4．2 指数函数
4．2.1 指数函数的概念
学习目标 1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性.2.了解指数增长型和指数衰减型在实际问题中的应用．
知识点一 指数函数的定义
一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.
思考 为什么底数应满足a>0且a≠1?
答案 ①当a≤0时，ax可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，ax＝1 (x∈R)，无研究价值．因此规定y＝ax中a>0，且a≠1.
知识点二 两类指数模型
1．y＝kax(k>0)，当a>1时为指数增长型函数模型．
2．y＝kax(k>0)，当0
1．y＝xx(x>0)是指数函数．( × )
2．y＝ax＋2(a>0且a≠1)是指数函数．( × )
3．y＝x是指数衰减型函数模型．( √ )
4．若f(x)＝ax为指数函数，则a>1.( × )
一、指数函数的概念
例1 (1)下列函数中是指数函数的是________．(填序号)
①y＝2·()x；②y＝2x－1；③y＝x；④⑤
(2)若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则实数a＝________.
答案 (1)③ (2)2
解析 (1)①中指数式()x的系数不为1，故不是指数函数；②中y＝2x－1，指数位置不是x，故不是指数函数；④中指数不是x，故不是指数函数；⑤中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数函数，故填③.
(2)由y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，可得解得a＝2.
反思感悟 判断一个函数是否为指数函数的方法
(1)底数的值是否符合要求；
(2)ax前的系数是否为1；
(3)指数是否符合要求．
跟踪训练1 (1)若函数y＝a2(2－a)x是指数函数，则( )
A．a＝1或－1 B．a＝1
C．a＝－1 D．a>0且a≠1
答案 C
解析 因为函数y＝a2(2－a)x是指数函数，
所以解得a＝－1.
(2)若函数y＝(2a－3)x是指数函数，则实数a的取值范围是________________．
答案 ∪(2，＋∞)
解析 由题意知解得a>且a≠2.
二、求指数函数的解析式、函数值
例2 (1)已知函数f(x)是指数函数，且f ＝，则f(3)＝________.
答案 125
解析 设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，
由f ＝得
所以a＝5，即f(x)＝5x，所以f(3)＝53＝125.
(2)已知函数y＝f(x)，x∈R，且f(0)＝3，＝，＝，…，＝，n∈N*，求函数y＝f(x)的一个解析式．
解 当x增加1时函数值都以的衰减率衰减，
∴函数f(x)为指数衰减型，
令f(x)＝kx(k≠0)，
又f(0)＝3，∴k＝3，
∴f(x)＝3·x.
反思感悟 解决此类问题的关键是观察出函数是指数增长型还是指数衰减型，然后用待定系数法设出函数解析式，再代入已知条件求解．
跟踪训练2 已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)经过点(－1,5)，(0,4)，则f(－2)的值为________．
答案 7
解析 由已知得解得
所以f(x)＝x＋3，
所以f(－2)＝－2＋3＝4＋3＝7.
三、指数增长型和指数衰减型函数的实际应用
例3 甲、乙两城市现有人口总数都为100万人，甲城市人口的年自然增长率为1.2%，乙城市每年增长人口1.3万．试解答下面的问题：
(1)写出两城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；
(2)计算10年、20年、30年后两城市的人口总数(精确到0.1万人)；
(3)对两城市人口增长情况作出分析．
参考数据：(1＋1.2%)10≈1.127，(1＋1.2%)20≈1.269，(1＋1.2%)30≈1.430.
解 (1)1年后甲城市人口总数为
y甲＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)；
2年后甲城市人口总数为
y甲＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2；
3年后甲城市人口总数为
y甲＝100×(1＋1.2%)3；
…；
x年后甲城市人口总数为y甲＝100×(1＋1.2%)x.
x年后乙城市人口总数为y乙＝100＋1.3x.
(2)10年、20年、30年后，甲、乙两城市人口总数(单位：万人)如表所示.
