沪教版(五四学制)2019-2020学年八年级数学上册期末复习测试卷 （解析版）

(真题测试）2019_2020学年八年级数学上册期末考点大串讲（沪教版）
一、填空题
1. (2018-2019学年上海市闵行区? 期末)平面上到原点O的距离是2厘米的点的轨迹是______．
2. (2017-2018学年上海市金山区? 期末)经过已知点P和Q的圆的圆心轨迹是______．
3. (2016-2017学年上海市闵行区九校联考期末 )以线段AB为底边的等腰三角形的顶点的轨迹是______．
4. (2016-2017学年上海市闵行区九校联考? 期末)直角三角形中两边长分别为4和5，那么第三边长为______ ．
5. (2016-2017学年上海市闵行区九校联考? 期末)若平面内点A（-1，-3）、B（5，b），且AB=10，则b的值为______ ．
6. (2018-2019学年上海市闵行区? 期末)如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于______．





7. (2018-2019学年上海市闵行区? 期末)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BD=2CD，AD是∠BAC的角平分线，∠CAD=______度．




8. (2018-2019学年上海市闵行区? 期末)已知，在△ABC中，AB=，∠C=22.5°，将△ABC翻折使得点A与点C重合，折痕与边BC交于点D，如果DC=2，那么BD的长为______．
9. （2018-2019学年上海市浦东新区期末）如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC于点D，AD=4，则BC=______．

10. （2018-2019学年上海市浦东新区期末）把两个同样大小含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A，且另外三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB=2，则CD=______．

二、解答题
11. (2017-2018学年上海市黄浦区期末 )在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=10，点D是射线CB上的一个动点，△ADE是等边三角形，点F是AB的中点，联结EF．
（1）如图，当点D在线段CB上时，
①求证：△AEF≌△ADC；
②联结BE，设线段CD=x，线段BE=y，求y关于x的函数解析式及定义域；
（2）当∠DAB=15°时，求△ADE的面积．








12. (2018-2019学年上海市闵行区? 期末)如图，已知点B、F、C、E在同一直线上，AC、DF相交于点G，AB⊥BE垂足为B，DE⊥BE，垂足为E，且BF=CE，AC=DF，
求证：点G在线段FC的垂直平分线上．







13. (2018-2019学年上海市闵行区? 期末)已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点E在AC上，AB=DE，AD∥BC．
求证：∠CBA=3∠CBE．








14. （2018-2019学年上海市浦东新区期末）已知：如图，AB=12cm，AD=13cm，CD=4cm，BC=3cm，∠C=90°．求△ABD的面积．












15. （2018-2019学年上海市浦东新区期末）已知：如图，∠F=90°，AE⊥OC于点E，点A在∠FOC的角平分线上，且点A到点B、点C的距离相等．求证：BF=EC．








16. （2018-2019学年上海市浦东新区期末）已知：如图，在△BCD中，CE⊥BD于点E，点A是边CD的中点，EF垂直平分线AB
（1）求证：BE=CD；
（2）当AB=BC，∠ABD=25°时，求∠ACB的度数．













17. (2018-2019学年上海市松江区期末 )如图，AE平分∠BAC，交BC于点D，AE⊥BE，垂足为E，过点E作EF∥AC，交AB于点F．求证：点F是AB的中点．








18. (2018-2019学年上海市松江区期末 )在△ABC中，点Q是BC边上的中点，过点A作与线段BC相交的直线l，过点B作BN⊥l于N，过点C作CM⊥l于M．
（1）如图1，如果直线l过点Q，求证：QM=QN；
（2）如图2，若直线l不经过点Q，联结QM，QN，那么第（l）问的结论是否成立？若成立，给出证明过程；若不成立，请说明理由．









19. (2018-2019学年上海市浦东新区第三教育署期末 )已知：如图，BP、CP分别是△ABC的外角平分线，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N．求证：PA平分∠MAN．













20. (2016-2017学年上海市闵行区九校联考? 期末)已知：如图，在△ABC中，BC=BA，BE平分∠CBA交边CA于点E，∠ABC=45°，CD⊥AB，垂足为D，F为BC中点，BE与DF、DC分别交于点G、H．
（1）求证：BH=CA；
（2）求证：BG2=GE2+EA2．












21. (2018-2019学年上海市长宁区期末 )如图，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠B=60°，AC=8，点D在边BC上，BD=3CD，线段DB绕点D顺时针旋转α度后（0＜α＜180），点B旋转至点E，如果点E恰好落在Rt△ABC的边上，求：△DBE的面积．







22. (2018-2019学年上海市浦东新区第四教育署? 期末)已知，如图在△ABC中，AD、BE分别是BC，AC边上的高，AD、BE交于H，DA=DB，BH=AC，点F为BH的中点，∠ABE=15°．
（1）求证：△ADC≌△BDH；
（2）求证：DC=DF．








23. (2018-2019学年上海市浦东新区第四教育署? 期末)已知：如图，AD∥BC，DB平分∠ADC，CE平分∠BCD，交AB于点E，BD于点O．求证：点O到EB与ED的距离相等．
?







