4．2.2 指数函数的图象和性质(二)
学习目标 1.掌握指数型函数的单调区间的求法及单调性的判断.2.能借助指数函数的性质比较大小.3.会解简单的指数方程、不等式．
知识点一 比较幂的大小
一般地，比较幂大小的方法有
(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断；
(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断；
(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断．
知识点二 解指数方程、不等式
简单指数不等式的解法
(1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的单调性求解；
(2)形如af(x)>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解；
(3)形如ax>bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解．
知识点三 指数型函数的单调性
一般地，有形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质
(1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域．
(2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0
1．y＝21－x是R上的增函数．( × )
2．若0.1a>0.1b，则a>b.( × )
3．a，b均大于0且不等于1，若ax＝bx，则x＝0.( × )
4．由于y＝ax(a>0且a≠1)既非奇函数，也非偶函数，所以指数函数与其他函数也组不成具有奇偶性的函数．( × )
一、比较大小
例1 (1)比较下列各题中两个值的大小．
①1.7－2.5,1.7－3；②1.70.3,1.50.3；③1.70.3,0.83.1.
考点 指数幂的大小比较
题点 比较指数幂大小
解 (1)①∵1.7>1，
∴y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数．
∵－2.5>－3，∴1.7－2.5>1.7－3.
②方法一 ∵1.70.3>0,1.50.3>0，且＝0.3，
又>1,0.3>0，∴0.3>1，∴1.70.3>1.50.3.
方法二 幂函数y＝x0.3在(0，＋∞)上单调递增，
又1.7>1.5，∴1.70.3>1.50.3.
③∵1.70.3>1.70＝1,0.83.1<0.80＝1，
∴1.70.3>0.83.1.
(2)设 则a，b，c的大小关系为________．(用“>”连接)
答案 c>a>b
解析 构造幂函数(x∈(0，＋∞))，由该函数在定义域内单调递增，知a>b；构造指数函数y＝x，由该函数在定义域内单调递减，知aa>b.
反思感悟 比较幂值大小的3种类型及处理方法
跟踪训练1 比较下列各题中的两个值的大小．
(1)0.8－0.1，1.250.2；(2)－π，1；(3)0.2－3，(－3)0.2.
考点 指数幂的大小比较
题点 比较指数幂大小
解 (1)∵0<0.8<1，∴y＝0.8x在R上是减函数．
∵－0.2<－0.1，∴0.8－0.2>0.8－0.1，
即0.8－0.1<1.250.2.
(2)∵0<<1，∴函数y＝x在R上是减函数．
又∵－π<0，∴－π>0＝1，即－π>1.
(3)0.2－3＝－3＝－3＝53，
(－3)0.2＝
∵<31＝3,53＝125>3.
∴<53，即0.2－3>(－3)0.2.
二、简单的指数不等式的解法
例2 (1)不等式4x<42－3x的解集是________．
答案
解析 ∵4x<42－3x，∴x<2－3x，∴x<.
(2)解关于x的不等式：a2x＋1≤ax－5(a>0，且a≠1)．
考点 指数不等式的解法
题点 指数不等式的解法
解 ①当0∴2x＋1≥x－5，解得x≥－6.
②当a>1时，∵a2x＋1≤ax－5，
∴2x＋1≤x－5，解得x≤－6.
综上所述，当01时，不等式的解集为{x|x≤－6}．
反思感悟 解指数不等式的基本方法是先化为同底指数式，再利用指数函数单调性化为常规的不等式来解，注意底数对不等号方向的影响．
跟踪训练2 已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，则x的取值范围是________．
考点 指数不等式的解法
题点 指数不等式的解法
答案
解析 ∵a2＋a＋2＝2＋>1，
∴(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x?x>1－x?x>.
∴x∈.
