1.2 整式
一、整式的有关概念?
1、单项式：数与字母的________叫做单项式.单独________或________也是单项式.?
单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的________叫做这个单项式的次数.
单项式的系数：单项式中的________叫单项式的系数.?
2、多项式：几个单项式的________叫做多项式.?
多项式的项：多项式中每一个单项式都叫多项式的________.一个多项式含有几项，就叫几项式.?
多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数.不含字母的项叫________.?
3、同类项：所含字母________，并且相同字母的指数也分别________的项叫做同类项.?
二、整式的加减?
1、合并同类项：把同类项的系数________，所得结果作为系数，字母及字母的________不变.
2、去括号法则：括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项的符号________；括号前面是“–”号，把括号和它前面的“–”号去掉，括号里的各项的符号都________.?
3、整式的加减：先去括号，再________.?
三、整式的乘除
1、?幂的运算法则：其中m、n都是正整数?
同底数幂相乘：
同底数幂相除：
幂的乘方：
积的乘方：
2、单项式乘以单项式：用它们系数的积作为积的________，对于相同的字母，用它们的指数的和作为这个字母的________；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.?????
3、单项式乘以多项式：就是用单项式去乘多项式的________，再把所得的积________.?????
4、多项式乘以多项式：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的________，再把所得的积________.?
5、乘法公式：
平方差公式：
完全平方公式：
两个含同一字母的一次两项式相乘：
6、单项除单项式：把系数，同底数幂分别________，作为商的因式，对于只在被除式里含有字母，则连同它的指数作为商的一个因式.?????
7、多项式除以单项式：把这个多项式的________除以这个单项式，再把所得的商________.
四、因式分解
1、因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的________的形式，叫因式分解.?
2、常用的因式分解方法：?
（1）提取公因式法：
（2）运用公式法：?
平方差公式：
完全平方公式：
十字相乘：
（3）分组分解法：将多项式的项适当分组后能提公因式或运用公式法分解因式.?
（4）求根公式法：若 的两个根是x1、x2，则?
3、因式分解的一般步骤：?
先________，?再运用________，?最后考虑用分组分解法，一定要分解到每个因式________为止.
五、整式求值
先________，再将字母或式子的值按运算顺序代入求值.
考点一： 整式的有关概念
下列式子：x2﹣1， ﹣2， ab3，﹣2x，16， 中，整式的个数有（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
变式跟进1已知一个多项式是三次二项式，则这个多项式可以是（ ）
A. B. C. D.
考点二： 代数式求值
已知
??
2
+2???3=0，则代数式2
??
2
+4???3的值是（ ）
A. -3 B. 0 C. 3 D. 6
变式跟进2若????=1,?????=?4，则
??
2
+3????+
??
2
=_________.
考点三： 整式的运算
下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
变式跟进3下列计算的结果是的为（ ）
A． B． C． D．
考点四： 因式分解
分解因式：a3﹣4a= ．
变式跟进4如图，从边长为（a+3）的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是 ．
/
考点五： 化简求值
已知x+y=，xy=，则x2y+xy2的值为 ．
变式跟进5若x2﹣3y﹣5=0，则6y﹣2x2﹣6的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．16 D．﹣16
一、选择题
1．（2017·济宁）单项式与单项式是同类项，则m+n的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2017·广西四市）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2018·葫芦岛）下列运算正确的是（ ）
A. ﹣2x2+3x2=5x2 B. x2?x3=x5 C. 2（x2）3=8x6 D. （x+1）2=x2+1
4．（2018·乐山）已知实数a、b满足a+b=2，ab=
3
4
，则a﹣b=（ ）
A. 1 B. ﹣
5
2
C. ±1 D. ±
5
2
5．（2018·随州）我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如1，3，6，10…）和“正方形数”（如1，4，9，16…），在小于200的数中，设最大的“三角形数”为m，最大的“正方形数”为n，则m+n的值为（ ）
/
A. 33 B. 301 C. 386 D. 571
6．（2019·盐城）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2019?滨州）若与的和是单项式，则的平方根为（ ）
A．4 B．8 C．±4 D．±8
8．（2019?资阳）4张长为a、宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为．若，则a、b满足（ ）
/
A． B． C． D．
二、填空题
9. （2017·苏州）计算： ．
10．（2017·广东）已知4a+3b=1，则整式8a+6b﹣3的值为 ．
11.（2017·安顺）若代数式x2+kx+25是一个完全平方式，则k= ．
12．（2018·哈尔滨）把多项式x3﹣25x分解因式的结果是_____
13．（2018·玉林）已知ab=a+b+1，则（a﹣1）（b﹣1）=_____．
14．（2019?潍坊）若，，则_____．
15．（2019?枣庄）若，则_____．
16．（2019?广东）如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是_______（结果用含、代数式表示）.
/
三、解答题
17.（2017·宁波）先化简，再求值：，其中.
18．（2018·临安）阅读下列题目的解题过程：
已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状．
解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4 （A）
∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2） （B）
∴c2=a2+b2 （C）
∴△ABC是直角三角形
问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号： ；
（2）错误的原因为： ；
（3）本题正确的结论为： ．
19．（2019?宁波）先化简，再求值：
，其中.
