3．2.2 奇偶性
第1课时 奇偶性的概念
学习目标 1.了解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题．
知识点一 函数奇偶性的几何特征
一般地，图象关于y轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数．
知识点二 函数奇偶性的定义
1．偶函数：函数f(x)的定义域为I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．
2．奇函数：函数f(x)的定义域为I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．
知识点三 奇(偶)函数的定义域特征
奇(偶)函数的定义域关于原点对称．
1．奇、偶函数的定义域都关于原点对称．( √ )
2．函数f(x)＝x2＋|x|的图象关于原点对称．( × )
3．对于定义在R上的函数f(x)，若f(－1)＝f(1)，则函数f(x)一定是偶函数．( × )
4．不存在既是奇函数又是偶函数的函数．( × )
一、函数奇偶性的判断
例1 判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝x2(x2＋2)；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝＋.
解 (1)f(x)＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，
∴f(x)＝是奇函数．
(2)f(x)＝x2(x2＋2)的定义域为R.
∵f(－x)＝f(x)，
∴f(x)＝x2(x2＋2)是偶函数．
(3)f(x)＝的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，
∵定义域不关于原点对称，
∴f(x)＝既不是奇函数，也不是偶函数．
(4)f(x)＝＋的定义域为{－1,1}．
∵f(－x)＝f(x)＝－f(x)＝0，
∴f(x)＝＋既为奇函数，又为偶函数．
反思感悟 判断函数奇偶性的方法
(1)定义法：
①定义域关于原点对称；
②确定f(－x)与f(x)的关系．
(2)图象法．
跟踪训练1 判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝
解 (1)函数f(x)的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)＝是非奇非偶函数．
(2)f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称．
f(－x)＝＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
(3)f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，
当x>0时，－x<0，
则f(－x)＝(－x)2－(－x)＝x2＋x＝f(x)；
当x<0时，－x>0，
则f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x＝f(x)，所以f(x)是偶函数．
二、奇、偶函数图象的应用
例2 定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示．
(1)画出f(x)的图象；
(2)解不等式xf(x)>0.
考点 函数图象的对称性
题点 中心对称问题
解 (1)先描出(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2,0)，连线可得f(x)的图象如图．
(2)xf(x)>0即图象上横坐标、纵坐标同号．结合图象可知，xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2)．
延伸探究
把本例中的“奇函数”改为“偶函数”，重做该题．
解 (1)f(x)的图象如图所示：
(2)xf(x)>0的解集是(－∞，－2)∪(0,2)．
反思感悟 可以用奇(偶)函数图象关于原点(y轴)对称这一特性去画图，求值，解不等式等．
跟踪训练2 已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．
(1)画出在区间[－5,0]上的图象；
(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．
考点 函数图象的对称性
题点 中心对称问题
解 (1)如图，在[0,5]上的图象上选取5个关键点O，A，B，C，D.
分别描出它们关于原点的对称点O′，A′，B′，C′，D′，
再用光滑曲线连接即得．
(2)由(1)图可知，当且仅当x∈(－2,0)∪(2,5)时，f(x)<0.
∴使f(x)<0的x的取值集合为{x|－2
三、利用函数的奇偶性求参数值
例3 (1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________.
答案 0
解析 因为偶函数的定义域关于原点对称，
所以a－1＝－2a，解得a＝.
又函数f(x)＝x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0.
(2)已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝________.
答案 0
解析 由奇函数定义有f(－x)＋f(x)＝0，得a(－x)2＋2(－x)＋ax2＋2x＝2ax2＝0，故a＝0.
反思感悟 利用奇偶性求参数的常见类型
(1)定义域含参数：奇偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数．
(2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解．
跟踪训练3 (1)若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.
答案 0
解析 方法一 显然x∈R，
由已知得f(－x)＝(－x)2－|－x＋a|＝x2－|x－a|.
又f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)，即x2－|x＋a|＝x2－|x－a|，
即|x＋a|＝|x－a|.
又x∈R，所以a＝0.
方法二 由题意知f(－1)＝f(1)，则|a－1|＝|a＋1|，解得a＝0.
(2)已知函数f(x)是奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x2＋mx.若f(2)＝－3，则m的值为________．
答案
解析 ∵f(－2)＝－f(2)＝3，
∴f(－2)＝(－2)2－2m＝3，
∴m＝.
