4．1.2 无理数指数幂及其运算性质
学习目标 1.掌握用有理数指数幂的运算性质化简求值.2.了解无理数指数幂的意义．
知识点一 无理数指数幂
一般地，无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
知识点二 实数指数幂的运算性质
1．aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)．
2．(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)．
3．(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)．
预习小测 自我检验
1．计算＝________.
答案
2．下列等式一定成立的是________．(填序号)
①＝a; ②＝0；
③(a3)2＝a9; ④
答案 ④
3．若100x＝25，则10－x＝________.
答案
解析 ∵100x＝25，∴(10x)2＝52，
∴10x＝5,10－x＝(10x)－1＝5－1＝.
4．计算：π0＋2－2×＝________.
答案
一、运用指数幂运算公式化简求值
例1 计算下列各式(式中字母都是正数)：
(1)
(2)
(3)
解 (1)
＝()2＋－＝0.09＋－＝0.09.
(2)原式＝
＝
(3)原式＝＋1＝1＋1＝2.
反思感悟 一般地，进行指数幂运算时，可将系数、同类字母归在一起，分别计算；化负指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的．
跟踪训练1 计算下列各式的值(式中字母都是正数)：
(1)×0＋80.25×＋(×)6；
(2)2÷(4)·3.
解 (1)原式＝
＝＋22×33＝112.
(2)原式＝
二、分数指数幂运算的综合应用
例2 (1)已知am＝4，an＝3，求的值；
(2)已知＝3，求下列各式的值．
①a＋a－1；②a2＋a－2；③
解 (1)＝
＝.
(2)①∵∴
即a＋2＋a－1＝9，∴a＋a－1＝7.
②∵a＋a－1＝7，
∴(a＋a－1)2＝49，即a2＋2＋a－2＝49.
∴a2＋a－2＝47.
③
＝3×(7－1)＝18.
延伸探究
在本例(2)的条件下，求a2－a－2的值．
解 设y＝a2－a－2，两边平方，
得y2＝a4＋a－4－2＝(a2＋a－2)2－4＝472－4＝2 205.
所以y＝±21，即a2－a－2＝±21.
反思感悟 条件求值问题的解法
(1)求解此类问题应注意分析已知条件，通过将已知条件中的式子变形(如平方、因式分解等)，寻找已知式和待求式的关系，可考虑使用整体代换法．
(2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式．
跟踪训练2 已知x＋y＝12，xy＝9且x解
①
∵x＋y＝12，xy＝9，②
∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝122－4×9＝108.
又∵x将②③代入①，得
1．化简的结果为( )
A．5 B. C．－ D．－5
答案 B
解析
2．计算·(－3a－1b)÷得( )
A．－b2 B.b2 C． D.
答案 A
解析 原式＝
3．若10x＝，10y＝，则102x－y＝________.
答案
解析 102x－y＝(10x)2÷10y＝÷＝
4．设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________.
答案
解析 由根与系数的关系得α＋β＝－2，αβ＝.
则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝，(2α)β＝2αβ＝.
5．化简·· (m>0)＝________.
答案 1
解析 原式＝＝m0＝1.
1．知识清单：
(1)有理数指数幂的性质．
(2)无理数指数幂的性质．
2．方法归纳：根式的运算可先转化为幂的运算，最后再将结果转化为根式．
3．常见误区：在运用分数指数幂的运算性质化简时，其结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数．
1．下列等式能够成立的是( )
A.7＝·m7(m≠n，m≠0)
B.＝
C.＝(x≥0，y≥0)
D.＝
答案 D
解析 因为7＝＝n7·m－7，所以A错；
因为＝＝≠，所以B错；
因为＝(x3＋y3)≠(x＋y)，所以C错；
因为＝＝，所以D正确．
2．计算(n∈N*)的结果为( )
A. B．22n＋5
C． D.2n－7
答案 D
解析 原式＝＝＝27－2n＝2n－7.
3．＋－－2－等于( )
A．3 B．6 C. D．15
答案 A
解析 原式＝＋－(2－1)－2－
＝9＋4－1－4－－2＝9＋－4－
＝9－6＝3.
4．若a>0，且ax＝3，ay＝5，则等于( )
A．9＋ B. C．9 D．6
答案 C
解析 ＝(ax)2·(ay)＝32·5＝9.
5．设－＝m，则等于( )
A．m2－2 B．2－m2
C．m2＋2 D．m2
考点 有理数指数幂的运算性质
题点 附加条件的幂的求值
答案 C
解析 将－＝m两边平方，得＝m2，
即a－2＋a－1＝m2，所以a＋a－1＝m2＋2，
即a＋＝m2＋2，所以＝m2＋2.
6．设α，β为方程2x2＋3x＋1＝0的两个根，则α＋β＝________.
答案 8
解析 由根与系数的关系得α＋β＝－，
所以α＋β＝＝(2－2)＝23＝8.
7．化简＝________.
答案 1
解析 原式＝＝＝＝1.
8．设a2＝b4＝m(a>0，b>0)，且a＋b＝6，则m＝________.
