4．1 指 数
4．1.1 n次方根与分数指数幂
学习目标 1.理解n次方根、n次根式的概念.2.能正确运用根式运算性质化简、求值.3.学会根式与分数指数幂之间的相互转化．
知识点一 n次方根、n次根式
1．a的n次方根的定义
一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
2．a的n次方根的表示
n的奇偶性
a的n次方根的表示符号
a的取值范围
n为奇数
a∈R
n为偶数
±
[0，＋∞)
3.根式
式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
知识点二 根式的性质
1.＝0(n∈N*，且n>1)．
2．()n＝a(a≥0，n∈N*，且n>1)．
3.＝a(n为大于1的奇数)．
4.＝|a|＝(n为大于1的偶数)．
知识点三 分数指数幂的意义
分数指数幂
正分数指数幂
规定：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)
负分数指数幂
规定：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)
0的分数指数幂
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义
知识点四 有理数指数幂的运算性质
整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
1．当n∈N*时，()n都有意义．( × )
2．( × )
3．a2·＝a.( × )
4．分数指数幂可以理解为个a相乘．( × )
一、n次方根的概念
例1 (1)若81的平方根为a，－8的立方根为b，则a＋b＝________.
答案 7或－11
解析 81的平方根为－9或9，
即a＝－9或9，
－8的立方根为－2，即b＝－2，
∴a＋b＝－11或7.
(2)若有意义，求实数x的取值范围．
解 ∵有意义，
∴x－2≥0，
∴x≥2，
即x的取值范围是[2，＋∞)．
反思感悟 (1)方根个数：正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个．
(2)符号：根式的符号由根指数n的奇偶性及被开方数a的符号共同确定．
①当n为偶数，且a≥0时，为非负实数；
②当n为奇数时，的符号与a的符号一致．
跟踪训练1 (1)已知x7＝8，则x等于( )
A．2 B. C．－ D．±
答案 B
解析 因为7为奇数，8的7次方根只有一个.
(2)若有意义，则x的取值范围是________；
若有意义，则x的取值范围是________．
答案 R
二、利用根式的性质化简或求值
例2 化简：
(1)；
(2)(a>b)；
(3)()2＋＋.
考点 根式的化简
题点 根据根式的意义进行化简
解 (1)＝|3－π|＝π－3.
(2)∵a>b，∴＝|a－b|＝a－b.
(3)由题意知a－1≥0，即a≥1.原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.
反思感悟 (1)n为奇数时n＝＝a，a为任意实数．
(2)n为偶数时，a≥0，n才有意义，且n＝a；
而a为任意实数时均有意义，且＝|a|.
跟踪训练2 化简：
(1)；
(2)(a≤1)；
(3)＋.
考点 根式的化简
题点 根据根式的意义进行化简
解 (1)＝－2.
(2)∵a≤1，∴＝|3a－3|＝3|a－1|＝3－3a.
(3)＋＝a＋|1－a|＝
三、根式与分数指数幂的互化
例3 (1)下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )
A．－＝(x>0)
B.＝(y<0)
C．＝(x>0)
D．＝－(x≠0)
答案 C
解析 －＝(x>0)；
＝＝(y<0)；
＝(x>0)；
＝(x≠0)．
(2)将下列根式化成分数指数幂的形式(其中a>0，b>0)．
①·；
② ；
③()2·.
解 ①·＝
②原式＝
③原式＝
反思感悟 根式与分数指数幂的互化
(1)根指数化为分数指数的分母，被开方数(式)的指数化为分数指数的分子．
(2)在具体计算时，如果底数相同，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．
跟踪训练3 把下列根式表示为分数指数幂的形式，把分数指数幂表示为根式的形式：
(1)(a>b)； (2)；
(3)； (4)
解 (1)＝；
(2)＝
(3)＝
(4)＝.
1．已知＝a－b，则( )
A．a>b B．a≥b
C．a
答案 B
解析 ＝|a－b|＝a－b，
所以a－b≥0，所以a≥b，故选B.
2．在①；②，③，④中，n∈N*，a∈R时各式子有意义的是( )
A．①② B．①③
C．①②③④ D．①②④
答案 B
3．化简·的结果为( )
A．－ B．－ C. D.
考点 根式与分数指数幂的互化
题点 根式化为分数指数幂
答案 A
解析 显然a≥0.
∴·＝＝－.
4.－1－4·(－2)－3＋0－＝________.
答案
解析 原式＝2－4×＋1－
＝2＋＋1－＝.
5．化简·＝________.
答案
解析 要使原式有意义，则a－1>0.
·＝|1－a|·
＝(a－1)·＝＝.
1．知识清单：
(1)n次方根的概念、表示及性质．
(2)根式的性质．
(3)根式与分数指数幂的互化．
2．常见误区：
(1)根式中根指数要求n>1且n∈N*.
(2)对于，当n为偶数时，a≥0.
1．已知m10＝2，则m等于( )
A. B．－ C. D．±
考点 n次方根及根式概念
题点 n次方根及根式概念
答案 D
解析 ∵m10＝2，∴m是2的10次方根．
又∵10是偶数，∴2的10次方根有两个，且互为相反数．
∴m＝±.故选D.
2．若2A．5－2a B．2a－5 C．1 D．－1
考点 根式的化简
题点 条件根式的化简
答案 C
解析 ∵20，a－3<0，
∴＋＝|2－a|＋|3－a|
＝a－2＋3－a＝1.