1．下列函数是偶函数的是( )
A．y＝x B．y＝2x2－3
C．y＝ D．y＝x2，x∈(－1,1]
答案 B
2．函数f(x)＝－x的图象关于( )
A．y轴对称 B．直线y＝－x对称
C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称
答案 C
解析 ∵f(x)＝－x是奇函数，
∴f(x)＝－x的图象关于原点对称．
3．下列图象表示的函数具有奇偶性的是( )
考点 函数的奇偶性概念
题点 函数奇偶性概念的理解
答案 B
4．f(x)＝x2＋|x|( )
A．是偶函数，在(－∞，＋∞)上是增函数
B．是偶函数，在(－∞，＋∞)上是减函数
C．不是偶函数，在(－∞，＋∞)上是增函数
D．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
考点 单调性与奇偶性的综合应用
题点 判断函数的单调性、奇偶性
答案 D
5．若已知函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f ＝，则函数f(x)的解析式为________．
答案 f(x)＝
解析 ∵f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，
∴f(0)＝0，∴f(0)＝＝0，∴b＝0.
即f(x)＝，
又f ＝，∴＝.
∴a＝1，∴函数f(x)＝.
1．知识清单：
(1)函数奇偶性的概念．
(2)奇函数、偶函数的图象特征．
2．方法归纳：特值法、数形结合法．
3．常见误区：忽略函数的定义域的对称性，只有定义域关于原点对称，才可能具有奇偶性．
1．下列函数中奇函数的个数为( )
①f(x)＝x3； ②f(x)＝x5；
③f(x)＝x＋； ④f(x)＝.
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
2．已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(－3)＝2，则下列各点中一定在函数f(x)的图象上的是( )
A．(3，－2) B．(3,2) C．(－3，－2) D．(2，－3)
答案 A
解析 f(－3)＝2即点(－3,2)在奇函数的图象上，
∴(－3,2)关于原点的对称点(3，－2)必在f(x)的图象上．
3．设f(x)是定义在R上的一个函数，则函数F(x)＝f(x)－f(－x)在R上一定( )
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
答案 A
解析 F(－x)＝f(－x)－f(x)＝－[f(x)－f(－x)]＝－F(x)．
∴F(x)为奇函数
4．若f(x)＝3x3＋5x＋a－1为奇函数，则a的值为( )
A．0 B．－1 C．1 D．2
答案 C
解析 ∵f(x)为R上的奇函数，
∴f(0)＝0得a＝1.
5.如图，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，则f(－2)＋f(－1)的值为( )
A．－2 B．2
C．1 D．0
答案 A
解析 f(－2)＋f(－1)＝－f(2)－f(1)
＝－－＝－2.
6．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.
答案 4
解析 f(x)＝x2＋(a－4)x－4a是偶函数，∴a＝4.
7．已知y＝f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2＋ax，且f(3)＝6，则a的值为________．
答案 5
解析 因为f(x)是奇函数，
所以f(－3)＝－f(3)＝－6，
所以(－3)2＋a(－3)＝－6，解得a＝5.
8．若f(x)为R上的奇函数，给出下列四个说法：
①f(x)＋f(－x)＝0；
②f(x)－f(－x)＝2f(x)；
③f(x)·f(－x)<0；
④＝－1.
其中一定正确的为________．(填序号)
答案 ①②
解析 ∵f(x)在R上为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)．
∴f(x)＋f(－x)＝f(x)－f(x)＝0，故①正确．
f(x)－f(－x)＝f(x)＋f(x)＝2f(x)，故②正确．
当x＝0时，f(x)·f(－x)＝0，故③不正确．
当x＝0时，分母为0，无意义，故④不正确．
9．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x3＋x5；
(2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|；
(3)f(x)＝.
考点 函数的奇偶性判定与证明
题点 判断简单函数的奇偶性
解 (1)函数的定义域为R.∵f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
(2)f(x)的定义域是R.∵f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．
10．(1)如图①，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值．
(2)如图②，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小．
解 (1)由奇函数的性质可作出它在y轴右侧的图象，图③为补充后的图象．易知f(3)＝－2.
(2)由偶函数的性质可作出它在y轴右侧的图象，图④为补充后的图象，易知f(1)>f(3)．
11．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )
A．y＝x3 B．y＝|x|＋1
C．y＝－x2＋1 D．y＝－
答案 B
解析 对于函数y＝|x|＋1，f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f(x)，
所以y＝|x|＋1是偶函数，当x>0时，y＝x＋1，
所以在(0，＋∞)上单调递增．
另外，函数y＝x3不是偶函数，y＝－x2＋1在(0，＋∞)上单调递减，y＝－不是偶函数．故选B.
