六年级上册数学试题-培优讲学练考专题：容斥原理（含答案）全国通用

容斥原理
[同步巩固演练]
大长方形的面积是100平方分米，小长方形的面积是80平方分米，两个长方形重合部分的面积是30平方分米，这两个长方形覆盖桌面的面积是______________平方分米。
2、1～200这二百个数能够被5整除或能够被8整除的数共有（ ）个。
比大，比7小，分母是6的最简分数有多少个？
4、（新加坡小学数学奥林匹克竞赛试题）
36名学生参加数学比赛。答对第1题的有25名学生，答对第二题有23名学生，两题都答对的有15名学生，两题都没有答对的有（ ）名。
5、（新加坡小学数学奥林匹克竞赛试题）
某班有45人在一次数学测验中，做对第一题的有38人；做对第二题的有35人；做第三题的有31人，做对第四题有42人。问：四题都做对的至少有多少人？
6、如图。有三个圆的面积分别是8，9和11平方厘米，而三个圆所围成的曲线形面积是18平方厘米，且A与B的公共部分的面积是5平方厘米，B与C的公共部分的面积是3平方厘米，C与A公共部分的面积是4平方厘米。求三个圆的公共部分的面积。
7、有40名运动员，其中有25人会摔跤，有20人会击剑，有10人击剑、摔跤都不会，那么既会摔跤又会击剑的运动员有多少人？
8、一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，这个数最小是多少？
[能力拓展平台]
1、外语学校某班有48名学生，每人至少要选学一门法语或计算机课程，已知有的学生选学法语，有的学生同时选学了法语和计算机，则选学计算机课程的学生有多少名？
在一次调查中，对45人作了统计，其中有弟弟的有19人，既无弟弟又无妹妹的有14人，有妹妹无弟弟的与有妹妹有弟弟的人数比是3：1，问有妹妹的有多少人？
某班45名同学参加了体育测试，其中百米得优者20人，跳远得优者18人，又知百米、跳远均得优者7人，跳高、百米均得优者6人，跳高、跳远均得优者8人，跳高得优者22人，全班只有1名同学各项都没达到优。求三项都是优的人数。
如图所示，A、B、C分别代表面积为8、9、11的三张不同形状的纸片，它们重叠放在一起盖住的面积是18，且A与B，B与C，C与A公共部分的面积分别是5、3、4，求A、B、C三个图形公共部分（阴影部分）的面积。
某校对六年级的100名同学进行兴趣调查，结果有54人喜欢语文，有38人喜欢数学，有52人喜欢外语，而且喜欢语文和数学（但不喜欢外语）的有6人，喜欢数学和外语（但不喜欢语文）的有4人，三科都喜欢的有12人，而且每人至少喜欢一科。问有多少同学只喜欢语文？有多少同学喜欢语文和外语。
[全讲综合训练]
一个班有45个小学生，统计借课外书的情况是：全班学生都借有语文或数学课外书，借语文课外书的有39人，借数学课外书的有32人。语文、数学两种课外书都借的有_________人。
(美国小学数学奥林匹克竞赛试题)
从1到46的整数中，能被3整除，或能被5整除或同时被3和5整除的数有（ ）人。
（韩国小学数学奥林匹克竞赛试题）
从1至100的自然数中含有5的数一共________________个。
有长8厘米，宽6厘米的长方形与边长为5厘米的正方形，如图，放在桌面上（阴影是图形的重叠部分），那么这两个图形盖住桌面的面积是_____________平方厘米。
某门诊部统计某一天挂号的病人，内科150人，外科92人，其中内、外两科都求诊的18人，这一天共来了___________个病人。
在一次运动会中，甲班参加田赛的有15人，参加径赛的有7人，没有参加比赛的有21人，那么甲班共有_________人。
7、（韩国小学数学奥林匹克竞赛试题）
分母是385的最简真分数有多少个？它们的和是多少？
边长为2、5、6厘米的三个正方形，每两个相交部分的面积分别为9、1、1平方厘米三个正方形相交部分面积为平方厘米。问图形覆盖的总面积有多大？