20．（2019?青岛）问题提出：
如图，图①是一张由三个边长为 1 的小正方形组成的“L”形纸片，图②是一张 a× b 的方格纸（a× b的方格纸指边长分别为 a，b 的矩形，被分成 a× b个边长为 1 的小正方形，其中 a≥2 ， b≥2，且 a，b 为正整数） ．把图①放置在图②中，使它恰好盖住图②中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？
/ /
问题探究：
为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论．
探究一：
把图①放置在 2× 2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？
如图③，对于 2×2的方格纸，要用图①盖住其中的三个小正方形，显然有 4 种不同的放置方法．
/
探究二：
把图①放置在 3×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？
如图④，在 3×2的方格纸中，共可以找到 2 个位置不同的 2 ×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在 3×2 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有 2 ×4＝8种
不同的放置方法．
/
探究三：
把图①放置在 a ×2 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？
如图⑤， 在 a ×2 的方格纸中，共可以找到______个位置不同的 2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在 a× 2 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有______种不同的放置方法．
/ /
探究四：
把图①放置在 a ×3 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？
如图⑥，在 a ×3 的方格纸中，共可以找到______个位置不同的 2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在 a ×3 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有_____种不同的放置方法．
……
问题解决：
把图①放置在 a ×b的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？（仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图．）
问题拓展：
如图，图⑦是一个由 4 个棱长为 1 的小立方体构成的几何体，图⑧是一个长、宽、高分别为 a，b ，c （a≥2 ， b≥2 ， c≥2 ，且 a，b，c 是正整数）的长方体，被分成了a×b×c个棱长为 1 的小立方体．在图⑧的不同位置共可以找到______个图⑦这样的几何体．
/
1．（2018上海二模）在下列各式中，二次单项式是（ ）
A. x2+1 B.
1
3
xy2 C. 2xy D. （-
1
2
）2
2．（2018济宁模拟）下列因式分解正确的是（ ）
A. x2-6x+9=（x-3）2 B. x 2-y2=（x-y）2 C. x2-5x+6=(x-1)(x-6) D. 6x2+2x=x（6x+2）
3．（2018·周口模拟）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：x－y，a－b，2， x2－y2，a， x＋y，分别对应下列六个字：南、爱、我、美、游、济，现将2a（x2－y2）－2b（x2－y2）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱美 B．济南游 C．我爱济南 D．美我济南
4．（2018沂水模拟）观察下列关于自然数的式子：
4×12?12????????? ①
4×22?32????????? ②
4×32?52?????????? ③
…
根据上述规律，则第2018个式子的值是（ ）
A. 8068 B. 8069 C. 8070 D. 8071
5．（2019·济南模拟）下列计算正确的是（ ）
A．﹣ab÷ab＝﹣ab B．（a﹣b）＝a﹣b
C．a?a＝a D．﹣3a+2a＝﹣a
6．（2019?鄂州模拟）下列计算正确的是（ ）
A．a2?a3＝a6 B．a6÷a3＝a2 C．（ab）2＝ab2 D．（﹣a2）3＝﹣a6
7．（2019?石家庄模拟）将分解因式，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2019?重庆模拟）下列图形是由同样大小的三角形按一定规排列面成的．其中第①个图形有3个三角形，第②个图形有6个三角形，第③个图形有11个三角形，第④个图形有18个三角形，……按此规律，则第⑦个图形中三角形的个数为（ ）
/
A．47 B．49 C．51 D．53
二、填空题
9．（2018邵阳四模）一个多项式与﹣x2﹣2x+11的和是3x﹣2，则这个多项式为________．
10．（2018临沂一模）因式分解：?2
??
2
??+16?????32??=______________．
11．（2018北京二模）如果3
??
2
+4???1=0，那么
(2??+1)
2
?(???2)(??+2)的结果是______．
12．（2018吉林模拟五）若3x3+kx2+4被3x﹣1除后余3，则k的值为_____．
13．（2019?哈尔滨模拟）把多项式分解因式的结果是____________．
14．（2019?天津模拟）已知，的值为____________.
15．（2019?成都模拟）已知mx＝3，my＝2，那么mx﹣2y的值是_____．
16．（2019?巴中模拟）观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…用你所发现的规律得出22019的末位数字是____.
三、解答题
17．（2018邵阳四模）先化简，再求值：a（a﹣2b）+（a+b）2， 其中a=﹣1，b=
2
．
18．（2018合肥联考）观察如图图形，把一个三角形分别连接其三边中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形（如图1），对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，……，据此解答下面的问题
/
（1）填写下表：
图形
挖去三角形的个数
图形1
1
图形2
1+3
图形3
1+3+9
图形4
（2）根据这个规律，求图n中挖去三角形的个数wn；（用含n的代数式表示）
（3）若图n+1中挖去三角形的个数为wn+1，求wn+1﹣Wn
19．（2019?池州模拟）我们知道，（k+1）2＝k2+2k+1，变形得：（k+1）2﹣k2＝2k+1，对上面的等式，依次令k＝1，2，3，…得：
第1个等式：22﹣12＝2×1+1
第2个等式：32﹣22＝2×2+1
第3个等式：42﹣32＝2×3+1
（1）按规律，写出第n个等式（用含n的等式表示）：第n个等式 ．
（2）记S1＝1+2+3+…+n，将这n个等式两边分别相加，你能求出S1的公式吗？
20．（2019?保定模拟）我们生活在一个充满轴对称的世界中，从自然景观到分子结构，从建筑物到艺术作品，甚至日常生活用品，都可以找到轴对称的影子
我们把形如aa，bcb，bccb，abcba的正整数叫“轴对称数”，例如：33，151，2442，.56765，…
（1）写出一个最小的四位“轴对称数”： ．
（2）设任意一个n（n≥3）位的“轴对称数”为ABA，其中首位和末位数字为A，去掉首尾数字后的（n﹣2）位数表示为B，求证：该“轴对称数”与它个位数字的11倍的差能被10整除．为了让同学们更好的解答本题，王老师给出了一些提示，如图所示
33﹣3×11＝3×10+3﹣3×11＝0
151﹣1×11＝1×100+5×10+1﹣1×11＝140
2442﹣2×11＝2×1000+44×10+2﹣2×11＝2420
①请根据上面的提示，填空：56765﹣5×11= ．
②写出（2）的证明过程．
/
1.2 整式
一、整式的有关概念?