12．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )
A．f(x)＋|g(x)|是偶函数
B．f(x)－|g(x)|是奇函数
C．|f(x)|＋g(x)是偶函数
D．|f(x)|－g(x)是奇函数
考点 函数的奇偶性判定与证明
题点 判断抽象函数的奇偶性
答案 A
解析 由f(x)是偶函数，可得f(－x)＝f(x)，
由g(x)是奇函数可得g(－x)＝－g(x)，
故|g(x)|为偶函数，
∴f(x)＋|g(x)|为偶函数．
13．函数f(x)＝的定义域为________，为______函数(填“奇”或“偶”)．
答案 [－2,0)∪(0,2] 奇
解析 依题意有
解得－2≤x≤2且x≠0，
∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]．
∵f(x)＝＝＝－，定义域关于原点对称，
∴f(－x)＝＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
14．函数f(x)＝ax3＋bx＋＋5满足f(－3)＝2，则f(3)的值为________．
答案 8
解析 设g(x)＝f(x)－5＝ax3＋bx＋(x≠0)，
∵g(－x)＝－ax3－bx－＝－g(x)，
∴g(x)是奇函数，
∴g(3)＝－g(－3)＝－[f(－3)－5]
＝－f(－3)＋5＝－2＋5＝3，
又g(3)＝f(3)－5＝3，
∴f(3)＝8.
15．已知函数f(x)＝，若f(a)＝，则f(－a)＝________.
考点 函数图象的对称性
题点 中心对称问题
答案
解析 根据题意，f(x)＝＝1＋，而h(x)＝是奇函数，故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(a)＝2－[1＋h(a)]＝2－f(a)＝2－＝.
16．设函数f(x)＝是奇函数(a，b，c∈Z)，且f(1)＝2，f(2)<3，求a，b，c的值．
解 由条件知f(－x)＋f(x)＝0，
∴＋＝0，∴c＝0.
又f(1)＝2，∴a＋1＝2b.
∵f(2)<3，∴<3，∴<3，
解得－1∴b＝或1，由于b∈Z，
∴a＝1，b＝1，c＝0.
课件37张PPT。第1课时 奇偶性的概念第三章 3.2.2 奇偶性学习目标XUEXIMUBIAO1.了解函数奇偶性的定义.
2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.
3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题.NEIRONGSUOYIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PART ONE知识点一 函数奇偶性的几何特征一般地，图象关于y轴对称的函数称为 函数，图象关于原点对称的函数称为___
函数.偶奇知识点二 函数奇偶性的定义1.偶函数：函数f(x)的定义域为I，如果?x∈I，都有－x∈I，且 ，那么函数f(x)就叫做偶函数.
2.奇函数：函数f(x)的定义域为I，如果?x∈I，都有－x∈I，且 ，那么函数f(x)就叫做奇函数.f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)知识点三 奇(偶)函数的定义域特征奇(偶)函数的定义域关于 对称.原点思考辨析 判断正误SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU1.奇、偶函数的定义域都关于原点对称.( )
2.函数f(x)＝x2＋|x|的图象关于原点对称.( )
3.对于定义在R上的函数f(x)，若f(－1)＝f(1)，则函数f(x)一定是偶函数.( )
4.不存在既是奇函数又是偶函数的函数.( )√×××2题型探究PART TWO例1 判断下列函数的奇偶性.一、函数奇偶性的判断(2)f(x)＝x2(x2＋2)；解 f(x)＝x2(x2＋2)的定义域为R.
∵f(－x)＝f(x)，
∴f(x)＝x2(x2＋2)是偶函数.∵定义域不关于原点对称，∵f(－x)＝f(x)＝－f(x)＝0，判断函数奇偶性的方法
(1)定义法：
①定义域关于原点对称；
②确定f(－x)与f(x)的关系.
(2)图象法.跟踪训练1 判断下列函数的奇偶性.解 函数f(x)的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，解 f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称.所以f(x)为奇函数.解 f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，
当x>0时，－x<0，
则f(－x)＝(－x)2－(－x)＝x2＋x＝f(x)；
当x<0时，－x>0，
则f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x＝f(x)，所以f(x)是偶函数.二、奇、偶函数图象的应用例2 定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示.(1)画出f(x)的图象；解 先描出(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2,0)，
连线可得f(x)的图象如图.(2)解不等式xf(x)>0.解 xf(x)>0即图象上横坐标、纵坐标同号.