10年后
20年后
30年后
甲
112.7
126.9
143.0
乙
113
126
139
(3)甲、乙两城市人口都逐年增长，而甲城市人口增长的速度快些，呈指数增长型，乙城市人口增长缓慢，呈线性增长．从中可以体会到，不同的函数增长模型，增长变化存在很大差异．
反思感悟 解决有关增长率问题的关键和措施
(1)解决这类问题的关键是理解增长(衰减)率的意义：增长(衰减)率是所研究的对象在“单位时间”内比它在“前单位时间”内的增长(衰减)率，切记并不总是只和开始单位时间内的比较．
(2)具体分析问题时，应严格计算并写出前3～4个单位时间的具体值，通过观察、归纳出规律后，再概括为数学问题，最后求解数学问题即可．
(3)在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示，通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．
跟踪训练3 中国共产党第十八届中央委员会第五次全体会议认为，到2020年全面建成小康社会，是我们党确定的“两个一百年”奋斗目标的第一个百年奋斗目标．全会提出了全面建成小康社会新的目标要求：经济保持中高速增长，在提高发展平衡性、包容性、可持续性的基础上，到2020年国内生产总值和城乡居民人均收入比2010年翻一番，产业迈向中高端水平，消费对经济增长贡献明显加大，户籍人口城镇化率加快提高．
设从2011年起，城乡居民人均收入每一年比上一年都增长p%.下面给出了依据“到2020年城乡居民人均收入比2010年翻一番”列出的关于p的四个关系式：
①(1＋p%)×10＝2；
②(1＋p%)10＝2；
③10(1＋p%)＝2；
④1＋10×p%＝2.
其中正确的是( )
A．① B．② C．③ D．④
答案 B
解析 已知从2011年起，城乡居民人均收入每一年比上一年都增长p%.
则由到2020年城乡居民人均收入比2010年翻一番，可得：(1＋p%)10＝2；
正确的关系式为②.
1．下列函数：
①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3.
其中，指数函数的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 ①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；
②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；
③中，y＝3x，3x的系数是1，指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；
④中，y＝x3中底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．
所以只有③是指数函数．故选B.
2．若函数y＝(m2－m－1)·mx是指数函数，则m等于( )
A．－1或2 B．－1
C．2 D.
答案 C
解析 依题意，有
解得m＝2(舍m＝－1)，故选C.
3．如表给出函数值y随自变量x变化的一组数据，由此可判断它最可能的函数模型为( )
x
－2
－1
0
1
2
3
y
1
4
16
64
A.一次函数模型 B．二次函数模型
C．指数函数模型 D．幂函数模型
答案 C
解析 观察数据可得y＝4x.
4．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系式是( )
A．y＝2x B．y＝2x－1
C．y＝2x D．y＝2x＋1
答案 D
解析 分裂一次后由2个变成2×2＝22(个)，分裂两次后变成4×2＝23(个)，…，分裂x次后变成y＝2x＋1(个)．
5．f(x)为指数函数，若f(x)过点(－2,4)，则f(f(－1))＝________.
答案
解析 设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，
所以f(－2)＝4，a－2＝4，解得a＝，
所以f(x)＝x，
所以f(－1)＝－1＝2，
所以f(f(－1))＝f(2)＝2＝.
1．知识清单：
(1)指数函数的定义．
(2)指数增长型和指数衰减型函数模型．
2．方法归纳：待定系数法．
3．常见误区：易忽视底数a的限制条件：a>0且a≠1.
1．下列函数中，指数函数的个数为( )
①y＝x－1；
②y＝ax(a>0，且a≠1)；
③y＝1x；
④y＝2x－1.
A．0 B．1 C．3 D．4
答案 B
解析 由指数函数的定义可判定，只有②正确．
2．若函数f(x)＝·ax是指数函数，则f 的值为( )
A．2 B．－2 C．－2 D．2
答案 D
解析 因为函数f(x)是指数函数，
所以a－3＝1，所以a＝8，
所以f(x)＝8x，f ＝＝2.
