所示，
由图象知，函数y＝－|x－1|＋2的最大值为2，没有最小值，
所以其值域为(－∞，2]．
二、利用函数的单调性求最值
例2 已知函数f(x)＝，x∈[3,5]．
(1)判断函数f(x)的单调性并证明；
(2)求函数f(x)的最大值和最小值．
解 (1)f(x)是增函数，证明如下：
任取x1，x2∈[3,5]且x1f(x1)－f(x2)＝－＝，
因为3≤x1所以x1－x2<0，(x1＋2)(x2＋2)>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以f(x)在[3,5]上为增函数．
(2)由(1)知，f(x)在[3,5]上为增函数，
则f(x)max＝f(5)＝，
f(x)min＝f(3)＝.
反思感悟 (1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a)．
(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b)．
(3)若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．
(4)如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势．
跟踪训练2 已知函数f(x)＝＋3(x∈[2,4])，求函数f(x)的最大值和最小值．
解 设x1，x2是[2,4]上任意两个实数，且x1所以f(x1)－f(x2)＝＋3－
＝－＝
＝，
因为2≤x1所以x1－x2<0,1－x1<0,1－x2<0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以f(x)在[2,4]上是增函数，
所以f(x)max＝f(4)＝1，f(x)min＝f(2)＝－3.
三、函数最值的实际应用
例3 某产品生产厂家根据以往的销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x(百台)，其总成本为G(x)(万元)，其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)．销售收入R(x)(万元)满足：
R(x)＝假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉)，根据上述统计规律，请完成下列问题：
(1)写出利润函数y＝f(x)的解析式(利润＝销售收入－总成本)；
(2)工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？
解 (1)由题意得G(x)＝2.8＋x，
所以f(x)＝R(x)－G(x)
＝
(2)当x>5时，因为函数f(x)单调递减，
所以f(x)当0≤x≤5时，函数f(x)＝－0.4(x－4)2＋3.6，
当x＝4时，f(x)有最大值为3.6(万元)，
所以当工厂生产4百台产品时，可使盈利最大为3.6万元．
反思感悟 (1)解实际应用题时要弄清题意，从实际出发，引入数学符号，建立数学模型，列出函数关系式，分析函数的性质，从而解决问题，要注意自变量的取值范围．
(2)实际应用问题中，最大利润、用料最省等问题常转化为求函数最值来解决，本题转化为二次函数求最值，利用配方法和分类讨论思想使问题得到解决．
跟踪训练3 将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？
解 设售价为x元，利润为y元，单个涨价(x－50)元，销量减少10(x－50)个，销量为500－10(x－50)＝(1 000－10x)个，则y＝(x－40)(1 000－10x)＝－10(x－70)2＋9 000≤9 000.
故当x＝70时，ymax＝9 000.
即售价为70元时，利润最大值为9 000元．
二次函数最值分类讨论问题
典例 已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[t，t＋2]，求函数f(x)的最小值．
解 ∵对称轴x＝1，
(1)当1≥t＋2即t≤－1时，f(x)在[t，t＋2]上为减函数，
∴f(x)min＝f(t＋2)
＝(t＋2)2－2(t＋2)－3＝t2＋2t－3.
(2)当t≤1f(x)min＝f(1)＝－4.
(3)当11时，f(x)在[t，t＋2]上为增函数，
f(x)min＝f(t)＝t2－2t－3.
设函数f(x)的最小值为g(t)，则有
g(t)＝
[素养提升] 二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口、对称轴有关，求解时要注意这两个因素．利用二次函数图象，通过直观想象，进行分类讨论．
1．函数f(x)＝在[1，＋∞)上( )
A．有最大值无最小值
B．有最小值无最大值
C．有最大值也有最小值
D．无最大值也无最小值
考点 函数的最值及其几何意义
题点 利用一次函数、分式函数单调性求最值
答案 A
2．函数y＝x2－2x＋2在区间[－2,3]上的最大值、最小值分别是( )
A．10,5 B．10,1
C．5,1 D．以上都不对
答案 B
解析 因为y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，且x∈[－2,3]，
所以当x＝1时，ymin＝1，
当x＝－2时，ymax＝(－2－1)2＋1＝10.故选B.
3．已知函数f(x)＝则f(x)的最大值、最小值分别为( )
A．10,6 B．10,8 C．8,6 D．以上都不对
考点 函数的最值及其几何意义
题点 分段函数最值
答案 A
4．已知函数f(x)＝2x－3，当x≥1时，恒有f(x)≥m成立，则实数m的取值范围是( )
A．R B．(－∞，－1]
C．[－1，＋∞) D．?