结合图象可知，xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2).延伸探究
把本例中的“奇函数”改为“偶函数”，重做该题.解 (1)f(x)的图象如图所示：(2)xf(x)>0的解集是(－∞，－2)∪(0,2).可以用奇(偶)函数图象关于原点(y轴)对称这一特性去画图，求值，解不等式等.跟踪训练2 已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示.(1)画出在区间[－5,0]上的图象；解 如图，在[0,5]上的图象上选取5个关键点O，A，B，C，D.分别描出它们关于原点的对称点O′，A′，B′，C′，D′，
再用光滑曲线连接即得.(2)写出使f(x)<0的x的取值集合.解 由(1)图可知，当且仅当x∈(－2,0)∪(2,5)时，f(x)<0.
∴使f(x)<0的x的取值集合为{x|－2得a(－x)2＋2(－x)＋ax2＋2x＝2ax2＝0，
故a＝0.利用奇偶性求参数的常见类型
(1)定义域含参数：奇偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数.
(2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解.跟踪训练3 (1)若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.0解析 方法一 显然x∈R，
由已知得f(－x)＝(－x)2－|－x＋a|＝x2－|x－a|.
又f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)，即x2－|x＋a|＝x2－|x－a|，
即|x＋a|＝|x－a|.
又x∈R，所以a＝0.
方法二 由题意知f(－1)＝f(1)，则|a－1|＝|a＋1|，解得a＝0.(2)已知函数f(x)是奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x2＋mx.若f(2)＝－3，则m的值为____.解析 ∵f(－2)＝－f(2)＝3，
∴f(－2)＝(－2)2－2m＝3，3随堂演练PART THREE12345√12345√134523.下列图象表示的函数具有奇偶性的是√134524.f(x)＝x2＋|x|
A.是偶函数，在(－∞，＋∞)上是增函数
B.是偶函数，在(－∞，＋∞)上是减函数
C.不是偶函数，在(－∞，＋∞)上是增函数
D.是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数√13452课堂小结KE TANG XIAO JIE1.知识清单：
(1)函数奇偶性的概念.
(2)奇函数、偶函数的图象特征.
2.方法归纳：特值法、数形结合法.
3.常见误区：忽略函数的定义域的对称性，只有定义域关于原点对称，才可能具有奇偶性.本课结束第2课时 奇偶性的应用
学习目标 1.掌握用奇偶性求解析式的方法.2.理解奇偶性对单调性的影响并能用以比较大小、求最值和解不等式．
知识点一 用奇偶性求解析式
如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，想求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为：
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．
(2)要利用已知区间的解析式进行代入．
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．
知识点二 奇偶性与单调性
若函数f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性；若函数f(x)为偶函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．
预习小测 自我检验
1．若f(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数，则f(0)＝________.
答案 0
2．若f(x)为R上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递减，则f(－1)________f(1)．(填“>”“＝”或“<”)
答案 >
解析 f(x)为R上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递减，
∴f(x)在R上单调递减，
∴f(－1)>f(1)．
3．如果奇函数f(x)在区间[－7，－3]上是减函数，那么函数f(x)在区间[3,7]上是________函数．
答案 减
解析 ∵f(x)为奇函数，∴f(x)在[3,7]上的单调性与[－7，－3]上一致，∴f(x)在[3,7]上是减函数．
4．函数f(x)为偶函数，若x>0时，f(x)＝x，则x<0时，f(x)＝________.
答案 －x
解析 方法一 令x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝－x，
又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
∴f(x)＝－x(x<0)．
方法二 利用图象(图略)可得x<0时，f(x)＝－x.
一、利用函数的奇偶性求解析式
命题角度1 求对称区间上的解析式
例1 函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，求当x<0时，f(x)的解析式．
考点 函数奇偶性的应用
题点 利用奇偶性求函数的解析式
解 设x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，
又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数，
∴当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－x－1.
反思感悟 求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式．
跟踪训练1 已知f(x)是R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋x)，求f(x)的解析式．
解 因为x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，
所以f(－x)＝－x[1＋(－x)]＝x(x－1)．
因为f(x)是R上的奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)＝－x(x－1)，x∈(－∞，0)．
f(0)＝0.
所以f(x)＝
命题角度2 构造方程组求解析式
例2 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式．
考点 函数奇偶性的应用
题点 利用奇偶性求函数的解析式
解 ∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
由f(x)＋g(x)＝.①
用－x代替x，
得f(－x)＋g(－x)＝，
∴f(x)－g(x)＝，②
(①＋②)÷2，得f(x)＝；
(①－②)÷2，得g(x)＝.
反思感悟 f(x)＋g(x)＝对定义域内任意x都成立，所以可以对x任意赋值，如x＝－x.