1、单项式：数与字母的积叫做单项式.单独一个数或字母也是单项式.?
单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.
单项式的系数：单项式中的数字因数叫单项式的系数.?
2、多项式：几个单项式的和叫做多项式.?
多项式的项：多项式中每一个单项式都叫多项式的项.一个多项式含有几项，就叫几项式.?
多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数.不含字母的项叫常数项.?
3、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项.?
二、整式的加减?
1、合并同类项：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母及字母的指数不变.
2、去括号法则：括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项的符号不变；括号前面是“–”号，把括号和它前面的“–”号去掉，括号里的各项的符号都改变.?
3、整式的加减：先去括号，再合并同类项.?
三、整式的乘除
1、?幂的运算法则：其中m、n都是正整数?
同底数幂相乘：
同底数幂相除：
幂的乘方：
积的乘方：
2、单项式乘以单项式：用它们系数的积作为积的系数，对于相同的字母，用它们的指数的和作为这个字母的指数；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.?????
3、单项式乘以多项式：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.?????
4、多项式乘以多项式：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.?
5、乘法公式：
平方差公式：
完全平方公式：
两个含同一字母的一次两项式相乘：
6、单项除单项式：把系数，同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有字母，则连同它的指数作为商的一个因式.?????
7、多项式除以单项式：把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.
四、因式分解
1、因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解.?
2、常用的因式分解方法：?
（1）提取公因式法：
（2）运用公式法：?
平方差公式：
完全平方公式：
十字相乘：
（3）分组分解法：将多项式的项适当分组后能提公因式或运用公式法分解因式.?
（4）求根公式法：若 的两个根是x1、x2，则?
3、因式分解的一般步骤：?
先提公因式，?再运用公式法，?最后考虑用分组分解法，一定要分解到每个因式不能分解为止.
五、整式求值
先化简，再将字母或式子的值按运算顺序代入求值.
考点一： 整式的有关概念
下列式子：x2﹣1， ﹣2， ab3，﹣2x，16， 中，整式的个数有（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
【答案】C
【解析】根据整式的定义，x2﹣1， ab3，?2x，16是整式，
故选：C.
【点评】此题考查整式的概念.对于整式概念的认识，凡分母中含有字母的代数式都不属于整式，在整式范围内用“+”或“-”将单项式连起来的就是多项式，不含“+”或“-”的整式绝对不是多项式，单项式注重一个“积”字.
变式跟进1已知一个多项式是三次二项式，则这个多项式可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A.是二次三项式，故此选项错误；
B.是三次二项式，故此选项正确；
C.是二次二项式，故此选项错误；
D.是三次三项式，故此选项错误；
【点评】本题主要考查整式的项与系数，根据定义找准项与系数是解题的关键.
考点二： 代数式求值
已知
??
2
+2???3=0，则代数式2
??
2
+4???3的值是（ ）
A. -3 B. 0 C. 3 D. 6
【答案】C
【解析】直接利用已知将原式变形，将a2+2a=3代入2a2+4a﹣3即可求出答案．
解：当a2+2a=3时
原式=2（a2+2a）﹣3=6﹣3=3
故选C．
【点评】应用整体思想代入求值即可.
变式跟进2若????=1,?????=?4，则
??
2
+3????+
??
2
=_________.
【答案】21
【解析】可将该多项式变为（x-y）2+5xy，然后将x+y与xy的值代入即可．
解：∵xy=1，x-y=-4，
∴x2+3xy+y2=（x-y）2+5xy=（-4）2+5×1=21．
故答案为：21．
【点评】此题主要考查了代数式求值，利用整体思想代入求出是解题关键．解决本类问题的一般方法：若已知x+y与xy的值，把多项式变为（x-y）2+5xy，再将x+y与xy的值代入即可．
考点三： 整式的运算
下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C.
【解析】A.，故该选项错误；
B., 故该选项错误；
C., 故该选项正确；
D., 故该选项错误.
故选C.
【点评】掌握合并同类项及整式的运算法则是解题的关键
变式跟进3下列计算的结果是的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C.
【解析】A．＝，故选项错误；
B．，不是同类项，不能合并，故选项错误；
C．＝，故选项正确；
D． ＝，故选项错误.
故选C
【点评】正确应用同底数幂的除法及积的乘方与幂的乘方法则进行计算
考点四： 因式分解
分解因式：a3﹣4a= ．
【答案】a（a+2）（a﹣2）.
