参考答案
1. A 2. C 3. C 4. B 5. A 6. D 7. C 8. C 9. C 10. A
11. 18
12. 40海里
13. 3
14. 30
15. 3
16. 解：如图所示.A1(2，1)，B1(4，5)，C1(5，2).
17. 解：(1)证明：过O作OG⊥AB于G.∵BD平分∠ABC，四边形OECF是正方形，∴OG＝OE＝OF.又∵OG⊥AB，OF⊥AC，∴点O在∠BAC的平分线上.
(2)设OE＝EC＝FC＝OF＝x，则BE＝12－x，AF＝5－x，∵OG⊥AB，OE⊥BC，OG＝OE，BO是公共边，∴Rt△BOE≌Rt△BOG(HL)，∴BE＝BG＝12－x.同理AG＝AF＝5－x.∵AB＝13，∴12－x＋5－x＝13，∴x＝2，即OE长为2.
18. 证明：连接AF.∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBF＝36°.∴∠ABD＝∠BAD＝36°.∴DA＝DB.∵E是AB的中点，∴AE＝BE.∴FE⊥AB，即FE是AB的垂直平分线.∴FA＝FB.∴∠FAB＝∠ABC＝72°.∴∠FAC＝∠FAB－∠BAC＝36°.∴∠AFC＝∠ACB－∠FAC＝36°.∴∠FAC＝∠AFC.∴AC＝CF.∴AB＝CF.
19. 解：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△BDE和△CEF中，∵∴△BDE≌△CEF(SAS)，∴DE＝EF，∴△DEF是等腰三角形.
(2)∵△BDE≌△CEF，∴∠BDE＝∠CEF，∴∠BED＋∠CEF＝∠BED＋∠BDE，∵∠B＋(∠BED＋∠BDE)＝180°，∠DEF＋(∠BED＋∠CEF)＝180°，∴∠B＝∠DEF，∵∠A＝50°，AB＝AC，∴∠B＝(180°－50°)＝65°，∴∠DEF＝65°.
20. 解：(1)＝
(2)＝ 理由如下：过点E作直线EF平行于BC交AC于点F，在等边三角形ABC中，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝BC＝AC.∵EF∥BC，∴∠AEF＝∠AFE＝60°＝∠BAC，∴△AEF是等边三角形，∴AE＝AF＝EF，∴AB－AE＝AC－AF，即BE＝CF.∵∠ABC＝∠EDB＋∠BED＝60°，∠ACB＝∠ECB＋∠FCE＝60°，又∵ED＝EC，∴∠EDB＝∠ECB，∴∠BED＝∠FCE，∴△DBE≌△EFC，∴DB＝EF，∴AE＝BD.
(3)1或3.
沪科版数学八年级上册第15章《轴对称图形和等腰三角形》
复习巩固专讲专练
章 末 知 识 复 习
类型一 利用轴对称的性质求线段的长
经典例题1 如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM＝2.5cm，PN＝3cm，MN＝4cm，则线段QR的长为( )
A．4.5cm B．5.5cm C．6.5cm D．7cm
解析：∵点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上，∴PM＝MQ，PN＝NR.∵PM＝2.5cm，PN＝3cm，MN＝4cm，∴RN＝3cm，MQ＝2.5cm，NQ＝MN－MQ＝4－2.5＝1.5(cm)，∴线段QR的长为RN＋NQ＝3＋1.5＝4.5(cm)．
答案：A
点拨：此题主要考查了轴对称的性质，得出PM＝MQ，PN＝NR是解题关键．
类型二 轴对称中折叠图形的展开图案问题
经典例题2 将一张正方形纸片，按如图步骤①②，沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是( )
A B C D
解析：按照题意要求，动手操作一下，可得到正确的答案．由题意要求知，展开铺平后的图形是B.
答案：B
点拨：在新课程标准下，折、剪、展等问题成为考查动手操作能力的有效途径，这类问题的实质是作轴对称图形．
类型三 直角三角形的性质与等腰三角形的性质的综合
经典例题3 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB交BC于点D，E为AB上一点，连接DE，则下列说法错误的是( )
A．∠CAD＝30° B．AD＝BD
C．BD＝2CD D．CD＝ED
解析：∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°.
∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠BAD＝30°，
∴∠CAD＝∠BAD＝∠B，
∴AD＝BD，AD＝2CD，
∴BD＝2CD.
根据已知不能推出CD＝DE，
即只有D错误，选项A，B，C都正确．
答案：D
类型四 全等三角形与等腰三角形的判定与性质的综合
经典例题4 如图，点D为锐角∠ABC内一点，点M在边BA上，点N在边BC上，且DM＝DN，∠BMD＋∠BND＝180°.
求证：BD平分∠ABC.
证明：如图所示，在BA上截取ME＝BN，连接DE.
∵∠BMD＋∠DME＝180°，∠BMD＋∠BND＝180°，
∴∠DME＝∠BND.
在△BND和△EMD中，∵
∴△BND≌△EMD(SAS)，
∴∠DBN＝∠MED，BD＝DE，∴∠MBD＝∠MED，
∴∠MBD＝∠DBN，
∴BD平分∠ABC.
综 合 检 测
一、选择题
1. 下列图形是轴对称图形的是( )
A B C D
2. 如图，在△ABC中，AC＝4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为( )
A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm
第2题 第3题
3. 如图，直线l1∥l2，点A在直线l2上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，连接AC，BC，若∠ABC＝54°，则∠1的大小为( )
A. 36° B. 54° C. 72° D. 73°
4. 如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分△ABC的外角∠ACD，MN经过点O，与AB，AC相交于点M，N，且MN∥BC，则BM，CN之间的关系是( )
A. BM＋CN＝MN B. BM－CN＝MN
C. CN－BM＝MN D. BM－CN＝2MN
5. 如图是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于横梁AD，AB＝8m，∠A＝30°，则立柱BC的长度为( )
A. 4m B. 8m C. 10m D. 16m
6. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中不正确的是( )
A. AD是∠BAC的平分线 B. ∠ADC＝60°
C. 点D在AB的中垂线上 D. S△DAC∶S△ABD＝1∶3
第6题 第7题
7. 如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，若AD＝12cm，则△DBE的周长可能为( )
A. 12cm B. 11cm C. 14cm D. 10cm
8. 如图，已知△ABC中，O点是∠ABC，∠ACB平分线的交点，OD⊥BC于点D，△ABC的周长为20，OD＝5，则△ABC的面积为( )
A. 20cm2 B. 25cm2 C. 50cm2 D. 100cm2
第8题 第9题
9. 如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM的长度是( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
10. 如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3…在射线ON上，点B1，B2，B3…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A4B4A5的边长为( )
A. 8 B. 16 C. 32 D. 64
二、填空题
11. 由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可.如图1，衣架杆OA＝OB＝18cm，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是 cm.
第11题 第12题
12. 如图，一艘轮船从距离灯塔C处80海里的A处向正东航行，并测得C在A的北偏东60°方向，则轮船按这条路线航行过程中离灯塔的最近距离是 .
13. 如图，已知∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，过OC上一点P，作PD∥OA，交OB于点D，PE⊥OA于点E，若PD＝6，则PE＝ .
14. 如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，点O到BC边的距离为3，且△ABC的周长为20，则△ABC的面积为 .
第14题 第15题
15. 如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝60°，BC＝6，把△ABC沿直线AD折叠，点C落在C′处，连接BC′的长为 .
三、解答题
16. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(－2，1)，B(－4，5)，C(－5，2)，则画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出对应点A1，B1，C1的坐标.
17. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的一条角平分线，点O，E，F分别在BD，BC，AC上，且四边形OECF是正方形.
(1)求证：点O在∠BAC的平分线上；
(2)若AC＝5，BC＝12，AB＝13，求OE的长.
18. 如图，在△ABC中AB＝AC，∠A＝36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长交BC的延长线于点F.
求证：AB＝CF.
19. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BE＝CF，BD＝CE.
(1)求证：△DEF是等腰三角形；
(2)当∠A＝50°时，求∠DEF的度数.
20. 数学课上，李老师出示了如下题目：
在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC，如图.试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由.
(1)特殊情况，探索结论
当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB(填“＞”“＜”或“＝”).
(2)特例启发，解答题目
解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE DB(填“＞”“＜”或“＝”).理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F.
(3)拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长.(请你直接写出结果)
