北师大版数学九年级上 4.7 相似三角形的性质（2） 教学设计
课题
4.7 相似三角形的性质（2）
单元
第四章
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
知识与技能：理解相似三角形对应周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方的性质及推论，并能利用相似三角形的性质解决实际问题；
过程与方法：在探究相似三角形的性质的过程中发展学生类比的思想方法；
情感态度与价值观：培养勇于探索、勇于发现、敢于尝试的科学精神．
重点
理解相似三角形对应周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方的性质及推论．
难点
能熟练运用三角形相似的性质进行证明和计算．
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
新知导入
说一说：相似三角形都有哪些性质呢？
答案：
（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；
（2）相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比；
（3）相似三角形对应角的n等分线的比,对应边的n等分线的比都等于相似比.
学生积极回答老师所提出的问题.
通过回顾相似三角形的对应线段的性质为探究相似三角形对应周长和面积的性质做好准备.
新知讲解
探究1：如果△ABC∽△A‘B’C‘，相似比为2，那么△ABC与△A’B‘C’的周长比是多少？
解：∵△ABC∽△A'B'C'，相似比为2，
∴
????
??’??’
=
????
??’??’
=
????
??’??’
=2，
∴
????+????+????
??’??’+??’??’+??’??’
=
2??’??’+2??’??’+2??’??’
??’??’+??’??’+??’??’
=2.
∴ △ABC 与△A‘B’C‘ 的周长比为2.
追问1：相似比为3呢？
解：∵△ABC∽△A'B'C'，相似比为3，
∴
????
??’??’
=
????
??’??’
=
????
??’??’
=3，
∴
????+????+????
??’??’+??’??’+??’??’
=
3??’??’+3??’??’+3??’??’
??’??’+??’??’+??’??’
=3.
∴ △ABC 与△A‘B’C‘ 的周长比为3.
追问2：相似比为k呢？
解：∵△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，
∴
????
??’??’
=
????
??’??’
=
????
??’??’
=??，
∴
????+????+????
??’??’+??’??’+??’??’
=
????’??’+????’??’+????’??’
??’??’+??’??’+??’??’
=??.
∴ △ABC 与△A‘B’C‘ 的周长比为k.
追问3：你能得到什么结论呢？
答案：相似三角形的周长比等于相似比.
探究2：如果△ABC∽△A‘B’C‘，相似比为k，那么△ABC与△A’B‘C’ 的面积比是多少？
解：分别作△ABC和△A‘B’C‘ 的高CD，C‘D‘,
∵△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，
∴
????
??’??’
=
????
??’??’
=??，
∴
??△??????
??△??’??’??’
=
1
2
????·????
1
2
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=
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·
????
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=
??
2
.
∴ △ABC 与△A‘B’C‘ 的面积比为
??
2
.
追问：你能得到什么结论呢？
答案：相似三角形的面积比等于相似比的平方.
归纳：相似三角形的性质（2）：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
议一议：两个相似四边形的周长比等于相似比吗？面积比等于相似比的平方吗？两个相似五边形的周长比及面积比怎样呢？两个相似的 n 边形呢？
推论：相似四边形、五边形、n边形的周长比等于相似比；面积比等于相似比的平方．
例：如图所示，将△ABC 沿BC 方向平移得到△DEF，△ABC 与△DEF 重叠部分（图中阴影部分）的面积是△ABC 的面积的一半．已知BC=2，求△ABC 平移的距离.
/
解：根据题意，可知 EG//AB.
∴ ∠GEC=∠B，∠EGC=∠A．
∴ △GEC ∽△ABC.
∴
S△???????
S△???????
=(
?????
?????
)2=
?????2?
?????2
即：
1
2
=
?????2?
4
∴ EC 2 = 2．
∴ EC =
2
．
∴ BE = BC - EC = 2 -
2
，
即 △ABC 平移的距离为 2 -
2
.
练习：如图，在正方形网格上有△A1B1C1、△A2B2C2，这两个三角形相似吗？如果相似，求出△A1B1C1和△A2B2C2的面积比．
/
解：两个三角形相似. 理由如下：
通过观察图形发现∠B1A1C1 =∠B2A2C2=135°，
设每个小方格的边长为1，利用勾股定理得，
A1B1=2
2
, A2B2=
2
, A1C1 =4, A2C2 =2，
∴ A1B1：A2B2 = A1C1 ：A2C2 =2，
∴ △A1B1C1∽△A2B2C2，
∴S△A1B1C1： S△A2B2C2=22=4．
学生认真思考、讨论并交流，然后证明.
学生认真思考、讨论并交流，然后证明.
师生共同归纳.
学生认真思考、探究，并班内交流.
学生积极思考、讨论并完成证明，然后主动展示，并认真听老师点评..
通过证明，初步体会相似三角形的周长的比等于相似比.
通过证明，初步体会相似三角形的面积比等于相似比的平方.
理解相似三角形关于周长与面积的性质及其推论.
利用相似三角形的性质解决实际问题.