某科研所共有145名科技人员，人人都学过至少一门外语。其中学过英语的有90人，学过俄语的45人；既学过英语又学过日语的40人；同时学过英、俄、日三门外语的30人，问既然学过俄语又学过日语的有多少人？
10、70名学生参加体育比赛，短跑得奖的31人，投掷得奖的36人，弹跳得奖的29人，短跑与投掷二项均得奖的12人，跑、跳、投三项均得奖的有5人，只得弹跳奖的有7人，只得投掷奖的有15人。
求：（1）只得短跑奖的人数；
（2）得二项奖的总人数；
（3）一项奖均未得的人数。
五环图由内圆直径为8、外圆直径为10的五个圆环组成，其中两两相交的小曲边（阴影部分）的面积都相等。已知五个圆环盖住部分的总面积是122.5，求每个小曲四边形的面积。
某班共有30名男生，其中20人参加足球队，12人参加篮球队，10人参加排球队，已知没一个人同时参加3个队，且每人至少参加一个队，有6人既然参加足球队又参加篮球队，有2人既然参加篮球队又参加排球队，那么既然参加足球队又参加排球队的有多少人？
13、（全国小奥赛试题）
某班有50名学生，参加语言竞赛的有28人，参加数学竞赛的有23人，参加英语竞赛的有20人，每人最多参加两科，那么参加两科的最多有多少人？
14、向50名同学调查春游去颐和园还是去动物园的态度，赞成去颐和园的人数是全体的，其余不赞成；赞成去动物园的比赞成去颐和园的学生多3人，其余的不赞成，另外对去两处都不赞成的学生数比对去两处都赞成的学生数的多1人，问对去颐和园和去动物园都赞成和都不赞成的学生各有多少人？
15、（全国小奥赛试题）
有2000盏亮着的电灯，各有一个拉线开头控制着，现按其顺序编号为1，2，3，…，2000，然后将编号为2的倍数的灯线拉一下，再将编号为3的倍数的灯线拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线拉一下，三次拉完之后，亮着的灯有多少盏？
容斥原理参考答案
[同步巩固演练]
10平方分米
80+30－100=10（平方分米）
59个
能被5整除的数有：200÷5=40（个），能被8整除的数有：200÷8=25（个）。重复计算了：200÷（5×8）=5（个）。满足题意的数共有：（40+25）－8=59（个）
13个
因为 所以，只要求出大于3而小于42的自然数中与6互质的数有多少个就可以了。
为了方便，我们引进一个符号“[”，用来表示a与b的商的整数部分，如
因为6=2×3，在大于3而小于42的自然数中是2的倍数的数有；
大于3而小于42的自然数中是3的倍数的数有：
大于3而小于42的自然数中是6的倍数的数有：
从而，可以求出在大于3而小于42的自然数中是2或3的倍数的数共有19+12－6=25（个）。
所以，在大于3小于42的自然数中与6互素的数有41－3－25=13（个）。这就是说 ，比大，比7小，分母是6的最简分数有13个。
3名
11人
2平方厘米
三个圆的总面积是8+9+11=28（平方厘米）。显然，在计算这三个圆的总面积时，每两个圆的公共部分都计算了两次，所以要从中去掉，即28－（5+3+4）=16（平方厘米）。
而在刚才减去每两个圆的公共部分，又知三个圆所围成的曲线的面积是18平方厘米，所以，这三个圆的公共部分是18－16=2（平方厘米）。
15人
23
解这类问题可以用枚举法解决。先找出被3除余2的数；
2，5，8，11，14，17，20，23，26，…。
再找出被5除余3的数：
3，8，13，18，23，28，33，…。
再找出被7除余2的数：
2，9，16，23，30，37，44，…。
从三列数中发现：23是符合题意的数。
这个数最小是23。
[能力拓展平台]
选学计算机的有32人。
选学法语的有48×同时选学法语和计算机的有48×。从而推知，只选学法语的有28－12=16（人）。所以，选学计算机的有48－16=32（人）。
2、12人
依题意可知，45人中只有45-14=31人可能有弟弟和妹妹.如图,设既又有弟弟有妹妹的为x人,则19+4x=31人,x=3.只有妹妹的人数为3x=3x4=12人.