答案 B
解析 因为f(x)＝2x－3在x∈[1，＋∞)上为增函数，
所以f(x)min＝－1，故满足f(x)≥－1.
又因为在x≥1时，f(x)≥m恒成立，
所以m≤－1，故m∈(－∞，－1]．
5．已知函数f(x)＝则f(x)的最大值为________．
考点 函数的最值及其几何意义
题点 由函数图象求最值
答案 2
解析 f(x)的图象如图：
则f(x)的最大值为f(2)＝2.
1．知识清单：函数的最大值、最小值定义．
2．方法归纳：配方法、分类讨论法、数形结合法．
3．常见误区：
(1)最值M一定是一个函数值，是值域中的一个元素．
(2)在利用单调性求最值时，勿忘求函数的定义域．
1．下列函数在[1,4]上最大值为3的是( )
A．y＝＋2 B．y＝3x－2
C．y＝x2 D．y＝1－x
答案 A
解析 选项B，C在[1,4]上均为增函数，选项A，D在[1,4]上均为减函数，代入端点值，可知A正确．
2．函数y＝x－在[1,2]上的最大值为( )
A．0 B. C．2 D．3
答案 B
解析 函数y＝x在[1,2]上是增函数，函数y＝－在[1,2]上是增函数，
所以函数y＝x－在[1,2]上是增函数．
当x＝2时，ymax＝2－＝.
3．若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是( )
A．2 B．－2 C．2或－2 D．0
答案 C
解析 当a>0时，由题意得2a＋1－(a＋1)＝2，即a＝2；当a<0时，a＋1－(2a＋1)＝2，所以a＝－2.
综上a＝±2.
4．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售x辆该品牌车的利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x.若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( )
A．90万元 B．60万元
C．120万元 D．120.25万元
答案 C
解析 设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15－x)辆，x∈N，
公司获利为L＝－x2＋21x＋2(15－x)
＝－x2＋19x＋30＝－2＋30＋，
∴当x＝9或10时，L最大为120万元．
5．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案 C
解析 因为f(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4
＝－(x－2)2＋4＋a，
所以函数f(x)图象的对称轴为x＝2.
所以f(x)在[0,1]上单调递增．
又因为f(x)min＝－2，所以f(0)＝－2，
即a＝－2.
所以f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1.
6．函数y＝f(x)的定义域为[－4,6]，若函数f(x)在区间[－4，－2]上单调递减，在区间(－2,6]上单调递增，且f(－4)答案 f(－2) f(6)
解析 作出符合条件的函数的简图(图略)，可知f(x)min＝f(－2)，f(x)max＝f(6)．
7．函数y＝(x≠－2)在区间[0,5]上的最大值与最小值的和为________．
答案
解析 因为函数y＝在区间[0,5]上单调递减，
所以当x＝0时，ymax＝，
当x＝5时，ymin＝.
所以ymax＋ymin＝＋＝.
8．当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案 (－∞，0)
解析 令f(x)＝－x2＋2x，
则f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1.
又∵x∈[0,2]，∴f(x)min＝f(0)＝f(2)＝0.
∴a<0.
9．已知函数f(x)＝|x|(x＋1)，试画出函数f(x)的图象，并根据图象解决下列两个问题．
(1)写出函数f(x)的单调区间；
(2)求函数f(x)在区间上的最大值．
解 f(x)＝|x|(x＋1)＝的图象如图所示．
(1)f(x)在和(0，＋∞)上是增函数，
在上是减函数，
因此f(x)的单调递增区间为，(0，＋∞)；
单调递减区间为.
(2)因为f ＝，f ＝，
所以f(x)在区间上的最大值为.
10．某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x(不低于进价，单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下关系：
x
45
50
y
27
12
(1)确定x与y的一个一次函数关系式y＝f(x)(注明函数定义域)；
(2)若日销售利润为P元，根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？
解 (1)因为f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
由表格得方程组解得
所以y＝f(x)＝－3x＋162.