课堂练习
1. 判断正误：
（1） 如果把一个三角形三边的长同时扩大为原来的 10 倍，那么它的周长也扩大为原来的 10 倍；（ ）
答案：√
（2） 如果把一个三角形的面积扩大为原来的 9 倍，那么它三边的长都扩大为原来的 9 倍．（ ）
答案：×
2. 若△ABC∽△DEF，相似比为4：3，则对应面积的比为（ ）
A．4：3 B．3：4 C．16：9 D．9：16
答案：C
3. 若△ABC∽△DEF 且面积比为9：25，则△ABC 与△DEF 的周长之比为（ ）
A．9：25 B．3：25 C．3：5 D．2：5
答案：C
学生自主完成课堂练习，做完之后班级内交流.
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识.
拓展提高
如图，AD 是△ABC 的中线，且∠CAD＝∠B，若△ABC 的周长为10，求△ACD 的周长．
/
解：∵∠CAD＝∠B，∠C＝∠C，
∴△ACD∽△BCA，
∴
????
????
＝
????
????
，
即AC2＝CD·CB.
又∵AD是△ABC的中线，
设BD＝CD＝x,
∴AC2＝2x2，
∴AC＝
2
x，
∴
△??????周长
△??????周长
?＝
????
????
＝
2
??
2??
?＝
2
2
?，
即
△??????周长
10
?＝
2
2
?，
∴ △??????周长为5
2
.
在师的引导下完成问题.
提高学生对知识的应用能力
中考链接
下面让我们一起赏析一道中考题：
（2019?常州）若△ABC∽△A’B'C’，相似比为1：2，则△ABC与△A'B’C‘ 的周长的比为（ ）
A．2：1 B．1：2 C．4：1 D．1：4
答案：B
在师的引导下完成中考题.
体会所学知识在中考试题运用.
课堂总结
说一说：相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系？
答案：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
推论：相似四边形、五边形、n边形的周长比等于相似比；面积比等于相似比的平方．
跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识.
帮助学生加强记忆知识.
作业布置
基础作业
教材第111页习题4.12第2、3题
能力作业
教材第111页习题4.12第4、5题
学生课下独立完成.
检测课上学习效果.
板书设计
借助板书，让学生知道本节课的重点。
/
课件20张PPT。4.7 相似三角形的性质（2）数学北师大版 九年级上新知导入说一说：相似三角形都有哪些性质呢？（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；（2）相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比；（3）相似三角形对应角的n等分线的比,对应边的n等分线的比都等于相似比.新知讲解探究1：如果△ABC∽△A‘B’C‘，相似比为2，那么△ABC与△A’B‘C’ 的周长比是多少？?新知讲解探究1：如果△ABC∽△A‘B’C‘，相似比为2，那么△ABC与△A’B‘C’ 的周长比是多少？?相似比为3，探究1：如果△ABC∽△A‘B’C‘，相似比为3，那么△ABC与△A’B‘C’ 的周长比是多少？相似比为k，新知讲解?相似三角形的周长比等于相似比.你能得到什么结论呢？新知讲解探究2：如果△ABC∽△A‘B’C‘，相似比为k，那么△ABC与△A’B‘C’ 的面积比是多少？?你能得到什么结论呢？相似三角形的面积比等于相似比的平方.新知讲解相似三角形的性质（2）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．新知讲解议一议：两个相似四边形的周长比等于相似比吗？面积比等于相似比的平方吗？两个相似五边形的周长比及面积比怎样呢？两个相似的 n 边形呢？相似四边形、五边形、n边形的周长比等于相似比；面积比等于相似比的平方．推论：新知讲解例：如图所示，将△ABC 沿BC 方向平移得到△DEF，△ABC 与△DEF 重叠部分（图中阴影部分）的面积是△ABC 的面积的一半．已知BC=2，求△ABC 平移的距离.?练习：如图，在正方形网格上有△A1B1C1、△A2B2C2，这两个三角形相似吗？如果相似，求出△A1B1C1和△A2B2C2的面积比．?新知讲解1. 判断正误：
（1） 如果把一个三角形三边的长同时扩大为原来的 10 倍，那么它的周长也扩大为原来的 10 倍； （ ）
（2） 如果把一个三角形的面积扩大为原来的 9 倍，那么它三边的长都扩大为原来的 9 倍． （ ）课堂练习√×2. 若△ABC∽△DEF，相似比为4：3，则对应面积的比为（ ）
A．4：3 B．3：4
C．16：9 D．9：16 C课堂练习课堂练习3. 若△ABC∽△DEF 且面积比为9：25，则△ABC 与△DEF 的周长之比为（ ）
A．9：25 B．3：25
C．3：5 D．2：5C如图，AD 是△ABC 的中线，且∠CAD＝∠B，若△ABC 的周长为10，求△ACD 的周长．?拓展提高中考链接（2019?常州）若△ABC∽△A′B'C′，相似比为1：2，则△ABC与△A'B′C‘ 的周长的比为（ ）
A．2：1 B．1：2
C．4：1 D．1：4B课堂总结说一说：相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系？相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．相似四边形、五边形、n边形的周长比等于相似比；面积比等于相似比的平方．推论：板书设计
课题: 4.7 相似三角形的性质（2）?
学生展示区?
教师板演区一、相似三角形的性质（2）二、推论作业布置基础作业
教材第111页习题4.12第2、3题
能力作业
教材第111页习题4.12第4、5题