利用f(x)，g(x)一奇一偶，把－x的负号或提或消，最终得到关于f(x)，g(x)的二元方程组，从中解出f(x)和g(x)．
跟踪训练2 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x，求函数f(x)，g(x)的解析式．
考点 函数奇偶性的应用
题点 利用奇偶性求函数的解析式
解 ∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
由f(x)＋g(x)＝2x＋x2.①
用－x代替x，
得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2，
∴f(x)－g(x)＝－2x＋x2，②
(①＋②)÷2，得f(x)＝x2；
(①－②)÷2，得g(x)＝2x.
二、利用函数的奇偶性与单调性比较大小
例3 设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( )
A．f(π)>f(－3)>f(－2)
B．f(π)>f(－2)>f(－3)
C．f(π)D．f(π)答案 A
解析 因为函数f(x)为R上的偶函数，
所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．
又当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，且π>3>2，
所以f(π)>f(3)>f(2)，故f(π)>f(－3)>f(－2)．
反思感悟 利用函数的奇偶性与单调性比较大小
(1)自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；
(2)自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．
跟踪训练3 (1)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，则f(1)和f(－10)的大小关系为( )
A．f(1)>f(－10) B．f(1)C．f(1)＝f(－10) D．f(1)和f(－10)关系不定
答案 A
解析 ∵f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，
∴f(－10)＝f(10)(2)定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0，下列不等式中成立的有________．(填序号)
①f(a)>f(－b)； ②f(－a)>f(b)；
③g(a)>g(－b)； ④g(－a)⑤g(－a)>f(－a)．
答案 ①③⑤
解析 f(x)为R上奇函数，增函数，且a>b>0，
∴f(a)>f(b)>f(0)＝0，
又－a<－b<0，∴f(－a)∴f(a)>f(b)>0>f(－b)>f(－a)，
∴①正确，②错误．
x∈[0，＋∞)时，g(x)＝f(x)，
∴g(x)在[0，＋∞)上单调递增，
∴g(－a)＝g(a)>g(b)＝g(－b)，∴③正确，④错误．
又g(－a)＝g(a)＝f(a)>f(－a)，∴⑤正确．
三、利用函数的奇偶性与单调性解不等式
例4 (1)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数．若f(－3)＝0，则<0的解集为________．
答案 {x|－33}
解析 ∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数，
∴f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数．
∴f(3)＝f(－3)＝0.
当x>0时，由f(x)<0，解得x>3；
当x<0时，由f(x)>0，解得－3故所求解集为{x|－33}．
(2)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)A. B.
C. D.
答案 A
解析 由于f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则不等式f(2x－1)即－<2x－1<，
解得反思感悟 利用函数奇偶性与单调性解不等式，一般有两类
(1)利用图象解不等式；
(2)转化为简单不等式求解．
①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)f(x2)的形式；
②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解．
跟踪训练4 设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上是减函数，若f(1－m)解 因为f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上是减函数，
所以f(x)在[－2,2]上是减函数．
所以不等式f(1－m)解得－1≤m<.
所以实数m的取值范围为.
1．若函数f(x)是R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数，则下列关系成立的是( )
A．f(－3)>f(0)>f(1)
B．f(－3)>f(1)>f(0)
C．f(1)>f(0)>f(－3)
D．f(1)>f(－3)>f(0)
考点 抽象函数单调性与奇偶性
题点 抽象函数单调性与不等式结合问题
答案 B
解析 ∵f(－3)＝f(3)，且f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，∴f(－3)>f(1)>f(0)．
2．定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，若f(a)A．ab
C．|a|<|b| D．0≤ab≥0
考点 抽象函数单调性与奇偶性
题点 抽象函数单调性与不等式结合问题
答案 C
3．已知函数f(x)为偶函数，且当x<0时，f(x)＝x＋1，则x>0时，f(x)＝________.
答案 －x＋1
解析 当x>0时，－x<0，∴f(－x)＝－x＋1，
又f(x)为偶函数，∴f(x)＝－x＋1.
