15.3.1 等腰三角形的性质学案(要点讲解+当堂检测+答案)
文档属性
| 名称 | 15.3.1 等腰三角形的性质学案(要点讲解+当堂检测+答案) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-12-07 08:58:27 | ||
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文档简介
沪科版数学八年级上册同步学案
第15章 轴对称图形与等腰三角形
15.3 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
要 点 讲 解
要点一 等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形是等腰三角形．相等的两条边叫做腰，剩余的一条边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角．
要点二 等腰三角形的边角性质及“三线合一”
1. 定理1：等腰三角形的两底角相等．简称“等边对等角”．
2. 定理2：等腰三角形顶角的角平分线垂直平分底边．
由此可知，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简称“三线合一”．其具体用法是：在等腰三角形中，顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高，只要知道其中一个结论，就可以得出其他两个结论．
3. 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边上的中线(顶角平分线、底边上的高)所在的直线．
4. “等腰三角形是轴对称图形”这个性质是等腰三角形的另一条重要性质，应用非常广泛，它包含了多层意义．可以用来证明角相等、线段相等、垂直关系．
经典例题1 如图所示，点D，E在△ABC的边BC上．AB＝AC，AD＝AE.求证：BD＝CE.
解析：因为△ABC是等腰三角形，可考虑过点A作BC边的高，利用等腰三角形的性质解决问题．
证明：如图所示，过点A作AF⊥BC于点F.
∵AB＝AC，∴BF＝CF.
∵AD＝AE，∴DF＝EF.
∴BF－DF＝CF－EF，即BD＝CE.
要点三 等边三角形的性质
等边三角形的三个内角相等，每一个内角都等于60°.等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等腰三角形具有的性质等边三角形都具有，特别地，等边三角形有三组“三线合一”．
易错易混警示 “等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(三线合一)”的误用
“三线合一”是等腰三角形中特殊线段具有的性质，并不是所有三角形的“三线”都“合一”，因此在解题时一定要明确这“三线”指的是哪三条线段，而不能乱用．由于对这“三线”的含义理解不透，往往乱用“三线合一”，导致解题过程错误．
经典例题2 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为点D，∠A＝40°，求∠DBC的大小．
解：因为AB＝AC，∠A＝40°，
所以∠ABC＝∠ACB＝×(180°－40°)＝70°.
又因为BD⊥AC，垂足为点D，所以∠BDC＝90°.
所以∠DBC＝90°－∠ACB＝90°－70°＝20°.
点拨：等腰三角形的“三线合一”指的是顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，但对于底角平分线、腰上的中线、腰上的高却不一定相互重合．不要盲目运用“三线合一”的性质解题．
当 堂 检 测
1. 若等腰三角形的顶角为80°，则它的底角的度数为( )
A. 80° B. 50° C. 40° D. 20°
2. 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABC＝72°，则∠ABD等于( )
A. 36° B. 54° C. 18° D. 64°
3. 如图，过等边三角形ABC的顶点A作射线，若∠1＝20°，则∠2的度数是( )
A. 100° B. 80° C. 60° D. 40°
第3题 第4题
4. 如图，等腰△ABC的顶角∠A为80°，BD⊥AC，则∠DBC是( )
A. 40° B. 50° C. 60° D. 30°
5. 如图，AE∥BD，C是BD上的点，且AB＝BC，∠ACD＝110°，则∠EAB＝ .
第5题 第6题
6. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若AB＝6，CD＝4，则△ABC的周长是 .
7. 如图，点B是等边△APQ的边QP延长线上一点，且BP＝PQ，连接AB，则∠BAP＝ .
8. (1)等腰三角形的一个角是32°，求底角；
(2)等腰三角形的一个角是100°，求底角.
9. 如图，在等边三角形ABC中，AB＝6cm，D是AC的中点.延长BC到点E，使CE＝CD.
求：(1)∠E的度数；
(2)BE的长.
当堂检测参考答案
1. B 2. B 3. A 4. A
5. 40°
6. 20
7. 30°
8. 解：(1)当32°是底角时，底角即为32°；当32°是顶角时，底角为，即为74°.
(2)因为100°只能是顶角，所以底角是，即底角为40°.
9. 解：(1)∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB＝60°.∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠CED.∵∠ACB＝∠CDE＋∠E，∴∠ACB＝2∠E.∴∠E＝30°.