又y≥0，所以30≤x≤54，
故所求函数关系式为y＝－3x＋162，x∈[30,54]．
(2)由题意得，
P＝(x－30)y＝(x－30)(162－3x)
＝－3x2＋252x－4 860
＝－3(x－42)2＋432，x∈[30,54]．
当x＝42时，最大的日销售利润P＝432，即当销售单价为42元时，获得最大的日销售利润．
11．若函数f(x)＝在区间[2,4]上的最小值为5，则k的值为( )
A．10 B．10或20
C．20 D．无法确定
答案 C
解析 当k＝0时，不满足．
当k>0时，y＝f(x)＝在[2,4]上是减函数，
∴f(x)min＝f(4)＝＝5，
∴k＝20满足条件，
k<0时，y＝f(x)＝在[2,4]上是增函数，
f(x)min＝f(2)＝＝5，
∴k＝10，
又∵k<0，∴k＝10舍去，
综上有k＝20.
12．已知函数f(x)＝4x2－kx－8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，则实数k的取值范围是( )
A．[160，＋∞)
B．(－∞，40]
C．(－∞，40]∪[160，＋∞)
D．(－∞，20]∪[80，＋∞)
考点 函数的最值及其几何意义
题点 含参二次函数最值
答案 C
解析 由于二次函数f(x)＝4x2－kx－8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，因此函数f(x)＝4x2－kx－8在区间(5,20)上是单调函数．二次函数f(x)＝4x2－kx－8图象的对称轴方程为x＝，因此≤5或≥20，所以k≤40或k≥160.
13．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是________．
答案 {m|1≤m≤2}
解析 y＝f(x)＝(x－1)2＋2，
∵f(x)min＝2，f(x)max＝3，
且f(1)＝2，f(0)＝f(2)＝3，
利用图象(图略)得1≤m≤2.
14．函数y＝x＋的最小值为________．
答案
解析 令t＝，t≥0，∴x＝，
∴y＝＋t＝(t2＋2t＋1)＝(t＋1)2，
∵t≥0，∴当t＝0时，ymin＝.
15．已知f(x)＝x，g(x)＝x2－2x，F(x)＝则F(x)的最值情况是( )
A．最大值为3，最小值为－1
B．最小值为－1，无最大值
C．最大值为3，无最小值
D．既无最大值，又无最小值
答案 D
解析 由f(x)≥g(x)得0≤x≤3；
由f(x)3，
所以F(x)＝
作出函数F(x)的图象(图略)，可得F(x)无最大值，无最小值．
16．已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－.
(1)求证：f(x)是R上的单调减函数；
(2)求f(x)在[－3,3]上的最小值．
(1)证明 设x1，x2是任意的两个实数，且x1则x2－x1>0，因为x>0时，f(x)<0，
所以f(x2－x1)<0，
又因为x2＝(x2－x1)＋x1，
所以f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]
＝f(x2－x1)＋f(x1)，
所以f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)<0，
所以f(x2)所以f(x)是R上的单调减函数．
(2)解 由(1)可知f(x)在R上是减函数，
所以f(x)在[－3,3]上也是减函数，
所以f(x)在[－3,3]上的最小值为f(3)．
而f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)＝3×＝－2.
所以函数f(x)在[－3,3]上的最小值是－2.
课件35张PPT。第2课时 函数的最大(小)值第三章 3.2.1 单调性与最大(小)值学习目标XUEXIMUBIAO1.了解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.
2.会借助单调性求最值.
3.掌握求二次函数在闭区间上的最值的方法.NEIRONGSUOYIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PART ONE知识点一 函数的最大(小)值及其几何意义f(x)≤Mf(x0)＝Mf(x)≥Mf(x0)＝M思考 函数f(x)＝x2＋1≥－1总成立，f(x)的最小值是－1吗？答案 f(x)的最小值不是－1，因为f(x)取不到－1.知识点二 求函数最值的常用方法1.图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值.
2.运用已学函数的值域.
3.运用函数的单调性：
(1)若y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数，则ymax＝ ，ymin＝ .
(2)若y＝f(x)在区间[a，b]上是减函数，则ymax＝ ，ymin＝ .
4.分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个.f(b)f(a)f(a)f(b)1.函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值为____，最大值为____.预习小测 自我检验YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN－123.函数y＝2x2＋2，x∈R的最小值是___.22题型探究PART TWO一、图象法求函数的最值解 作出函数f(x)的图象(如图).
由图象可知，当x＝±1时，f(x)取最大值为f(1)＝f(－1)＝1.