24. (2017-2018学年上海市金山区? 期末)直角坐标平面内，已知点A（-1，0）、B（5，4），在y轴上求一点P，使得△ABP是以∠P为直角的直角三角形．







25. (2018-2019学年上海市长宁区期末 )已知，如图，在△ABC中，AE平分∠CAB交BC于点E，AC=6，CE=3，AE=3，BE=5，点F是边AB上的动点（点F与点A，B不重合），连接EF，设BF=x，EF=y．
（1）求AB的长；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）当△AEF为等腰三角形时，直接写出BF的长．














26. (2018-2019学年上海市金山区期末 )已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2，∠B=30°，P是边BC上的一动点，过点P作PE⊥AB，垂足为E，延长PE至点Q，使PQ=PC，连接CQ交边AB于点D．
（1）求AD的长；
（2）设CP=x，△PCQ的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）过点C作CF⊥AB，垂足为F，联结PF、QF，试探索当点P在边BC的什么位置时，△PFQ为等边三角形？请指出点P的位置并加以证明．









27. (2018-2019学年上海市松江区期末 )如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，点D是边A上的动点（点D与点A、B不重合），过点D作DE⊥AB交射线BC于点E，联结AE，点F是AE的中点，过点D、F作直线，交AC于点G，联结CF、CD．
（1）当点E在边BC上，设，DB=x，CE=y．
①写出y关于x的函数关系式及定义域；
②判断△CDF的形状，并给出证明；
（2）如果AE=，求DG的长．









28. (2018-2019学年上海市浦东新区第三教育署期末 )如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，D是边AC上不与点A、C重合的任意一点，DE⊥AB，垂足为点E，M是BD的中点．
（1）求证：CM=EM；
（2）如果BC=，设AD=x，CM=y，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）当点D在线段AC上移动时，∠MCE的大小是否发生变化？如果不变，求出∠MCE的大小；如果发生变化，说明如何变化．







29. (2018-2019学年上海市嘉定区期末 )如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，点P是AB边上一个动点，过点P作AB的垂线交AC边与点D，以PD为边作∠DPE=60°，PE交BC边与点E．
（1）当点D为AC边的中点时，求BE的长；
（2）当PD=PE时，求AP的长；
（3）设AP的长为x，四边形CDPE的面积为y，请直接写出y与x的函数解析式及自变量x的取值范围．









30. (2018-2019学年上海市闵行区? 期末)如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，AD∥BC，将一个直角的顶点置于点C，并将它绕着点C旋转，直角的两边分别交AB的延长线于点E，交射线AD于点F，联结EF交BC于点G，设BE=x．

（1）旋转过程中，当点F与点A重合时，求BE的长；
（2）若AF=y，求y关于x的函数关系式及定义域；
（3）旋转过程中，若CF=GC，求此时BE的长．







31. (2017-2018学年上海市金山区? 期末)已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=2．D是AC上一个动点，过点D作DE⊥AB交AB于F，且DE=DC，联结CE交AB于G（点G不与点F重合）．
（1）求∠A的度数；
（2）求BG的长；
（3）设CD=x，GF=y，求y与x的函数关系式并写出x的取值范围．















(2016-2017学年上海市闵行区九校联考? 期末)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，D是边AC上不与点A、C重合的任意一点，DE⊥AB，垂足为点E，M是BD的中点．
（1）求证：CM=EM；
（2）如果BC=，设AD=x，CM=y，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）当点D在线段AC上移动时，∠MCE的大小是否发生变化？如果不变，求出∠MCE的大小；如果发生变化，说明如何变化．







32.
答案和解析
1.【答案】以原点O为圆心，2厘米长为半径的圆

【解析】解：平面上到原点O的距离是2厘米的点的轨迹是以点O为圆心，2厘米长为半径的圆．
故答案为：以原点O为圆心，2厘米长为半径的圆．
根据圆的定义就可解决问题．
本题主要考查的是圆的定义，其中圆是到定点的距离等于定长的点的集合．
2.【答案】线段PQ的垂直平分线

【解析】解：根据同圆的半径相等，则圆心应满足到点P和点Q的距离相等，即经过已知点P和点Q的圆的圆心的轨迹是线段PQ的垂直平分线．
故答案为：线段PQ的垂直平分线．
要求作经过已知点P和点Q的圆的圆心，则圆心应满足到点P和点Q的距离相等，从而根据线段的垂直平分线性质即可求解．
此题考查了点的轨迹问题，熟悉线段垂直平分线的性质．
3.【答案】线段AB的垂直平分线（与AB的交点除外）