3．下列函数关系中，可以看作是指数型函数y＝kax(k∈R，a>0且a≠1)的模型的是( )
A．竖直向上发射的信号弹，从发射开始到信号弹到达最高点，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)
B．我国人口年自然增长率为1%时，我国人口总数与年份的关系
C．如果某人t s内骑车行进了1 km，那么此人骑车的平均速度v与时间t的函数关系
D．信件的邮资与其重量间的函数关系
答案 B
解析 A中的函数模型是二次函数；
B中的函数模型是指数型函数；
C中的函数模型是反比例函数；
D中的函数模型是一次函数．故选B.
4．据报道，某淡水湖的湖水在50年内减少了10%，若每年以相同的衰减率呈指数衰减，按此规律，设2019年的湖水量为m，从2019年起，经过x年后湖水量y与x的函数关系为( )
A．y＝
B．y＝(1－)m
C．y＝m
D．y＝(1－0.150x)m
答案 C
解析 方法一 设每年的衰减率为q%，
则(q%)50＝0.9，
所以q%＝，
所以x年后的湖水量y＝m.
方法二 设每年的衰减率为q%，
则(1－q%)50＝0.9，所以q%＝1－，
所以y＝m·[1－(1－)]x＝m.
5．下列函数图象中，有可能表示指数函数的是( )
答案 C
解析 A为一次函数；B为反比例函数；D为二次函数；选项C的图象呈指数衰减，是指数衰减型函数模型，故选C.
6．已知函数f(x)＝＋3(a>0且a≠1)，若f(1)＝4，则f(－1)＝________.
答案 0
解析 由f(1)＝4得a＝3，把x＝－1代入f(x)＝＋3得到f(－1)＝0.
7．若函数f(x)＝(a2－2a＋2)(a＋1)x是指数函数，则a＝________.
答案 1
解析 由指数函数的定义得解得a＝1.
8．已知某种放射性物质经过100年剩余质量是原来质量的95.76%，设质量为1的这种物质，经过x年后剩余质量为y，则x，y之间的关系式是________．
答案 y＝
解析 设质量为1的物质1年后剩余质量为a，
则a100＝0.957 6.
所以a＝，
所以y＝ax＝.
9．已知函数f(x)＝2x＋2ax＋b，且f(1)＝，f(2)＝.求a，b的值．
解 由题意得
即
所以解得
10．有一种树栽植5年后可成材．在栽植后5年内，该种树的产量年增长率为20%，如果不砍伐，从第6年到第10年，该种树的产量年增长率为10%，现有两种砍伐方案：
甲方案：栽植5年后不砍伐，等到10年后砍伐．
乙方案：栽植5年后砍伐重栽，然后过5年再砍伐一次．
请计算后回答：10年内哪一个方案可以得到较多的木材？
解 设该种树的最初栽植量为a，甲方案在10年后的木材产量为y1＝a(1＋20%)5(1＋10%)5＝a(1.2×1.1)5≈4.01a.
乙方案在10年后的木材产量为
y2＝2a(1＋20%)5＝2a·1.25≈4.98a.
y1－y2＝4.01a－4.98a<0，
因此，乙方案能获得更多的木材．
11．已知函数f(x)＝则f 等于( )
A．4 B. C．－4 D．－
答案 B
解析 ∵f ＝1－＝1－3＝－2，
∴f ＝f(－2)＝2－2＝.
12．某股民购买一公司股票10万元，在连续十个交易日内，前5个交易日，平均每天上涨5%，后5个交易日内，平均每天下跌4.9%，则股民的股票盈亏情况(不计其他成本，精确到元)为( )
A．赚723元 B．赚145元
C．亏145元 D．亏723元
答案 D
解析 由题意得10×(1＋5%)5×(1－4.9%)5
≈10×0.992 77＝9.927 7；
100 000－99 277＝723，
故股民亏723元，故选D.