【解析】原式=a（a2﹣4）=a（a+2）（a﹣2）．
【点评】提取公因式a后再利用平方差公式分解即可.
变式跟进4如图，从边长为（a+3）的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是 ．
/
【答案】a+6
【解析】拼成的长方形的面积=（a+3）2﹣32，
=（a+3+3）（a+3﹣3），
=a（a+6），
∵拼成的长方形一边长为a，
∴另一边长是a+6．
【点评】图形的拼接与转化是解题的关键所在.
考点五： 化简求值
已知x+y=，xy=，则x2y+xy2的值为 ．
【答案】3.
【解析】∵x+y=，xy=，
∴x2y+xy2
=xy（x+y）
=×
=
=3.
【点评】主要考查因式分解的应用．
变式跟进5若x2﹣3y﹣5=0，则6y﹣2x2﹣6的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．16 D．﹣16
【答案】D．
【解析】由x2﹣3y﹣5=0可得x2﹣3y=5，所以6y﹣2x2﹣6=﹣2（x2﹣3y）﹣6=﹣2×5﹣6=﹣16，故答案选D．
【点评】本题主要利用整体思想进行求解.
一、选择题
1．（2017·济宁）单项式与单项式是同类项，则m+n的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D．
【解析】由题意，得m=2，n=3．m+n=2+3=5，故选D．
考点：同类项．
【点评】利用同类项定义进行求解.
2．（2017·广西四市）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A．
【解析】A．，故A选项正确；
B．，故B选项错误；
C．这两项不能合并，故C选项错误；
D．，故D选项错误.
故选A.
【点评】主要考查整式的混合运算．
3．（2018·葫芦岛）下列运算正确的是（ ）
A. ﹣2x2+3x2=5x2 B. x2?x3=x5 C. 2（x2）3=8x6 D. （x+1）2=x2+1
【答案】B
【解析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方及单项式乘法法则、完全平方公式的运算法则逐项进行计算即可得.
解：A．﹣2x2+3x2=x2，故A选项错误；
B．x2?x3=x5，故B选项正确；
C．2（x2）3=2x6，故C选项错误；
D．（x+1）2=x2+2x+1，故D选项错误，
故选B．
【点评】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方及单项式乘法、完全平方公式等运算，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.
4．（2018·乐山）已知实数a、b满足a+b=2，ab=
3
4
，则a﹣b=（ ）
A. 1 B. ﹣
5
2
C. ±1 D. ±
5
2
【答案】C
【解析】利用完全平方公式解答即可．
解：∵a+b=2，ab=
3
4
，
∴（a+b）2=4=a2+2ab+b2，
∴a2+b2=
5
2
，
∴（a-b）2=a2-2ab+b2=1，
∴a-b=±1，
故选：C．
【点评】本题考查了完全平方公式的运用，熟记公式结构是解题的关键．
5．（2018·随州）我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如1，3，6，10…）和“正方形数”（如1，4，9，16…），在小于200的数中，设最大的“三角形数”为m，最大的“正方形数”为n，则m+n的值为（ ）
/
A. 33 B. 301 C. 386 D. 571
【答案】C
【解析】由图形知第n个三角形数为1+2+3+…+n=
??
??+1
2
，第n个正方形数为n2，据此得出最大的三角形数和正方形数即可得．
解：由图形知第n个三角形数为1+2+3+…+n=
??
??+1
2
，第n个正方形数为n2，
当n=19时，
??
??+1
2
=190＜200，当n=20时，
??
??+1
2
=210＞200，
所以最大的三角形数m=190；
当n=14时，n2=196＜200，当n=15时，n2=225＞200，
所以最大的正方形数n=196，
则m+n=386，
故选C．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是由图形得出第n个三角形数为1+2+3+…+n=
??
??+1
2
，第n个正方形数为n2．
6．（2019·盐城）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据幂的运算性质，可依次判断4个选项的对错.
解：根据幂的运算性质：①; ②; ③; ④，可知：，A错；，C错；，D错．故选B．
【点评】本题考查幂的运算性质，要熟练掌握幂的运算公式.
7．（2019?滨州）若与的和是单项式，则的平方根为（ ）
A．4 B．8 C．±4 D．±8
【答案】D
【解析】根据单项式的定义可得和是同类项，因此可得参数m、n,代入计算即可.
解：由与的和是单项式，得
．
，64的平方根为．
故选：D．
【点评】本题主要考查单项式的定义，关键在于识别同类项，根据同类项计算参数.
8．（2019?资阳）4张长为a、宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为．若，则a、b满足（ ）
/
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先用a、b的代数式分别表示，，再根据，得，整理，得，所以．
解：，
，
∵，
∴，
整理，得，
∴，
∴．
故选：D．
【点评】本题考查了整式的混合运算，熟练运用完全平方公式是解题的关键．
二、填空题
9. （2017·苏州）计算： ．
【答案】
【解析】
【点评】应用幂的乘方的运算法则进行计算即可.
10．（2017·广东）已知4a+3b=1，则整式8a+6b﹣3的值为 ．
【答案】﹣1．
【解析】∵4a+3b=1，∴8a+6b=2，8a+6b﹣3=2﹣3=﹣1；故答案为：﹣1．
【点评】运用整体思想代入求值即可.