三、指数型函数的单调性
例3 (1)函数的单调递减区间是( )
A．(－∞，＋∞) B．(－∞，0)
C．(0，＋∞) D．(－∞，0)和(0，＋∞)
答案 D
解析 设u＝，则y＝3u，
因为u＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，
且y＝3u在R上是增函数，
所以函数的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)．
(2)判断函数的单调性，并求其值域．
解 令u＝x2－2x，
易知u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，又0<<1，
所以在(－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减．
因为u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
所以y＝u，u∈[－1，＋∞)，
所以0<u≤－1＝3，
所以函数f(x)的值域为(0,3]．
反思感悟 函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性的处理方法
(1)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考察f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f(φ(x))的单调性．
跟踪训练3 求函数(a>0，且a≠1)的单调区间．
解 设y＝au，u＝x2＋2x－3，
由u＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，得u在(－∞，－1]上为减函数，在[－1，＋∞)上为增函数．
当a>1时，y关于u为增函数；
当0∴当a>1时，原函数的增区间为[－1，＋∞)，减区间为(－∞，－1]；
当01．下列大小关系正确的是( )
A．0.43<30.4<π0 B．0.43<π0<30.4
C．30.4<0.43<π0 D．π0<30.4<0.43
考点 指数幂的大小比较
题点 比较指数幂大小
答案 B
解析 0.43<0.40＝π0＝30<30.4.
2．方程42x－1＝16的解是( )
A．x＝－ B．x＝ C．x＝1 D．x＝2
考点 指数方程的解法
题点 指数方程的解法
答案 B
解析 ∵42x－1＝42，∴2x－1＝2，x＝.
3．函数的单调递增区间为( )
A．(－∞，0] B．[0，＋∞)
C．(－1，＋∞) D．(－∞，－1)
考点 指数函数的单调性
题点 指数型复合函数的单调区间
答案 A
解析 ∵，0<<1，∴f(x)的单调递增区间为u(x)＝x2－1的单调递减区间，
即(－∞，0]．
4．已知函数y＝x在[－2，－1]上的最小值是m，最大值是n，则m＋n的值为________．
答案 12
解析 函数y＝x在定义域内单调递减，
所以m＝－1＝3，n＝－2＝9.
所以m＋n＝12.
5．设0考点 指数不等式的解法
题点 指数不等式的解法
答案 (1，＋∞)
解析 ∵0又∵
∴2x2－3x＋2<2x2＋2x－3，解得x>1.
1．知识清单：指数函数的图象与性质的应用：比较大小，解不等式及简单复合函数的单调性．
2．方法归纳：转化与化归，换元法．
3．常见误区：研究y＝af(x)型函数，易忽视讨论a>1还是01．已知a＝，b＝2－1.5，c＝，则下列关系中正确的是( )
A．c答案 C
解析 ∵b＝2－1.5＝，
y＝x是R上的减函数，<<，
∴b2．若2a＋1<3－2a，则实数a的取值范围是( )
A．(4，＋∞) B.
C．(－∞，4) D.
答案 B
解析 因为y＝x在(－∞，＋∞)上是减函数，
所以由已知得2a＋1>3－2a，即a>.
故a的取值范围是.
3．若函数f(x)＝(1－2a)x在实数集R上是减函数，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 由已知，得0<1－2a<1，解得0即实数a的取值范围是.
4．函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y＝2ax－1在[0,1]上的最大值是( )
A．6 B．1 C．3 D.
考点 指数函数的最值
题点 根据指数函数的最值求底数
答案 C
解析 函数y＝ax在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a0＋a1＝3，解得a＝2，因此函数y＝2ax－1＝4x－1在[0,1]上是单调递增函数，当x＝1时，ymax＝3.
5．函数y＝1－x的单调递增区间为( )
A．R B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(0,1)
答案 A
解析 定义域为R.
设u＝1－x，y＝u，
∵u＝1－x在R上为减函数，
y＝u在R上为减函数，
∴y＝1－x在R上是增函数，故选A.
6．满足方程4x＋2x－2＝0的x值为________．
答案 0
解析 设t＝2x(t>0)，则原方程化为t2＋t－2＝0，
∴t＝1或t＝－2.
∵t>0，∴t＝－2舍去．
∴t＝1，即2x＝1，∴x＝0.