当x＝0时，f(x)取最小值为f(0)＝0，
故f(x)的最大值为1，最小值为0.反思感悟图象法求函数最值的一般步骤跟踪训练1 已知函数y＝－|x－1|＋2，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域.图象如图所示，
由图象知，函数y＝－|x－1|＋2的最大值为2，没有最小值，
所以其值域为(－∞，2].二、利用函数的单调性求最值(1)判断函数f(x)的单调性并证明；解 f(x)是增函数，证明如下：
任取x1，x2∈[3,5]且x1所以x1－x2<0，(x1＋2)(x2＋2)>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以f(x)在[3,5]上为增函数.(2)求函数f(x)的最大值和最小值.解 由(1)知，f(x)在[3,5]上为增函数，反思感悟(1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a).
(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b).
(3)若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值.函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值.
(4)如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势.解 设x1，x2是[2,4]上任意两个实数，且x1所以x1－x2<0,1－x1<0,1－x2<0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以f(x)在[2,4]上是增函数，
所以f(x)max＝f(4)＝1，f(x)min＝f(2)＝－3.三、函数最值的实际应用例3 某产品生产厂家根据以往的销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x(百台)，其总成本为G(x)(万元)，其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本).销售收入R(x)(万元)满足：假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉)，根据上述统计规律，请完成下列问题：
(1)写出利润函数y＝f(x)的解析式(利润＝销售收入－总成本)；解 由题意得G(x)＝2.8＋x，
所以f(x)＝R(x)－G(x)(2)工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？解 当x>5时，因为函数f(x)单调递减，
所以f(x)当0≤x≤5时，函数f(x)＝－0.4(x－4)2＋3.6，
当x＝4时，f(x)有最大值为3.6(万元)，
所以当工厂生产4百台产品时，可使盈利最大为3.6万元.反思感悟(1)解实际应用题时要弄清题意，从实际出发，引入数学符号，建立数学模型，列出函数关系式，分析函数的性质，从而解决问题，要注意自变量的取值范围.
(2)实际应用问题中，最大利润、用料最省等问题常转化为求函数最值来解决，本题转化为二次函数求最值，利用配方法和分类讨论思想使问题得到解决.跟踪训练3 将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？解 设售价为x元，利润为y元，单个涨价(x－50)元，销量减少10(x－50)个，销量为500－10(x－50)＝(1 000－10x)个，
则y＝(x－40)(1 000－10x)＝－10(x－70)2＋9 000≤9 000.
故当x＝70时，ymax＝9 000.
即售价为70元时，利润最大值为9 000元.典例 已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[t，t＋2]，求函数f(x)的最小值.二次函数最值分类讨论问题核心素养之直观想象HE XIN SU YANG ZHI ZHI GUAN XIANG XIANG解 ∵对称轴x＝1，
(1)当1≥t＋2即t≤－1时，f(x)在[t，t＋2]上为减函数，
∴f(x)min＝f(t＋2)
＝(t＋2)2－2(t＋2)－3＝t2＋2t－3.
(2)当t≤1f(x)min＝f(1)＝－4.
(3)当11时，f(x)在[t，t＋2]上为增函数，
f(x)min＝f(t)＝t2－2t－3.
设函数f(x)的最小值为g(t)，则有素养提升二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口、对称轴有关，求解时要注意这两个因素.利用二次函数图象，通过直观想象，进行分类讨论.3随堂演练PART THREE12345A.有最大值无最小值
B.有最小值无最大值
C.有最大值也有最小值
D.无最大值也无最小值√123452.函数y＝x2－2x＋2在区间[－2,3]上的最大值、最小值分别是
A.10,5 B.10,1
C.5,1 D.以上都不对√解析 因为y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，且x∈[－2,3]，
所以当x＝1时，ymin＝1，
当x＝－2时，ymax＝(－2－1)2＋1＝10.故选B.13452A.10,6 B.10,8
C.8,6 D.以上都不对√134524.已知函数f(x)＝2x－3，当x≥1时，恒有f(x)≥m成立，则实数m的取值范围是
A.R B.(－∞，－1]
C.[－1，＋∞) D.?√解析 因为f(x)＝2x－3在x∈[1，＋∞)上为增函数，
所以f(x)min＝－1，故满足f(x)≥－1.
又因为在x≥1时，f(x)≥m恒成立，
所以m≤－1，故m∈(－∞，－1].134522解析 f(x)的图象如图：则f(x)的最大值为f(2)＝2.课堂小结KE TANG XIAO JIE1.知识清单：函数的最大值、最小值定义.2.方法归纳：配方法、分类讨论法、数形结合法.
3.常见误区：
(1)最值M一定是一个函数值，是值域中的一个元素.
(2)在利用单调性求最值时，勿忘求函数的定义域.本课结束