11.（2017·安顺）若代数式x2+kx+25是一个完全平方式，则k= ．
【答案】±10.
【解析】∵代数式x2+kx+25是一个完全平方式，
∴k=±10.
【点评】要注意k的值有两个，不要丢解.
12．（2018·哈尔滨）把多项式x3﹣25x分解因式的结果是_____
【答案】x（x+5）（x﹣5）．
【解析】首先提取公因式x，再利用平方差公式分解因式即可．
解：x3-25x
=x（x2-25）
=x（x+5）（x-5）．
故答案为：x（x+5）（x-5）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
13．（2018·玉林）已知ab=a+b+1，则（a﹣1）（b﹣1）=_____．
【答案】2
【解析】将（a﹣1）（b﹣1）利用多项式乘多项式法则展开，然后将ab=a+b+1代入合并即可得．
解：（a﹣1）（b﹣1）= ab﹣a﹣b+1，
当ab=a+b+1时，
原式=ab﹣a﹣b+1
=a+b+1﹣a﹣b+1
=2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算法则及整体代入思想的运用．
14．（2019?潍坊）若，，则_____．
【答案】15
【解析】由，，根据同底数幂的乘法可得，继而可求得答案．
解：∵，，
∴，
故答案为：15.
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键.本题中要注意掌握公式的逆运算．
15．（2019?枣庄）若，则_____．
【答案】11．
【解析】根据完全平方公式，把已知式子变形，然后整体代入求值计算即可得出答案．
解：，
，
故答案为11．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的运用，把已知式子变形，然后整体代入求值计
算，难度适中．
16．（2019?广东）如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是_______（结果用含、代数式表示）.
/
【答案】a+8b
【解析】观察可知两个拼接时，总长度为2a-(a-b)，三个拼接时，总长度为3a-2(a-b)，由此可得用9个拼接时的总长度为9a-8(a-b)，由此即可得.
解：观察图形可知两个拼接时，总长度为2a-(a-b)，
三个拼接时，总长度为3a-2(a-b)，
四个拼接时，总长度为4a-3(a-b)，
…，
所以9个拼接时，总长度为9a-8(a-b)=a+8b，
故答案为：a+8b.
【点评】本题考查了规律题——图形的变化类，通过推导得出总长度与个数间的规律是解题的关键.
三、解答题
17.（2017·宁波）先化简，再求值：，其中.
【答案】5.
【解析】解：
=4-x2+x2+4x-5
=4x-1
当x=时，原式=4×-1=5.
【点评】利用平方差公式和多项式乘以多项式进行化简，然后把x=代入化简结果中即可求解.
18．（2018·临安）阅读下列题目的解题过程：
已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状．
解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4 （A）
∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2） （B）
∴c2=a2+b2 （C）
∴△ABC是直角三角形
问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号： ；
（2）错误的原因为： ；
（3）本题正确的结论为： ．
【答案】（1）C；（2）没有考虑a=b的情况；（3）△ABC是等腰三角形或直角三角形．
【解析】（1）根据题目中的书写步骤可以解答本题；
（2）根据题目中B到C可知没有考虑a=b的情况；
（3）根据题意可以写出正确的结论．
解：（1）由题目中的解答步骤可得，
错误步骤的代号为：C，
故答案为：C；
（2）错误的原因为：没有考虑a=b的情况，
故答案为：没有考虑a=b的情况；
（3）本题正确的结论为：△ABC是等腰三角形或直角三角形，
故答案为：△ABC是等腰三角形或直角三角形．
【点评】本题考查因式分解的应用、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，写出相应的结论，注意考虑问题要全面．
19．（2019?宁波）先化简，再求值：
，其中.
【答案】
【解析】根据平方差公式、单项式乘多项式的法则把原式化简，代入计算即可．
解：（x-2）（x+2）-x（x-1）
=x2-4-x2+x
=x-4，
当x=3时，原式=x-4=-1．
【点评】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
20．（2019?青岛）问题提出：
如图，图①是一张由三个边长为 1 的小正方形组成的“L”形纸片，图②是一张 a× b 的方格纸（a× b的方格纸指边长分别为 a，b 的矩形，被分成 a× b个边长为 1 的小正方形，其中 a≥2 ， b≥2，且 a，b 为正整数） ．把图①放置在图②中，使它恰好盖住图②中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？
/ /
问题探究：
为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论．
探究一：
把图①放置在 2× 2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？
如图③，对于 2×2的方格纸，要用图①盖住其中的三个小正方形，显然有 4 种不同的放置方法．
/
探究二：
把图①放置在 3×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？
如图④，在 3×2的方格纸中，共可以找到 2 个位置不同的 2 ×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在 3×2 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有 2 ×4＝8种
不同的放置方法．
/
探究三：
把图①放置在 a ×2 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？
如图⑤， 在 a ×2 的方格纸中，共可以找到______个位置不同的 2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在 a× 2 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有______种不同的放置方法．
/ /
探究四：
把图①放置在 a ×3 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？
如图⑥，在 a ×3 的方格纸中，共可以找到______个位置不同的 2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在 a ×3 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有_____种不同的放置方法．
……
问题解决：
把图①放置在 a ×b的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？（仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图．）
问题拓展：
如图，图⑦是一个由 4 个棱长为 1 的小立方体构成的几何体，图⑧是一个长、宽、高分别为 a，b ，c （a≥2 ， b≥2 ， c≥2 ，且 a，b，c 是正整数）的长方体，被分成了a×b×c个棱长为 1 的小立方体．在图⑧的不同位置共可以找到______个图⑦这样的几何体．
/
【答案】探究三：， ；探究四：， ；问题解决：共有种不同的放置方法；问题拓展：8(a-1)(b-1)(c-1).