【解析】解：∵△ABC以线段AB为底边，CA=CB，
∴点C在线段AB的垂直平分线上，除去与AB的交点（交点不满足三角形的条件），
∴以线段AB为底边的等腰三角形的顶点C的轨迹是线段AB的垂直平分线，不包括AB的中点．
故答案为线段AB的垂直平分线，不包括AB的中点．
满足△ABC以线段AB为底边且CA=CB，根据线段的垂直平分线判定得到点C在线段AB的垂直平分线上，除去与AB的交点（交点不满足三角形的条件）．
本题考查了轨迹：轨迹是动点按一定条件运动所经过的痕迹．也考查了线段的垂直平分线判定与性质，．解题的关键是熟记线段AB的垂直平分线的定义．
4.【答案】3或

【解析】解：当5是斜边时，则第三边是=3，
当4和5都是直角边时，则第三边是=．
故答案为：3或．
考虑两种情况：4和5都是直角边或5是斜边，根据勾股定理进行求解．
此类题注意考虑两种情况，熟练运用勾股定理进行计算．
5.【答案】-11或5

【解析】解：由题意可得，
，
解得，b=-11或b=5，
故答案为：-11或5．
根据题意和两点间的距离公式可以求得b的值，本题得以解决．
本题考查两点间的距离公式，解题的关键是明确题意、明确两点间的距离公式．
6.【答案】8

【解析】解：如图，∵△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，DE=5，
∴DE=AC=5，
∴AC=10．
在直角△ACD中，∠ADC=90°，AD=6，AC=10，则根据勾股定理，得
CD===8．
故答案是：8．
由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得AC=2DE=10；然后在直角△ACD中，利用勾股定理来求线段CD的长度即可．
本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线．利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得AC的长度是解题的难点．
7.【答案】30

【解析】解：过点D作DE⊥AB于E点，
∵AD是∠BAC的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DC=DE．
∵BD=2CD，
∴BD=2DE．
∴∠B=30°．
∵∠C=90°，
∴∠CAB=60°．
∴∠CAD=×60°=30°．
故答案为30．
过点D作DE⊥AB于E点，根据角平分线性质可得DE=DC，从而BD=2DE，则∠B=30°，可知∠CAB=60°，再利用角平分线的定义可求∠CAD度数．
本题主要考查了角平分线的性质、根据角平分线的性质作垂线段的解题的关键．
8.【答案】+1或-1

【解析】解：分两种情况：
①当∠B为锐角时，如图所示，过A作AF⊥BC于F，

由折叠可得，折痕DE垂直平分AC，
∴AD=CD=2，
∴∠ADB=2∠C=45°，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴AF=DF=，
又∵AB=，
∴Rt△ABF中，BF==1，
∴BD=BF+DF=1+；
②当∠ABC为钝角时，如图所示，过A作AF⊥BC于F，

同理可得，△ADF是等腰直角三角形，
∴AF=DF=，
又∵AB=，
∴Rt△ABF中，BF==1，
∴BD=DF-BF=-1；
故答案为：+1或-1．
过A作AF⊥BC于F，构造直角三角形，分两种情况讨论，利用勾股定理以及等腰直角三角形的性质，即可得到BD的长．
本题主要考查了折叠问题以及勾股定理的运用，解决问题的关键是分两种情况画出图形进行求解．解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
9.【答案】12

【解析】解：∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠C=∠B=30°，
∵AD⊥AC交BC于点D，
∴CD=2AD=8，∠BAD=30°=∠B，
∴BD=AD=4，
∴BC=BD+CD=4+8=12．
故答案为：12．
依据等腰三角形的内角和，即可得到∠C=∠B=30°，依据AD⊥AC交BC于点D，即可得到CD=2AD=8，∠BAD=30°=∠B，进而得出BC的长．
本题主要考查了含30°角的直角三角形的性质以及等腰三角形的性质，解题时注意：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
10.【答案】-

