北师大版数学九年级上 4.7 相似三角形的性质（1） 教学设计
课题
4.7 相似三角形的性质（1）
单元
第四章
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
知识与技能：理解相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线的比都等于相似比的性质及推论，并能利用相似三角形的性质解决实际问题；
过程与方法：在探究相似三角形的性质的过程中发展学生类比的思想方法；
情感态度与价值观：培养勇于探索、勇于发现、敢于尝试的科学精神．
重点
探究并理解相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线的比都等于相似比的性质及推论．
难点
能熟练运用三角形相似的性质进行证明和计算．
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
新知导入
问题1：什么叫相似三角形？
答案：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.
问题2：如何判定两个三角形相似？
答案：（1）两角分别相等的两个三角形相似；
（2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
（3）三边对应成比例的两个三角形相似.
问题3：根据相似三角形的定义可以得到相似三角形的哪些性质呢？
答案：相似三角形的对应角相等、对应边成比例.
引问：相似三角形还有哪些性质呢？
学生积极回答老师所提出的问题.
通过回顾相似三角形的相关知识为探究相似三角形的性质做好准备.
新知讲解
探究：如图所示，小王依据图纸上的△ABC，以1：2的比例建造了模型房梁△A’B’C’，CD 和C’D’ 分别是它们的立柱.
（1）△ACD与△A’C’D’ 相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比.
（2）如果CD=1.5cm，那么模型房的房梁立柱有多高？
解：（1）△ACD∽△A’C’D’， 理由如下：
∵ ACA’C’=BCB’C’=ABA’B’=12，
∴ △ABC∽△A’B’C’.
∴∠A=∠A’
∵∠ADC=∠A’ D’ C’
∴ △ACD∽△A’C’D’
∴ CDC’D’=ACA’C’=12.
（2）∵CDC’D’=12，CD=1.5cm，
∴ CD=2 C’D’ =2 ×1.5=3（cm）
答：模型房的房梁立柱高为3cm.
想一想：已知△ABC ∽△A′B′C′，△ABC 与△A′B′C′ 的相似比为 k，它们对应高的比是多少？
解：∵△ABC∽△A’B’C’
∴∠A=∠A’，ACA’C’=k
∵∠ADC=∠A’D’C’=90°
∴ △ACD∽△A’C’D’
∴CDC’D’=ACA’C’=k.
结论1：相似三角形对应高的比等于相似比.
想一想：已知△ABC ∽△A′B′C′，△ABC 与△A′B′C′ 的相似比为 k，它们对应角平分线的比是多少？
解：∵△ABC∽△A’B’C’
∴∠ACB=∠A’C’B’ ， ∠A=∠A’
∵CD 与C’D’ 分别为△ABC 与△A′B′C′
的角平分线，
∴∠ACD=∠A’C’D’
∴ △ACD∽△A’C’D’
∴CDC’D’=ACA’C’=k.
结论2：相似三角形对应角平分线的比等于相似比.
想一想：已知△ABC ∽△A′B′C′，△ABC 与△A′B′C′ 的相似比为 k，它们对应中线的比吗？
解：∵△ABC∽△A’B’C’
∴∠A=∠A’ ，ACA’C’=ABA’B’
∵CD 与C’D’ 分别为△ABC 与△A′B′C′ 的中线，
∴AD=12AB，A’D’=12A’B’
∴ACA’C’=ADA’D’
∴ △ACD∽△A’C’D’
∴CDC’D’=ACA’C’=k.
结论3：相似三角形对应中线的比等于相似比.
归纳：相似三角形的性质（1）：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比.
议一议：如图,已知△ABC∽ △ A ' B ' C', △ ABC与△ A ' B ' C ' 的相似比为k.
（1）若∠BAD=13∠BAC,∠B'A'D'=13∠B'A'C',则ADA’D’等于多少？
答：ADA’D’=k
（2）若BE=13BC,B'E'=13B'C',则AEA’E’ 等于多少？
答：AEA’E’=k
（3）你还能提出哪些问题？
推论：相似三角形对应角的n等分线的比,对应边的n等分线的比都等于相似比.
例：如图所示，AD 是△ABC 的高，AD＝h，点R 在AC 边上，点S 在AB 边上，SR⊥AD，垂足为E.
当SR＝12BC 时，求DE 的长.如果SR＝13BC 呢？
解： ∵ SR⊥AD，BC⊥AD，
∴SR//BC.
∴ ∠ASR=∠B，∠ARS=∠C.
∴△ASR∽ △ABC
∴AEAD=SRBC
即 AD?DEAD=SRBC
当SR＝12BC 时，得 h?DEh=12，解得DE＝12h.
当SR＝13BC 时，得 h?DEh=13，解得DE＝23h.
学生认真思考、讨论并交流，然后证明.
学生证明，并说出理由.
学生证明，并说出理由.
学生证明，并说出理由.
师生共同归纳.
学生认真思考、探究，并班内交流.
学生积极思考、讨论并完成证明，然后主动展示，并认真听老师点评..
通过证明，初步体会相似三角形的对应高的比等于相似比.
理解相似三角形对应高的比等于相似比
理解相似三角形对应角平分线的比等于相似比
理解相似三角形对应中线的比等于相似比
理解相似三角形的性质.
探究相似三角形的性质的推论
明确活动的目的、方法及所需工具
利用相似三角形的性质解决实际问题.
课堂练习
1. 若△ABC ∽ △DEF，相似比为9：4，则△DEF 与△ABC 对应中线的比为（ ）
A．9：4 B．4：9 C．81：16 D．3：2
答案：B
2．如图，△ABC∽△A′B′C′，AD，BE分别是△ABC 的高和中线，A′D′，B′E′ 分别是△A′B′C′ 的高和中线，且AD＝4，A′D′＝3，BE＝6，则B′E′ 的长为( )
A.1.5 B.2.5 C.3.5 D.4.5
答案：D
学生自主完成课堂练习，做完之后班级内交流.