【解析】对于图形的变化类的规律题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
解：探究三：
根据探究二，a×2的方格纸中，共可以找到（a-1）个位置不同的?2×2方格，
根据探究一结论可知，每个2×2方格中有4种放置方法，所以在a×2的方格纸中，共可以找到（a-1）×4=（4a-4）种不同的放置方法；
故答案为a-1，4a-4；
探究四：
与探究三相比，本题矩形的宽改变了，可以沿用上一问的思路：边长为a，有（a-1）条边长为2的线段，
同理，边长为3，则有3-1=2条边长为2的线段，
所以在a×3的方格中，可以找到2（a-1）=（2a-2）个位置不同的2×2方格，
根据探究一，在在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有（2a-2）×4=（8a-8）种不同的放置方法．
故答案为2a-2，8a-8；
问题解决：
在a×b的方格纸中，共可以找到（a-1）（b-1）个位置不同的2×2方格，
依照探究一的结论可知，把图①放置在a×b的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有4（a-1）（b-1）种不同的放置方法；
问题拓展：
发现图⑦示是棱长为2的正方体中的一部分，利用前面的思路，
这个长方体的长宽高分别为a、b、c，则分别可以找到（a-1）、（b-1）、（c-1）条边长为2的线段，
所以在a×b×c的长方体共可以找到（a-1）（b-1）（c-1）位置不同的2×2×2的正方体，
再根据探究一类比发现，每个2×2×2的正方体有8种放置方法，
所以在a×b×c的长方体中共可以找到8（a-1）（b-1）（c-1）个图⑦这样的几何体；
故答案为8（a-1）（b-1）（c-1）．
【点评】此题考查了平面图形的有规律变化，要求学生通过观察图形，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．
1．（2018上海二模）在下列各式中，二次单项式是（ ）
A. x2+1 B.
1
3
xy2 C. 2xy D. （-
1
2
）2
【答案】C
【解析】根据单项式的概念和次数、系数直接判断即可.
解：由题意可知：2xy是二次单项式，
故选：C．
【点评】此题主要考查了单项式的概念，会判断单项式的系数和次数是解题关键，比较简单.
2．（2018济宁模拟）下列因式分解正确的是（ ）
A. x2-6x+9=（x-3）2 B. x 2-y2=（x-y）2 C. x2-5x+6=(x-1)(x-6) D. 6x2+2x=x（6x+2）
【答案】A
【解析】根据相关分解因式的方法进行分析判断即可.
解：
A选项中，因为
??
2
?6??+9=
(???3)
2
，所以A中分解正确；
B选项中，因为
??
2
?
??
2
=(??+??)(?????)，所以B中分解错误；
C选项中，因为
??
2
?5??+6=(???2)(???3)，所以C中分解错误；
D选项中，因为6
??
2
+2??=2??(3??+1)，所以D中分解错误.
故选A.
【点评】解答本题有以下两个要点：（1）熟练掌握“常用的分解因式的方法”；（2）分解因式要彻底，即要直到每个因式都不能再分解为止.
3．（2018·周口模拟）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：x－y，a－b，2， x2－y2，a， x＋y，分别对应下列六个字：南、爱、我、美、游、济，现将2a（x2－y2）－2b（x2－y2）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱美 B．济南游 C．我爱济南 D．美我济南
【答案】C
【解析】首先根据因式分解的方法将原式进行因式分解，然后根据题意得出密码．
解：原式=密码为：我爱济南．
【点评】本题主要考查的是因式分解的实际应用，属于基础题型．学会因式分解的方法是解决这个问题的关键．
4．（2018沂水模拟）观察下列关于自然数的式子：
4×12?12????????? ①
4×22?32????????? ②
4×32?52?????????? ③
…
根据上述规律，则第2018个式子的值是（ ）
A. 8068 B. 8069 C. 8070 D. 8071
【答案】D
【解析】由①②③三个等式可得，减数是从1开始连续奇数的平方，被减数是从1开始连续自然数的平方的4倍，由此规律得出答案即可．
解：4×
1
2
?
1
2
?①
4×
2
2
?
3
2
?②
4×
3
2
?
5
2
③
…
4
??
2
?
(2???1)
2
=4???1,
所以第?2018?个式子的值是：?4×2018?1=8071.
故选D.
【点评】主要考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题是解答此题的关键.
5．（2019·济南模拟）下列计算正确的是（ ）
A．﹣ab÷ab＝﹣ab B．（a﹣b）＝a﹣b
C．a?a＝a D．﹣3a+2a＝﹣a
【答案】D
【解析】根据幂的运算即可依次判断.
解：﹣a4b÷a2b＝﹣a2，故选项A错误，
（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故选项B错误，
a2?a3＝a5，故选项C错误，
﹣3a2+2a2＝﹣a2，故选项D正确，
故选：D．
【点评】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知幂的运算法则.