【解析】解：如图，过点A作AF⊥BC于F，
在Rt△ABC中，∠B=45°，
∴BC=AB=2，BF=AF=AB=，
∵两个同样大小的含45°角的三角尺，
∴AD=BC=2，
在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF==，
∴CD=BF+DF-BC=+-2=-，
故答案为：-．
先利用等腰直角三角形的性质求出BC=2，BF=AF=，再利用勾股定理求出DF，即可得出结论．
此题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．
11.【答案】（1）①证明：在Rt△ABC中，
∵∠B=30°，AB=10，
∴∠CAB=60°，AC=AB=5，
∵点F是AB的中点，
∴AF=AB=5，
∴AC=AF，
∵△ADE是等边三角形，
∴AD=AE，∠EAD=60°，
∵∠CAB=∠EAD，即∠CAD+∠DAB=∠FAE+∠DAB，
∴∠CAD=∠FAE，
在△AEF和△ADC中，
，
∴△AEF≌△ADC（SAS）；
②∵△AEF≌△ADC，
∴∠AEF=∠C=90°，EF=CD=x，
又∵点F是AB的中点，
∴AE=BE=y，
在Rt△AEF中，勾股定理可得：y2=25+x2，
∴函数的解析式是y=，定义域是0＜x≤5；
（2）①当点在线段CB上时，
由∠DAB=15°，可得∠CAD=45°，△ADC是等腰直角三角形，
∴AD2=50，
△ADE的面积为；
②当点在线段CB的延长线上时，
由∠DAB=15°，可得∠ADB=15°，BD=BA=10，
∴在Rt△ACD中，勾股定理可得AD2=200+100，
△ADE的面积为50+75，
综上所述，△ADE的面积为或50+75．

【解析】（1）①在直角三角形ABC中，由30度所对的直角边等于斜边的一半求出AC的长，再由F为AB中点，得到AC=AF=5，确定出三角形ADE为等边三角形，利用等式的性质得到一对角相等，砸由AD=AE，利用SAS即可得证；
②由全等三角形对应角相等得到∠AEF为直角，EF=CD=x，在三角形AEF中，利用勾股定理即可列出y关于x的函数解析式及定义域；
（2）分两种情况考虑：①当点在线段CB上时；②当点在线段CB的延长线上时，分别求出三角形ADE面积即可．
此题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
12.【答案】证明：∵BF=CE，
∴BF+FC=CE+FC，即BC=EF．
又∵AB⊥BE，DE⊥BE，
∴∠B=∠E=90°．
在Rt△ABC和Rt△DEF中，，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF??（HL）
∴∠ACB=∠DFE（全等三角形的对应角相等），
∴GF=GC（等角对等边），
∴点G在线段FC的垂直平分线上．

【解析】证得Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），推知∠ACB=∠DFE，然后由“等角对等边”证得GF=GC，即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
13.【答案】证明：
取DE的中点F，连接AF，
∵AD∥BC，∠ACB=90°，
∴∠DAE=∠ACB=90°，
∴AF=DF=EF=DE，
∵AB=DE，
∴DF=AF=AB，
∴∠D=∠DAF，∠AFB=∠ABF，
∴∠AFB=∠D+∠DAF=2∠D，
∴∠ABF=2∠D，
∵AD∥BC，
∴∠CBE=∠D，
∴∠CBA=∠CBE+∠ABF=3∠CBE．

【解析】取DE的中点F，连接AF，根据直角三角形的性质求出AF=DF=FE=DE，推出DF=AF=AB，根据等腰三角形的性质求出∠D=∠DAF，∠AFB=∠ABF，求出∠ABF=2∠D，∠CBE=∠D，即可得出答案．
本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，难度适中．
14.【答案】解：∵CD=4cm，BC=3cm，∠C=90°，
∴BD=cm，
∵AB=12cm，AD=13cm，
∴BD2+AB2=AD2，
∴∠ABD=90°，
∴．

【解析】根据勾股定理的逆定理证明△ABD是直角三角形，即可求解．
此题主要是考查了勾股定理及其逆定理．关键是根据勾股定理的逆定理证明△ABD是直角三角形．
15.【答案】证明：∵点A在∠FOC的角平分线上，∠F=90°，AE⊥OC，
∴AE=AF，
∵点A到点B、点C的距离相等，
∴AB=AC，
∵∠F=∠AEC=90°，
∴Rt△ABF≌Rt△ACE（HL），
∴BF=EC．

【解析】证明Rt△ABF≌Rt△ACE（HL）即可解决问题．
本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
16.【答案】（1）证明：连接AE，
∵CE⊥BD，点A是边CD的中点，
∴AE=AD=CD，
∵EF垂直平分线AB，
∴EA=EB，
∴BE=CD；
（2）∵EA=EB，
∴∠EAB=∠ABD=25°，
∴∠AED=∠EAB+∠ABD=50°，
∵EA=AD，
∴∠D=∠AED=50°，
∴∠BAC=∠ABD+∠D=75°，
∵AB=BC，
∴∠ACB=∠BAC=75°．

【解析】（1）连接AE，根据直角三角形的性质得到AE=AD=CD，根据线段垂直平分线的性质得到EA=EB，等量代换证明结论；
（2）根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质求出∠AED，根据等腰三角形的性质计算，得到答案．
本题考查的是直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形的外角性质，掌握直角三角形斜边上的中线是斜边的一半是解题的关键．
17.【答案】证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵EF∥AC，
∴∠FEA=∠CAD，
∴∠BAD=∠FEA，
∴FA=FE，
∵AE⊥BE，
∴∠BEF+∠AEF=90°，
∵∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠ABE=∠BEF，
∴FB=FE，
∴FB=FA，即点F是AB的中点．