3、5人
设三项都达到优的有x人
由逐步排除法有
45=20+18+22-7-8-6+x+1
解得x=5
4、2
设阴影部分的面积是x，由容斥原理知28-（5+3+4）+x=18，故x=2。
5、26人，22人
如图，根据容斥原理的解法可知：54+38+52-（12+6）-（12+4）-（12+a）+12=100
解得a=10
因此，只喜欢语文的有54-6-12-10=26（人）
喜欢语文和外语的有12+10=22（人）
[全讲综合训练]
1、26人
解：从图中可以看出全班45人，借语文或数学课外读物的共39+32=71（人），超过全班人数71-45=26（人），这26人都借了语文、数学两种课外书。
2、21个

3、19个
个位是5（含一位数5）十位上可以为1至9九个数字共1+9=10（个）；十位是5，个位可以是0至9个数字共10个。这样55被算了2次，所以只有10+10-1=19（个）
4、67
将长方形和正方形面积相加，则图中阴影部分即三角形面积被多算了一次，即这两个图形盖住的图形面积为8×6+5×5-×4×3=67（平方厘米）
5、从图可以看出来诊病人总数为150+92-18=220（人）
6、41
解：如图所示，易知总人数为（15+12-7）+21=41（人）。
7、240个，120
因为385=5×7×11，故在1~385这385个自然数中，5的倍数有=76（个），7的倍数有==55（个），11的倍数有=35（个），5×7=35的倍数有=11（个），5×11=55的倍数有=7（个），7×11=77的倍数有=5（个），385的倍数有1个。由容斥原理知，在1~385中能被5、7或11整除的数有77+55+35-（11+7+5）+1=145（个），而5、7、11互质的数有385-145=240（个）。即分母为385的真分数有240（个）。
8、平方厘米
9、30人
10、（1）11；（2）24；（3）8
如图，用矩形表示参赛的70个学生，而用三个圆表示分别在跑、跳、投中得奖的人。设x为只得短跑奖的人数，y为只在短跑和弹跳两项得奖的人数，z为只在弹跳与投掷两项得奖的人数，u为只在投掷和短跑两项得奖的人数，则有u=12-5=7（人）,z=36-15-12=9（人）,y=29-5-7=8（人）,x=31-12-8=11（人）.即只得短跑奖的有11人。
(2)得二次奖的人数为y+z+u=8+9+7=24（人）
(3)因至少得一次奖的人数为x+y+z+u+5+7+15=62（人）, 故一项奖均未得的人数为70-62=8（人）
11、2.35
×5-122.5=18.8
18.8÷8=2.35
12、4人
如图所示，设既参加足球队又参加排球队的人数为x，则依容斥原理，有20+12+10-6-2-x =30，得x=4。
13、35人
如右图。由于每人最多参加两科，所以没有人参加三科竞赛。故
a+b≤28 ①
a+c≤23 ②
b+c≤20 ③
把①+②+③得：
2（a+b+c）≤28+23+20
a+b+c≤35.5
即参加两科竞赛的人数a+b+c最大可取35，经试算a=15,b=13,c=7时刚好满足条件①、②、③
，故可确定参加两科竞赛的最多有35人。
14、8人
所求的都赞成和都不赞成的学生都包含在50名同学中，由于问题比较复杂，我们从50人中利用逐步排除法去计算，如图。用长方形I表示50名被调查的同学，A表示赞成去颐和园的同学，用B表示赞成去动特园的同学，是A中有50×=30人，B中有30+3=33人，若设去两处都赞成的同学有x人，则去两处都不赞成的同学有+1人。由逐步排除法可知投过赞成票的人数（包括赞成去颐和园、动物园，和二者都想去的人）为30+33-x=63-x，由排除法可知用全体50人减去投过赞成票的人，剩下的就是去两处都不赞成的同学，这样也就列出了算式
（30-x）+(33+x)+x+(+1)=50
解得 x =21
故+1=8（人）
15、1002盏
电灯如果最后依然亮着的，那么这盏灯要么没拉过，要么被拉了偶数次，例如：一盏灯被拉了2次，在经历亮灭（拉1次）亮（拉2次）之后必然是亮着的。
因此，我们只要找出2000以内哪些数不是2、3、5的倍数（共多少个），即这种编号的灯没被拉过；以及是2和3、2和5、3和5的公倍数的数共多少个（即被拉了2次的灯）。由于1~2000的自然数中，是2、3、5的公倍数的数有：2000÷30≈66个是2、3的公倍数，但不是5的倍数的数有：2000÷6-66≈267（个）
是2、5的公倍数，但不是3的倍数的数有：
2000÷10-66=134（个）
是3、5的公倍数，但不是2的倍数的数有：2000÷15-66≈67（个）
所以，易求只是2的倍数的数有：
2000÷2-（267+66+134）=533个
只是3的倍数的数有：
2000÷3-（267+67+66）≈266个
只是5的倍数有：
2000÷5-（134+66+67）=133（个）
所以不是2、3、5的倍数的数共有：
2000-（2000÷2+266+67+133）=534（个）
这样，被拉了两次的灯和设被拉过的灯共有：（267+134+67）+534=1002（盏）