6．（2019?鄂州模拟）下列计算正确的是（ ）
A．a2?a3＝a6 B．a6÷a3＝a2 C．（ab）2＝ab2 D．（﹣a2）3＝﹣a6
【答案】D
【解析】根据积的乘方，幂的乘方，同底数幂乘除法法则，对各选项计算后利用排除法求解．
解：A、a2?a3＝a5，故此选项错误；
B、a6÷a3＝a3，故此选项错误；
C、（ab）2＝a2b2，故此选项错误；
D、（﹣a2）3＝﹣a6，故此选项正确；
故选：D．
【点评】此题考查同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方，解题关键在于掌握运算法则.
7．（2019?石家庄模拟）将分解因式，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先根据完全平方公式计算，再化简即可得到答案.
解：，故选择A.
【点评】本题考查分解因式，解题的关键是掌握完全平方公式.
8．（2019?重庆模拟）下列图形是由同样大小的三角形按一定规排列面成的．其中第①个图形有3个三角形，第②个图形有6个三角形，第③个图形有11个三角形，第④个图形有18个三角形，……按此规律，则第⑦个图形中三角形的个数为（ ）
/
A．47 B．49 C．51 D．53
【答案】C
【解析】仔细观察图形，找到图形的变化规律，然后利用规律求解即可．
解：第①个图形一共有2+12＝3个三角形，
第②个图形一共有：2+22＝6个三角形，
第③个图形一共有2+32＝11个三角形，
第④个图形一共有2+42＝3个三角形，
…
第⑦个图形一共有：2+72＝51个三角形．
故选：C．
【点评】此题考查规律型：图形的变化类，解题关键在于理解题意找到规律.
二、填空题
9．（2018邵阳四模）一个多项式与﹣x2﹣2x+11的和是3x﹣2，则这个多项式为________．
【答案】x2+5x﹣13
【解析】设此多项式为A,再根据多项式的加减法则进行计算即可.
解： 设此多项式为A,
∵A+(-x2-2x+11)=3x-2,
∴A=(3x-2)-(-x2-2x+11)=x2+5x-13.故答案为: x2+5x-13.
【点评】 本题考查的是整式的加减,熟知整式的加减实质上就是合并同类项是解答此题的关键.
10．（2018临沂一模）因式分解：?2
??
2
??+16?????32??=______________．
【答案】－2y(x－4)2
【解析】根据式子特点，先“提公因式”，再用“完全平方公式”分解即可.
解：
原式=?2??(
??
2
?8??+16)
=?2??
(???4)
2
.
故答案为：?2??
(???4)
2
.
【点评】将多项式分解因式时，多项式各项有公因式的要先提出公因式，再看能否用其它方法继续分解.
11．（2018北京二模）如果3
??
2
+4???1=0，那么
(2??+1)
2
?(???2)(??+2)的结果是______．
【答案】6
【解析】先由3
??
2
+4???1=0可得3
??
2
+4??=1，然后将式子
(2??+1)
2
?(???2)(??+2)化简整理，再代值计算即可.
解：
∵3
??
2
+4???1=0，
∴3
??
2
+4??=1，
∴
(2??+1)
2
?(???2)(??+2)
=4
??
2
+4??+1?
??
2
+4
=3
??
2
+4??+5
=1+5
=6.
故答案为：6.
【点评】熟悉“完全平方公式和平方差公式”，并能由此把
(2??+1)
2
?(???2)(??+2)化简整理为3
??
2
+4??+5是正确解答本题的关键.
12．（2018吉林模拟五）若3x3+kx2+4被3x﹣1除后余3，则k的值为_____．
【答案】﹣10
【解析】先根据3x3+kx2+4被3x-1除后余3，判断出3x-1为3x3+kx2+1的一个因式，再根据特殊值法求得k的值．
解：∵3x3+kx2+4被3x-1除后余3，
∴3x3+kx2+4-3=3x3+kx2+1可被3x-1整除，
∴3x-1为3x3+kx2+1的一个因式，
∴当3x-1=0，即x=
1
3
时，3x3+kx2+1=0，
即3×
1
27
+k×
1
9
+1=0，
解得k=-10．
故答案为：-10
【点评】本题主要考查了多项式除以单项式，理解被除式、除式、商、余式之间的关系是解题的关键．
13．（2019?哈尔滨模拟）把多项式分解因式的结果是____________．
【答案】
【解析】先提取公因数2，然后在运用平方差公式即可.
解：
=
=
=
故答案为：.
【点评】本题考查了分解因式，分解因式的一般步骤是：有公因式的先提取公因式，然后在考虑公式法.
14．（2019?天津模拟）已知，的值为____________.
【答案】4
【解析】根据同底数幂的除法的运算法则进行计算，得出关于m的方程即可
解：∵，∴
∴6-m=2，∴m=4
故答案为：4
【点评】此题主要考查了同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
15．（2019?成都模拟）已知mx＝3，my＝2，那么mx﹣2y的值是_____．
【答案】
【解析】根据同底数幂的除法法则以及幂的乘方即可得出mx﹣2y＝mx÷m2y＝mx÷（my）2，再mx＝3，my＝2代入求解即可．
解：∵mx＝3,my＝2,
∴mx﹣2y＝mx÷m2y＝mx÷（my）2＝=．
故答案为：.
【点评】本题主要考查幂的运算法则,解决本题的关键是要熟练掌握幂的运算法则.