7．已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则a，b，c的大小关系是________．(用“>”连接)
答案 c>a>b
解析 因为函数y＝0.8x是R上的单调减函数，
所以a>b.
又因为a＝0.80.7<0.80＝1，c＝1.20.8>1.20＝1，
所以c>a.故c>a>b.
8．函数f(x)＝的单调递增区间为________．
答案 [0，＋∞)
解析 由于底数∈(0,1)，
所以y＝x是R上的减函数，
所以f(x)＝的单调递增区间就是y＝2－x2的单调递减区间．
由y＝2－x2的图象(图略)可知：
当x≤0时，y＝2－x2是增函数；
当x≥0时，y＝2－x2是减函数．
所以函数f(x)＝的单调递增区间为[0，＋∞)．
9．已知指数函数f(x)的图象过点P(3,8)，且函数g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称，又g(2x－1)解 设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，
因为f(3)＝8，所以a3＝8，即a＝2，
又因为g(x)与f(x)的图象关于y轴对称，
所以g(x)＝x，
因此由g(2x－1)即2x－1<3x，
得2x－1>3x，解得x<－1.
10．如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0且a≠1)在[－1,1]上的最大值为14，求a的值．
解 函数y＝a2x＋2ax－1＝(ax＋1)2－2，x∈[－1,1]．
若a>1，则x＝1时，函数取最大值a2＋2a－1＝14，
解得a＝3.
若0函数取最大值a－2＋2a－1－1＝14，
解得a＝.
综上所述，a＝3或.
11．已知函数f(x)＝a－x(a>0，且a≠1)，且f(－2)>f(－3)，则a的取值范围是( )
A．a>0 B．a>1
C．a<1 D．0答案 D
解析 ∵－2>－3，f(－2)>f(－3)，
又f(x)＝a－x＝x，
∴－2>－3，
∴>1，∴012．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>c>b B．a>b>c C．c>a>b D．b>c>a
答案 A
解析 因为y＝(x>0)为增函数，所以a>c.
因为y＝x(x∈R)为减函数，所以c>b，所以a>c>b.
13．函数f(x)＝(a>0，且a≠1)是R上的减函数，则a的取值范围是________．
答案
解析 由单调性定义，f(x)为减函数应满足：
即≤a<1.
14．已知函数f(x)＝，则f(x)的单调递增区间为________，值域为________．
答案 (－∞，0] (0,2]
解析 令x2－2x≥0，解得x≥2或x≤0，
∴f(x)的定义域为(－∞，0]∪[2，＋∞)，
令t＝－1，则其在(－∞，0]上递减，在[2，＋∞)上递增，
又y＝t为减函数，故f(x)的增区间为(－∞，0]．
∵t＝－1，∴t≥－1，∴t∈(0,2]．
故f(x)的值域为(0,2]．
15．设x<0，且1A．0C．1考点 指数不等式的解法
题点 指数不等式的解法
答案 B
解析 ∵1又当x＝－1时，<，即b>a，∴016．已知函数f(x)＝1＋.
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的奇偶性，并证明；
(3)求f(x)的值域．
解 (1)由2x－1≠0，可得x≠0，
∴函数f(x)的定义域为{x|x≠0}．
(2)f(x)是奇函数，证明如下：
f(－x)＝1＋＝＝－1－＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
(3)当x>0时，2x－1>0，f(x)>1；当x<0时，－1<2x－1<0，f(x)<－1.
∴f(x)的值域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
课件33张PPT。4.2.2 指数函数的图象和性质(二)第四章 4.2 指数函数学习目标XUEXIMUBIAO1.掌握指数型函数的单调区间的求法及单调性的判断.
2.能借助指数函数的性质比较大小.
3.会解简单的指数方程、不等式.NEIRONGSUOYIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PART ONE知识点一 比较幂的大小一般地，比较幂大小的方法有
(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的 来判断；
(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断；
(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过 来判断.单调性中间值知识点二 解指数方程、不等式简单指数不等式的解法
(1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的 求解；
(2)形如af(x)>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的_____
求解；
(3)形如ax>bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解.单调性单调性知识点三 指数型函数的单调性一般地，有形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质
(1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有 的定义域.
