15.2 线段的垂直平分线学案(要点讲解+当堂检测+答案)
文档属性
| 名称 | 15.2 线段的垂直平分线学案(要点讲解+当堂检测+答案) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-12-06 22:10:06 | ||
图片预览
文档简介
沪科版数学八年级上册同步学案
第15章 轴对称图形与等腰三角形
15.2 线段的垂直平分线
要 点 讲 解
要点一 线段垂直平分线的作法
利用尺规作图法作出线段的垂直平分线．
根据两点确定一条直线，只要找出到这条线段的两个端点距离相等的两个点，过这两个点作直线就能得到这条线段的垂直平分线．
已知：线段AB，如图所示．
求作：线段AB的垂直平分线．
作法：(1)分别以点A和点B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和点D.
(2)过C，D两点作直线CD，则直线CD即为线段AB的垂直平分线．
经典例题1 如图，在△ABC中，∠C＝90°，用直尺和圆规在AC上作点P，使P到A，B的距离相等(保留作图痕迹)．
解析：P到A，B的距离相等，说明P在线段AB的垂直平分线上，也就意味着这一点是线段AB的垂直平分线与AC的交点．
解：如图所示．分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧分别交于M，N两点，过M，N作直线交AC于点P，则点P即为所求作的点．
要点二 线段垂直平分线的性质
1. 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，这个性质是证明线段相等的方法之一．
2. 这里的距离指的是点与点之间的距离，也就是两点之间线段的长度．
3. 在使用该定理时必须保证两个前提条件：一是垂直于这条线段，二是平分这条线段．
经典例题2 如图，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm.则AC的长等于多少？
解析：由于直线DE是线段AB的垂直平分线，因而有AE＝BE，所以AC＝AE＋EC＝BE＋EC，结合△BCE周长等于18cm，BC＝8cm，问题便可轻松获解．
解：∵△BCE的周长为18cm，
∴BE＋CE＋BC＝18cm，
又∵BC＝8cm，∴BE＋CE＝10cm.
又∵直线DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，
∴AE＋CE＝10cm，
即AC＝10cm.
要点三 线段垂直平分线的判定
1. 到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
2. 证明某一条直线是一条线段的垂直平分线有两种方法：
第一种：根据线段垂直平分线的定义，也就是经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．使用这种方法必须满足两个条件：一是垂直，二是平分．
第二种：在已知直线上找两点，设法证明这两点到已知线段两端的距离相等，这样就可以证得已知直线是已知线段的垂直平分线．
经典例题3 如图，AB＝AD，BC＝DC，E是AC上的一点．求证：BE＝DE.
证明：∵AB＝AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上．
又∵BC＝DC，
∴点C在线段BD的垂直平分线上．
∵两点确定一条直线，
∴AC是线段BD的垂直平分线．
又∵点E在AC上，∴BE＝DE.
当 堂 检 测
1. 如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为( )
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
第1题 第2题
2. 如图，AB是CD的垂直平分线，若BD＝1.6cm，AC＝2.3cm，则四边形ACBD的周长是( )
A. 3.9cm B. 7.8cm C. 4cm D. 4.6cm
3. 如图，CD是线段AB的垂直平分线，垂足为D，下列结论：①AD＝BD；②AC＝BC；③∠A＝∠B；④∠ACD＝∠BCD；⑤∠ADC＝∠BDC＝90°.其中正确的有( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
第3题 第4题
4. 如图，已知OC＝OD，则下列说法不正确的是( )
A. OP＝DP B. CA＝DA
C. OP⊥CD D. 点O在CD的垂直平分线上
5. 如图，在△ABC中，DE垂直平分AC交AB于点E，∠A＝30°，∠ACB＝80°，则∠BCE＝ .
第5题 第6题
6. 如图，在△ABC中，直线DE是AC的垂直平分线，AE＝5cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长＝ .
7. 如图，点A，点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？
8. 如图，AD⊥BC，BD＝CD，点C在AE的垂直平分线上.若AB＝5cm，BD＝3cm，求BE的长.
9. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，交AC于点G，△ADF的周长为14.
(1)求BC的长；
(2)若∠B＋∠C＝70°，求∠DAF的度数.
当堂检测参考答案
1. B 2. B 3. D 4. A
5. 50°
6. 23cm
7. 解：连接AB，作线段AB的垂直平分线，如图所示.
8. 解：∵AD⊥BC，BD＝CD，∴AB＝AC，∵点C在AE的垂直平分线上，∴AC＝CE，∴AB＝CD.∵AB＝5cm，BD＝3cm，∴CE＝5cm，CD＝3cm.∴BE＝BD＋DC＋CE＝11cm.
9. 解：(1)∵DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，∴BD＝AD，AF＝CF，∴BC＝BD＋DF＋FC＝AD＋DF＋AF＝14.