(2)∵AB＝AC＝BC＝6cm，又∵D是AC的中点，∴CE＝DC＝3cm，∴BE＝6＋3＝9(cm).
第15章 轴对称图形与等腰三角形
15.3 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
要 点 讲 解
要点一 等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形是等腰三角形．相等的两条边叫做腰，剩余的一条边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角．
要点二 等腰三角形的边角性质及“三线合一”
1. 定理1：等腰三角形的两底角相等．简称“等边对等角”．
2. 定理2：等腰三角形顶角的角平分线垂直平分底边．
由此可知，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简称“三线合一”．其具体用法是：在等腰三角形中，顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高，只要知道其中一个结论，就可以得出其他两个结论．
3. 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边上的中线(顶角平分线、底边上的高)所在的直线．
4. “等腰三角形是轴对称图形”这个性质是等腰三角形的另一条重要性质，应用非常广泛，它包含了多层意义．可以用来证明角相等、线段相等、垂直关系．
经典例题1 如图所示，点D，E在△ABC的边BC上．AB＝AC，AD＝AE.求证：BD＝CE.
解析：因为△ABC是等腰三角形，可考虑过点A作BC边的高，利用等腰三角形的性质解决问题．
证明：如图所示，过点A作AF⊥BC于点F.
∵AB＝AC，∴BF＝CF.
∵AD＝AE，∴DF＝EF.
∴BF－DF＝CF－EF，即BD＝CE.
要点三 等边三角形的性质
等边三角形的三个内角相等，每一个内角都等于60°.等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等腰三角形具有的性质等边三角形都具有，特别地，等边三角形有三组“三线合一”．
易错易混警示 “等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(三线合一)”的误用
“三线合一”是等腰三角形中特殊线段具有的性质，并不是所有三角形的“三线”都“合一”，因此在解题时一定要明确这“三线”指的是哪三条线段，而不能乱用．由于对这“三线”的含义理解不透，往往乱用“三线合一”，导致解题过程错误．
经典例题2 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为点D，∠A＝40°，求∠DBC的大小．
解：因为AB＝AC，∠A＝40°，
所以∠ABC＝∠ACB＝×(180°－40°)＝70°.
又因为BD⊥AC，垂足为点D，所以∠BDC＝90°.
所以∠DBC＝90°－∠ACB＝90°－70°＝20°.
点拨：等腰三角形的“三线合一”指的是顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，但对于底角平分线、腰上的中线、腰上的高却不一定相互重合．不要盲目运用“三线合一”的性质解题．
当 堂 检 测
1. 若等腰三角形的顶角为80°，则它的底角的度数为( )
A. 80° B. 50° C. 40° D. 20°
2. 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABC＝72°，则∠ABD等于( )
A. 36° B. 54° C. 18° D. 64°
3. 如图，过等边三角形ABC的顶点A作射线，若∠1＝20°，则∠2的度数是( )
A. 100° B. 80° C. 60° D. 40°
第3题 第4题
4. 如图，等腰△ABC的顶角∠A为80°，BD⊥AC，则∠DBC是( )
A. 40° B. 50° C. 60° D. 30°
5. 如图，AE∥BD，C是BD上的点，且AB＝BC，∠ACD＝110°，则∠EAB＝ .
第5题 第6题
6. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若AB＝6，CD＝4，则△ABC的周长是 .
7. 如图，点B是等边△APQ的边QP延长线上一点，且BP＝PQ，连接AB，则∠BAP＝ .
8. (1)等腰三角形的一个角是32°，求底角；
(2)等腰三角形的一个角是100°，求底角.
9. 如图，在等边三角形ABC中，AB＝6cm，D是AC的中点.延长BC到点E，使CE＝CD.
求：(1)∠E的度数；
(2)BE的长.
当堂检测参考答案
1. B 2. B 3. A 4. A
5. 40°
6. 20
7. 30°
8. 解：(1)当32°是底角时，底角即为32°；当32°是顶角时，底角为，即为74°.
(2)因为100°只能是顶角，所以底角是，即底角为40°.
9. 解：(1)∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB＝60°.∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠CED.∵∠ACB＝∠CDE＋∠E，∴∠ACB＝2∠E.∴∠E＝30°.
(2)∵AB＝AC＝BC＝6cm，又∵D是AC的中点，∴CE＝DC＝3cm，∴BE＝6＋3＝9(cm).