13．若函数y＝(m2－5m＋5)x是指数函数，且为指数增长型函数模型，则实数m＝________.
答案 1
解析 依题意知解得m＝1(舍m＝4)．
14．已知函数f(x)为指数函数且f ＝，则f(－2)＝________，f(f(－1))＝________.
答案
解析 设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，
∴＝＝，∴a＝3，
∵f(x)＝3x，∴f(－2)＝，
f(f(－1))＝f ＝＝.
15．某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知该年9月份两食堂的营业额又相等，则该年5月份( )
A．甲食堂的营业额较高
B．乙食堂的营业额较高
C．甲、乙两食堂的营业额相等
D．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高
答案 A
解析 设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加a(a>0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x.由题意，可得m＋8a＝m(1＋x)8，则5月份甲食堂的营业额y1＝m＋4a，乙食堂的营业额y2＝m(1＋x)4＝，因为y－y＝(m＋4a)2－m(m＋8a)＝16a2>0，所以y1>y2，故该年5月份甲食堂的营业额较高．
16．某公司拟投资100万元，有两种获利的情况可供选择：一种是年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年后可多得利息多少元？
解 ①本金100万元，年利率10%，按单利计算，5年后的本利和是100×(1＋10%×5)＝150(万元)．②本金100万元，年利率9%，按每年复利一次计算，5年后的本利和是100×(1＋9%)5≈153.86(万元)．由①②可见，按年利率9%每年复利一次计算的，要比按年利率10%单利计算的更有利，5年后可多得利息3.86万元．
课件33张PPT。4.2.1 指数函数的概念第四章 4.2 指数函数学习目标XUEXIMUBIAO1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性.
2.了解指数增长型和指数衰减型在实际问题中的应用.NEIRONGSUOYIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PART ONE知识点一 指数函数的定义一般地，函数 (a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是 .y＝axR思考 为什么底数应满足a>0且a≠1?答案 ①当a≤0时，ax可能无意义；
②当a>0时，x可以取任何实数；
③当a＝1时，ax＝1 (x∈R)，无研究价值.因此规定y＝ax中a>0，且a≠1.知识点二 两类指数模型1.y＝kax(k>0)，当 时为指数增长型函数模型.
2.y＝kax(k>0)，当 时为指数衰减型函数模型.a>100)是指数函数.( )
2.y＝ax＋2(a>0且a≠1)是指数函数.( )
3.y＝ 是指数衰减型函数模型.( )
4.若f(x)＝ax为指数函数，则a>1.( )××√×2题型探究PART TWO例1 (1)下列函数中是指数函数的是________.(填序号)一、指数函数的概念③解析 ①中指数式( )x的系数不为1，故不是指数函数；②中y＝2x－1，指数位置不是x，故不是指数函数；
④中指数不是x，故不是指数函数；
⑤中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数函数，故填③.(2)若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则实数a＝________.2解析 由y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，反思感悟判断一个函数是否为指数函数的方法
(1)底数的值是否符合要求；
(2)ax前的系数是否为1；
(3)指数是否符合要求.跟踪训练1 (1)若函数y＝a2(2－a)x是指数函数，则
A.a＝1或－1 B.a＝1
C.a＝－1 D.a>0且a≠1√解析 因为函数y＝a2(2－a)x是指数函数，(2)若函数y＝(2a－3)x是指数函数，则实数a的取值范围是__________________.二、求指数函数的解析式、函数值125解析 设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，所以a＝5，即f(x)＝5x，所以f(3)＝53＝125.∴函数f(x)为指数衰减型，又f(0)＝3，∴k＝3，反思感悟解决此类问题的关键是观察出函数是指数增长型还是指数衰减型，然后用待定系数法设出函数解析式，再代入已知条件求解.跟踪训练2 已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)经过点(－1,5)，(0,4)，则f(－2)的值为________.7三、指数增长型和指数衰减型函数的实际应用例3 甲、乙两城市现有人口总数都为100万人，甲城市人口的年自然增长率为1.2%，乙城市每年增长人口1.3万.试解答下面的问题：
(1)写出两城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；解 1年后甲城市人口总数为
y甲＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)；
2年后甲城市人口总数为
y甲＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2；
3年后甲城市人口总数为
y甲＝100×(1＋1.2%)3；
…；
x年后甲城市人口总数为y甲＝100×(1＋1.2%)x.