3．下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是( )
A．和 B．0－2和
C．和 D．和－3
答案 C
解析 选项A中，和均符合分数指数幂的定义，但＝＝－1，＝＝1，故A不满足题意；
选项B中，0的负指数幂没有意义，故B不满足题意；
选项D中，和－3虽符合分数指数幂的定义，但值不相等，故D不满足题意；
选项C中，＝，＝＝＝，满足题意．
故选C.
4.0－(1－0.5－2)÷的值为( )
A．－ B. C. D.
答案 D
解析 原式＝1－(1－22)÷2＝1－(－3)×＝.故选D.
5．设a>0，将表示成分数指数幂的形式，其结果是( )
A． B． C． D．
答案 C
解析 ＝＝＝
＝a2·＝＝.
6．若x≠0，则|x|－＋＝________.
答案 1
解析 ∵x≠0，∴原式＝|x|－|x|＋＝1.
7．若＋＝0，则(x2 019)y＝________.
答案 －1
解析 因为＋＝0，
所以＋＝|x＋1|＋|y＋3|＝0，
所以x＝－1，y＝－3.
所以(x2 019)y＝[(－1)2 019]－3＝(－1)－3＝－1.
8.－＋的值为________．
答案
解析 原式＝－＋＝－＋＝.
9．计算下列各式的值．
(1)；(2)；(3)；(4).
解 (1)11 (2) (3) (4)
10．计算：
(1)；(2)2××；
(3)－＋；
(4)＋－.
考点 根式的化简
题点 根据根式的意义进行化简
解 (1)原式＝＝＝＝.
(2)原式＝2×××＝2×＝6.
(3)原式＝－＋
＝－＋2＝3.
(4)原式＝－8＋|－2|－(2－)
＝－8＋2－－2＋
＝－8.
11.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋0.1的图象如图所示，则的值为( )
A．a＋b B．－(a＋b)
C．a－b D．b－a
答案 D
解析 由题图知f(－1)＝a－b＋0.1<0，
∴a－b<0.
∴＝|a－b|＝－(a－b)＝b－a.
12．若代数式＋有意义，则＋2＝________.
答案 3
解析 ∵＋有意义，
∴即
∴≤x≤2.
∴＋2
＝＋2
＝|2x－1|＋2|x－2|＝2x－1＋2(2－x)＝3.
13．计算：·(3＋3)＋＝________.
答案 4
解析 原式＝·(3＋3)＋
＝(1－)(1＋)＋5＝4.
14．若＋4＝0，则x＝________，x2 019＋y2 020＝________.
答案 1 2
解析 依题意有得x＝1，y＝－1，
∴x2 019＋y2 020＝2.
15．设f(x)＝，若0考点 根式的化简
题点 条件根式的化简
答案 －a
解析 f ＝＝
＝＝，
因为0故f ＝－a.
16．已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a>b>0，求的值．
解 因为a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，
所以
因为>，2＝
＝＝＝，
所以＝＝.
课件34张PPT。4.1.1 n次方根与分数指数幂第四章 4.1 指 数学习目标XUEXIMUBIAO1.理解n次方根、n次根式的概念.
2.能正确运用根式运算性质化简、求值.
3.学会根式与分数指数幂之间的相互转化.NEIRONGSUOYIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PART ONE知识点一 n次方根、n次根式1.a的n次方根的定义
一般地，如果 ，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
2.a的n次方根的表示xn＝a3.根式
式子 叫做根式，这里n叫做 ，a叫做被开方数.根指数知识点二 根式的性质0aa-a知识点三 分数指数幂的意义0无意义知识点四 有理数指数幂的运算性质整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q).2. ( )思考辨析 判断正误SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU××3.a2· ＝a.( )××2题型探究PART TWO例1 (1)若81的平方根为a，－8的立方根为b，则a＋b＝________.一、n次方根的概念7或－11解析 81的平方根为－9或9，
即a＝－9或9，
－8的立方根为－2，即b＝－2，
∴a＋b＝－11或7.∴x－2≥0，
∴x≥2，
即x的取值范围是[2，＋∞).反思感悟(1)方根个数：正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个.
(2)符号：根式 的符号由根指数n的奇偶性及被开方数a的符号共同确定.
①当n为偶数，且a≥0时， 为非负实数；
②当n为奇数时， 的符号与a的符号一致.跟踪训练1 (1)已知x7＝8，则x等于√R二、利用根式的性质化简或求值例2 化简：解 由题意知a－1≥0，即a≥1.
原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.反思感悟跟踪训练2 化简：三、根式与分数指数幂的互化例3 (1)下列根式与分数指数幂的互化正确的是√(2)将下列根式化成分数指数幂的形式(其中a>0，b>0).解 原式＝解 原式＝反思感悟根式与分数指数幂的互化
(1)根指数化为分数指数的分母，被开方数(式)的指数化为分数指数的分子.
(2)在具体计算时，如果底数相同，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题.跟踪训练3 把下列根式表示为分数指数幂的形式，把分数指数幂表示为根式的形式：(1) (a>b)；(4)3随堂演练PART THREE12345A.a>b B.a≥b
C.aC.①②③④ D.①②④12345√13452√解析 显然a≥0.1345213452解析 要使原式有意义，则a－1>0.课堂小结KE TANG XIAO JIE1.知识清单：
(1)n次方根的概念、表示及性质.
(2)根式的性质.
(3)根式与分数指数幂的互化.
2.常见误区：
(1)根式中根指数要求n>1且n∈N*.
(2)对于 ，当n为偶数时，a≥0.本课结束 