4.奇函数f(x)在区间[0，＋∞)上的图象如图，则函数f(x)的增区间为________．
答案 (－∞，－1]，[1，＋∞)
解析 奇函数的图象关于原点对称，可知函数f(x)的增区间为(－∞，－1]，[1，＋∞)．
5．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．
答案 (－1,3)
解析 因为f(x)是偶函数，所以f(x－1)＝f(|x－1|)．
又因为f(2)＝0，
所以f(x－1)>0可化为f(|x－1|)>f(2)．
又因为f(x)在[0，＋∞)上单调递减，
所以|x－1|<2，解得－2所以－11．知识清单：
(1)利用奇偶性，求函数的解析式．
(2)利用奇偶性和单调性比较大小、解不等式．
2．方法归纳：
利用函数的奇偶性、单调性画出函数的简图，利用图象解不等式和比较大小，体现了数形结合思想和直观想象数学素养．
3．常见误区：解不等式易忽视函数的定义域．
1．设函数f(x)＝且f(x)为偶函数，则g(－2)等于( )
A．6 B．－6 C．2 D．－2
考点 函数奇偶性的应用
题点 利用奇偶性求函数的解析式
答案 A
解析 g(－2)＝f(－2)＝f(2)＝22＋2＝6.
2．如果奇函数f(x)在区间[－3，－1]上是增函数且有最大值5，那么函数f(x)在区间[1,3]上是( )
A．增函数且最小值为－5
B．增函数且最大值为－5
C．减函数且最小值为－5
D．减函数且最大值为－5
答案 A
解析 f(x)为奇函数，∴f(x)在[1,3]上的单调性与[－3，－1]上一致且f(1)为最小值，
又已知f(－1)＝5，∴f(－1)＝－f(1)＝5，
∴f(1)＝－5，故选A.
3．已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上是减函数，若f(a)≥f(－2)，则a的取值范围是( )
A．a≤－2 B．a≥2
C．a≤－2或a≥2 D．－2≤a≤2
答案 D
解析 由f(a)≥f(－2)得f(|a|)≥f(2)，
∴|a|≤2，∴－2≤a≤2.
4．已知函数y＝f(x)是偶函数，其图象与x轴有4个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是( )
A．4 B．2 C．1 D．0
答案 D
解析 y＝f(x)是偶函数，所以y＝f(x)的图象关于y轴对称，所以f(x)＝0的所有实根之和为0.
5．设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x1<0且x1＋x2>0，则( )
A．f(－x1)>f(－x2)
B．f(－x1)＝f(－x2)
C．f(－x1)D．f(－x1)与f(－x2)的大小不确定
考点 抽象函数单调性与奇偶性
题点 抽象函数单调性与不等式结合问题
答案 A
解析 ∵x1<0，x1＋x2>0，
∴x2>－x1>0，
又f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
∴f(x2)∵f(x)是偶函数，
∴f(－x2)＝f(x2)6．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋1，则f(－2)＋f(0)＝________.
答案 －5
解析 由题意知f(－2)＝－f(2)＝－(22＋1)＝－5，f(0)＝0，
∴f(－2)＋f(0)＝－5.
7．已知奇函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(x)考点 抽象函数单调性与奇偶性
题点 抽象函数单调性与不等式结合问题
答案 (－∞，1)
解析 由于f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且是奇函数，
所以f(x)在R上单调递增，
f(x)8．若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的排列是________．
答案 f(－2)解析 ∵f(x)是偶函数，
∴f(－x)＝f(x)恒成立，
即(m－1)x2－6mx＋2＝(m－1)x2＋6mx＋2恒成立，
∴m＝0，即f(x)＝－x2＋2.
∵f(x)的图象开口向下，对称轴为y轴，在[0，＋∞)上单调递减，
∴f(2)即f(－2)9．已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3.
(1)试求f(x)在R上的解析式；
(2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间．
考点 单调性与奇偶性的综合应用
题点 求奇偶函数的单调区间
解 (1)因为函数f(x)的图象关于原点对称，
所以f(x)为奇函数，则f(0)＝0.
设x<0，则－x>0，
因为当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3.
所以当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x＋3)＝－x2－2x－3.
于是有f(x)＝
(2)先画出函数在y轴右侧的图象，再根据对称性画出y轴左侧的图象，如图．
由图象可知函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－1]，[1，＋∞)，单调递减区间是(－1,0)，(0,1)．
10．已知函数f(x)＝ax＋＋c(a，b，c是常数)是奇函数，且满足f(1)＝，f(2)＝.
(1)求a，b，c的值；
(2)试判断函数f(x)在区间上的单调性并证明．
考点 单调性与奇偶性的综合应用
题点 判断或证明奇偶函数在某区间上的单调性
解 (1)∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴－ax－＋c＝－ax－－c，
∴c＝0，∴f(x)＝ax＋.
又∵f(1)＝，f(2)＝，
∴
∴a＝2，b＝.
综上，a＝2，b＝，c＝0.
(2)由(1)可知f(x)＝2x＋.