【解析】根据角平分线的性质、平行线的性质得到FA=FE，根据垂直的定义、同角的余角相等得到FB=FE，证明结论．
本题考查的是平行线的性质、等腰三角形的性质、线段的中点，掌握等腰三角形的性质定理是解题的关键．
18.【答案】证明：（1）∵点Q是BC边上的中点，
∴BQ=CQ，
∵BN⊥l，CM⊥l，
∴∠BNQ=∠CMQ=90°，且BQ=CQ，∠BQN=∠CQM，
∴△BQN≌△CQM（AAS）
∴QM=QN；
（2）仍然成立，
理由如下：
如图，延长NQ交CM于E，

∵点Q是BC边上的中点，
∴BQ=CQ，
∵BN⊥l，CM⊥l，
∴BN∥CM
∴∠NBQ=∠QCM，且BQ=CQ，∠BQN=∠CQE，
∴△BQN≌△CQE（ASA）
∴QE=QN，且∠NME=90°，
∴QM=NQ=QE．

【解析】（1）由“AAS”可证△BQN≌△CQM，可得QM=QN；
（2）延长NQ交CM于E，由“ASA”可证△BQN≌△CQE，可得QE=QN，由直角三角形的性质可得结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
19.【答案】证明：作PD⊥BC于点D，
∵BP是△ABC的外角平分线，PM⊥AB，PD⊥BC，
∴PM=PD，
同理，PN=PD，
∴PM=PN，又PM⊥AB，PN⊥AC，
∴PA平分∠MAN．

【解析】作PD⊥BC于点D，根据角平分线的性质得到PM=PD，PN=PD，得到PM=PN，根据角平分线的判定定理证明即可．
本题考查的是角平分线的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
20.【答案】解：（1）∵BC=BA，BE平分∠CBA，
∴BE⊥CA，
∴∠BEA=90°，
又CD⊥AB，∠ABC=45°，
∴∠BDC=∠CDA=90°，
∴∠BCD=∠ABC=45°，∠BAC+∠DCA=90°，∠BAC+∠ABE=90°，
∴DB=DC，∠ABE=∠DCA．
∵在△DBH与△DCA中，
∵，
∴△DBH≌△DCA（ASA），
∴BH=AC；
（2）如图，连接CG,AG．

∵AB=BC，BE⊥AC，
∴BE垂直平分AC，
∴AG=CG．
又∵F点是BC的中点，DB=DC，
∴DF垂直平分BC，
∴BG=CG，
∴AG=BG．
在Rt△AGE中，∵AG2=GE2+EA2，
∴BG2=GE2+EA2．

【解析】（1）由等腰三角形的性质知∠BEA=90°，根据直角三角形的性质即余角的性质得DB=DC、∠ABE=∠DCA，利用ASA证出△DBH≌△DCA即可；
（2）证BE垂直平分AC，则由“垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等”推知AG=CG．易证DF垂直平分BC，则BG=CG，所以依据等量代换证得AG=BG，在Rt△AGE中，由勾股定理即可推出答案．
本题考查了勾股定理，等腰三角形性质，全等三角形的性质和判定，线段的垂直平分线的性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，等腰三角形具有三线合一的性质，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
21.【答案】解：∵∠C=90°，∠B=60°，
∴∠A=30°，
∴AB=2BC
∵在Rt△ABC中，AB2=BC2+AC2，
∴4BC2=BC2+64×3，
∴BC=8，
∴AB=16，
∵点D在边BC上，BD=3CD，
∴BD=6，CD=2，
如图，当点E在AB上时，过点E作EF⊥BC于点F，

∵旋转
∴DE=BD=6，且∠ABC=60°，
∴△BDE是等边三角形
∴BE=6，且EF⊥BD，∠ABC=60°，
∴BF=3，EF=BF=3
∴S△BED=BD×EF=9，
如图，当点E在AC上时，

∵旋转
∴BD=DE=6
在Rt△CDE中，CE===4，
∴S△BED=BD×EC=12，
综上所述：△DBE的面积为12或9．

【解析】根据勾股定理可求AB，BC的长，即可求BD=6，CD=2，分点E落在AB上，或AC上两种情况讨论，根据勾股定理和等边三角形的性质以及三角形面积公式可求△DBE的面积．
本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．
22.【答案】证明：（1）∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADC=∠BDH=90°，
在Rt△ADC和Rt△BDH中，
，
∴△ADC≌△BDH（HL）；