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识.
拓展提高
如图，两根电线杆相距1m，分别在高10 m的A 处和15 m的C 处用钢索将两杆固定，求钢索AD 与钢索BC 的交点M 离地面的高度MH.
解：由题意知AB//CD，
∴∠MAB＝∠MDC，
∠MBA＝∠MCD，
∴△ABM∽△DCM.
∴BH∶DH＝AB∶CD＝10∶15＝2∶3.
又∵MH//AB，
∴∠DMH＝∠DAB，∠DHM＝∠DBA，
∴△MHD∽△ABD，
∴MH∶AB＝DH∶BD.
∴MH∶AB＝DH∶(DH＋BH)＝3∶5.
∵AB＝10 m，
∴MH＝6 m.
∴钢索AD与钢索BC的交点M离地面的高度MH 是6 m
在师的引导下完成问题.
提高学生对知识的应用能力
中考链接
下面让我们一起赏析一道中考题：
（2019?阜新）如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，点D 是AC 边上的一点，DE 垂直平分AB，垂足为点E，若AC=8，BC=6，则线段DE 的长度为______．
答案：
在师的引导下完成中考题.
体会所学知识在中考试题运用.
课堂总结
说一说： 相似三角形的性质.
答案：相似三角形的对应角相等，对应边成比例.
推广：相似三角形对应角的n等分线的比,对应边的n等分线的比都等于相似比.
相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比.
跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识.
帮助学生加强记忆知识.
作业布置
基础作业
教材第108页习题4.11第1、2题
能力作业
教材第108页习题4.11第3、4题
学生课下独立完成.
检测课上学习效果.
板书设计
借助板书，让学生知道本节课的重点。
课件21张PPT。4.7 相似三角形的性质（1）数学北师大版 九年级上新知导入1、什么叫相似三角形？
三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.2、如何判定两个三角形相似？（1）两角分别相等的两个三角形相似；
（2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
（3）三边对应成比例的两个三角形相似.3、根据相似三角形的定义可以得到相似三角形的哪些性质呢？相似三角形的对应角相等、对应边成比例. 相似三角形还有哪些性质呢？新知讲解探究：如图所示，小王依据图纸上的△ABC，以1：2的比例建造了模型房梁△A’B’C’，CD 和C’D’ 分别是它们的立柱.（1）△ACD与△A’C’D’ 相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比.?新知讲解探究：如图所示，小王依据图纸上的△ABC，以1：2的比例建造了模型房梁△A’B’C’，CD 和C’D’ 分别是它们的立柱.（2）如果CD=1.5cm，那么模型房的房梁立柱有多高？?新知讲解想一想：已知△ABC ∽△A′B′C′，△ABC 与△A′B′C′ 的相似比为 k，它们对应高的比是多少？?相似三角形对应高的比等于相似比.新知讲解想一想：已知△ABC ∽△A′B′C′，△ABC 与△A′B′C′ 的相似比为 k，它们对应角平分线的比是多少？?相似三角形对应角平分线的比等于相似比.新知讲解想一想：已知△ABC ∽△A′B′C′，△ABC 与△A′B′C′ 的相似比为 k，它们对应中线的比吗？?相似三角形对应中线的比等于相似比.新知讲解相似三角形的性质（1）相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比.新知讲解?相似三角形对应角的n等分线的比,对应边的n等分线的比都等于相似比.新知讲解??新知讲解???1. 若△ABC ∽ △DEF，相似比为9：4，则△DEF 与△ABC 对应中线的比为（ ）
A．9：4 B．4：9
C．81：16 D．3：2课堂练习B课堂练习2．如图，△ABC∽△A′B′C′，AD，BE分别是△ABC 的高和中线，A′D′，B′E′ 分别是△A′B′C′ 的高和中线，且AD＝4，A′D′＝3，BE＝6，则B′E′ 的长为( )
A.1.5
B.2.5
C.3.5
D.4.5D拓展提高如图，两根电线杆相距1m，分别在高10 m的A 处和15 m的C 处用钢索将两杆固定，求钢索AD 与钢索BC 的交点M 离地面的高度MH.解：由题意知AB//CD，
∴∠MAB＝∠MDC，
∠MBA＝∠MCD，
∴△ABM∽△DCM.
∴BH∶DH＝AB∶CD＝10∶15＝2∶3.
又∵MH//AB，
∴∠DMH＝∠DAB，∠DHM＝∠DBA，∴△MHD∽△ABD，
∴MH∶AB＝DH∶BD.
∴MH∶AB＝DH∶(DH＋BH)＝3∶5.
∵AB＝10 m，
∴MH＝6 m.
∴钢索AD与钢索BC的交点M离地面的高度MH 是6 m拓展提高如图，两根电线杆相距1m，分别在高10 m的A 处和15 m的C 处用钢索将两杆固定，求钢索AD 与钢索BC 的交点M 离地面的高度MH.中考链接（2019?阜新）如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，点D 是AC 边上的一点，DE 垂直平分AB，垂足为点E，若AC=8，BC=6，则线段DE 的长度为______．课堂总结说一说相似三角形的性质.相似三角形的对应角相等，对应边成比例.推论：相似三角形对应角的n等分线的比,对应边的n等分线的比都等于相似比.相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比.板书设计
课题: 4.7 相似三角形的性质（1）?
学生展示区?
教师板演区一、相似三角形的性质（1）二、推论作业布置基础作业
教材第108页习题4.11第1、2题
能力作业
教材第108页习题4.11第3、4题