x年后乙城市人口总数为y乙＝100＋1.3x.(2)计算10年、20年、30年后两城市的人口总数(精确到0.1万人)；解 10年、20年、30年后，甲、乙两城市人口总数(单位：万人)如表所示.(3)对两城市人口增长情况作出分析.
参考数据：(1＋1.2%)10≈1.127，(1＋1.2%)20≈1.269，(1＋1.2%)30≈1.430.解 甲、乙两城市人口都逐年增长，而甲城市人口增长的速度快些，呈指数增长型，乙城市人口增长缓慢，呈线性增长.
从中可以体会到，不同的函数增长模型，增长变化存在很大差异.反思感悟解决有关增长率问题的关键和措施
(1)解决这类问题的关键是理解增长(衰减)率的意义：增长(衰减)率是所研究的对象在“单位时间”内比它在“前单位时间”内的增长(衰减)率，切记并不总是只和开始单位时间内的比较.
(2)具体分析问题时，应严格计算并写出前3～4个单位时间的具体值，通过观察、归纳出规律后，再概括为数学问题，最后求解数学问题即可.
(3)在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示，通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式.跟踪训练3 中国共产党第十八届中央委员会第五次全体会议认为，到2020年全面建成小康社会，是我们党确定的“两个一百年”奋斗目标的第一个百年奋斗目标.全会提出了全面建成小康社会新的目标要求：经济保持中高速增长，在提高发展平衡性、包容性、可持续性的基础上，到2020年国内生产总值和城乡居民人均收入比2010年翻一番，产业迈向中高端水平，消费对经济增长贡献明显加大，户籍人口城镇化率加快提高.
设从2011年起，城乡居民人均收入每一年比上一年都增长p%.下面给出了依据“到2020年城乡居民人均收入比2010年翻一番”列出的关于p的四个关系式：
①(1＋p%)×10＝2； ②(1＋p%)10＝2；
③10(1＋p%)＝2； ④1＋10×p%＝2.
其中正确的是
A.① B.② C.③ D.④√解析 已知从2011年起，城乡居民人均收入每一年比上一年都增长p%.
则由到2020年城乡居民人均收入比2010年翻一番，可得：(1＋p%)10＝2；
正确的关系式为②.3随堂演练PART THREE123451.下列函数：
①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3.
其中，指数函数的个数是
A.0 B.1 C.2 D.3√解析 ①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；
②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；
③中，y＝3x，3x的系数是1，指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；
④中，y＝x3中底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数.
所以只有③是指数函数.故选B.2.若函数y＝(m2－m－1)·mx是指数函数，则m等于
A.－1或2 B.－1 C.2 D.12345√解得m＝2(舍m＝－1)，故选C.134523.如表给出函数值y随自变量x变化的一组数据，由此可判断它最可能的函数模型为A.一次函数模型 B.二次函数模型
C.指数函数模型 D.幂函数模型√解析 观察数据可得y＝4x.134524.某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系式是
A.y＝2x B.y＝2x－1 C.y＝2x D.y＝2x＋1√解析 分裂一次后由2个变成2×2＝22(个)，分裂两次后变成4×2＝23(个)，…，分裂x次后变成y＝2x＋1(个).134525.f(x)为指数函数，若f(x)过点(－2,4)，则f(f(－1))＝________.解析 设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，课堂小结KE TANG XIAO JIE1.知识清单：
(1)指数函数的定义.
(2)指数增长型和指数衰减型函数模型.
2.方法归纳：待定系数法.
3.常见误区：易忽视底数a的限制条件：a>0且a≠1.本课结束