（2）∵DB=DA，
∴∠DBA=∠DAB=45°，
∵∠ABE=15°，
∴∠DBH=30°，
∴DH=BH，
∵BF=FH，
∴DF=BH，
∴DF=DH，
∵△ADC≌△BDH；
∴CD=DH，
∴DC=DF．

【解析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，直角三角形30度角的性质等，全等三角形的判定和性质知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
（1）由全等三角形的判定定理HL证得结论即可；
（2）结合（1）中全等三角形的对应边相等得到DC=DH，然后根据含30度角的直角三角形的性质以及直角三角形斜边中线的性质证明即可；
23.【答案】证明：∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∵DB平分∠ADC，CE平分∠BCD，
∴∠ODC+∠OCD=90°，
∴∠DOC=90°，又CE平分∠BCD，
∴CE是BD的垂直平分线，
∴EB=ED，又∠DOC=90°，
∴EC平分∠BED，
∴点O到EB与ED的距离相等．

【解析】根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠DOC=90°，根据等腰三角形的三线合一证明即可．
本题考查的是平行线的性质、角平分线的性质，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键．
24.【答案】解：设P（0，y）
由勾股定理得，AB2=（5+1）2+42，AP2=12+y2，BP2=52+（4-y）2，
∵∠P=90°，
∴AB2=AP2+BP2，即（5+1）2+42=12+y2+52+（4-y）2，
解得，y1=5，y2=-1，
∴当点P的坐标为（0，5）或P（0，-1）时，△ABP是以∠P为直角的直角三角形．

【解析】设P（0，y），根据勾股定理用y表示出AP、BP，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
本题考查的是勾股定理、坐标与图形性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
25.【答案】解：（1）∵AC=6，CE=3，AE=3，
∴AC2+CE2=62+32=45，
AE2=（3）2=45，
∴AC2+CE2=AE2，
∴∠ACE=90°，
∵BE=5，
∴BC=8，
由勾股定理得：AB===10；
（2）如图1，过E作EG⊥AB于G，
∵AE平分∠BAC，∠C=90°，
∴EG=EC=3，
∵AE=AE，
∴Rt△ACE≌Rt△AGE（HL），
∴AG=AC=6，
∴BG=10-6=4，
∵BF=x，
∴FG=|4-x|，
在Rt△EFG中，由勾股定理得：EF=，
∴y==（0＜x＜10）；
（3）分两种情况讨论：
①当AE=AF=3时，如图2，
∵AB=10，
∴BF=10-3，
②当AF=EF时，如图3，过F作FP⊥AE于P，
∴AP=AE=，
∵∠CAE=∠FAP，∠APF=∠C=90°，
∴△ACE∽△APF，
∴，即，
AF=，
∴BF=10-=，
综上，当△AEF为等腰三角形时，BF的长为10-3或．

【解析】（1）先根据勾股定理的逆定理可得∠ACE=90°，再由勾股定理计算AB的长；
（2）作辅助线，构建三角形全等，先根据角平分线的性质得：EG=CE=3，表示FG的长，因为F可能在G的左边或右边，所以FG=|4-x|，最后根据勾股定理可得y关于x的函数解析式；
（3）当△AEF为等腰三角形时，存在两种情况：①当AE=AF=3时，如图2，②当AF=EF时，如图3，分别根据等腰三角形的性质可得结论．
本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质定理，勾股定理及其逆定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
26.【答案】解：（1）∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴AC=AB=1，
∵PQ=PC，
∴∠PQC=∠PCQ，
∵PE⊥AB，
∴∠PQC+∠QDE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠PCQ+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠QDE，
∵∠ACD=∠ADC，
∴∠ACD=∠ADC，
∴AD=AC=1；
（2）作QH⊥BC于H，
∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠A=60°，又AD=AC，
∴△ADC为等边三角形，
∴∠QCB=30°，
∵PQ=PC=x，
∴∠PQC=∠PCQ=30°，
∴∠QPH=60°，
∴QH=x，
∴△PCQ的面积为y=×x×x=x2（＜x＜）；
（3）当点P在边BC的中点时，△PFQ为等边三角形，
理由如下：如备用图，∵∠BFC=90°，点P是BC的中点，
∴PF=BC=CP，
∵∠BFC=90°，∠B=30°，
∴FC=BC=CP，∠BPE=60°，
∴FC=PF=CP，
∴△FPC为等边三角形，
∴∠FPC=60°，
∵∠BPE=60°，
∴∠QPF=60°，
∵PF=PC=PQ，
∴△PFQ为等边三角形．