(2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有 的单调性；
当02.若0.1a>0.1b，则a>b.( )
3.a，b均大于0且不等于1，若ax＝bx，则x＝0.( )
4.由于y＝ax(a>0且a≠1)既非奇函数，也非偶函数，所以指数函数与其他函数也组不成具有奇偶性的函数.( )××××2题型探究PART TWO例1 (1)比较下列各题中两个值的大小.
①1.7－2.5,1.7－3；一、比较大小解 ∵1.7>1，
∴y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数.
∵－2.5>－3，∴1.7－2.5>1.7－3.②1.70.3,1.50.3；∴1.70.3>1.50.3.
方法二 幂函数y＝x0.3在(0，＋∞)上单调递增，
又1.7>1.5，∴1.70.3>1.50.3.③1.70.3,0.83.1.解 ∵1.70.3>1.70＝1,0.83.1<0.80＝1，
∴1.70.3>0.83.1.(2)设 则a，b，c的大小关系为________.(用“>”连接)c>a>b解析 构造幂函数 (x∈(0，＋∞))，由该函数在定义域内单调递增，知a>b；由该函数在定义域内单调递减，知aa>b.反思感悟比较幂值大小的3种类型及处理方法跟踪训练1 比较下列各题中的两个值的大小.
(1)0.8－0.1，1.250.2；解 ∵0<0.8<1，∴y＝0.8x在R上是减函数.
∵－0.2<－0.1，∴0.8－0.2>0.8－0.1，
即0.8－0.1<1.250.2.(3)0.2－3，(－3)0.2.(－3)0.2＝∵ <31＝3,53＝125>3.∴ <53，即0.2－3>(－3)0.2.二、简单的指数不等式的解法例2 (1)不等式4x<42－3x的解集是____________.(2)解关于x的不等式：a2x＋1≤ax－5(a>0，且a≠1).解 ①当0∴2x＋1≥x－5，解得x≥－6.
②当a>1时，∵a2x＋1≤ax－5，
∴2x＋1≤x－5，解得x≤－6.
综上所述，当0当a>1时，不等式的解集为{x|x≤－6}.反思感悟解指数不等式的基本方法是先化为同底指数式，再利用指数函数单调性化为常规的不等式来解，注意底数对不等号方向的影响.跟踪训练2 已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，则x的取值范围是__________.例3 (1)函数 的单调递减区间是
A.(－∞，＋∞) B.(－∞，0)
C.(0，＋∞) D.(－∞，0)和(0，＋∞)三、指数型函数的单调性√且y＝3u在R上是增函数，所以函数 的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞).解 令u＝x2－2x，
易知u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，(2)判断函数 的单调性，并求其值域.所以 在(－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减.因为u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，所以函数f(x)的值域为(0,3].反思感悟函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性的处理方法
(1)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考察f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f(φ(x))的单调性.跟踪训练3 求函数 (a>0，且a≠1)的单调区间.解 设y＝au，u＝x2＋2x－3，
由u＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，得u在(－∞，－1]上为减函数，
在[－1，＋∞)上为增函数.
当a>1时，y关于u为增函数；
当0∴当a>1时，原函数的增区间为[－1，＋∞)，减区间为(－∞，－1]；
当0A.0.43<30.4<π0 B.0.43<π0<30.4
C.30.4<0.43<π0 D.π0<30.4<0.43√解析 0.43<0.40＝π0＝30<30.4.123452.方程42x－1＝16的解是√3.函数 的单调递增区间为
A.(－∞，0] B.[0，＋∞)
C.(－1，＋∞) D.(－∞，－1)13452√∴f(x)的单调递增区间为u(x)＝x2－1的单调递减区间，
即(－∞，0].1345212所以m＋n＝12.5.设01.课堂小结KE TANG XIAO JIE1.知识清单：指数函数的图象与性质的应用：比较大小，解不等式及简单复合函数的单调性.
2.方法归纳：转化与化归，换元法.
3.常见误区：研究y＝af(x)型函数，易忽视讨论a>1还是0