函数f(x)在区间上为减函数．
证明如下：
任取0则f(x1)－f(x2)＝2x1＋－2x2－
＝(x1－x2)
＝(x1－x2).
∵0∴x1－x2<0,2x1x2>0,4x1x2－1<0.
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
∴f(x)在上为减函数．
11．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为( )
A．(－1,0)∪(1，＋∞)
B．(－∞，－1)∪(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．(－1,0)∪(0,1)
答案 C
解析 ∵f(x)为奇函数，<0，
即<0，
∵f(x)在(0，＋∞)上为减函数且f(1)＝0，
∴当x>1时，f(x)<0.
∵奇函数图象关于原点对称，
∴在(－∞，0)上f(x)为减函数且f(－1)＝0，
即x<－1时，f(x)>0.
综上使<0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
12．已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)对任意实数x，y都成立，则函数f(x)是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数，也是偶函数
D．既不是奇函数，也不是偶函数
答案 A
解析 令x＝y＝0，所以f(0)＝f(0)＋f(0)，
所以f(0)＝0.
又因为f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＝0，
所以f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数，故选A.
13．已知y＝f(x)＋x2是奇函数且f(1)＝1，若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________.
考点 函数奇偶性的应用
题点 利用奇偶性求函数值
答案 －1
解析 ∵y＝f(x)＋x2是奇函数，
∴f(－x)＋(－x)2＝－[f(x)＋x2]，
∴f(x)＋f(－x)＋2x2＝0，∴f(1)＋f(－1)＋2＝0.
∵f(1)＝1，∴f(－1)＝－3.
∵g(x)＝f(x)＋2，∴g(－1)＝f(－1)＋2＝－3＋2＝－1.
14．已知定义在R上的函数f(x)满足f(1－x)＝f(1＋x)，且f(x)在[1，＋∞)上为单调减函数，则当x＝________时，f(x)取得最大值；若不等式f(0)答案 1 (0,2)
解析 由f(1－x)＝f(1＋x)知，f(x)的图象关于直线x＝1对称，又f(x)在(1，＋∞)上单调递减，则f(x)在(－∞，1]上单调递增，所以当x＝1时f(x)取到最大值．由对称性可知f(0)＝f(2)，所以f(0)15．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)等于( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
考点 函数奇偶性的应用
题点 利用奇偶性求函数的解析式
答案 C
解析 ∵f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，
∴f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1.
∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．
∴f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1.
∴f(1)＋g(1)＝－1＋1＋1＝1.
16．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a，b∈R，当a＋b≠0时，都有>0.
(1)若a>b，试比较f(a)与f(b)的大小关系；
(2)若f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，求实数m的取值范围．
解 (1)因为a>b，所以a－b>0，
由题意得>0，
所以f(a)＋f(－b)>0.
又f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(－b)＝－f(b)，
所以f(a)－f(b)>0，即f(a)>f(b)．
(2)由(1)知f(x)为R上的单调递增函数，
因为f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，所以f(1＋m)≥－f(3－2m)，
即f(1＋m)≥f(2m－3)，
所以1＋m≥2m－3，所以m≤4.
所以实数m的取值范围为(－∞，4]．
课件33张PPT。第2课时 奇偶性的应用第三章 3.2.2 奇偶性学习目标XUEXIMUBIAO1.掌握用奇偶性求解析式的方法.
2.理解奇偶性对单调性的影响并能用以比较大小、求最值和解不等式.NEIRONGSUOYIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PART ONE知识点一 用奇偶性求解析式如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，想求关于原点的对称区间
[－b，－a]上的解析式，其解决思路为：
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设.
(2)要利用已知区间的解析式进行代入.
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x).知识点二 奇偶性与单调性若函数f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性；若函数f(x)为偶函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性.1.若f(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数，则f(0)＝________.
2.若f(x)为R上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递减，则f(－1)________f(1).(填“>”“＝”或“<”)预习小测 自我检验YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN0>解析 f(x)为R上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递减，
∴f(x)在R上单调递减，
∴f(－1)>f(1).3.如果奇函数f(x)在区间[－7，－3]上是减函数，那么函数f(x)在区间[3,7]上是_____函数.减解析 ∵f(x)为奇函数，
∴f(x)在[3,7]上的单调性与[－7，－3]上一致，
∴f(x)在[3,7]上是减函数.4.函数f(x)为偶函数，若x>0时，f(x)＝x，则x<0时，f(x)＝________.－x解析 方法一 令x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝－x，
又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
∴f(x)＝－x(x<0).