【解析】（1）根据直角三角形的性质求出AC，根据直角三角形的性质、等腰三角形的判定定理解答即可；
（2）作QH⊥BC于H，根据直角三角形的性质用x表示出QH，根据三角形的面积公式计算，得到答案；
（3）证明△FPC为等边三角形，得到∠FPC=60°，根据等腰三角形的判定定理证明结论．
本题考查的是直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质、三角形的面积计算，掌握等边三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
27.【答案】解：（1）①∵∠ACB=90°，AC=BC=4，
∴AB=4，∠B=∠BAC=45°，
又∵DE⊥AB，
∴△DEB为等腰直角三角形，
∵DB=x，CE=y，
∴EB=x，
又∵EB+CE=4，
∴x+y=4，
∴y=4-x（0＜x≤2）；
②∵DE⊥AB，∠ACB=90°，
∴∠ADE=90°，
∵点F是AE的中点，
∴CF=AF=AE，DF=AF=AE，
∴CF=DF，
∵∠CFE=2∠CAE，∠EFD=2∠EAD，
∴∠CFD=∠CFE+∠EFD=2∠CAE+2∠EAD=2∠CAD，
∵∠CAB=45°，
∴∠CFD=90°，
∴△CDF是等腰直角三角形；

（2）如图1，当点E在BC上时，AE=，AC=4，

在Rt△ACE中，CE=，
则AE=2CE，
∴∠CAE=30°，
又CF=DF=AE=，
在Rt△CFG中，GF=，
∴DG=DF+FG=；
如图2，当点E在BC延长线上时，∠CFD=90°，

同理可得CF=DF=AE=，
在Rt△CFG中，GF=，
∴DG=DF-FG=．

【解析】（1）①先证△DEB为等腰直角三角形，设DB=x，CE=y知EB=x，由EB+CE=4知x+y=4，从而得出答案；
②由∠ADE=90°，点F是AE的中点知CF=AF=AE，DF=AF=AE，据此得出CF=DF，再由∠CFE=2∠CAE，∠EFD=2∠EAD知∠CFD=∠CFE+∠EFD=2∠CAE+2∠EAD=2∠CAD，结合∠CAB=45°知∠CFD=90°，据此可得答案；
（2）分点E在BC上和BC延长线上两种情况，分别求出DF、GF的长，从而得出答案．
本题主要是三角形的综合问题，解题的关键是掌握等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识点．
28.【答案】（1）证明：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M是BD的中点，
∴CM=BD．
同理ME=BD，
∴CM=ME．
（2）解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=，
∴AB=2BC=2．
由勾股定理得AC=3，
∵AD=x，∴CD=3-x，
在Rt△BCD中，∠BCD=90°，
∴BD2=BC2+CD2，
∴BD=，
∵CM=BD，CM=y，
∴y=（0＜x＜3），
（3）不变．
∵M是Rt△BCD斜边BD的中点，∴MB=MC，∴∠MBC=∠MCB．
∴∠CMD=∠MBC+∠MCB=2∠MBC，
∵M是Rt△BED斜边BD的中点，
同理可得：∠EMD=2∠MBE，
∠CMD+∠EMD=2∠MBC+2∠MBE=2（∠MBC+∠MBE）=2∠ABC，
即∠CME=2∠ABC=120°，
∵MC=ME，
∴∠MCE=∠MEC=30°．

【解析】（1）根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可证明；
（2）根据CM=BD，可得BD=2y，根据勾股定理又可得出BD用x表示的形式，换成等式即可得出y与x的函数解析式；
（3）根据（1）可知，∠MBC=∠MCB，∠MEB=∠MBE，易得出∠CMD=2∠CBM，∠DME=2∠MBE，即∠CME=2∠CBA是定值，又知CM=ME，即可证明∠MCE是定值，即可得出结论．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，含30°角的直角三角形以及勾股定理的知识，难度较大，熟练掌握各个知识点是解答本题的关键．
29.【答案】解：（1）在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，
∴BC=AB=2，
∴AC==2，
∵D是AC的中点，
∴AD=，DP=，AP=，
∴BP=AB-AP=，
∵∠DPE=60°，
∴∠EPB=30°，
∴EB=BP=；

（2）设AP=x，则BP=4-x，
在两个有30°的Rt△APD，Rt△BPE中，AD=2DP，BP=2BE，
由勾股定理解得PD=x，PE=（4-x），
因为PD=PE，
所以x=（4-x），
解得x=，即AP=；

（3）由（2）知：AP=x，PD=x，PE=（4-x），BE=（4-x），
∴y=S△ABC-S△APD-S△BPE
=×2×2-?x?x-×（4-x）?（4-x）
=-x2+x（0＜x＜3）．