(2)∵DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，∴△DBE和△DAE关于DE对称，△FGC和△FGA关于FG对称，∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAF.∵∠B＋∠C＝70°，∴∠BAC＝180°－70°＝110°，∠BAD＋∠CAF＝70°，∴∠DAF＝110°－70°＝40°.
第15章 轴对称图形与等腰三角形
15.2 线段的垂直平分线
要 点 讲 解
要点一 线段垂直平分线的作法
利用尺规作图法作出线段的垂直平分线．
根据两点确定一条直线，只要找出到这条线段的两个端点距离相等的两个点，过这两个点作直线就能得到这条线段的垂直平分线．
已知：线段AB，如图所示．
求作：线段AB的垂直平分线．
作法：(1)分别以点A和点B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和点D.
(2)过C，D两点作直线CD，则直线CD即为线段AB的垂直平分线．
经典例题1 如图，在△ABC中，∠C＝90°，用直尺和圆规在AC上作点P，使P到A，B的距离相等(保留作图痕迹)．
解析：P到A，B的距离相等，说明P在线段AB的垂直平分线上，也就意味着这一点是线段AB的垂直平分线与AC的交点．
解：如图所示．分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧分别交于M，N两点，过M，N作直线交AC于点P，则点P即为所求作的点．
要点二 线段垂直平分线的性质
1. 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，这个性质是证明线段相等的方法之一．
2. 这里的距离指的是点与点之间的距离，也就是两点之间线段的长度．
3. 在使用该定理时必须保证两个前提条件：一是垂直于这条线段，二是平分这条线段．
经典例题2 如图，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm.则AC的长等于多少？
解析：由于直线DE是线段AB的垂直平分线，因而有AE＝BE，所以AC＝AE＋EC＝BE＋EC，结合△BCE周长等于18cm，BC＝8cm，问题便可轻松获解．
解：∵△BCE的周长为18cm，
∴BE＋CE＋BC＝18cm，
又∵BC＝8cm，∴BE＋CE＝10cm.
又∵直线DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，
∴AE＋CE＝10cm，
即AC＝10cm.
要点三 线段垂直平分线的判定
1. 到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
2. 证明某一条直线是一条线段的垂直平分线有两种方法：
第一种：根据线段垂直平分线的定义，也就是经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．使用这种方法必须满足两个条件：一是垂直，二是平分．
第二种：在已知直线上找两点，设法证明这两点到已知线段两端的距离相等，这样就可以证得已知直线是已知线段的垂直平分线．
经典例题3 如图，AB＝AD，BC＝DC，E是AC上的一点．求证：BE＝DE.
证明：∵AB＝AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上．
又∵BC＝DC，
∴点C在线段BD的垂直平分线上．
∵两点确定一条直线，
∴AC是线段BD的垂直平分线．
又∵点E在AC上，∴BE＝DE.
当 堂 检 测
1. 如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为( )
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
第1题 第2题
2. 如图，AB是CD的垂直平分线，若BD＝1.6cm，AC＝2.3cm，则四边形ACBD的周长是( )
A. 3.9cm B. 7.8cm C. 4cm D. 4.6cm
3. 如图，CD是线段AB的垂直平分线，垂足为D，下列结论：①AD＝BD；②AC＝BC；③∠A＝∠B；④∠ACD＝∠BCD；⑤∠ADC＝∠BDC＝90°.其中正确的有( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
第3题 第4题
4. 如图，已知OC＝OD，则下列说法不正确的是( )
A. OP＝DP B. CA＝DA
C. OP⊥CD D. 点O在CD的垂直平分线上
5. 如图，在△ABC中，DE垂直平分AC交AB于点E，∠A＝30°，∠ACB＝80°，则∠BCE＝ .
第5题 第6题
6. 如图，在△ABC中，直线DE是AC的垂直平分线，AE＝5cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长＝ .
7. 如图，点A，点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？
8. 如图，AD⊥BC，BD＝CD，点C在AE的垂直平分线上.若AB＝5cm，BD＝3cm，求BE的长.
9. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，交AC于点G，△ADF的周长为14.
(1)求BC的长；
(2)若∠B＋∠C＝70°，求∠DAF的度数.
当堂检测参考答案
1. B 2. B 3. D 4. A
5. 50°
6. 23cm
7. 解：连接AB，作线段AB的垂直平分线，如图所示.
8. 解：∵AD⊥BC，BD＝CD，∴AB＝AC，∵点C在AE的垂直平分线上，∴AC＝CE，∴AB＝CD.∵AB＝5cm，BD＝3cm，∴CE＝5cm，CD＝3cm.∴BE＝BD＋DC＋CE＝11cm.
9. 解：(1)∵DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，∴BD＝AD，AF＝CF，∴BC＝BD＋DF＋FC＝AD＋DF＋AF＝14.
(2)∵DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，∴△DBE和△DAE关于DE对称，△FGC和△FGA关于FG对称，∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAF.∵∠B＋∠C＝70°，∴∠BAC＝180°－70°＝110°，∠BAD＋∠CAF＝70°，∴∠DAF＝110°－70°＝40°.