答案 16
解析 因为a2＝b4＝m(a>0，b>0)，
所以a＝b2.
由a＋b＝6得b2＋b－6＝0，
解得b＝2或b＝－3(舍去)．
所以m＝24＝16.
9．化简下列各式(式中字母都是正数)：
(1)；
(2)(－3)(4)÷(－2)；
(3)(＋)(－)(＋)．
解 (1)＝()8()8＝m2n－3＝.
(2)原式＝[－3×4÷(－2)]·＝6a0b0＝6.
(3)原式＝[()2－()2](＋)
＝(－)(＋)
＝(－)(＋)
＝()2－()2
＝x－y.
10．计算：
(1)7－3－6＋；
(2)0.008 1－－1×－10×0.027.
考点 根式与分数指数幂的互化
题点 根式与分数指数幂的四则混合运算
解 (1)原式＝7×－3××2－6×＋(3×)＝－6×＋
＝2×－2×3×
＝2×－2×＝0.
(2)原式＝－(3×1)－1×－10×(0.33)
＝－1－×－10×0.3＝－－3＝0.
11．若100a＝5,10b＝2，则2a＋b等于( )
A．50 B．12 C．20 D．1
答案 D
解析 ∵100a＝5，∴102a＝5，
∴102a＋b＝102a·10b＝5×2＝10，
∴2a＋b＝1，故选D.
12．若a>1，b>0，ab＋a－b＝2，则ab－a－b等于( )
A. B．2或－2
C．－2 D．2
答案 D
解析 a>1，b>0，∴ab>1，∴a－b＝，
∴a－b∈(0,1)，∴ab－a－b>0，
∵ab＋a－b＝2，∴a2b＋a－2b＝6，
(ab－a－b)2＝a2b＋a－2b－2＝4，
∴ab－a－b＝2.故选D.
13．若2x＝8y＋1，9y＝3x－9，则x＋y＝________.
答案 27
解析 ∵2x＝8y＋1＝(23)y＋1＝23y＋3，
∴x＝3y＋3，①
又∵9y＝3x－9＝(32)y＝32y，
∴x－9＝2y，②
由①②得
∴x＋y＝27.
14．化简÷ (a>0，b>0)的值为________．
考点 根式与分数指数幂的互化
题点 根式与分数指数幂的乘除运算
答案
解析 原式＝÷
＝÷
＝÷
＝÷(ab)
＝
＝.
15．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c B．b>c>a
C．b>a>c D．a答案 D
解析 ＝＝＝
＝＝＝ <1，
又a>0，b>0，∴a＝＝＝
＝＝＝<1，
又b>0，c>0，∴b综上有a16．已知a＝3，求＋＋＋的值．
解 ＋＋＋
＝＋＋
＝＋＋
＝＋
＝＋＝＝－1.
课件31张PPT。4.1.2 无理数指数幂及其运算性质第四章 4.1 指 数学习目标XUEXIMUBIAO1.掌握用有理数指数幂的运算性质化简求值.
2.了解无理数指数幂的意义.NEIRONGSUOYIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PART ONE知识点一 无理数指数幂一般地，无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是一个确定的 .有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.实数知识点二 实数指数幂的运算性质1.aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R).
2.(ar)s＝ (a>0，r，s∈R).
3.(ab)r＝ (a>0，b>0，r∈R).arsarbr1.计算 ＝________.预习小测 自我检验YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN④3.若100x＝25，则10－x＝________.解析 ∵100x＝25，∴(10x)2＝52，2题型探究PART TWO例1 计算下列各式(式中字母都是正数)：一、运用指数幂运算公式化简求值(1)(3)＝1＋1＝2.一般地，进行指数幂运算时，可将系数、同类字母归在一起，分别计算；化负指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的.跟踪训练1 计算下列各式的值(式中字母都是正数)：二、分数指数幂运算的综合应用(2)已知 ＝3，求下列各式的值.
①a＋a－1；即a＋2＋a－1＝9，∴a＋a－1＝7.②a2＋a－2；解 ∵a＋a－1＝7，
∴(a＋a－1)2＝49，即a2＋2＋a－2＝49.
∴a2＋a－2＝47.＝3×(7－1)＝18.延伸探究
在本例(2)的条件下，求a2－a－2的值.解 设y＝a2－a－2，两边平方，
得y2＝a4＋a－4－2＝(a2＋a－2)2－4＝472－4＝2 205.条件求值问题的解法
(1)求解此类问题应注意分析已知条件，通过将已知条件中的式子变形(如平方、因式分解等)，寻找已知式和待求式的关系，可考虑使用整体代换法.
(2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式.∵x＋y＝12，xy＝9， ②
∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝122－4×9＝108.3随堂演练PART THREE12345√12345√13452解析 102x－y＝(10x)2÷10y134524.设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝_____，(2α)β＝______.134521课堂小结KE TANG XIAO JIE1.知识清单：
(1)有理数指数幂的性质.
(2)无理数指数幂的性质.
2.方法归纳：根式的运算可先转化为幂的运算，最后再将结果转化为根式.
3.常见误区：在运用分数指数幂的运算性质化简时，其结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数.本课结束