方法二 利用图象(图略)可得x<0时，f(x)＝－x.2题型探究PART TWO命题角度1 求对称区间上的解析式
例1 函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，求当x<0时，f(x)的解析式.一、利用函数的奇偶性求解析式多维探究解 设x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，
又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数，
∴当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－x－1.求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式.跟踪训练1 已知f(x)是R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋x)，求f(x)的解析式.解 因为x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，
所以f(－x)＝－x[1＋(－x)]＝x(x－1).
因为f(x)是R上的奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)＝－x(x－1)，x∈(－∞，0).
f(0)＝0.命题角度2 构造方程组求解析式解 ∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，用－x代替x，跟踪训练2 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x，求函数f(x)，g(x)的解析式.解 ∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
由f(x)＋g(x)＝2x＋x2. ①
用－x代替x，
得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2，
∴f(x)－g(x)＝－2x＋x2， ②
(①＋②)÷2，得f(x)＝x2；
(①－②)÷2，得g(x)＝2x.二、利用函数的奇偶性与单调性比较大小例3 设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是
A.f(π)>f(－3)>f(－2) B.f(π)>f(－2)>f(－3)
C.f(π)所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2).
又当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，且π>3>2，
所以f(π)>f(3)>f(2)，故f(π)>f(－3)>f(－2).利用函数的奇偶性与单调性比较大小
(1)自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；
(2)自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小.跟踪训练3 (1)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，则f(1)和f(－10)的大小关系为
A.f(1)>f(－10) B.f(1)C.f(1)＝f(－10) D.f(1)和f(－10)关系不定√解析 ∵f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，
∴f(－10)＝f(10)b>0，下列不等式中成立的有___________.(填序号)
①f(a)>f(－b)； ②f(－a)>f(b)； ③g(a)>g(－b)； ④g(－a)⑤g(－a)>f(－a).①③⑤解析 f(x)为R上奇函数，增函数，且a>b>0，∴f(a)>f(b)>f(0)＝0，
又－a<－b<0，∴f(－a)f(b)>0>f(－b)>f(－a)，
∴①正确，②错误.
x∈[0，＋∞)时，g(x)＝f(x)，
∴g(x)在[0，＋∞)上单调递增，
∴g(－a)＝g(a)>g(b)＝g(－b)，∴③正确，④错误.
又g(－a)＝g(a)＝f(a)>f(－a)，∴⑤正确.三、利用函数的奇偶性与单调性解不等式{x|－33}解析 ∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数，
∴f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数.
∴f(3)＝f(－3)＝0.
当x>0时，由f(x)<0，解得x>3；
当x<0时，由f(x)>0，解得－3故所求解集为{x|－33}.解析 由于f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，√利用函数奇偶性与单调性解不等式，一般有两类
(1)利用图象解不等式；
(2)转化为简单不等式求解.
①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)f(x2)的形式；
②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解.跟踪训练4 设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上是减函数，若f(1－m)所以f(x)在[－2,2]上是减函数.3随堂演练PART THREE123451.若函数f(x)是R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数，则下列关系成立的是
A.f(－3)>f(0)>f(1) B.f(－3)>f(1)>f(0)
C.f(1)>f(0)>f(－3) D.f(1)>f(－3)>f(0)√解析 ∵f(－3)＝f(3)，且f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，
∴f(－3)>f(1)>f(0).123452.定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，若f(a)A.ab
C.|a|<|b| D.0≤ab≥0√134523.已知函数f(x)为偶函数，且当x<0时，f(x)＝x＋1，则x>0时，f(x)＝________.－x＋1解析 当x>0时，－x<0，∴f(－x)＝－x＋1，
又f(x)为偶函数，∴f(x)＝－x＋1.134524.奇函数f(x)在区间[0，＋∞)上的图象如图,则函数f(x)的增区间为_____________________.(－∞，－1]，[1，＋∞)解析 奇函数的图象关于原点对称，可知函数f(x)的增区间为(－∞，－1]，[1，＋∞).134525.已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________.(－1,3)解析 因为f(x)是偶函数，所以f(x－1)＝f(|x－1|).
又因为f(2)＝0，
所以f(x－1)>0可化为f(|x－1|)>f(2).
又因为f(x)在[0，＋∞)上单调递减，
所以|x－1|<2，解得－2所以－1(1)利用奇偶性，求函数的解析式.
(2)利用奇偶性和单调性比较大小、解不等式.
2.方法归纳：
利用函数的奇偶性、单调性画出函数的简图，利用图象解不等式和比较大小，体现了数形结合思想和直观想象数学素养.
3.常见误区：解不等式易忽视函数的定义域.本课结束