16．（2019?巴中模拟）观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…用你所发现的规律得出22019的末位数字是____.
【答案】8
【解析】因为21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，观察发现：2n的个位数字是2，4，8，6四个一循环，所以根据2019÷4＝504…3，得出22019的个位数字与23的个位数字相同，是8．
解：∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…．
2019÷4＝504…3，
∴22019的末位数字和23的末位数字相同，是8．
故填：8.
【点评】本题考查了尾数特征的应用，关键是能根据题意得出规律，进一步得出算式．
三、解答题
17．（2018邵阳四模）先化简，再求值：a（a﹣2b）+（a+b）2， 其中a=﹣1，b=
2
．
【答案】2a2+b2
【解析】原式利用单项式乘以多项式，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
解：原式=a2﹣2ab+a2+2ab+b2=2a2+b2
当a=﹣1，b=
2
时，原式=2+2=4．
【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18．（2018合肥联考）观察如图图形，把一个三角形分别连接其三边中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形（如图1），对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，……，据此解答下面的问题
/
（1）填写下表：
图形
挖去三角形的个数
图形1
1
图形2
1+3
图形3
1+3+9
图形4
（2）根据这个规律，求图n中挖去三角形的个数wn；（用含n的代数式表示）
（3）若图n+1中挖去三角形的个数为wn+1，求wn+1﹣Wn
【答案】91) 1+3+32+33；(2) wn=3n﹣1+3n﹣2+…+32+3+1；(3) 3n．
【解析】整体
（1）由表中图形1到图形3的规律可得图形4的结果应该是1+3+32+33；（2）由（1）中得到的规律即可计算；（3）由wn+1-Wn，合并同类项即可.
解：(1)图4挖去三角形的个数为33+32+3+1;(或40)
(2)wn=3n-1+3n-2+…+32+3+1;
(3)
??
??+1
=
3
??
+
3
???2
+.....+
3
2
+3+1，
∴
??
??+1
?
??
??
=(
3
??
+
3
???1
+
3
???2
+.....+
3
2
+3+1)?(
3
???1
+
3
???2
+...+
3
2
+3+1)
=
3
??
.
【解析】本题考查了找规律。寻找前后两个图中三角形的个数是解题的关键.
19．（2019?池州模拟）我们知道，（k+1）2＝k2+2k+1，变形得：（k+1）2﹣k2＝2k+1，对上面的等式，依次令k＝1，2，3，…得：
第1个等式：22﹣12＝2×1+1
第2个等式：32﹣22＝2×2+1
第3个等式：42﹣32＝2×3+1
（1）按规律，写出第n个等式（用含n的等式表示）：第n个等式 ．
（2）记S1＝1+2+3+…+n，将这n个等式两边分别相加，你能求出S1的公式吗？
【答案】（1）（n+1）2﹣n2＝2n+1；（2）.
【解析】（1）根据已知算式得出的结果得出规律，即可得出答案；
（2）根据已知得出算式，再相加，即可得出答案．
解：（1）（n+1）2﹣n2＝2n+1，
故答案为：（n+1）2﹣n2＝2n+1；
（2）∵22﹣12＝2×1+1①，
32﹣22＝2×2+1②，
42﹣32＝2×3+1③，
……，
（n+1）2﹣n2＝2n+1，
∴将①+②+③+…，得（n+1）2﹣12＝2（1+2+3+…+n）+nn2+2n＝2S1+n，
∴S1=.
【点评】本题考查了整式的运算，能根据已知算式得出规律是解此题的关键．
20．（2019?保定模拟）我们生活在一个充满轴对称的世界中，从自然景观到分子结构，从建筑物到艺术作品，甚至日常生活用品，都可以找到轴对称的影子
我们把形如aa，bcb，bccb，abcba的正整数叫“轴对称数”，例如：33，151，2442，.56765，…
（1）写出一个最小的四位“轴对称数”： ．
（2）设任意一个n（n≥3）位的“轴对称数”为ABA，其中首位和末位数字为A，去掉首尾数字后的（n﹣2）位数表示为B，求证：该“轴对称数”与它个位数字的11倍的差能被10整除．为了让同学们更好的解答本题，王老师给出了一些提示，如图所示
33﹣3×11＝3×10+3﹣3×11＝0
151﹣1×11＝1×100+5×10+1﹣1×11＝140
2442﹣2×11＝2×1000+44×10+2﹣2×11＝2420
①请根据上面的提示，填空：56765﹣5×11= ．
②写出（2）的证明过程．
【答案】（1）1001；（2）①56710；②证明见解析.
【解析】（1）由题意即可得出结果；
（2）①由提示进行计算即可；
②由提示进行计算，得出ABA﹣11A＝10[A×（10n﹣2﹣1 ）+B]，即可得出结论．
解：（1）解：由题意得：最小的四位“轴对称数”为1001；
故答案为：1001；
（2）解：①56765﹣5×11＝5×10000+676×10+5﹣5×11＝56710；
故答案为：56710
②证明：ABA﹣11A．
＝A×10n﹣1+B×10+A﹣11A
＝A×10n﹣1+B×10+（﹣10）A
＝10[A×（10n﹣2﹣1 ）+B]
∵A，B为整数，n≥3，
∴原式能被10整除．
【点评】本题考查了因式分解的应用以及“轴对称数”，理解题目中的提示是解题的关键．
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