【解析】（1）由∠A=30°，AB=4求得BC=2，AC=2，结合D是AC中点知AD=，DP=，AP=，从而得出BP=AB-AP=，再根据∠EPB=30°可得答案；
（2）设AP=x，知BP=4-x，由勾股定理解得PD=x，PE=（4-x），根据PD=PE得出关于x的方程，解之可得；
（3）由（2）知：AP=x，PD=x，PE=（4-x），BE=（4-x），依据y=S△ABC-S△APD-S△BPE可得答案．
本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握直角三角形的有关性质、勾股定理、三角形的面积公式等知识点．
30.【答案】解：（1）如图1，∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，
∴AC==5，
∵∠ACE=90°，
∴AC2=AB?AE，
∴52=3AE，
∴AE=，
∴BE=AE-AB=-3=；
（2）过F作FH⊥BC于H，
∵AD∥BC，
∴∠BAD=∠CBE=90°，
∴∠FAB=∠ABH=∠BHF=90°，
∴四边形ABHF是矩形，
∴FH=AB=3，BH=AF=y，
∴CH=4-y，
∵∠FCE=90°，
∴∠FCH+∠ECB=∠ECB+∠BEC=90°，
∴∠FCH=∠BEC，
∴△CFH∽△ECB，
∴，
∴，
∴y=x-4，（0≤x≤）；
（3）∵CF=GC，
∴∠CGF=∠CFG，
∵AD∥BC，
∴∠AFE=∠CGF，
∴∠CFG=∠AFE，
∵∠FAE=∠FCE=90°，
∴CE=AE=3+x，
在Rt△BCE中，
∵BC2+BE2=CE2，
∴（x+3）2=x2+42，
∴x=，
∴BE=．

【解析】（1）如图1，根据勾股定理得到AC==5，根据射影定理即可得到结论；
（2）过F作FH⊥BC于H，根据平行线的性质得到∠BAD=∠CBE=90°，根据矩形的性质得到FH=AB=3，BH=AF=y，求得CH=4-y，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（3）根据等腰三角形的性质和平行线的性质得到∠CFG=∠AFE，根据角平分线的性质得到CE=AE=3+x，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查几何变换综合题、相似三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会正确寻找相似三角形解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．
31.【答案】解：（1）∵∠ACB=90°，AC=6，BC=2，
∴AB====4，
∴BC=AB，
∴∠A=30°；

（2）∵DE⊥AB，
∴∠AFD=90°，
∵∠A=30°，
∴∠ADF=60°，
∴∠CDE=120°，
∵DE=DC，
∴∠DCE=∠DEC=30°
∴∠GCB=60°，
又∵∠A+∠B=90°，
∴∠B=60°，
∴△BCG是等边三角形，
∴GB=CB=2；

（3）∵AC=6，CD=x，
∴AD=6-x，
则AF===AD=（6-x），
∵GF=AB-AF-BG，
∴y=4-（6-x）-2=x-，
由y≥0知x-≥0，解得x≥2，
所以x的取值范围是2≤x≤6．

【解析】（1）利用勾股定理求得AB=4，从而知BC=AB，据此可得答案；
（2）由∠A=30°知∠CDE=120°，由DE=DC知∠GCB=60°，结合∠B=60°知△BCG是等边三角形，从而得出答案；
（3）由AD=6-x知AF=AD=（6-x），根据GF=AB-AF-BG得y=4-（6-x）-2=x-，由y≥0可得x≥2，结合x≤6可得取值范围．
本题是三角形的综合问题，解题的关键是掌握直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质等知识点．
32.【答案】（1）证明：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M是BD的中点，
∴CM=BD．
同理ME=BD，
∴CM=ME．
（2）解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=，
∴AB=2BC=2．
由勾股定理得AC=3，
∵AD=x，∴CD=3-x，
在Rt△BCD中，∠BCD=90°，
∴BD2=BC2+CD2，
∴BD=，
∵CM=BD，CM=y，
∴y=（0＜x＜3），
（3）不变．
∵M是Rt△BCD斜边BD的中点，∴MB=MC，∴∠MBC=∠MCB．
∴∠CMD=∠MBC+∠MCB=2∠MBC，
∵M是Rt△BED斜边BD的中点，
同理可得：∠EMD=2∠MBE，
∠CMD+∠EMD=2∠MBC+2∠MBE=2（∠MBC+∠MBE）=2∠ABC，
即∠CME=2∠ABC=120°，
∵MC=ME，
∴∠MCE=∠MEC=30°．

【解析】（1）根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可证明；
（2）根据CM=BD，可得BD=2y，根据勾股定理又可得出BD用x表示的形式，换成等式即可得出y与x的函数解析式；
（3）根据（1）可知，∠MBC=∠MCB，∠MEB=∠MBE，易得出∠CMD=2∠CBM，∠DME=2∠MBE，即∠CME=2∠CBA是定值，又知CM=ME，即可证明∠MCE是定值，即可得出结论．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，含30°角的直角三角形以及勾股定理的知识，难度较大，熟练掌握各个知识点是解答本题的关键．